CEA 2254 - BLIAUX .T., DURAND J. P., GIRAUD-CARKIER C

CEA 2254 - BLIAUX .T., DURAND J . P . , GIRAUD-CARKIER C , , MERARD R.

CONTRIBUTION A L'ETUDE DEC CIlAMr:; MAGNFTIQUEH DAM" UNE CONFIGURATION A SYMETRIE AXIALE (IW63)

S o m m a i r e . " Apres un rappel du t racé sur papier semi-conducteur "Télédel-tos , r des lignes d'induction magnétique (par analogie avec des l ignes équipo-tentlel les électr iques) , méthode rapide qui donne dey résu l ta t s qualitatifs, l e s auteurs présentent sous forme d'abaques les va leurs des composantes radiale et .tangentielle de l 'induction magnétique calculées par la loi de Biot et Savart, pour une configuration de conducteurs para l lè les clans une symé­t r ie axiale de révolution.

La configuration est définie par le nombre N de conducteurs \ 14: N -e 12 J et par le rayon R rhi cerc le He répart i t ion des conducteurs.

Le point courant M (r, G> j est l imité, pour des ra isons de symétr ie , dans un secteur défini par [ 0 ^ r ^ - 2. 5 R i et 0 ^ & ^ &

<- — — ' J m a x

CEA 2254 - BLIAUX'J. , DURAND J . P. , GIRAUD-CARRIER G . , MERARD R.

CONTRIBUTION TO THE STUDY OF MAGNETIC FIELDS IN A CONFIGURA­TION HAVING RADIAL SYMMETRY (1963)

Summary. - F i r s t , the method for tracing on "Teledel tos" paper magnetic induction lines (by analogy with e lec t r ica l equipotential lines) in order to obtain rapid and qualitative r e su l t s , is recal led. Then the authors present , computed from the law of Biot and Savart, the values of radia l and tangen­t ia l components of the magnetic induction.

These resu l t s a re presented under the form of abaci for a configura­tion of paral le l conductors in a rotational symmet ry . Each configuration i s defined by the number of conductors 1 4= N ^ 1 2 and by the the radius R of the c i rc le .

The domain of computation of the value of the magnetic induction at point M (r, &} i s l imited by symmet ry in a sec tor defined by O ^ r ^ 2, 5 R a n d 0 -Éi ©> <* &

max

COMMISSARIAT A L'ÉNERGIE ATOMIQUE

CONTRIBUTION A L'ETUDE

DES CHAMPS MAGNETIQUES

DANS UNE CONFIGURATION

A SYMETRIE AXIALE

par

J.BLIAUX, J. P. DURAND

G. GIRAUD-CARRIER, R. MERARD

RAPPORT C.E.A. n°2254

C E N T R E D ' E T U D E S NUCLÉAIRES DE SACLAY 1963

- Rapport C E . A . n° 2254 -

Département d'Electronique

Section Autonome d'Electronique Générale

CONTRIBUTION A L'ETUDE DES CHAMPS MAGNETIQUES

DANS UNE CONFIGURATION A SYMETRIE AXIALE

par

J . BLIAUX, J. P . DURAND, G. GIRAUD-CARRIER, R. MERARD

(Rapport D.E.SAEG n° 1636/1128 de novembre 1962)

- 1963 -

S O M M A I R E

I - Introduction.

II - Tracé sur papier "TELEDELTOS" des lignes d'induction magnétique par

analogie avec des lignes équipotentielles et application au calcul de l'in­

duction magnétique créée en un point par un système de conducteurs paral­

lèles dans une symétrie d'axe O .

III - Loi de BIOT et SAVART : expression des composantes radiale et tangen-

tielle de l'induction magnétique en point M, due à un conducteur C.

IV - Configurations particulières de N conducteurs 1 { N ^ 12.

V - Utilisation des formules au moyen des abaques.

VI - Conclusion.

CONTRIBUTION A L'ETUDE OES CHAMPS MAGNETIQUES

DANS UNE CONFIGURATION A SYMETRSE AXIALE

I - INTRODUCTION

Au cours d'un certain nombre d'études te l les que le confinement de plasmofdes en

haute fréquence et l'effet magnetron dans les diodes thermoélectroniques à vide, il est

apparu utile d'étudier systématiquement la répartition de l'induction iragr.étique dans

un référentiel cylindro-polaire ( les conducteurs magnétisants étant disposés suivant des

génératrices du cylindre).

Les résultats que l'on peut attendre d'une telle étude sont de deux sortes :

1° - Renseignements qualitatifs.

a) Sens des courbures.

b) Nombre de pôles de la configuration.

c) Présence d'un gradient.

2° - Renseignements quantitatifs.

a) Valeur de l'induction tangentielle B_.

b) Valeur de l'induction radiale B . r

c) Calcul du gradient.

Pour atteindre c e s buts, deux moyens ont été uti l isés :

1. Le papier "Télédeltos" qui permet, lorsque cela est possible de tracer

rapidement des équipotentielles qui représentent l e s lignes équiflux pour un modèle

donné.

2 . La loi de BIOT et SAVART ; mais la complexité des formules (lorsque le

nombre de conducteurs magnétisants devient important) a conduit à utiliser la machine

à calculer digitale IBM 7090 du Centre de Saclay.

Les résultats fournis par la machine IBM sont présentés sous forme de gra­

phiques qui donnent l e s valeurs des composantes B n et B de l'induction magnétique, 8 r

pour une configuration géométrique donnée à N conducteurs dans le cas d'une symétrie

de révolution.

Les différentes dispositions retenues sont ce l les qui présentent une utilité

pratique.

1) Compte tenu des conditions de continuité et des l imites .

REMERCIEMENTS.

Les auteurs tiennent a remercier t rès vivement Monsieur BASTIEN du Service

de Calcul du C E . N. de Saclay qui a étudié et programmé les calculs en vue du traitement

sur la machine IBM.

- 3 -

II - TRACE SUR PAPIER "TELEDELTOS" DES LIGNES D'INDUCTION

MAGNETIQUE PAR ANALOGIE AVEC DES LIGNES EQUIPOTENTIELLES

ET APPLICATION AU CALCUL DE L'INDUCTION MAGNETIQUE CREEE

EN UN POINT PAR UN SYSTEME DE CONDUCTEURS PARALLELES

DANS UNE SYMETRIE D'AXE O . z

Les deux équations fondamentales du potentiel en électromagnétisme sont :

ÎA v + p/g = o V potentiel scalaire, p densité de charge.

A A + (L j = o A potentiel vecteur, j vecteur densité de courant.

Elles lient les potentiels aux coordonnées spatiales, en fonction des variables

P et j ; en dehors des conducteurs ( p = o, j = o), ces deux équations se simpli­

fient et deviennent :

[Av = o [l=o Ë

Dans un système de révolution cylindrique autour d'un axe O , et si les con­

ducteurs considérés sont parallèles à cet axe, on peut écr i re dans un référentiel rec­

tangulaire xOy plan :

6 v A fi v

6 x 6 y

2 A 2 A

4 A - A z , _fi z_

0 x 6 y

puisque A a pour coordonnées (O, O, A ) z

Chaque point du plan xOy considéré, pourra donc être caractérisé par un

scalaire V ou A . z Au point de vue mathématique, les fonctions V (x,y) et A (x,y) sont identiques

on peut donc faire une analogie entre les tracés das équipotentielles V = Cte et A = Cte.

4 -

COURBES à V = Cte et A * Cte

En tenant compte des hypothèses précédentes à savoir que A est défini par les

composantes (O, O, A ), on a :

a) en électrostatique, la relation sui­

vante

2

- /

E. ds

puisque E = - grad V

b) en magnétostatique, compte tenu

de la relation de STOKES et en prenant

une profondeur unité suivant O

A 2 " A 1 I B. ds

puisque B = rot ( A )

1A circulation de À le long d'une courbe fermée est égale au flux du vecteur B

à travers une surface S s'appuyant surP.

Entre deux équipotentielles A. et A_, le flux de B reste constant et B contenu

dans le plan du tracé (parallèle à xOy) est perpendiculaire à la normale aux équipoten­

tielles.

CALCUL DE |"B*Ï :

L'application directe de cette analogie [V, - |AQdécoulant directement de l'équa­

tion de Laplace a permis dans un grand nombre de cas (en électrotechnique en particulier)

de faire des tracés de ligne d'induction sur un papier homogène résistant "TELEDELTOS".

En fait, cette analogie n'est utilisable pratiquement que dans la mesure où le

phénomène physique peut être étudié dans un système plan.

Etant données deux équipotentielles (V ou A), on se propose de calculer la valeur

de l'induction magnétique et sa direction par une méthode approchée ; soit NI la force

Liagnétomotrice produisant le flux A P entre ces deux courbes particulières V ou A, et

si l'on considère toujours une profondeur unité suivant o , le flux A • est donné par :

-y. As p.Aï est la reluctance du tube de force.

Si les deux courbes sont suffisamment

rapprochées pour que l'on puisse consi­

dérer B comme constant le long deA s,

on obtient alors :

(5. ntAs=A P

- 5 "

Dans l'espace représenté par le tube de force, on trace p carrés curvilignes tels

que leur longueur soit égale à l'écart A s , d'où :

donc A 0 = a JL!_

Au point M, le vecteur B aura donc pour module U.JU i r p

As. et sera perpendiculaire à A s, le sens de B étant donné par celui du courant

ERREURS ET PRECISION.

Les erreurs proviennent des points suivants :

1 ) a supposé constant et perpendiculaire à A s suivant A s.

2) Erreur possible dans le tracé des carrés curvilignes donc de p.

3) Hétérogénéité du papier utilisé.

4) Conditions aux limites sur le papier, différentes de la réalité.

Oi< voit que la précision sur l'évaluation de B sera d'autant meilleure que les

courbes V. et V„ seront plus rapprochées, puisque A x diminue et p augmente.

REMARQUE.

Dans une configuration de lignes de force données, il est possible de déterminer

la force magnétomotrice nécessaire à l'obtention d'une inductionl qu.' l'on s'impose en

un point.

APPLICATION PRATIQUE.

Soit le système de conducteurs parai -

lèles dont on a représenté (figure 1 )

une section dans le plan xOy et figurant

à un instant donné une structure tripha­

sée quadripolaire produisant un champ

tournant. D'après la symétrie, il suffi­

ra de tracer les équipotentielles sur un

quart du plan.

Le long de Ox, axe de symétrie :

B = B (x)

B = o y

o < x<«©

Le long de Oy, axe de symétrie :

B y = B (y) o<y<oo

- 6 -

Avec ces conditions aux limites théoriques, les lignes Ox et Oy sont donc deux

lignes d'induction particulières qui, dans l'analogie Tv, |A |J doivent correspondre à des

équipotentielles particulières.

Pour obtenir B , d'après la méthode ci-dessus présentée, il suffit de tracer sur

le papier les équipotentielles du système représenté figure 2.

La difficulté principale sera due au

fait que le papier "TELEDELTOS" ne

représentera que partiellement le plan

puisqu'il a des dimensions finies.

V««

REALISATION.

Pour tracer rapidement les équipotentielles, il suffira par exemple de relier la

sonde d'un voltmètre à lampes (impédance d'entrée élevée) à la mine graphitée du crayon

traceur et de suivre ainsi point par point l'équipotentielle désirée. Si l'on désire une pré­

cision supérieure, on pourra utiliser une méthode de zéro.

- 7 -

III - LOI DE BIOT ET SAVART : EXPRESSION DES COMPOSANTES

RADIALE ET TANGENTIELLE DE L'INDUCTION MAGNETIQUE EN

UN POINT M DUE A UN CONDUCTEUR C.

Le conducteur parallèle à l'axe Oz est

défini par ses coordonnées (R, 0 ), le

point courant M par (r, 0). On suppose 2) que le conducteur C est indéfini

Compte tenu de ces hypothèses, l'induc­

tion magnétique en M, ( B . J , est définit

par la loi de BIOT et SAVART :

(1) If - J L l M 2 JT

S CM

Clfc2

Le vecteur k (0 , 0. 1) étant le vecteur unité sur l'axe des z ; l e s coordonnées du

vecteur CM sont :

s . , - x = r cos 0 - R cosB M C

CM } y - y = r sin 8 - R sin 0

z - z = o M C

d'autre part CM= r + R - 2rR cos ( 8 - 0 ), donc :

M

(BJ HJ l'x 2%

(r sin 9 - R sing ) ï2

CM

(2) B^ - (B„) = - t^~ ' r COS 9 ' R CQS ? M'y 2 1

(BM>« = °

CM

On cherche maintenant l es valeurs de B . et B en fonction de r, R, 8, 0 et 3. o r

2) Le rapport B . JB obtenu en faisant le calcul

avec des conducteurs de longueur finie égale à

L + L et de longueur infinie est de :

B réel B o o

mfcr& \z^7 w c

(3) B = B cos 0 + B sin 6 r x y

B- = - B sin 9 + B cos 6 6 x y

c'est-à-dire, tous calculs faits :

H3 R sin ( g- 6)

(4)

(5)

B

B,

R2 + r 2 - 2 Rr cos ( 0 - 9)

9 2 JT

On pose h

- l 1 ^ r - R cos ( g - 9)

B H3 2 xR

B .-ti e 2 , R •

R + r 2 - 2 Rr cos ( g - 9)

sin (0 - e )

1 + h 2 - 2 h cos (0 - 6)

h - cos ( 0 - 9 )

1 + h 2 - 2 h cos ( 0 - 9)

EXPRESSION DES COMPOSANTES RADIALE ET TANGENTIELLE DE

L'INDUCTION MAGNETIQUE EN UN POINT M DUE A UN ENSEMBLE

DE N CONDUCTEURS.

Les formules (5) sont applicables à chaque conducteur. L'action résultante étant

la somme vectorielle de toutes les actions, l'expression générale sera :

i = N

(6)

B = r i = 1

E3L 2 » R.

sin ( 0. - 9)

i = 1 2 »R.

1 + h - 2 h. cos ( ft - 8) i i i

h. - cos ( 0. - 6) i i

1 + h 2 - 2 h. cos (P. - 6) i i i

Pour des raisons de commodité expérimentale et pour les avantages mathémati­

ques présentés, les N conducteurs seront répartis uniformément sur un cercle autour de

l'axe Oz ; i ls pourront véhiculer le même courant auquel cas on aura une configuration de

type N. 1 ; l e s conducteurs pourront véhiculer le même courant mais le sens changeant de

signe alternativement à chaque conducteur : ce sera alors une configuration de type N. 2.

Enfin, on pourra utiliser une alimentation triphasée avec 6 et 12 conducteurs, ce qui

donnera une configuration de type N. 6.

- 9 -

Configuration de type N. 1

Les équations (6) deviennent :

i = N

(7)

B r 2 » R

8 2 jr R

i = N

s i n ( - ^ i - e )

e) 1 + h 2 - 2 h cos ( ^ r i

N

h - c o s ( - ^ i - 0 )

ITT 1 + h 2 - 2 h cos ( i j j - i - 6)

Configuration de type N. 2.

Les équations (6) deviennent

H3

(8)

V î f R (- 1) i -1

. , 2 jr . s i n ( — i e)

i =

i = N

1 + h 2 - 2 h cos ( — i - 0 ) N

B, - -ti- 3 " (- i)1 " * 2 'R f=r ( h - cos { jç- i - 8 )

1 + h 2 - 2 h c o s ( ^ i - 9 ) N

Dans ce genre de configuration, N es t obligatoirement un nombre pair.

CONFIOURATION 0 6 TYPE N.1

CONFIGURATION OE TYPE N. 2

- 10 -

Configuration de type N. 6.

Elle est obtenue au moyen de courants déphasés permettant l 'obtention d'un

champ tournant. Le courant dans le conducteur 1 étant déphasé de 1 xjr_ par rapport 3

au conducteur de référence. Les équations sont de la forme :

O)

i = N

r " 2 r R

e 2 7T R

cos ( Q t + i | ) sin (-^jjj- i - e )

i i = N

1 + h2 - 2 h c o s ( ^ i N e)

2 T! cos [Q t + i - | ) [h - cos ( ^jr- i - 6 j]

7% i = 1 [l + h 2 - 2 h cos ( N " 1

Le nombre N est obligatoirement un multiple de 6.

CONFIGURATION DE TYPE 6-6

- 1 1 -

IV - CONFIGURATIONS PARTICULIERES DE N CONDUCTEURS 1 ^ N ^ 12.

IV. 1. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un conducteur C (voir figure 1 et

courbes 1.1).

Les formules (4) donnent :

« 3 R sin ( 0 - 6) B

R2 + r2 - 2 r R cos (0 - 8) r - R cos (0 - 0)

2 *

J L l 2 * R2 + r2 - 2 Rr cos ( 0 - 9)

En particulier si l'on appelle d la distance du conducteur au point courant M 3) et si l'on met l'origine en C, on retrouve la loi de BIOT et SAVART .

(10)

B = o r

\U 8 2 w d

- Calcul de l'équation des lignes d'induction dans le cas d'un conducteur centré à l'origine.

dr rd 9 B„

d'où l'on tire dr = o r = Cte ~9 "6

C'est une famille de cercles centrés à l'origine.

• Calcul de l'équation des lignes d'induction dans le cas d'un conducteur non centré à

l'origine.

B r _ R sin ( 0 - 8 ) dr r - R cos ( 0 - 8 ) ~ rd8

Posons h R

h s i n ( 0 - 8 ) d O = h d h - c o s ( 0 - 8 ) d h 2

d [h cos (9-0)1 = d ( - | - )

h cos ( 6 - 0 ) = — + K

C'est l'équation d'une famille de cercles centrés en (R, 0 ) de rayon P ; en effet,

on peut la rapprocher de :

3) Voir abaque générale.

- 12 -

R2 + r 2 - 2 R r cos (6 - 0 ) = P 2

1 + h 2 - 2 h cos (8 - 0 ) =G-r-RZ

avec R \ / 1 - 2 K

IV. 2. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M due à un ensemble de 2 conducteurs.

Les formules générales (6) donnent ici :

i = 2 sin ( 0. - 8 )

B

i fl + h? - 2 h. cos ( 0. - 0 fl L l 1 1 J

*3i h. - cos ( 0. - 6 )

2 JT R.

Cas I.

Cas II.

fl + h2 - 2 h. cos ( 0. - 0 j l L i i i J

b ^ S a R ^ R a 31¥=P2

On utilise l es formules précédentes

l l 0 l ^ , 3 a R J - R J - R V 0 2 = 2,r

(11)

B = -r

B,

|lsin fl f 3 1 2 * R L l + h 2 -

* R [ i +

-*<

2 b cos 6

^7 j (h - cos «)

h - 2 b cos 6

1 -f h + 2 h cos 8

, 7 2 (h + cos9) "I

1 + h + 2 h cos 9 J

Cas III. : V 3 2 '^ R 1= R 2 = R ' l " V , r

(12) B

1̂ *3 r 2 i R

B„ =

- 2 h sin 2 6 "|

(1+h2)2 - 4 h2 cos2 6 J

H 3 [* 2 h (h2 - cos 2 9) 1 2 ^ R I /, ^ i 2 » 2 j.1.2 2 n I

L (1 + h ) - 4 h cos 6 J e 2 z

C'est la configuration de type 2 . 1 .

Cas IV. : 0 , = - 3 2 = 3 Rj = R2 - R 0 j = V 2 r

- 13 -

(13)

.JH r 2 ir

B,

L f 2 ( l + h 2 ) s i n e 1 R [ ( 1 + h 2 ) 2 - 4 h 2 c o s 2 6 J

[ 2 cos 8 (1 - h2) "I

( 1 + h 2 ) 2 - 4 h 2 c o s 2 e J

e 2 »

C'est la configuration de type 2.2.

Calcul de l'équation des lignes d'induction dans le cas III formule (12).

B, B r

dr e

rd© qui devient, puisque h =

B„. dh = B . hde 8 r

2 h (h2 - cos 2 8) dh = - 2 h2 sin 2 8 d 8

2 (h2 - cos 2 8) dh = h d (cos 2 8)

c o s 2 e = Jl_ + _JL

- Calcul de l'équation des lignes d'induction dans le cas IV formule (13).

B B Û

r 8 dr rd9 qui devient, puisque h -=j—

2 cos 8 (1 - h2) dh = 2 (1 -•- h2) sin 8. h. d 8

(h2

h ( l

l + h 2

h

- l ) d h

+ h2)

= | K c o s i d (cos 8)

cos C

IV. 3. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 3 conducteurs.

Les formules (6) donnent :

3 = . r î =

«L3i sin ( 0 . - 0 )

* R i [ l + h2 - 2 h. ces ( 0. - 6)]

9 T H3i [hi -cos < Pj - e > 1

2 * R i fl + h2 - 2 h. cos ( 0. - 0 )]

- 14 -

ÇasJL : ' ' 3 1 ¥= ^ 2 ^ ^ 3 ^ * • R, * • R, ^ • *f- 1

Cas II.

On utilise l es formules précédentes

R. = R 1 v¥-«

(14)

B = r 2 JT R i?

V to |JHr- -•>

D 1 + h - 2 h cos ( ¥^J

B e = 2 * R

*t. f( h - cos (

3

2 * i - e >]

i = l [1 + h2 - 2 h cos ( -2-J-i - e )]

Cas III. : 3 • = 3 cos ( 0 t + 2 * i ) R. = R

1 K i 3

C'est le cas de l'alimentation des conducteurs pour un générateur triphasé.

i = 3

B

(15)

Cas IV.

cos(u t + —r— i ) sin ( - 5 - i - 9 )

r 2 JT R

B - - S i i B 6 2 r R l

Tl + h2 - 2 h cos (

cos ( U t + i-

2 JT i 3

2 n

- e >1

) [h - cos t - 2 ^ -e) ]

£ l + h 2 - 2 h cos f-2-* i - 6 f j

V* R. = R 1

. 2 i .

(16) B - J t ^ _

r 2 JT R T^~T

B„ = 11*5

e 2 JT R 1 =

s i n ( ^ i - 9 )

[l +h2 -Zhcosf-^-p- - 9)]

h - cos ( — — - 9 )

[ l + h 2 - 2 h c o s ( ^ - | ^ - - 0 ) ]

C'est le cas de la configuration de type 3. 1.

IV. 4. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 4 conducteurs.

Les formules (6) appliquées ici donnent :

r x

E3i 2 ir R

sin O. - 8 ) 1

i [ l + h 2 - 2 h cos ( 0 - 9 )}

- 15 -

B, M i hj - cos ( fii - 6 )

l i [ l + bj - 2 h cos ( 0 . - e j ]

Cas I.

Cas II.

^5, quelconque R. qqc

On utilise les formules précédentes.

V V i = < 3 Ri = R

0.. qqc.

» , - ^ «

(17)

n3 r 2 IT

3 I - 4 h 3 sin 4 9 1

* R |_ ( l - h 4 ) 2 + 4 h 4 (sin 2 e) 2 J

[ 4 h 3 ( h 4 - cos 4 6 ) "I

(1 - h 4 ) 2 + 4 h 4 ( s i n 2 e ) 2 J

9 2 r R

C'est le cas de la configuration 4 .1 .

Cas III. «M J i + 1 R. = R 1

2 r

(18)

s . J t 3 _ f 4h(l+h4

r 2 ' R [ ( l - h 4 ) 2+ 4 h 4

) sin 2 8

B , H 3 2

(sin 2 6 )

) cos 2 6

-1 3 !" 4 h ( 1 - h 4 ) cos 2 6 1

* R I , , . 4 .2 ^ . . 4 . . o n , 2 I [ (1 - h ) + 4 h ( s u 2 6 ) J

C'est le cas de la configuration 4 .2 .

IV. 5. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 5 conducteurs.

Les formules (6) donnent :

i |t «Tj sin ( p. - 9 )

B r - T ^ T

4 T

2 I R .

2 x R

t"ï 2 h. cos i (Pi-»)]

h. - cos ( p - 8 )

i [ l + h2 - 2 h£ cos ( 0. - 6 )]

Cas I. *T . quelconque RL qqc. ^ i qqc-

On utilise l e s formules précédentes.

Cas II. : • J i - 1 R . = R 2 *

- 16 -

(19)

r 2 r R T

2 Ï R f î

sin ( ^—- i - e )

[ l + h 2 - 2 h cos ( ïj- i - G j ]

h - cos ( 2 i i . e )

[ l + h 2 - 2 h c o s (^-~ i - 6 ) ]

C'est le cas de la configuration 5 . 1 .

Remarque.

Dans la pratique ce cas présente peu d'intérêt, étant donné qu'il est difficile

de le relier à un réseau alternatif triphasé ou diphasé. La seule application possible

reste une liaison continue ou monophasée.

IV. 6. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 6 conducteurs.

Les formules (6) donnent :

i = 6

B„ =

*3i 2 T R.

H i

sin ( fi. - 8 )

Tl + h2 - 2 h cos ( p - 6 )"J

h. - cos O . - 0 )

0 T = T 2 r R. [ l + h 2 - 2 h cos ( 3 . - e / ]

Cas I.

Cas II.

3 • quelconque R. qqc.

On utilise les formules précédentes .

0j qqc

2 x . 6 1

(20)

B - - i l r 2 ir R i = 1

B <-t3_ __ 8 2 * R F^

sin ( | i - 8 )

[ l + h 2 - 2 h c o s ( - y i - 8 ) ]

h - cos (-^ i - 9 )

[ l + h 2 - 2 h cos ( - y i - 0 j]

C'est le cas de la configuration de type 6 .1 .

Cas III. : 3 • = *3 ^ i m P a i r ) R. = R

i

2 M

- 17 -

1 i • - 3 <* P*1^

B

(21)

E3 r 2 » R T

i = 6

(- 1) i - 1 sin ( | i - 9 )

B^ = *î e 2 f R ( - 1 )

i- 1

[ l + h2 - 2 h cos ( y i - 8 )]

[h - cos ( y i - 6 )]

[ i + h 2 - 2 h cos ( j i - B)\

C'est le cas de la configuration de type 6.2.

Cas IV. : 0 . = 3 cos ( U t + i * /3 ) R. = R 'i-V-' i ' 6

M ^ cos ( « t + i — ) . s i n ( — i - 0 )

B _JL3_ > 3 3

r 2 » R î ^ T r. . . 2

(22)

B ,-ài 6 2 r R

[ i + h 2 - 2 h cos ( y i - 8 )]

1 cos (tt t + i y ) [h - cos ( y i - 9 )]

[ l + h2 - 2 h cos (y- i - 9 ) ]

C'est la configuration de type 6.6. Elle est dite bipolaire et symétrique.

Elle est représentée ici à t - o. Son alimentation peut être faite par un double réseau

triphasé et permet un champ tournant.

2 r . Cas V. 3 i * 3 c o s ( W t + 2 -J i) R. = R

i 0,

(22)

A i c o s ( t t t ^ - 2 y i ) . s i n ( y i - 8 )

r 2 M R i = 1 r ,_2 „ . « » . „ » ! | l + h - 2 h cos (-^: i - 0 ) J

cos ( t» t + - y £ i ) . [h - cos ( - j i - e ) ] *3

9 2 r R [ l + h2 - 2 h cos ( y i - 8 ) ]

C'est une configuration quadripolaire et dissymétrique, obtenue par un réseau

triphasé, et qui fournit un champ tournant.

Cas VI. : 3 . * 3 . * 3 »3 1 2 3

J 4 J 5 6

R. * R i

_ 2 y . 8 * i p i 6

- 1 8 -

(24)

B - t 3 _ r 2 i r R

r i = 3

y sin ( T i - 8 )

D i = 1 II + h - 2 h cos ( f i - 9 ) ]

i = 6 - ,

y sin ! -f i - 9 ) I

* = 4 [ i+h 2 - 2 b c o B ( | - i - e)]J

B„ = *3 e 2 ff R

i = 3 h - cos ( ~g~ i - 8 )

[ l + h2 - 2 h cos (-|- i - e j ]

h - cos ("ô" i - 6 )

^r-^- [ l + li - 2 h cos ( j 1 • - • i l l C'est une configuration bipolaire symétrique qui est obtenue par un réseau

continu ou monophasé.

IV. 7. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 7 conducteurs.

Ne présentant que peu d'intérêt, ce cas ne sera pas traité en détail. Les

formules (6) sont applicables.

IV. 8. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 8 conducteurs.

Cas I. : 3 • quelconque R. qqc 0. qqc.

Les formules (6) restent valables.

Cas II. : 3 • = 3 R. = R i

8 - ± L - 1 p i 8

(25) r 2 JT R

sin ( - j - i - 8 )

^ - j [ l + h 2 - 2 h cos {j- i - 9 j ]

= _ f c l 8 2 L2-V —

h - cos ( -J" i - 9 )

h2 - 2 h cos irj i - 8 ) ]

C'est le cas de la configuration 8. 1.

- 19 -

Cas III. 3 , . t - 3 i V 3 R. = R 1

2 r

(26)

B = ^ 3

r 2 n R (- 1) i - 1

sin ( -7- i - 9 )

[l +h2 - 2 h cos ( - j i - 0)]

B„ = ^3

i = 8

0 2 r R ( -1) i - 1

h - cos ( - j - i - 6 )

1 + h - 2 h cos tf.-.)] C'est le cas de la configuration 8. 2.

IV. 9. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 9 conducteurs.

Cas I. 3 - quelconque R. qqc. Pt qqc-

Voir formule (6).

C a s n . : 3 i + 3 = 3 i ^ = 3 cos ( *» t + * y - i ) R. = R i 9

(27)

i ° 9

B = r 2 ^-5 » R < —

cos ( Ut + - — • i ) sin ( - ^ i - 0 )

B 6 2

i = 1 [ l + h - 2 h cos ( —• i - 0 ) ]

i s 9

I J \ p * cos ( « t + - ^ i ) [h - cos i-^f- i - 0 )]

* R h î [ l + h 2 - 2 h c o s ( ^ - i - e ) ]

C'est le cas d'une alimentation triphasée. La configuration est à 6 pôles et

donne un champ magnétique tournant.

IV. 10. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 10 conducteurs-

Cas I. : *% . quelconque R. qqc. 0£ qqc-

Les formules (6) sont applicables.

fi - i - F i p i To l

C'est le cas d'une alimentation continue ou monophasée dont la configuration

- 20 -

est de type 10. 1.

(28)

i = 10

B n3

r 2 r R

sin(-£- i - e)

[l + h2 - 2 h cos ( | i - 9 )]

1 = 1 0

B * 3 e 2 » R

ÇasJIL: 0 1 + a - ^ j

[h - cos ( | i - 8)]

i = I [l + h2 - 2 h cos ( | i - o j

*... A R. = R l

(29)

i * 10

B JL3_ 2 ir R

( - 1 ) i + 1 s i n ( y i - e )

B JL3_ e 2 » R

T ^ i

i = l °

( - 1 ) i + 1

i = 1

[ l + h2 - 2 h cos (-j i - 9 ) ]

h - cos (-|- i - 8 )

[l + h2 - 2 h cos (j- i - 6 ) ]

Cette configuration à dix pôles est obtenue par un réseau continu ou monophasé.

La configuration est de type 10.2.

IV. 11. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 11 conducteurs.

On appliquera les formules (6).

IV. 12. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction

magnétique en un point M, due à un ensemble de 12 conducteurs.

Pour le cas général, on se reportera aux formules (6).

Cas I. 3 . - Î R. = R î Vfc'

(30)

i = 12

*1 B r = 2 » R

h - cos t~- i - 6 ) ©

B» = • 0

e 2 I R

i * 1 [ l + h2 - 2 h cos ( y i - 8 )J

j * 12 ^V h - cos (-jp i - 9 )

! • 1 [ l + h2 - 2 h cos ry- i - • )3

- 2 1 -

C'est le cas de la configuration de type 12.1. obtenue à partir d'une alimentation

continue ou monophasée.

Cas II. J i + 1 •> i R. = R i

P - - ^ i P i 12

Cette configuration de type 12. 2 est obtenue par un réseau continu ou monophasé.

(SI)

i = 12

( - 1 ) i - 1 sin (-£- i - 6 ) 6

B„ = | i 3

e 2 r R ( - 1 ) i - 1

i = 1

Cas III. 3 - = 3 c o s (U t +^ri ) R. = R X «5 i

[ l + h2 - 2 h cos (-|- i - 0 )]

[ h - cos (-|- i - 0 )]

[ l + h2 - 2 h cos ( j - i - e )]

'.- + '

(32)

i = 12

B r 2* R

2 T JT

cos ( U t + —— i ). sin (— i - 6 ) 3

Tl + h2 - 2 h cos (-f-i - 6 )1

*"f ^ ^ ^ ~ cos ( U t + - J Ï i ) [h - cos ( y - i - 0 )]

* R i - 1 f l + h2 - 2 h cos l-r- i - 8 )1

C'est une configuration à champ tournant à 8 pôles dissymétrique.

Cas IV. : 3 • s 1 cos (tt t + i -^ ) R. = R Vr1

(33)

i = 12

. • -&-r 2 r R

cos ( u t + i - | - ) . sin (-|- i - 9 )

[ l + h 2 - 2 h cos (-j i - 6 )]

B e 2

i = 12 .*3 ^ co. ( « t + i ^ ) [h - cos (~ i - e * R f^T" [i + h2 - 2 h cos <-|- i - e )]

C'est une configuration quadripolaire symétrique obtenue par un réseau triphasé,

et qui fournit un champ tournant : elle est de type 12. 6.

- 22 -

V. UTILISATION DES FORMULES AU MOYEN DES ABAQUES

Les différentes formules qui donnent la valeur de l'induction magnétique en

fonction des divers paramètres ( (l, R, 0, h) sont toujours exprimées par le produit

de deux facteurs :

B J f c l 1 , B ( l t r b )

L'un deux ( IL . b ) est le facteur de forme qui tient compte de la géométrie,

du nombre de conducteurs et de la forme du courant ; l'autre facteur (L -z*—- est O ù W K

un terme indépendant du point M, c'est-à-dire de 0 et de h.

Un abaque donne ' * w - en fonction de «* et de R.

Un deuxième abaque donne le facteur de forme b et de b . en fonction de 0

et de h pour une configuration de type donné. On pourra prendre (L = 1 pour la

perméabilité relative de l'air.

REMARQUES.

1 °) Dans le cas où les courants dans les conducteurs sont des fonctions du

temps, l'expression de b est prise â un instant donné (t * o) et la représentation

"figée" des lignes de B est dessinée sur la figure correspondante.

2°) Les abaques donnent la valeur de b ou de b- en fonction de h pour

différentes valeurs de 0. Les symétries de configuration imposent une étude entre

0° et un 0° maximum. Les courbes seront donc tracées de 0° à 9° max tous les

7-T— dans la limite du possible et de la compréhension graphique.

3°) Les limites radiales sont 0 et 2, 5 R (R étant la distance des conducteurs

au centre de la configuration) ; dans certains cas, ces limites ont été ramenées à

0, 5 ou 2,25, les parties de courbes complémentaires ne présentant plus d'intérêt

pratique.

4°) Pour des raisons d'encombrement et compte tenu des domaines d'applica­

tion que nous avons envisagés, le nombre maximum de conducteurs a été limité à 12.

Cependant, il existe des cas où la valeur du rapport du rayon des conducteurs au

rayon R est beaucoup plus petite, ce qui permet d'augmenter N : dans ces cas, il

faut continuer les calculs pour des valeurs supérieures à 12.

- 2 3 -

VI. CONCLUSION

En vue de confiner un plasmotde d'hydrogène en haute fréquence (F = 1 MHz

environ) de nombreuses configurations magnétiques ont été étudiées, conjointement

par tracé sur papier "TELEDELTOS" et par le calcul. Les configurations examinées

furent quadripolaires puis bipolaires, le nombre de conducteurs de 12 et de 6 et les

réseaux d'alimentation triphasé et hexaphasé.

Le tracé sur papier "TELEDELTOS" a permis d'obtenir très rapidement des

résultats qualitatifs, puis quantitatifs (surtout si l'on utilise un voltmètre à lampes

pour le tracé des équipotentielles) ainsi que l'allure des lignes de force et le sens

de leur courbure : la détermination de B ainsi faite est suffisante en général pour

une première approximation. Pour obtenir une meilleure précision, il faudrait utiliser :

a) Une méthode de zéro, pour la détermination des équipotentielles ;

b) Un papier résistant très homogène ;

c) En général, agrandir le modèle ou une partie de la région à étudier.

Le calcul, par contre, donne une évaluation meilleure ainsi que les compo­

santes B. et B pour chaque point du plan ; il est plus précis surtout dans les régions

présentant une forte variation du vecteur induction.

En conclusion, et compte tenu de l'approximation imposée par l'emploi du

papier "TELEDELTOS", les deux méthodes ont donné un résultat sur la connaissance —»

de B sensiblement identique sous deux formes complémentaires.

Mtmtucril reçu le 1er février 1963.

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