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Groupe d’Entraînement et de Recherche pour les Méthodes d’Education Active 25 rue Montaigne 64000 Pau Site : www.germea.org. Calcul de distances dans le système solaire. . -600 à 200 : Le Miracle grec. Aristarque : le diamètre de la Lune et du Soleil - PowerPoint PPT Presentation
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Groupe d’Entraînement et de Recherche
pour les Méthodes d’Education Active
25 rue Montaigne 64000 PauSite : www.germea.org
-600 à 200 : Le Miracle grec
1500 à 1700 : D’un monde clos à l’univers infini
Aristarque : • le diamètre de la Lune et du Soleil• les distances Terre Lune et Terre Soleil
Eratosthène : la circonférence de la Terre
Hipparque : amélioration des résultats d’Aristarque
Copernic : distance des planètes en U.A.
Cassini et Richer : premier calcul de l’U.A.
8 juin 2004 : le passage de Vénus devant le Soleil
-600 -500 -400 -300 -200 -100 JC 100 200
Thalès
Pythagore Aristote
Aristarque Hipparque
Eratosthène
Ptolémée
Le Miracle grec
L’état des connaissances avant Aristarque
Ecoles Ionienne et Pythagoricienne :
• Explication des éclipses.
• La sphère est la forme parfaite, c’est celle de la Terre, de la Lune, du Soleil
et de l’univers.
• Le mouvement parfait est circulaire.
Ecole d’Athènes : les trois commandements d’Aristote
• Tu garderas la Terre immobile au centre d’un monde sphérique.
• Tu n’utiliseras pour reconstituer les trajectoires des corps célestes que
des combinaisons de mouvements circulaires.
• Tu n’envisageras que des vitesses angulaires constantes.
Samos
a
Diamètre apparent de la Lune
• Comment se faire une idée concrète de a ?
• Comment obtenir a ?
Il suffit d’utiliser une règle
régle Lune
règle
bras (60 cm)
A
B
C
a
a/2
a
2tan =
BC
AC 60
0,275
0,25°d’où a
2 et a 0,5°
5,5 mm
règle
bras (60 cm)
a
a 0,5°
5,5 mm
=a
360
0,55
2 x 60 x
OA
B
C
D
ODOB
=CDAB
OD 109 CD
Distance Terre - Lune
Conclusion :
On peut mettre 109 lunes entre la Terre et la Lune.
Quelles sont les hypothèses d’Aristarque ?
En une heure la Lune se déplace de son diamètre apparent.
Le diamètre apparent de la Lune est de 0,5°
La plus longue éclipse de Lune observée a duré deux heures
L’ombre de la Terre est assimilée à un cylindre.
Comparaison des diamètresde la Terre et de la Lune
3 h
2 h
4 h
5 h
On peut mettre trois lunes dans l’ombre de la
Terre,
donc la Lune est trois fois plus petite que la
Terre
et par conséquent la distance Terre-Lune est
voisine de 36 diamètres terrestres.
Conclusion :
15 j 14,5 j
premier quartier
dernier quartier
premier quartier
dernier quartier
30 jours 360°
1 jour 12°
12 heures 6°
2 = 6°
= 3°
cos 87° =TL
TSdonc TS =
TL
cos 87° 19 TL
T
L
S
« La distance du Soleil à la Terre est plus grande que 18 fois,
mais plus
petite que 20 fois la distance de la Lune à la Terre. »
Qu’en est-il en réalité ?
On sait maintenant que cet angle mesure 89° 51’ et par conséquent :
TS = 400 TL !
Conclusion :
1 heure 21 minutesaprès le premier quartier
7 heures 30 minutesavant le dernier quartier
Taille du Soleil = 19 lunes
Taille du Soleil 6 terres
Alors, si le Soleil est 19 fois plus loin de la Terre que la Lune,il est 19 fois plus gros que la Lune.
La Lune et le Soleil ont le même diamètre apparent.
Terre = 3 lunes
Le Soleil est environ 6 fois plus gros que la Terre.
Conclusion :
Soleil
Mercure
Vénus
Lune
Terre
Mars
Jupiter
Saturne
Système d’Aristarque
AlexandrieCyrène
Alexandrie
Syène
a
a
a
a
tan a = 3,16
25
donc a 7,2°
a
25 m
3,16 m
7,2° correspondent à 1/50ème du cercle
La distance Alexandrie Syène est environ de 800 km
or 800 x 50 = 40 000
soit 40 000 km pour la circonférence terrestre.
= -
Nicée
Rhodes
Alexandrie
Terre
Lune
Soleil
d’après une idée du C.L.E.A.(Comité de Liaison Enseignants Astronomes)
DO + DL = DT
3 lunes dans l’ombre + 1 lune = 4 lunes
La Lune est quatre fois plus petite que la Terre.
Conclusion :
DO + DL = DT
on obtient :
En posant k = DL
DO
= 1+kDL
DT
Eclipse de Lune du 23/11/1993
Comment déterminer k ?
k =DL
DO 2,7
= 1+kDL
DT 3,7
CL
CO
Méthode graphique
H
A
BC
a
Par le calcul
cos
BHBA
BABC
BA² = BH x BC
A’
d’où BC = =BH aBA² BA²
Du système géocentrique…
…au système héliocentrique
1500 1550 1600 1650 1700
Copernic Tycho Brahé
Kepler
Galilée
Newton
Cassini
Richer
D’un monde clos à l’univers infini
Configurations particulièresdes planètes
Conjonction inférieure
Planète inférieure
Elongation maximale ouestConjonction supérieureElongation maximale est
vue de dessus
Terre
Quadrature estQuadrature ouestOpposition
Planète supérieure vue de dessus
Conjonction
Terre
SV
ST
Calcul du rayon d’une planète inférieure : Vénus
sin a =
d’où SV = ST x sin a
a est l’élongation maximale de Vénus
Pour Vénus a 46°,
d’où SV 0,719 ST
S T
M’
T’
M
t m
a
Calcul du rayon d’une planète supérieure : Mars
ST’
SM’cos a =
Pour Mars a 49°,
d’où SM 1,52 ST
d’où SM’ =cos a
ST’
a = t - m
opposition
quadrature
Mercure
Vénus Terre Mars Jupiter Saturne
Copernic 0,386 0,719 1 1,520 5,219 9,174
Valeurs moderne
s0,387 0,723 1 1,524 5,203 9,555
Rayons moyens des orbites planétaires
rapportés à la distance Terre Soleilc’est-à-dire en Unités Astronomiques (U.A.)
Les deux observateurs ne voient pas Marsexactement au même endroit sur le fond étoilé.
P
C
Le 5 septembre 1672,
Mars est dans les Poissons.
a
ba
b
M
P
CValeur obtenue : a+b 15"
M
P
C
a+b
a+b étant très petit, on peut en déduire la distance Terre-Mars :
dTM PCa+b
(en exprimant a+b en radians)
a
d
a+d
La troisième loi de Kepler permet d’écrire :
a3
TT2
(a+d)3
TM2=
où TT et TM sont les périodes de révolutionde la Terre et de Mars autour du Soleil.
On peut ainsi calculer a.
Cassini et Richer ont trouvé environ 140 000 000 km.
8 juin 2004
passage de Vénusdevant le Soleil,
un phénomèneexceptionnel
Plafond de la salle du conseil de l’observatoire de Paris
A
B
e
V
B
A
V
B’
A’
d
D
e
On suppose que A et B sont deux observateurs situés de façonque le plan ABV soit perpendiculaire au plan de l’orbite de Vénus.
B
A
V
B’
A’
D
e
D – d
deAB
=D - d
deAB
=D
- 1
dD
- 1e = AB( )
d
on sait que D = 3,62 x d
e = 2,62 x AB
si, par exemple, AB = 6 000 km alors e 15 700 km
0,28 U.A.
1 U.A.
0,72 U.A.
Calcul de l’écart en km
e 15 700 km
e
89 x e
1 397 000 km
1) Méthode graphique
en reportant soigneusementles deux observations sur une
même image projetée du Soleil
Comparaison de e au diamètre du Soleil et calcul de
0,28 U.A.
2) Par le calcul en utilisant les temps de passage
Calcul du déplacement apparent de Vénus vu de la Terre
T
Vénus fait 360° en 584 jours,
c’est-à-dire 360 x 60’ en 584 x 24 heures,
donc en une heure Vénus se déplace d’un angle a,
a = exprimé en minutes d’arc 360 x 60
24 x 584
V’
aS
V
Depuis la Terre,on voit Vénus se déplacer d’un angle b
b
En exprimant en radians a et b , qui sont très petits,
0,72 U.A.
d’où b = a x = a x soit b 4’SV
TV
0,280,72
Conclusion : au moment du transit, on voit de la Terre, Vénus avancer de 4’ par heure
VV’ = SV x a = TV x b
Calcul de e
O
A1
A2
B2
B1
H2
H1
On suppose que, par exemple, l’observateur A voit le passage durer 6 h
alors que B trouve 6 h 9 min 15 s, soit 6,154 h.
OA1 = OB1 = 32 : 2 = 16
Tous les calculs se font en minutes d’arc.
Le trajet A1A2 dure 6 h, il correspond à 24’
Le trajet B1B2 dure 6,154 h, il correspond à 24,616’
OH1²= 16²-12² d’où OH1 10,583
OH2²= 16²-12,308² d’où OH2 10,223
e = H1H2 0,36
89 x e car 32 : 0,36 89
Détermination du diamètre du Soleil
or e 15 700 km d’où 1 397 000 km
1 397 000 km
D
32 ’
D 150 000 000 km
D =tan 32 ’
Calcul de la distance Terre-Soleil
Remarque : cette méthode ne tient pas compte de la rotation de la Terre.
Dans la réalité, les calculs sont bien plus complexes
Fin