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Phénomènes d’échanges I: GCH200
Supplément au livre de Bird, Stewart, Lightfoot: Transport PhenomenaTransport Phenomena qui est utilisé comme texte de référence.
Pierre Proulx, ing. Ph.D.,professeur
Phénomènes d’échanges I: GCH200
Ces transparents doivent être utilisés comme suppléments au livre de Bird, ils seront utiles dans la mesure ou ils complètent la lecture des sections du livre qui sont indiquées. Ils viennent parfois ajouter des précisions dans les développements faits dans le livre ou aident à comprendre les développements mathématiques effectués.
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
Département de génie chimiqueUniversité de Sherbrooke
Section 2: les bilans différentiels
Chapitre 2: bilans de momentum– Lecture essentielle pages 40 à 58
Chapitre 10: bilans thermiques– Lecture essentielle pages 290 à 310
Chapitre 18: bilans d’espèces chimiques– Lecture essentielle pages 543 à 566
Résumé de la méthodologie des bilans
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
Département de génie chimiqueUniversité de Sherbrooke
Chapitre 18
Bilans différentiels appliqués au transfert de matière, en particulier au cas des réactions chimiques
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
Département de génie chimiqueUniversité de Sherbrooke
Le bilan différentielLe bilan différentielUn outil fondamental pour trouver
les profils de concentrations dans un réacteur chimique
Les bilans différentiels que l ’on posera ici constituent la base du cours GCH320: Calculs des réacteurs, qui est au programme en S-6
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
Département de génie chimiqueUniversité de Sherbrooke
Approche des bilans différentielsApproche des bilans différentiels
{taux de matière entrant} - {taux de matière sortant}
+ {somme des taux de réaction générant de la matière dans le volume de contrôle}
= 0
En état de régime
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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ρi
v
ρi
v
Le taux de l ’espèce i entrant dans le volumeest donné par le produit de la densité partielle de l ’espèce i multipliée par la vitesse et par la surface de la section perpendiculairesection perpendiculaire à la vitesse, ce qui donne le débit massique de l ’espèce i
Le taux de l ’espèce i entrant dans le volume peut aussi être donne par le produit de la densité par la vitesse, multipliée par la fraction massique de l ’espèce
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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ρv
ρv
vAidemassedetaux iρ=
s
kgm
s
m
m
kg =23
Avidemassedetaux iωρ=
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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Section 18.2- Diffusion dans un film stagnant
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆
1zz =
2zz =Un fluide au repos (espèce A) dans un long tube s ’evapore doucement dans un milieu stagnant (espèce B). La concentration de l ’espece A est maintenue basse en z=z2 car un écoulement de B est imposé au haut de la colonne
B
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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Section 18.2- Diffusion dans un film stagnant
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆
1zz =
2zz =
Commençons notre bilan:
N Az∣z−N Az∣zΔz=0
Puisqu ’il n ’y a pas de réaction chimique, que de ladiffusion. En divisant cette équation par le volume de l ’élément différentiel on obtient facilement:
dN Az
dz=0
Utilisons maintenant la loi de Fick pour obtenir le profil de concentration:
Ce qui veut dire que le flux de A est
constant puisqu’il n’y a pas de pertes ni de réaction chimique
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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Mais la loi de Fick prend plusieurs formes selon les variables dépendantes étudiées
nA ∇ ωA nA−ω A nAnB =−ρ DAB∇ ωA
N A ∇ xA N A−xA N AN B =−c DAB∇ x A
jA ∇ ωA jA=−ρ DAB∇ ωA
J A¤ ∇ xA J A
¤ =−c DAB∇ x A
jA ∇ xA jA=−c2
ρ M A M B DAB∇ xA
J A¤ ∇ ωA J A
¤ =−ρ2
cM A M B DAB∇ ωA
c v A−v B ∇ xA c vA−vB =−cDAB
xA xB
∇ xA .
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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La loi de Fick choisie est celle utilisant NA et xA
ABAAAAA xcNNxNxN ∇−=+−∇ AB)( D
AA
A
AAAA
AAAA
xx
cN
xcNxN
xcNxN
∇−
−=
∇−=−∇−=+−
1
)0(
AB
AB
AB
D
D
D
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆
1zz =
2zz =
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
Département de génie chimiqueUniversité de Sherbrooke
Section 18.2- Diffusion dans un film stagnant
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆
1zz =
2zz =
Complétons notre bilan:
0=−dz
dN Az
Utilisons maintenant la loi de Fick pour obtenir le profil de concentration: dz
dx
x
cN A
AAz −
−=1
ABD
−ddz −c DAB
1−xA
dx A
dz =0 doncddz 1
1−xA
dxA
dz =0
Effectuons une première intégration: ( ) dzCx
dx
A
A11
=−
Complétons l ’intégration: ( ) 211ln CzCxA +=−−Puisque cDAB est constant
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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Section 18.2- Diffusion dans un film stagnant
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆
1zz =
2zz =
( ) 21ln CzCxB +=−
Donc, si on trace le logarithme de la concentration de Ben fonction de z on trouvera une droite
Apres quelques manipulations, si on peut déterminer la concentration enz1 et en z2, on trouvera le profil de concentration:
xB
xB1= xB2
xB 1
z−z
1
z2−z1
xB=1-xA
22
11
zzenxx
zzenxx
AA
AA
====
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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section 18-2
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
distance a partir de la surface
fra
cti
on
mo
lair
e
Xb
Xa
Voici l’allure des profils de concentration:
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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Bird utilise le profil de concentration pour déterminer une valeuressentielle en genie chimique: le coefficient d ’échange (analogueau coefficient h en transfert de chaleur:
N Az∣z= z1=[ c DAB ln xB2
xB1
z2−z1 x B2−xB
1 ] x A1−x A
2
La valeur entre les crochets est le coefficient d ’échange
km=[ c DAB ln xB2
xB1
z2−z1 xB2−x B
1 ] Ses unités sont: moles-m-2sec-1
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Exercice 18B8, pp.573 Bird-Stewart-Lightfoot:
Tube de pyrex
Gaz naturel+ helium
R1
R2
Le tube de pyrex est poreuxpour l ’hélium mais paspour le gaz naturel. On utilise donc le tube de pyrexcomme un « tamis »qui laissera passerl ’hélium enretenant le gaznaturel. Le butde l ’exerciceest donc de déterminer letaux auquel l ’héliumest séparé
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Exercice 18B8:
Tube de pyrex
Gaz naturel+ helium
R1R2
On trouve facilement:( )
0=dr
rNd He
En posant le bilan sur l ’hélium entre r=R1 et r=R2:
0||
0|2|2
=∆
−
=−
∆+
∆+
r
rNrN
rNrN
rrHerHe
rrHerHe
rr
rrππ
On doit maintenant poser la loi de Fick afind ’exprimer NHe en fonction de la concentration.On trouve, si on sait que le pyrex ne bouge pas(!) et que les concentrations d ’hélium sont faibles
dr
dCDN He
pyrexHeHe −−=
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Exercice 18B8:
Tube de pyrex
Gaz naturel+ helium
R1R2
( )0=
dr
rNd He
En combinant les deux équations:
dr
dCDN He
pyrexHeHe −−=
d rDHe−pyrex
dCHe
dr dr
=0intégrons
1Cdr
dCr He =
encore
21 ln CrCCHe +=
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Exercice 18B8:
Tube de pyrex
Gaz naturel+ helium
R1R2
En insérant les conditions aux limites:
C1=CHe2−CHe1
ln R2
R1
22
11
RrenCC
RrenCC
HeHe
HeHe
====
On trouve la valeur de C1:
Et de C2: C2=CHe2
CHe2−CHe1 1ln R2
R1
21 ln CrCCHe +=
On peut maintenant retrouver a partir de cesconstantes le taux auquel l ’hélium diffuse:
dr
dCDN He
pyrexHeHe −−=
avec
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Exercice 18B8:
Tube de pyrex
Gaz naturel+ helium
R1R2
En insérant :21 ln CrCCHe +=NHe=−DHe− pyrex
dCHe
dr
NHe=−DHe− pyrex
C1
r
NHe=−DHe− pyrex
CHe 2−CHe 1
r ln R2
R1
C1=CHe2−CHe1
ln R2
R1
Ceci est le flux d ’hélium, pour trouver le taux on multiplie par la surface:
W He=−DHe−pyrex
CHe 2−CHe 1
r ln R2
R1×2π rL
W He=2π LDHe− pyrex
CHe 1−CHe 2
ln R2
R1
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Exercice 18B9:δ
CAδ
CA0
A) On trouvera facilement, comme dans la section 17.2:
0=dz
dN A
Et puisque la concentration de A est très faible dans le liquide, la loi de Fick devient simplement:
dz
dCDN A
ABAz−=
02
2
=dz
Cdalors A
z
B) En intégrant l ’équation ci-haut:
211 CzCCetCdz
dCA
A +==
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Exercice 18B9: δCAδ
CA0
C) A partir des conditions aux limites on trouvera C1 et C2
z
δδ AA
AA
A
CCzet
CCz
CzCC
====
+=
,
,0 0
21
δδ 0
1
02
AA
A
CCC
CC
−=
=
δδ 0
1
AAAB
AB
AABA
CCD
CDdz
dCDN
z
−−=
−=
−=
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Section 18.3: La catalyse
Catalyseur
A
z
A
A2
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Section 18-3: un gaz A est transformé en gaz A2, par réaction de polymérisation, sur une surface catalytique.
Loi de Fick, une des formes:dz
dxcNNxN A
zBzAAzA AB)( D−=+−
Par définition, A est transformé en A2 par la surface catalytique, alors le flux de B (A2) est égal et de sens
opposé à celui de A: NB= -1/2NA2 donc:
dz
dx
x
cN
dz
dxc
NNxN
A
A
A
AzAzAAzA
z
21
1
)2
(
AB
AB
−
−=
−=−−
D
D
Catalyseur
A
A
A2
A l ’exception de la réaction sur la surface, et au fait que l ’espèce B (A2) a un flux non-nul, la diffusion dans le gaz près de la surface donne lieu aux mêmes équations que la section 18.2.
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
distance a partir de la surface
fra
cti
on
mo
lair
e
Xb
Xa
z
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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Section 18.3- Diffusion dans le film d ’un catalyseur
0=−dz
dN Az
Utilisons maintenant la loi de Fick pour obtenir le profil de concentration: dz
dx
x
cN A
A
Az
21
1
AB
−
−= D
−ddz
−c DAB
1−12
x A
dx A
dz =0 doncddz 1
1−12x A
dx A
dz =0
Par intégration: −2 ln 1−12xA =C1 zC2
En effectuant le même bilanqu ’en 18.2:
Catalyseur
A
z
A
A2
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Section 18.3- Diffusion dans le film d ’un catalyseur
Pour trouver les constantes, on doit poser les deux conditions:
−2 ln 1−12xA =C1 zC2C
atalyseur
A
A
A2
δ
On suppose un film d ’épaisseur δqui contrôlera le transfert
δ====
zenx
zenxx
A
AA
0
00
z
Ces deux conditions limites signifient respectivement :•A l ’extérieur du film on retrouve la concentration « bulk » du réacteur. •A la surface du catalyseur la concentration de A tombe a zéro, ce qui indique un catalyseur très efficace
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Section 18.3- Diffusion dans le film d ’un catalyseur
On trouve, après un peu d ’algèbre 1−1
2xA =1−1
2x A
01−z
δCatalyseur
A
A
A2
δ
z
N Az=[ 2c DAA2
δ ] ln 1
1−12x A
0
Et en dérivant cette expression on trouve le flux de A dans le film
Cette situation que l ’on a décrit ici est assez caractéristique des réacteurs catalytiques, ou la réaction est contrôlée par la diffusion. Car notez que même avec une réaction instantanée a la surface, la réaction n ’est pas instantanée car le taux de réaction dépend de la vitesse a laquelle le réactif peut se rendre a la surface
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Illustration de la diffusion: un gaz A est transformé en gaz B, par isomérisation, sur une surface catalytique.
Catalyseur
Loi de Fick, une des formes:dy
dxcNNxN A
BAAA AB)( D−=+−
Par définition, A est transformé en B par la surface catalytique, alors le flux de B est égal et de sens
opposé à celui de A: NA= -NB donc:A
B dy
dxcN
dy
dxcNNxN
AA
AAAAA
AB
AB)(
D
D
−=
−=−−
y
Le deuxième terme de droite dans laloi de Fick est donc nul, car les fluxdes deux espèces s’annulent. Ce casest appelé:
contrediffusion équimolaire
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Exercice Diffusion en présence de polymérisation catalytique
Catalyseur
A
A
An
z
A
A A
A
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polymérisation
A) N A z=−cD AA
n
dxA
dzx A N A
zN A
nz
mais N Anz
=−1n
N Azalors
N Az=−cD AA
n
dxA
dzx A N A
z−
1n
N Az ou encore
N A z [1−1−1n x A ]=−cD AA
n
dx A
dzsoit
N A z=−cD AA
n
[1−1−1n x A ]
dxA
dz
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polymérisation
B) Intégrer entre 0 et δ
∫0
δ
N A zdz=∫
xAo
0 −cD AAn
[1−1−1n x A ]
dx A
N Azδ=
1
1−1n
cDAAnln [
1
1−1−1n xA
0 ]N A
z=−ncD AA
n
n−1 δln [1−1−1
n x A0]
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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène
On regarde un gaz (A) qui diffuse dans un liquide (B), dans la phase liquide les deux espèces réagissent pour donner un produit (AB). La réaction est irréversiblez∆
0=z
Lz =
Gaz A
Liquide B
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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène. Ce problème prépare à l’analyse de réacteurs chimiques
A la différence des deux autres cas étudies précédemment dans ce chapitre, ici on trouve une génération dans l ’élément de volume, du a la réaction chimique
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆
0|| '''1 =∆−− ∆+ zSCkSNSN AzzAzzAz
)(moles/mCk 3A
'''1
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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène
On obtient en faisant tendre ∆z vers 0:
0'''1 =+ A
Az Ckdz
dN
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆)(moles/mCk 3
A'''
1
Introduisons la loi de Fick:dz
dxcNNxN A
BzAAA zz AB)( D−=+−
Notons que dans le cas présent les concentrations de A et de AB dans le liquide sont faibles: dz
dcNou
dz
dxcN A
zAA
zA ABAB DD −=−=
Cette équation est similaire à
« l’équation de design » pour un
réacteur tubulaire en continu
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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène
On obtient en insérant la loi de Fick:
0D '''12
2
=+− AA
AB Ckdz
cd
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆)(moles/mCk 3
A'''
1
Que l ’on doit solutionner avec les deux conditions aux limites suivantes
00
00
===
==
dz
dCaequivalentLzenN
zenCC
AA
AA
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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène
0D '''12
2
=+− AA
AB Ckdz
cdzAN |
ZzAN ∆+|
z∆)(moles/mCk 3
A'''
1
Comparons avec un problème, mathématiquement analogue, fait au chapitre 9
θθkB
h
dz
d =2
2
00
00
===
==
dz
dCaequivalentLzenN
zenCC
AA
AA
00
0
===
==
dz
daequivalentLzenq
zenw
θθθ
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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆)(moles/mCk 3
A'''
1
AAB
A CD
k
dz
Cd '''1
2
2
=
On peut donc utiliser directement la solution obtenue au chapitre 9:
mzmzA eCeCC −+= 21
Avec :
ABD
km
'''1=
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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆)(moles/mCk 3
A'''
1
En insérant les conditions aux limites, on obtiendra, comme auchapitre 9:
C A
C A0
=[ e−mL
emLe−mL ]emz
[ emL
emLe−mL ] e−mz
mzmzA eCeCC −+= 21
En regroupant les termes un peu on obtiendra:
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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène
zAN |
ZzAN ∆+|
z∆)(moles/mCk 3
A'''
1
C A
C A0
=[e−m L−z
em L−z
emLe−mL ]
C A
C A0
=cosh m L−z cosh mL
En regroupant les termes un peu on obtiendra:
Cette expression est identique à l ’équation 18.4-10 de Bird
Il est essentiel de voir l’analogie mathématique entre ce problème et celui des ailettes du chapitre 9. Si vous comprenez bien cette analogie le traitement devient très simplifié car vous n’avez pas à
recommencer l’analyse. De plus, il est souvent plus facile de se représenter les problèmes thermiques que les problèmes de transfert de masse.
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Chapitres 2-10-18
Bilans différentiels, résumé des techniques vues dans ces trois chapitres
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Département de génie chimiqueUniversité de Sherbrooke
Le bilan différentielLe bilan différentielUn outil fondamental pour trouver
les profils de:– vitesses– températures– concentrations
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Département de génie chimiqueUniversité de Sherbrooke
Approche des bilans différentielsApproche des bilans différentiels
{taux de φ entrant} - {taux de φ sortant}
+ {somme des taux générant φ dans le volume de contrôle}
= 0
En état de régime
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Étapes a franchir pour établir le bilan différentiel, le solutionner et l ’exploiter
1 Identificationmécanismes d ’échanges, de générationgéométrie du système
2 Choix de l’élément de volumeperpendiculaire à la direction du flux
3 Bilan sur cet élément de volumedonnera l ’équation différentielle quand ∆x tends vers 0
4 Solution mathématiquepar exemple, intégrer une première fois, insérer les loi de
Newton, Fourier ou Fick, intégrer une deuxième fois, appliquer les conditions aux limites
5 Interprétation de la solution générale obtenue• par exemple, vérifier si la solution obtenue satisfait à certains
critères physico-chimiques facilement vérifiables
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Application de cette démarche dans un problème-type, cas #1
Ailette aiguille dont on veut évaluer le profil de température et l ’efficacité
TW
TA
1 Identificationmécanismes d ’échanges, de génération
géométrie du système
Mécanismes: conduction par l’ailette,échange convectif avec l ’air ambiantpas de génération
Géométrie: cartésienne car dans la direction de la propagation de la chaleur l’ailette ne varie pas de section.
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TW
TA
2 Élément de volume
L ’élément de volume aura une longueur ∆x, x variant de x=0 à la base de l ’ailette jusqu ’à x=L au bout de celle-ci. Notre élément de volume sera une rondelle d ’épaisseur ∆x, de rayon R, de volume V=πR2 ∆x. La section dans laquelle la chaleurse propage sera πR2, et la surface d ’échange latérale sera 2πR ∆x
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TW
TA
3 Bilan sur cet élément de volume
0)(2
lim
0))(2()()(
0
22
=−−−
÷
=−∆−−
→∆
∆+
Ax
x
Axxx
TTR
h
dx
dq
etvolume
TTxRhRqRq πππ
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TW
TA
4 Solution mathématique
1ère étape: préliminaires
kR
havec
dx
d
finalisonsetkpardivisonsR
h
dx
dk
TTécrivonsTTR
h
dx
Tdk
suitedetoutFourierinséronsTTR
h
dx
dq
AA
Ax
20
02
0)(2
:0)(2
222
2
2
2
2
2
==−
=−
−==−−
=−−−
βθβθ
θθ
θ
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
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TW
TA
4 Solution mathématique
2ème étape: la solution générale
0L,xenet0,xen
:sontlimitesauxconditionsleset
:solutionpoura0 212
2
2
====
+==− −
dx
d
eCeCdx
d
w
xx
θθθ
θθβθ ββ
Un peu d ’intuition ? Quelle est la fonction qui dérivée deux fois donne la même fonction multipliée par une constante?
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TW
TA
4 Solution mathématique
3ème étape: trouver les constantes
x=0, θ=θw θw=C1C2
x=L,dθdx
=0 0=C1 βeβx−C2 βe
−βx
donc : C1=θwe−βL
e βL−e−βLet C2=θw 1−e−βL
e βL−e−βL finalement : θ=θw
cosh {β L−x }cosh {βL }
Pierre Proulx, ing. professeurPhénomènes d’échanges 1: GCH200
Département de génie chimiqueUniversité de Sherbrooke
TW
TA
5 Interpréter la solution
( ){ }{ }L
xLw β
βθθcosh
cosh −=
Si x=0, on a bien θ=θw
Pour une très longue ailette, le bout de l ’ailette tends bien vers θ =0 (vérifiez)
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Application de cette démarche dans un problème-type, cas #2
Évaporation d ’une gouttelette d ’eau dans l ’air ambiant
1 Identificationmécanismes d ’échanges, de génération
géométrie du système
Mécanismes: Diffusion de A (vapeur d ’eau) dans B(air), Géométrie: Sphérique
Hypothèse: la concentration de l ’eau sera toujours très faible
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2 Élément de volume
L ’élément de volume aura une longueur ∆r, r variant de r=R à la surface de la goutte, à r=infini. Notre élément de volume sera une coquille d ’épaisseur ∆r, de volume V=4πr2∆r. La section dans laquelle la vapeur se propage sera 4πr2.
Une coquille sphérique
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3 Bilan sur cet élément de volume
N Ar4πr2 ∣r−N A
r4πr2∣rΔr=0
divisons par 4π Δr et Δr 0
d r2N Ar
dr=0
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4 Solution mathématique
préliminaires
d r2N A r dr
=0 Fick A r=−cD AB
dxA
dr
d r2cD AB
dxA
dr dr
=0
d r2dx A
dr dr
=0 intégrons une fois
r2dxA
dr=C1 donc
dx A
dr=
C1
r2intégrons encore
x A=−C1
rC2
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4 Solution mathématique
x A=−C1
rC2 conditions limites : r=R , x A=x A
sat
r=∞ , xA=x A∞
donc C1=x Asat
et C2=R x Asat−x A
∞
donc en brassant un peu :x A−x A
∞
x Asat−x A
∞
=Rr
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5 Valider et vérifier la solution
r
R
sat
=−
−
∞
∞
AA
AA
xx
xx
Le profil de concentration décroît en fonction de r,est-ce que c’est ok???
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Exercices supplémentaires aux chapitres 10-18
1- Problème 10D1, poser seulement l ’équation différentielle du deuxième ordre en fonction de θ , sans solutionner:
2- Problème 18C1, seulement la partie a) 3- Deux liquides immiscibles sont au repos dans dans une cellule. Les
deux couches ont la même épaisseur. Une espèce A diffuse dans les deux couches de liquide, les coefficients de diffusion sont DA1et DA2
respectivement. Quelle est la fraction molaire XA a l ’interface des deux liquides? (Réponse: XA=(DA1XA1+ DA2XA2)/(DA1+ DA2) )
022
22 =−+
kB
hr
dr
dr
dr
dr
θθθ
XA=XA1
XA=XA2
XA=?1
2
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1- 10D1: ailettes autour d ’un tube
Étape 1: phénomènes
Conduction dans la direction radiale, échanges par convection avec l ’air.
Géométrie: radiale, symétrie cylindrique
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1-10D1: ailettes autour d ’un tube
Étape 2: élément de volume
Une coquille d ’épaisseur 2B, de longueur ∆r. La section qui conduit la chaleur a une surface de 4πrB, avec r variable. La section latérale qui échange de la chaleur avec l ’air a une surface de 2(2πr∆r). L ’élément de volume a pour coordonnée la variable r qui varie entre R0 et R1.
R0
R1
r
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Étape 3: bilan sur l ’élément de volumeR0
R1
r
( )0)(
0lim,0)()()(
4
0))(4()4()4(
=−−−
→∆=−−∆
−
∆÷
=−∆−−
∆+
∆+
Ar
Arrr
Arrr
TTB
hr
dr
rqd
ravecsoitTTB
hr
r
rqrq
rB
TTrrhrBqrBq
ππππ
1-10D1: ailettes autour d ’un tube
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Étape 3: bilan sur l ’élément de volume (suite)
R0
R1
r
−d rqr dr
−hrB
T−T A =0 avec qr=−kdTdr
d r k dTdr
dr−
hrB
T−T A =0
krd2T
dr2k
dTdr
−hrB
T−T A =0
1-10D1: ailettes autour d ’un tube
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Étape 3: bilan sur l ’élément de volume (suite)
R0
R1
r
0
0)(
22
22
22
22
=−+
=−−+
kB
hr
dr
dr
dr
dr
ouTTkB
hr
dr
dTr
dr
Tdr A
θθθ
Équation de Bessel, qui se résoud facilement avec Matlab (un peu plus difficile à la main…)
1-10D1: ailettes autour d ’un tube
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R0
R1
r
02
2
22 =−+
kB
hr
dr
dr
dr
dr
θθθ
Script Matlab:
1-10D1: ailettes autour d ’un tube
>> syms r theta k B h;>> theta = dsolve('r^2*D2theta+r*Dtheta-r^2*h*theta/k/B=0','r') ; pretty(theta)
theta =
C1*besselj(0,(-h/k/B)^(1/2)*r) + C2*bessely(0,(-h/k/B)^(1/2)*r)
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La figure 18C1 montre bien l ’élément de volume choisi, alors que les mécanismes ont été aussi bien identifiés dans l ’énoncé du problème, on peut donc passer directement à la pose du bilan.
( )( )( )
( )zzzA
zzA
rrrA
rrA
z
z
r
r
Nz
N
N
N
∆+=
=
∆+=
=
∆∆+
∆
∆
∆
rr2:zensortantzselonAdefluxduComposante
rr2:zenentrantzselonAdefluxduComposante
zr2:rensortantrselonAdefluxduComposante
zr2:renentrantrselonAdefluxduComposante
π
π
π
π
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( ) ( )( ) ( ) 0rr2rr2
zr2zr2
=∆−∆+
∆−∆
∆+==
∆+==
zzzAzzA
rrrArrA
zz
rr
NN
NN
ππ
ππ
Divisons par 2πr∆z∆r et faisons tendre vers 0
( )0
1 =∂
∂+
∂∂
r
rN
rz
Nrz AA
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)(rrr BAA
AABA NNx
r
xcDN ++
∂∂−=
AA
BA
BAAA
ABA
ccx
cNN
NNxz
xcDN
zz
zzz
=
=
=+
++∂
∂−=
et
vB,fluideduvitessela
estmassiqueoumolaire
moyennevitesselavvposeraon
v
)(
0
*0
*
Formes générales de la loi de Fick
Le flux radial de A est uniquement par la diffusion, le flux de B dans la direction r est nul et le produit xANA est faible, alors:
r
xcDN A
ABAr ∂∂−=
Alors, on a:
0vAA
ABA cz
cDN
z+
∂∂−=
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