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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Calculer les coefficients de singularités d’arête
Martin Costabel
IRMAR, Université de Rennes 1
Collaboration: Monique Dauge, Z. Yosibash, N. Omer
Séminaire Paris 6, 30 mars 2007
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 1 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Devise
“Les perspectives de cette méthode semblentprometteuses théoriquement et numériquement.”
M. Sibony dans Zbl 0784.65079 (1993)————————————–
“For edges we develop a new method for the calculation ofpolynomial approximations to the mode I, mode II and mode III edgeintensity functions.. . . The error in stress intensity factor data ifestimated from handbooks may be of the order, say, 20–50%. . .In this paper a computational procedure with which three-dimensionallinear elastic fracture mechanics problems routinely may be solved ina reliable way is developed.”
Andersson, Falk, Babuška (1990)
“This paper is the first in a series. The other papers will deal withelasticity problems, which are of especially great interest inengineering.”
Babuška, v. Petersdorff, Andersson (1994)
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 2 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Devise
“Les perspectives de cette méthode semblentprometteuses théoriquement et numériquement.”
M. Sibony dans Zbl 0784.65079 (1993)————————————–
“For edges we develop a new method for the calculation ofpolynomial approximations to the mode I, mode II and mode III edgeintensity functions.. . . The error in stress intensity factor data ifestimated from handbooks may be of the order, say, 20–50%. . .In this paper a computational procedure with which three-dimensionallinear elastic fracture mechanics problems routinely may be solved ina reliable way is developed.”
Andersson, Falk, Babuška (1990)
“This paper is the first in a series. The other papers will deal withelasticity problems, which are of especially great interest inengineering.”
Babuška, v. Petersdorff, Andersson (1994)
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 2 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Devise
“Les perspectives de cette méthode semblentprometteuses théoriquement et numériquement.”
M. Sibony dans Zbl 0784.65079 (1993)————————————–
“For edges we develop a new method for the calculation ofpolynomial approximations to the mode I, mode II and mode III edgeintensity functions.. . . The error in stress intensity factor data ifestimated from handbooks may be of the order, say, 20–50%. . .In this paper a computational procedure with which three-dimensionallinear elastic fracture mechanics problems routinely may be solved ina reliable way is developed.”
Andersson, Falk, Babuška (1990)
“This paper is the first in a series. The other papers will deal withelasticity problems, which are of especially great interest inengineering.”
Babuška, v. Petersdorff, Andersson (1994)
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 2 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
M. Costabel, M. Dauge, Z. Yosibash.A quasi-dual function method for extracting edge stress intensityfunctions.SIAM J. Math. Anal., 35:1177–1202, 2004.
N. Omer, Z. Yosibash, M. Costabel, M. Dauge.Edge flux intensity functions in polyhedral domains and their extractionby a quasidual function method.International J. Fracture, 129:97–130, 2004.
Z. Yosibash, N. Omer, M. Costabel, M. Dauge.Edge stress intensity functions in polyhedral domains and theirextraction by a quasidual function method.International J. Fracture, 136:37–73, 2005.
STRESS CHECK Master Guide - V-7Engineering Software Research and Development, Inc., St. Louis, MO63117, www.esrd.com, 2004.
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 3 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Objets mécaniques montrant des concentrations de contraintes
23
ESIF and Extraction
The model contain 810 elements, using p=7 and 150,726 DOF.
Smallest layer in the vicinity of the edge:
Smallest layer in the vicinity of the vertex:
0.15
30.15
IK
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 4 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Objets mécaniques montrant des concentrations de contraintes
23
ESIF and Extraction
The model contain 810 elements, using p=7 and 150,726 DOF.
Smallest layer in the vicinity of the edge:
Smallest layer in the vicinity of the vertex:
0.15
30.15
IK
23
ESIF and Extraction
The model contain 810 elements, using p=7 and 150,726 DOF.
Smallest layer in the vicinity of the edge:
Smallest layer in the vicinity of the vertex:
0.15
30.15
IK
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Objets mécaniques montrant des concentrations de contraintes
25
ESIF and its comparison to the 2-D SIF
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 4 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Objets mécaniques montrant des concentrations de contraintes
AnisotropieLaminésFissures en biais,courbes. . .
36
ESIF extraction for the anisotropic laminate
1( )A
!1( )
A!
Extracting ESIF for the CTS 30.8 0.8x" # #
Compare the ESIF extracted:
31 1x" # #
1( )A
!
40
Compact tension specimen with 10° slanted crack front.
The CTS is under bearing loads at the tearing holes, load=100.
CTS with a 10° slanted crack
40
Compact tension specimen with 10° slanted crack front.
The CTS is under bearing loads at the tearing holes, load=100.
CTS with a 10° slanted crack
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 4 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Domaines et coordonnées
Domaine polyédral
x1
x3
x2
r
!
"1
"2
#The Edge E
Le domaine modèle: Ω = G× IG = (x ,y) | 0 < r < 1,0 < θ < ω
L’arête: E = 0× I, I =]−1,1[
La surface cylindrique: ΓR = (x ,y ,z) | r = R, 0 < θ < ω, z ∈ I
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 5 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Le problème d’extraction
EDP elliptique linéaire, 2nd ordre, homogène
L =3
∑j=1
3
∑i=1
Lij ∂i ∂j , Lij N×N, réel, symétrique, constant
Problème de Dirichlet: u ∈ H10 (Ω)N tel que
∀v ∈ H10 (Ω)N : B(u,v) =
∫Ω
f ·v dx
Asymptotique naïve près de l’arête, pour f régulier :
u(x ,y ,z)∼ ∑α∈A,p∈Pα
aα,p(z)rαφα,p(θ)
“Edge stress intensity functions” (ESIF): aα,p(z)
Problème :
Calculer les coefficients d’arête aα,p(z), au moins pour Reα < 1
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 6 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Le problème d’extraction
EDP elliptique linéaire, 2nd ordre, homogène
L =3
∑j=1
3
∑i=1
Lij ∂i ∂j , Lij N×N, réel, symétrique, constant
Problème de Dirichlet: u ∈ H10 (Ω)N tel que
∀v ∈ H10 (Ω)N : B(u,v) =
∫Ω
f ·v dx
Asymptotique naïve près de l’arête, pour f régulier :
u(x ,y ,z)∼ ∑α∈A,p∈Pα
aα,p(z)rαφα,p(θ)
“Edge stress intensity functions” (ESIF): aα,p(z)
Problème :
Calculer les coefficients d’arête aα,p(z), au moins pour Reα < 1
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Le problème d’extraction
EDP elliptique linéaire, 2nd ordre, homogène
L =3
∑j=1
3
∑i=1
Lij ∂i ∂j , Lij N×N, réel, symétrique, constant
Problème de Dirichlet: u ∈ H10 (Ω)N tel que
∀v ∈ H10 (Ω)N : B(u,v) =
∫Ω
f ·v dx
Asymptotique naïve près de l’arête, pour f régulier :
u(x ,y ,z)∼ ∑α∈A,p∈Pα
aα,p(z)rαφα,p(θ)
“Edge stress intensity functions” (ESIF): aα,p(z)
Problème :
Calculer les coefficients d’arête aα,p(z), au moins pour Reα < 1
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Le problème d’extraction : Stratégies
Asymptotique près de l’arête, pour f régulier :
u(x ,y ,z)∼ ∑α∈A,p∈Pα
aα,p(z)rαφα,p(θ)
Problème : Calculer les coefficients d’arête aα,p(z)
Trois stratégies possibles: Calculer les coefficients1 avant (ou au lieu de) la solution u2 en même temps que la solution u3 après la solution u
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
1. Extraction a priori
M. LencznerMéthode de calcul du coefficient de singularité pour la solution du problème de Laplace dans un
domaine diédral. M2AN 27, 395–420 (1993)
J. Rossmann - A. M. SändigFormulas for the coefficients in the asymptotics of solutions of boundary value problems for second
order systems near edges. DFG-Bericht 95–6, Univ. Stuttgart, Proc. ICIAM (1995)
Nazarov - Plamenevskii 1991 ...
Kulikov - Nazarov 2004
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 8 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
1. Extraction en un point; fonction singulière duale
Pour un point (0,0,z0) sur l’arête, la fonctionnelle linéaire d’extraction
cz0 : f = Lu 7→ 〈cz0 , f 〉 := aα,p(z0)
s’annule si la solution u est régulière en z0:
∀u ∈ HReα+1(Ω)∩H10 (Ω) : 〈cz0 ,Lu〉= 0
Ceci définit une distribution cz0 dans Ω: cz0 ∈ H12−Reα−ε (Ω)
solution de l’équation adjointe homogène L′cz0 = 0et des conditions de Dirichlet homogènes dans un sens “ultra-faible”:
cz0 est une “Fonction singulière duale” pour un point.
L’asymptotique de cz0 en (0,0,z0) est connue [Maz’ya-Plamenevskii] :En coordonnées sphériques (ρ0,ϑ0)
cz0 = Ψz0 −Xz0 where Ψz0 = ρ−1−α
0 ψ(ϑ0) 6∈ H12
Ψz0 satisfait le problème de Dirichlet homogène sur le dièdre infini tangent, etXz0 ∈ H1
0 (Ω) satisfait un problème aux limites “régulier”
L′Xz0 = L′Ψz0 dans Ω; Xz0 = Ψz0
∣∣∣∂Ω
sur ∂Ω
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 9 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
1. Extraction en un point; fonction singulière duale
Pour un point (0,0,z0) sur l’arête, la fonctionnelle linéaire d’extraction
cz0 : f = Lu 7→ 〈cz0 , f 〉 := aα,p(z0)
s’annule si la solution u est régulière en z0:
∀u ∈ HReα+1(Ω)∩H10 (Ω) : 〈cz0 ,Lu〉= 0
Ceci définit une distribution cz0 dans Ω: cz0 ∈ H12−Reα−ε (Ω)
solution de l’équation adjointe homogène L′cz0 = 0et des conditions de Dirichlet homogènes dans un sens “ultra-faible”:
cz0 est une “Fonction singulière duale” pour un point.
L’asymptotique de cz0 en (0,0,z0) est connue [Maz’ya-Plamenevskii] :En coordonnées sphériques (ρ0,ϑ0)
cz0 = Ψz0 −Xz0 where Ψz0 = ρ−1−α
0 ψ(ϑ0) 6∈ H12
Ψz0 satisfait le problème de Dirichlet homogène sur le dièdre infini tangent, etXz0 ∈ H1
0 (Ω) satisfait un problème aux limites “régulier”
L′Xz0 = L′Ψz0 dans Ω; Xz0 = Ψz0
∣∣∣∂Ω
sur ∂Ω
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
1. Extraction en un point; fonction singulière duale
Pour un point (0,0,z0) sur l’arête, la fonctionnelle linéaire d’extraction
cz0 : f = Lu 7→ 〈cz0 , f 〉 := aα,p(z0)
s’annule si la solution u est régulière en z0:
∀u ∈ HReα+1(Ω)∩H10 (Ω) : 〈cz0 ,Lu〉= 0
Ceci définit une distribution cz0 dans Ω: cz0 ∈ H12−Reα−ε (Ω)
solution de l’équation adjointe homogène L′cz0 = 0et des conditions de Dirichlet homogènes dans un sens “ultra-faible”:
cz0 est une “Fonction singulière duale” pour un point.
L’asymptotique de cz0 en (0,0,z0) est connue [Maz’ya-Plamenevskii] :En coordonnées sphériques (ρ0,ϑ0)
cz0 = Ψz0 −Xz0 where Ψz0 = ρ−1−α
0 ψ(ϑ0) 6∈ H12
Ψz0 satisfait le problème de Dirichlet homogène sur le dièdre infini tangent, etXz0 ∈ H1
0 (Ω) satisfait un problème aux limites “régulier”
L′Xz0 = L′Ψz0 dans Ω; Xz0 = Ψz0
∣∣∣∂Ω
sur ∂Ω
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
1. Extraction en un point; fonction singulière duale
Pour un point (0,0,z0) sur l’arête, la fonctionnelle linéaire d’extraction
cz0 : f = Lu 7→ 〈cz0 , f 〉 := aα,p(z0)
s’annule si la solution u est régulière en z0:
∀u ∈ HReα+1(Ω)∩H10 (Ω) : 〈cz0 ,Lu〉= 0
Ceci définit une distribution cz0 dans Ω: cz0 ∈ H12−Reα−ε (Ω)
solution de l’équation adjointe homogène L′cz0 = 0et des conditions de Dirichlet homogènes dans un sens “ultra-faible”:
cz0 est une “Fonction singulière duale” pour un point.
L’asymptotique de cz0 en (0,0,z0) est connue [Maz’ya-Plamenevskii] :En coordonnées sphériques (ρ0,ϑ0)
cz0 = Ψz0 −Xz0 where Ψz0 = ρ−1−α
0 ψ(ϑ0) 6∈ H12
Ψz0 satisfait le problème de Dirichlet homogène sur le dièdre infini tangent, etXz0 ∈ H1
0 (Ω) satisfait un problème aux limites “régulier”
L′Xz0 = L′Ψz0 dans Ω; Xz0 = Ψz0
∣∣∣∂Ω
sur ∂Ω
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
1. Extraction de moments par fonctions singulères duales
Plus stable que la valeur aα,p(z0) en un point, on peut calculer des momentsde aα,p (coefficients de Fourier, développement de Chebyshev ou Jacobi ...):∫
Eaα,p(z)b(z)dz =〈cb,Lu〉
On a alors cb = Ψb −Xb ∈ H1−Reα−ε , oùΨb admet une construction en variables cylindriques séparées, par ex.Ψb = K m[α,p ; b] avec une fonction singulière quasi-duale, voir ci-après.Xb ∈ H1
0 (Ω) satisfait un problème aux limites “régulier”
L′Xb = L′Ψb dans Ω; Xb = Ψb
∣∣∣∂Ω
sur ∂Ω
Par fonction test b, on doit résoudre : 1 problème aux limites 3D
3. Variante: Forme mixte avec une fonction de troncature χ:∫E
aα,p(z)b(z)dz =∫Ω
(Lu ·χK m[α,p; b]−u ·L(χK m[α,p; b])
)dx dy dz
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 10 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
1. Extraction de moments par fonctions singulères duales
Plus stable que la valeur aα,p(z0) en un point, on peut calculer des momentsde aα,p (coefficients de Fourier, développement de Chebyshev ou Jacobi ...):∫
Eaα,p(z)b(z)dz =〈cb,Lu〉
On a alors cb = Ψb −Xb ∈ H1−Reα−ε , oùΨb admet une construction en variables cylindriques séparées, par ex.Ψb = K m[α,p ; b] avec une fonction singulière quasi-duale, voir ci-après.Xb ∈ H1
0 (Ω) satisfait un problème aux limites “régulier”
L′Xb = L′Ψb dans Ω; Xb = Ψb
∣∣∣∂Ω
sur ∂Ω
Par fonction test b, on doit résoudre : 1 problème aux limites 3D
3. Variante: Forme mixte avec une fonction de troncature χ:∫E
aα,p(z)b(z)dz =∫Ω
(Lu ·χK m[α,p; b]−u ·L(χK m[α,p; b])
)dx dy dz
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
2. Extraction concomitante
M. Costabel, E. Stephan:An improved boundary element Galerkin method for three-dimensional crack problems.
Integral Equations Operator Theory 10, 467–504 (1987)
B. Heinrich:The Fourier-finite-element method for Poisson’s equation in axisymmetric domains with edges.
SIAM J. Numer. Anal. 33, 1885–1911 (1996)
J.M.S. Lubuma, S. Nicaise:Finite element method for elliptic problems with edge singularities.
J. Comput. Appl. Math. 106, 145–168 (1999)
P. Ciarlet, Jr., B. Jung, S. Kaddouri, S. Labrunie, J. Zou:The Fourier singular complement method for the Poisson problem. I. Prismatic domains.
Numer. Math. 101, 423–450 (2005)The Fourier singular complement method for the Poisson problem. II. Axisymmetric domains.
Numer. Math. 102, 583–610 (2006)
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 11 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
2. Eléments finis augmentés par des fonctions singulières
En analogie avec le développement asymptotique de la solution
u(x ,y ,z) = ureg + ∑α∈A,p∈Pα
aα,p(z)rαφα,p(θ)
on cherche des solutions éléments finis de la forme
uh(x ,y ,z) = ureg;h(x ,y ,z)+ ∑α∈A,p∈Pα
aα,p;h(z)rαφα,p;h(θ)
avec
ureg;h dans un espace d’éléments finis réguliers
aα,p;h dans un espace d’éléments finis 1D sur l’árête
φα,p;h solutions de problèmes Sturm-Liouville 1D dans la variableangulaire θ calculées indépendamment.
Analyse: Complète pour arête infinie ou périodiqueDomaine polyédral, implémentations : On cherche encore. . .
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 12 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
2. Eléments finis augmentés par des fonctions singulières
En analogie avec le développement asymptotique de la solution
u(x ,y ,z) = ureg + ∑α∈A,p∈Pα
aα,p(z)rαφα,p(θ)
on cherche des solutions éléments finis de la forme
uh(x ,y ,z) = ureg;h(x ,y ,z)+ ∑α∈A,p∈Pα
aα,p;h(z)rαφα,p;h(θ)
avec
ureg;h dans un espace d’éléments finis réguliers
aα,p;h dans un espace d’éléments finis 1D sur l’árête
φα,p;h solutions de problèmes Sturm-Liouville 1D dans la variableangulaire θ calculées indépendamment.
Analyse: Complète pour arête infinie ou périodiqueDomaine polyédral, implémentations : On cherche encore. . .
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
2. Eléments finis augmentés par des fonctions singulières
En analogie avec le développement asymptotique de la solution
u(x ,y ,z) = ureg + ∑α∈A,p∈Pα
aα,p(z)rαφα,p(θ)
on cherche des solutions éléments finis de la forme
uh(x ,y ,z) = ureg;h(x ,y ,z)+ ∑α∈A,p∈Pα
aα,p;h(z)rαφα,p;h(θ)
avec
ureg;h dans un espace d’éléments finis réguliers
aα,p;h dans un espace d’éléments finis 1D sur l’árête
φα,p;h solutions de problèmes Sturm-Liouville 1D dans la variableangulaire θ calculées indépendamment.
Analyse: Complète pour arête infinie ou périodiqueDomaine polyédral, implémentations : On cherche encore. . .
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
3. Extraction a posteriori
I. Babuška, A. Miller: The post-processing approach in the finite element method – Part II: thecalculation of the stress intensity factors.
Internat. J. Numer. Methods Engrg. 20, 1111–1129 (1984)
B. Andersson, U. Falk, I. Babuška:Reliable determination of edge and vertex stress intensity factors in three-dimensionalelastomechanics.
17th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences, Stockholm 1990.
ICAS-90-4.9.2, 1730–1746, AIAA Washington (1990)
I. Babuška, T. v. Petersdorff, B. Andersson:Numerical treatment of vertex singularities and intensity factors for mixed boundary value problems
for the Laplace equation in R3. SIAM J. Numer. Anal. 31, 1265–1288 (1994)
B. Andersson, U. Falk, I. Babuška, T. v. Petersdorff:Reliable stress and fracture mechanics analysis of complex components using a h-p version of
FEM. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 38, 2135-2163 (1995)
Z. Yosibash, R. Actis, B. Szabó:Extracting Edge Flux Intensity Functions for the Laplacian.
Internat. J. Numer. Methods Engrg. 53, 225-242 (2002)Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 13 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
3. Extraction par fonctions singulières quasi-duales: Rappel
Problème de Dirichlet: u ∈ H10 (Ω)N tel que
∀v ∈ H10 (Ω)N : B(u,v) =
∫Ω
f ·v dx
Forme bilinéaire elliptique B(u,v) apparaît dans les formules
Green 1∫
D Lu ·v dx = B(u,v)+∫
∂D Tu ·v dσ
Green 2∫
D(Lu ·v −u ·Lv)dx =∫
∂D(Tu ·v −u ·Tv)dσ
pour tout sous-domaine D ⊂ Ω, u,v ∈ H2(Ω)N .
T : operateur de trace Neumann, dérivée conormale,traction normale,...
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
3. Extraction par fonctions singulières quasi-duales: Le principe
L’intégrale JR :Intégrale de surface comme dans la formule de Green 2, pour ledomaine cylindrique à l’intérieur de la surface ΓR :
JR(u,v) =∫
ΓR
(Tu ·v −u ·Tv) dσ
b(z) : fonction test sur l’arête E
K m[α,p; b] : fonction singulière quasi-duale que l’on va construire
Théorème: Formule de “Quasi - Extraction”
JR(u,K m[α,p; b]
)=
∫Iaα,p(z) b(z)dz +O(Rα0+m)
A compléter par extrapolation en R → 0.
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 15 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Rappel: Singularités de coins du Laplacien en 2D
G = (x ,y) ∈ R2 | 0 < r < 1, 0 < θ < ωDirichlet: u ∈ H1
0 (G), ∆u = f , f ∈ C∞(G), f = 0 près du coin c = 0.
Développement asymptotique au coin [Lichtenstein 1912]: u ∼ ∑j≥1
aj rjπω sin jπ
ωθ
C’est une série de Fourier, donc: Extraction par produit scalaire L2
ak =∫
r=R
(∑aj r
jπω sin jπ
ωθ
)2ω
r−kπ
ω sin kπ
ωθ
1R dσ
par orthogonalité:∫
ω
0sin jπ
ωθ sin kπ
ωθ dθ = ω
2 δjk
Cette orthogonalité est une particularité du Laplacien !
On peut réécrire la même formule sous une forme qui se généralise:Fonction singulière: Φj = r
jπω sin jπ
ωθ
Fonction singulière duale: Ψk = −1k r
−kπ
ω sin −kπ
ωθ∫
r=R
(∂r u Ψk −u ∂r Ψk ) dσ = ak +O(RN) , R → 0 , ∀N
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Rappel: Singularités de coins du Laplacien en 2D
G = (x ,y) ∈ R2 | 0 < r < 1, 0 < θ < ωDirichlet: u ∈ H1
0 (G), ∆u = f , f ∈ C∞(G), f = 0 près du coin c = 0.
Développement asymptotique au coin [Lichtenstein 1912]: u ∼ ∑j≥1
aj rjπω sin jπ
ωθ
C’est une série de Fourier, donc: Extraction par produit scalaire L2
ak =∫
r=R
(∑aj r
jπω sin jπ
ωθ
)2ω
r−kπ
ω sin kπ
ωθ
1R dσ
par orthogonalité:∫
ω
0sin jπ
ωθ sin kπ
ωθ dθ = ω
2 δjk
Cette orthogonalité est une particularité du Laplacien !
On peut réécrire la même formule sous une forme qui se généralise:Fonction singulière: Φj = r
jπω sin jπ
ωθ
Fonction singulière duale: Ψk = −1k r
−kπ
ω sin −kπ
ωθ∫
r=R
(∂r u Ψk −u ∂r Ψk ) dσ = ak +O(RN) , R → 0 , ∀N
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Rappel: Singularités de coins du Laplacien en 2D
G = (x ,y) ∈ R2 | 0 < r < 1, 0 < θ < ωDirichlet: u ∈ H1
0 (G), ∆u = f , f ∈ C∞(G), f = 0 près du coin c = 0.
Développement asymptotique au coin [Lichtenstein 1912]: u ∼ ∑j≥1
aj rjπω sin jπ
ωθ
C’est une série de Fourier, donc: Extraction par produit scalaire L2
ak =∫
r=R
(∑aj r
jπω sin jπ
ωθ
)2ω
r−kπ
ω sin kπ
ωθ
1R dσ
par orthogonalité:∫
ω
0sin jπ
ωθ sin kπ
ωθ dθ = ω
2 δjk
Cette orthogonalité est une particularité du Laplacien !
On peut réécrire la même formule sous une forme qui se généralise:Fonction singulière: Φj = r
jπω sin jπ
ωθ
Fonction singulière duale: Ψk = −1k r
−kπ
ω sin −kπ
ωθ∫
r=R
(∂r u Ψk −u ∂r Ψk ) dσ = ak +O(RN) , R → 0 , ∀N
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 16 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Fonctions singulières et fonctions singulières duales en 2D
Operateur: M(∂x ,∂y ) =2
∑i=1
Mij∂i∂j , autoadjoint
Symbole Mellin M(θ ;α,∂θ ) : M(∂x ,∂y ) = r−2M(θ ; r∂r ,∂θ )
M(θ ;α,∂θ ) = N0(θ ,∂θ )+αN1(θ ,∂θ )+α2N2(θ)
Exposant de singularité α ∈ A :
∃0 6= φ ∈ H10 (0,ω) : M(θ ;α,∂θ )φ(θ) = 0
Fonctions singulières: φα,p : base de kerM(θ ;α,∂θ )
Fonctions singulières duales: ψα,p : base de kerM(θ ;−α,∂θ )
On peut choisir la base duale telle que (si multiplicité 1)
∫ω
0
∂M(θ ;α,∂θ )
∂αφα,p(θ)ψα,q(θ)dθ = δpq
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 17 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Extraction de coefficients de coins en 2D
Green 2:∫D(Mu ·v −u ·Mv)dx =
∫∂D(T0u ·v −u ·T0v)dσ
Lemme
∀ φ ,ψ ∈ H10 (0,ω)N ; α,β ∈ C; Φ = rα φ(θ); Ψ = r−β ψ(θ):∫
ω
0
(T0(R)Φ ·Ψ−Φ ·T0(R)Ψ
)dθ = Rα−β
∫ω
0(N1 +(α +β )N2) φ ·ψ dθ
Définition: S.F. Φα,p = rα φα,p(θ)
D.S.F. Ψα,p = r−α ψα,p(θ)
u ∈ H10 (G), Mu = f , f ∈ C∞(G), f = 0 près du coin c = 0.
Dével. asymptotique : [Kondrat’ev ’67] u = ∑α∈A,p∈Pα
aα,p Φα,p +O(rm) , r → 0
Formule de (quasi-)Extraction:∫r=R
(T0(R)u ·Ψα,p −u ·T0(R)Ψα,p
)dσ = aα,p +O(Rm−1−Reα )
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 18 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
3D: Singularités de base et “shadows”
L(∂x ,∂y ,∂z) =: M0(∂x ,∂y )+M1(∂x ,∂y )∂z +M2 ∂2z
1er essai: Fonction singulière en “produit tensoriel” a(z)Φα,p(r ,θ) :
L(a(z)Φα,p
)= a(z)M0Φα,p +∂za(z)M1Φα,p +∂
2z a(z)M2Φα,p
Ceci est = 0 ssi a(z)≡ const . ⇒L(Sn[α,p ; a]) = ∂
n+1z a (M1Φn +M2Φn−1)+∂
n+2z a M2Φn
= O(rReα+n−1)
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 19 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
3D: Singularités de base et “shadows”
L(∂x ,∂y ,∂z) =: M0(∂x ,∂y )+M1(∂x ,∂y )∂z +M2 ∂2z
1er essai: Fonction singulière en “produit tensoriel” a(z)Φα,p(r ,θ) :
L(a(z)Φα,p
)= a(z)M0Φα,p +∂za(z)M1Φα,p +∂
2z a(z)M2Φα,p
Ceci est = 0 ssi a(z)≡ const . ⇒L(Sn[α,p ; a]) = ∂
n+1z a (M1Φn +M2Φn−1)+∂
n+2z a M2Φn
= O(rReα+n−1)
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
3D: Singularités de base et “shadows”
L(∂x ,∂y ,∂z) =: M0(∂x ,∂y )+M1(∂x ,∂y )∂z +M2 ∂2z
1er essai: Fonction singulière en “produit tensoriel” a(z)Φα,p(r ,θ) :
L(a(z)Φα,p
)= a(z)M0Φα,p +∂za(z)M1Φα,p +∂
2z a(z)M2Φα,p
Ceci est = 0 ssi a(z)≡ const .
3D 6= 2D + paramètre
⇒ L(Sn[α,p ; a]) = ∂n+1z a (M1Φn +M2Φn−1)+∂
n+2z a M2Φn
= O(rReα+n−1)
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 19 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
3D: Singularités de base et “shadows”
L(∂x ,∂y ,∂z) =: M0(∂x ,∂y )+M1(∂x ,∂y )∂z +M2 ∂2z
1er essai: Fonction singulière en “produit tensoriel” a(z)Φα,p(r ,θ) :
L(a(z)Φα,p
)= a(z)M0Φα,p +∂za(z)M1Φα,p +∂
2z a(z)M2Φα,p
Ceci est = 0 ssi a(z)≡ const .Fonctions singulières: Définition par récurrence (problèmes 2D) M0Φ0 = 0; Φ0 = Φα,p
M0Φ1 +M1Φ0 = 0M0Φj +M1Φj−1 +M2Φj−2 = 0, j ≥ 2
Sn[α,p ; a] :=n
∑j=0
∂jza(z)Φj(x ,y)
⇒ L(Sn[α,p ; a]) = ∂n+1z a (M1Φn +M2Φn−1)+∂
n+2z a M2Φn
= O(rReα+n−1)
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
3D: Singularités de base et “shadows”
L(∂x ,∂y ,∂z) =: M0(∂x ,∂y )+M1(∂x ,∂y )∂z +M2 ∂2z
1er essai: Fonction singulière en “produit tensoriel” a(z)Φα,p(r ,θ) :
L(a(z)Φα,p
)= a(z)M0Φα,p +∂za(z)M1Φα,p +∂
2z a(z)M2Φα,p
Ceci est = 0 ssi a(z)≡ const .Fonctions singulières: Définition par récurrence (problèmes 2D) M0Φ0 = 0; Φ0 = Φα,p
M0Φ1 +M1Φ0 = 0M0Φj +M1Φj−1 +M2Φj−2 = 0, j ≥ 2
Sn[α,p ; a] :=n
∑j=0
∂jza(z)Φj(x ,y)
⇒ L(Sn[α,p ; a]) = ∂n+1z a (M1Φn +M2Φn−1)+∂
n+2z a M2Φn
= O(rReα+n−1)
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Construction des fonctions singulières et f. s. duales d’arête
A. 1D : Récurrence par problèmes de Sturm-Liouville dans (0,ω)
S.F.: M0(α)φ0 = 0; φ0 = φα,pM0(α +1)φ1 =−M1(α)φ0M0(α + j)φj =−M1(α + j−1)φj−1−M2φj−2, j ≥ 2
D.S.F.: M0(−α)ψ0 = 0; ψ0 = ψα,pM0(−α +1)ψ1 =−M1(−α)ψ0M0(−α + j)ψj =−M1(−α + j−1)ψj−1−M2ψj−2, j ≥ 2
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References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Construction des fonctions singulières et f. s. duales d’arête
A. 1D : Récurrence par problèmes de Sturm-Liouville dans (0,ω)
S.F.: M0(α)φ0 = 0; φ0 = φα,pM0(α +1)φ1 =−M1(α)φ0M0(α + j)φj =−M1(α + j−1)φj−1−M2φj−2, j ≥ 2
D.S.F.: M0(−α)ψ0 = 0; ψ0 = ψα,pM0(−α +1)ψ1 =−M1(−α)ψ0M0(−α + j)ψj =−M1(−α + j−1)ψj−1−M2ψj−2, j ≥ 2
B. 2D : Homogénéité
Φj = rα+jφj(θ)
Ψj = r−α+jψj(θ)
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 20 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Construction des fonctions singulières et f. s. duales d’arête
C. 3D : Insertion d’un coefficient d’arête
Fonction (quasi-)singulière d’ordre n:
Sn[α,p ; a] :=n
∑j=0
∂jza(z)Φj(x ,y)
L(Sn[α,p ; a]) = O(rReα+n−1)
Fonction singulière quasi-duale d’ordre n:
K n[α,p ; b] :=n
∑j=0
∂jzb(z)Ψj(x ,y)
L(K n[α,p ; b]) = O(r−Reα+n−1)
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 20 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Le théorème d’extraction dans Ω = G× I
Théorème d’extraction
Hypothèses: β ∈ A, Reβ > 0; n ≥ Reβ −ξ−+
1 −1; m ≥ n;b ∈ Cm(I), ∂
jzb = 0 on ∂ I (j ≤ n−1).
Alors:
JR(u,K m[β ,p; b]
)=
∫Iaβ ,p(z) b(z)dz +O(Rminn+ξ
−+1 ,m+η1−Reβ+1)
Hypothèses techniques:– ∀α ∈ A : α est pôle d’ordre 1 de M−1
0– ∀α ∈ A : α +1,α +2, · · ·∩A = /0– ∀ exposant de coin γ : γ est pôle d’ordre 1 du symbole Mellin de coin de L−1
– ∀α ∈ A, Reα ≥ 0 : ξ−+
1 −Reα 6∈ N– second membre régulier
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 21 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Asymptotique près d’une arête polyédrale
Arête E = 0× I; 2 coins polyédraux c−+; ρ−+: distance aux coins c−+;
r−+ := r/ρ−+; r−+ := (distance aux autres coins)/ρ−+
η1 = minReα | α ∈ Aξ−+
1 = minReγ | γ : exposant de singularité de coin en c−+Vξ (I) = a ∈ C∞(I) | (ρ−+)−ξ+m∂ m
z a ∈ L∞(I)
Vξ ,η = v ∈ C∞(Ω) | ∀m ∈ N3 : (ρ−+)−ξ−++|m| (r−+)−η+|m| (r−+)|m|∂ mv ∈ L∞
Régularité aux coins: u ∈ Vξ1,0(Ω)
Théorème [Dauge ’88, Maz’ya-Rossmann ’95]
∀η > 0 : ∀α ∈ A, 0 < Reα < η : ∃aα,p ∈ Vξ1−Reα (I) :
u = χc ∑α,p
Sn[α,p; aα,p] + ureg,η ; ureg,η ∈ Vξ1,η (Ω)
n = [η −Reα]+1χc : fonction troncature dans un voisinage “conique” de E :
près du coin c−+: χc = χ(r−+), χ ∈ C∞
0 (R), χ = 1 près de 0.
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 22 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Dualité sur le cylindre ΓR
Note: T (R) = R−1T0(θ ; r∂r ,∂θ )+T1(θ)∂zJR(u,v) = J0
R(u,v)+J1R(u,v)
Lemme
Soit α,β ∈ A; Reα,Reβ ≥ 0; 0≤ k ,n ≤m;b ∈ Cm(I), ∂
jzb = 0 sur ∂ I (0≤ j ≤ n−1).
a ∈ C∞(I), (ρ−+)−ξ+m∂ mz a ∈ L∞(I); ξ +n−k +1 > 0. Alors
∑j+`=k
J0R(∂
jzaΦj [α,q] ,∂ `
zbΨ`[β ,p])
+ ∑j+`=k−1
J1R(∂
jzaΦj [α,q] ,∂ `
zbΨ`[β ,p])= δk0 δαβ δpq
∫Ia(z) b(z)dz.
Proposition
Soit α,β ∈ A; Reα,Reβ ≥ 0; a,b ∈ Cn+2(I); ∂jzb = 0 sur ∂ I (0≤ j ≤ n−1).
Alors
JR
(Sn[α,p; a] ,K n[β ,q; b]
)= δα,β δp,q
∫Ia(z) b(z)dz +O(RReα−Reβ+n+1).
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 23 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Dualité sur le cylindre ΓR
Note: T (R) = R−1T0(θ ; r∂r ,∂θ )+T1(θ)∂zJR(u,v) = J0
R(u,v)+J1R(u,v)
Lemme
Soit α,β ∈ A; Reα,Reβ ≥ 0; 0≤ k ,n ≤m;b ∈ Cm(I), ∂
jzb = 0 sur ∂ I (0≤ j ≤ n−1).
a ∈ C∞(I), (ρ−+)−ξ+m∂ mz a ∈ L∞(I); ξ +n−k +1 > 0. Alors
∑j+`=k
J0R(∂
jzaΦj [α,q] ,∂ `
zbΨ`[β ,p])
+ ∑j+`=k−1
J1R(∂
jzaΦj [α,q] ,∂ `
zbΨ`[β ,p])= δk0 δαβ δpq
∫Ia(z) b(z)dz.
Proposition
Soit α,β ∈ A; Reα,Reβ ≥ 0; a,b ∈ Cn+2(I); ∂jzb = 0 sur ∂ I (0≤ j ≤ n−1).
Alors
JR
(Sn[α,p; a] ,K n[β ,q; b]
)= δα,β δp,q
∫Ia(z) b(z)dz +O(RReα−Reβ+n+1).
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 23 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Numerical examples: R-asymptotics of JR
20
31 2 ( )( ) ( )2 2 2
3 3 3 3 3 33 4 5 , 2 3 4 , 5 4 2ex ex exA x A x x A x x
!! !" # # " # # " # #
Using ( )
0 [ ]iK BJ!
Expected convergence rate:2( )R$
Expected convergence rate:
( )R$
Expected convergence rate:3( )R$
Using ( )
1 [ ]iK BJ!
Using ( )
2 [ ]iK BJ!
Legend: 1( )
0a!! 1( )
1a!! 1( )
2a!! 2( )
0a!! 2( )
1a!! 2( )
2a!! 3( )
0a!! 3( )
1a!! 3( )
2a!!
1 1 11 2 32 2 2
, ,! ! !" " "
Cracked Domain with Traction Free BC: computation[ ]J R
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 24 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Numerical examples: V-Notch
25
ESIF and its comparison to the 2-D SIF
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 25 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Numerical examples: Bimaterial interface crack
28
Crack at a Bi-Material Interface
X1
X2
X3
!"#$
%&'#( )&#*!
%&'( )&#*!
Eigen-pairs and shadows are
computed numerically on a 2
1-D FE mesh as p increases
1,2 30.5 0.075812 , 0.5i! !" # "
The first three eigen-values are:
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 26 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Numerical examples: Bimaterial interface crack
29
Eigen-functions & shadows computed numerically
1 1,2( )! "#!
2 1,2( )! "#!
0 1,2( )! "#!
1 1,2( )! "$!
2 1,2( )! "$!
0 1,2( )! "$!
0 3( )! "!
1 3( )! "!
2 3( )! "!
com
pu
ted
usi
ng
4 e
lem
ents
, p
=6
4 e
lem
ents
, p
=6
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 27 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Numerical examples: Bimaterial interface crack
30
ESIF for a crack at a bi-material interface
1,2( ) 2
3 32 3 4A x x!
"# $ $ 3( ) 2
3 35 4 2A x x!
# $ $1,2( ) 2
3 33 4 5A x x!
%# $ $
ESIF extracted
using
( )
2 4
7, 32,
[ ], 0.05i
P GP
K BJ R!
# #
#
Eigen-functions computed
using 4 elements model, .6P #
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 28 / 29
References Edge singularities The quasi-dual singular function method Numerical examples
Numerical examples: Bimaterial interface crack
31
ESIF extraction for a BI-MATERIAL CTS
1,2( )A
!
"
1,2( )A
!
#
3( )A
!
x1
x2
x3
25
5
0.4
0.8
0.8
Consider the classical CTS, compound of the two isotropic materials, under
bearing loads at the tearing holes, tension load of 100.
Martin Costabel (Rennes) Singularités d’arête Paris 6 29 / 29
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