Chapitre 10 Technologie. Technologies La technologie dune entreprise est le nom donné à lensemble...

Chapitre 10

Technologie

Technologies

La technologie d’une entreprise est le nom donné à l’ensemble des procédés permettant à l’entreprise de convertir certains biens – des inputs – en d’autres biens - des outputs.

Par exemple, du travail, un ordinateur, un projecteur, de l’électricité, un amphi et un logiciel sont combinés pour produire cette leçon.

Dans ce cours, on supposera toujours qu’un seul output est produit

Technologies

Il y a en général plusieurs moyens différents de produire le même bien (par exemple, on peut également produire une leçon de microéconomie en remplaçant l’ordinateur, le logiciel et le projecteur par un tableau et des craies).

Y a t-il des procédés « meilleurs » que d’autres?

Comment comparer différents procédés? Comment décrire l’ensemble des procédés

disponibles à la firme ?

Combinaisons d’inputs

xi désigne la quantité utilisée de l’input i.

Une combinaison d’inputs est une liste de quantités d’inputs; (x1, x2, … , xn).

E.g. (x1, x2, x3) = (6, 0, 9).

Fonctions de production

y désigne le niveau d’output.La fonction de production associe à

chaque combinaison d’inputs la quantité maximale d’output qu’il est techniquement possible de produire à partir de la dite combinaison.

y f x xn ( , , )1

Fonctions de production

y = f(x) décrit laFonction de de production.

x’ xNiveau d’Input

Niveau d’output

y’y’ = f(x’) représente le niveau maximal d’output que l ‘on peut produire à partir de x’ unités d’input.

un input, un output

Ensembles de production

Une activité productive est une combinaison d’inputs et un niveau d’output; (x1, … , xn, y).

Une activité productive est réalisable si

L’ensemble de toutes les activités

productives réalisables est appelé

ensemble de production.

y f x xn ( , , )1

y = f(x) décrit la fonction de production.

x’ xNiveau d’input

Niveau d’output

y’ = f(x’) : niveau maximal d’output qui peut être produit de x’ unités d’input.

Un input, un output

y” < f(x’) : niveau d’output réalisable avec x’ unités d’input.

L’ensemble de production:

}.0,,0

),,(|),,,{(

etxxfyyxxT

Niveau d’Output

Un input, un output

L’ensemble deproduction

Niveau d’output

Un input, un output

Ensemble deproduction

Activités productivestechniquementinefficaces

Activités productivesefficaces

Technologies avec plusieurs inputs

Comment décrire la technologie lorsqu’il y a plusieurs inputs?

Considérons le cas où il n’y a que deux inputs, dont les quantités sont notées x1 et x2. La quantité d’output est notée y.

Supposons que la fonction de production soit

y f x x x x ( , ) .1 2 11/3

Technologies avec plusieurs inputsE.g. le niveau maximal d’output

possible à partir de la combinaison d’ input(x1, x2) = (1, 8) est

Alors que le niveau maximal d’output possible à partir de (x1,x2) = (8,8) est

y x x 2 2 1 8 2 1 2 411/3

21/3 1/3 1/3 .

y x x 2 2 8 8 2 2 2 811/3

21/3 1/3 1/3 .

Output, y

(8,1)(8,8)

On appelle isoquante associée au niveau de production y l’ensemble de toutes les combinaisons d’inputs permettant de produire exactement y comme niveau maximal d’output.

Isoquantes avec deux inputs

Les isoquantes peuvent être représentées graphiquement en ajoutant un axe pour les niveaux d’output level et en « découpant » chaque isoquante à la hauteur du niveau d’output associée à la dite isoquante.

Output, y

L’ajout d’isoquantes supplémentaires fournit une information de plus en plus précise sur la technologie de la firme.

Output, y

Technologies à plusieurs inputs

La collection complète des isoquantes est parfois appelée la carte d’isoquantes.

La carte d’isoquantes est équivalente à la fonction de production.

E.g. 3/12

3/1121 2),( xxxxfy

Technologies à plusieurs inputs

Ensemble d’inputs requis

On appelle l’ensemble des inputs requis à la production de y unités d’output (noté V(y)) l’ensemble de toutes les combinaisons d’inputs permettant au moins de produire y

Formellement: V(y) = {(x1,…,xn)Rn

+: f(x1,…,xn) y}

Ensemble d’inputs requis

Analogie avec la théorie du consommateur

D’un point de vue mathématique, la fonction de production ressemble à la fonction d’utilité du consommateur

La carte d’isoquantes ressemble à la carte d’indifférence

Les ensembles d’inputs requis ressemblent aux ensembles des paniers faiblements préférés

Analogie avec la théorie du consommateur

Il y a toutefois une différence essentielle: Les nombres associés par la fonction d’utilité aux courbes d’indifférence n’ont pas d’autre signification que d’ordonner ces courbes de manière conforme aux préférences du consommateur

Par contre les nombres associés aux isoquantes par la fonction de production ont une signification plus précise (cardinale) : ce sont des niveaux physiques d’output.

Technologies Cobb-Douglas

Comme pour le consommateur, la fonction de production Cobb-Douglas s’écrit

Par ex:avec

y Ax x xa anan 1 2

y x x 11/3

,1,2 21 aetaAn

Les isoquantes sont hyperboliques,asymptotiques aux axes sansjamais les toucher.

y x xa a 1 21 2

x x ya a1 21 2 "

y x xa a 1 21 2

x x ya a1 21 2 "

x x ya a1 21 2 '

y x xa a 1 21 2

x x ya a1 21 2 "

x x ya a1 21 2 '

y" > y'

Technologies à coefficients de production fixes (Léontieff)

Une fonction de production Léontieff est de forme

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

y x xmin{ , }1 22

.21,2 21 aetan

Technologies Léontieff

min{x1,2x2} = 14

4 8 14

min{x1,2x2} = 8min{x1,2x2} = 4

x1 = 2x2

y x xmin{ , }1 22

Technologie Léontieff

Décrit des situations de parfaite complémentarité entre facteurs de production

Ex: il faut une pelle et un travailleur pour creuser un trou. Deux pelles et deux travailleurs pour creuser deux trous, etc.

Augmenter le nombre de travailleurs sans augmenter le nombre de pelles n’augmentera pas le nombre de trous

Technologies à parfaite substituabilité

Comme pour les préférences du consommateur, une fonction de production à parfaite substituabilité est de forme

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

y x x 1 23

.31,2 21 aetan

Technologies à parfaite substituabilité

x1 + 3x2 = 18

x1 + 3x2 = 36

x1 + 3x2 = 48

Isoquantes linéaires et parallèles

y x x 1 23

Technologie à parfaite substituabilité Décrit des situations de parfaite

substituabilité entre facteurs de production Ex: On a besoin de 1000 heures de travail

efficace pour produire des bigoudis sur une chaîne de montage

Les femmes (facteur 2) sont plus efficaces que les hommes (facteur 1) au sens ou une heure de travail féminin donne deux heures de travail efficace alors que le taux de conversion du travail masculin en travail efficace est de 1 pour 1

Produit Marginal Physique d’un input

Le produit marginal de l’input mesure la variation de l’output qu’entraîne une variation infinitésimale d’input i,toutes choses égales par ailleurs.

Mathématiquement:

y f x xn ( , , )1

Produit marginal physique

E.g. siy f x x x x ( , ) /

1 2 11/3

alors le produit marginal de l’input 1 est

E.g. siy f x x x x ( , ) /

1 2 11/3

alors le produit marginal de l’input 1 est3/2

E.g. siy f x x x x ( , ) /

1 2 11/3

et le produit marginal de l’input 2 est

E.g. siy f x x x x ( , ) /

1 2 11/3

et le produit marginal de l’input 2 est

.32 3/1

En général, le produit marginal physique d’un input dépend de la quantité utilisée des autres inputs. E.g. si

3/211 3

1xxPM alors

3/23/211 3

31 xxPM

Et si x2 = 27 alors

si x2 = 8,

.32731 3/2

13/23/2

11 xxPM

On suppose souvent que le produit marginal physique de l’input i est décroissant par rapport à l’emploi de cet input, toutes choses égales par ailleurs. Formellement:

On justifie usuellement cette décroissance du produit marginal par la loi dite « des rendements décroissants ». On obtient moins de la quarantième heure de travail que de la trente neuvième!

3/211 3

1xxPM 3/1

12 32 xxPMet

E.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

3/211 3

1xxPM 3/1

12 32 xxPMet

E.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Et donc0

92 3/2

1 xxxPM

3/211 3

1xxPM 3/1

12 32 xxPMet

E.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Et donc0

92 3/2

1 xxxPM

92 3/4

2 xxxPM

3/211 3

1xxPM 3/1

12 32 xxPMet

E.g. si y x x 11/3

22 3/ alors

Et donc0

92 3/2

1 xxxPM

92 3/4

2 xxxPM

Les deux produits marginaux sont décroissants.

Rendements d’échelle La notion de produit marginal physique décrit le

changement de niveau d’output qui résulte d’un changement (marginal) dans l’emploi d’un seul input.

La notion de rendements d’échelle décrit la manière avec laquelle le niveau d’ output est affecté lorsque toutes les quantités d’input sont modifiées dans une même proportion (e.g. les niveaux d’input doublés, ou divisés par deux).

Très importante notion pour comprendre l’émergence de grandes firmes

Rendements d’échelle

Si, pour chaque combinaison d’inputs (x1,…,xn),

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

Pour tout tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie décrite par lafonction de production f est l’objet de rendements d’échelle constants.E.g. (k = 2) doubler tous les niveaux d’input Double la quantité maximal d’output Que l’on peut produire.

y = f(x)

Niveau d’output

un input, un output

Rendementsd’échelle constants

Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

Pour tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie fait l’objet de rendementsd’échelle décroissants.E.g. (k = 2) doubler le niveau d’emploi de tous les inputs fait moins que doublerla quantité maximale d’output possible.

y = f(x)

Niveau d’output

f(x’)

Un input, un output

f(2x’)

2f(x’)

Rendements d’échelledécroissants

Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),

f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2

pour tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie fait l’objet de rendements d’échelle croissants.E.g. (k = 2) doubler le niveau de tous les input fait plus que doubler la quantitémaximale d’output.

y = f(x)

x’ xNiveau d’Input

Niveau d’output

f(x’)

Un input, un output

f(2x’)

2f(x’)

Rendements d’ échellecroissants

Une technologie peut localement faire montre de différents types de rendements d’échelle.

La notion de rendements d’échelle est, de fait, une notion locale

y = f(x)

xInput

Output

Un input, un output

Rendements d’échelledécroissants

Rendements d’échellecroissants

Exemples de Rendements d’échelle

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

La fonction de production avec parfaitesubstituabilité est

Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la Quantité d’output:

a kx a kx a kxn n1 1 2 2( ) ( ) ( )

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la Quantité d’output:

a kx a kx a kx

k a x a x a xn n

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

y a x a x a xn n 1 1 2 2 .

Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la quantité d’output:

a kx a kx a kx

k a x a x a x

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

Cette technologie fait donc l’objet de rendements d’échelle constants.

Exemples de rendements d’échelle

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

La fonction de production Léontieff:

L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieuxla production du niveau d’output:

min{ ( ), ( ), , ( )}a kx a kx a kxn n1 1 2 2

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

a kx a kx a kx

k a x a x a xn n

1 1 2 2

y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2

min{ ( ), ( ), , ( )}

(min{ , , , })

a kx a kx a kx

k a x a x a x

1 1 2 2

La technologie Léontieff fait donc l’objetde rendements d’échelle constants.

y x x xa anan 1 2

1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:

L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:

( ) ( ) ( )kx kx kxa an

y x x xa anan 1 2

( ) ( ) ( )kx kx kx

k k k x x x

a a a a a a

1 21 2

1 2 1 2

y x x xa anan 1 2

( ) ( ) ( )kx kx kx

k k k x x x

k x x x

a a a a a a

a a a a ana

1 2 1 2

y x x xa anan 1 2

( ) ( ) ( )

kx kx kx

k k k x x x

k x x x

a a a a a a

a a a a ana

1 2 1 2

y x x xa anan 1 2

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1

y x x xa anan 1 2

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1

y x x xa anan 1 2

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1décroissants si a1+ … + an < 1.

y x x xa anan 1 2

( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an

a a an n1 2

La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1décroissants si a1+ … + an < 1.

Mesure locale de rendements d’échelle

Pour une technologie donnée, comment connaître les rendements d’échelle dont elle fait l’objet ?

La notion d’élasticité d’échelle fournit une réponse à cette question

L’élasticité d’échelle donne le taux d’augmentation du niveau d’output qu’entraîne une augmentation proportionnelle d’un pour cent du niveau d’emploi des inputs

Soit une fonction de production f(x1,…,xn)

A tout niveau d’emploi des inputs (x1,…,xn) on considère une augmentation proportionnelle de ce niveau d’emploi d’un montant k (proche de 1).

Cela définit une fonction g(k) de la manière suivante: g(k)= f(kx1,…,kxn)

Dérivons cette fonction g par rapport à k (possible si f est dérivable)

Cette dérivée s’écrit:

Si on l’évalue à k = 1, elle s’interprète comme le taux de variation du niveau d’output par rapport à une augmentation infinitésimale proportionnelle du niveau d’emploi des inputs

xxkxkf

xkxkfkkg

1 ),...,(...

),...,()(

Mesure locale de rendements d’échelleUne mesure locale d’élasticité d’échelle E serait

E > 1 Rendements d’échelle croissants E = 1 Rendements d’échelle constants E < 1 Rendements d’échelle décroissants

),...,(

),...,(...

),...,(

Mesure locale de rendements d’échelleExemple: trouver l’élasticité l’échelle associée

à la fonction de production f(x1,x2) = (1+x1)1/2 (1+x2)1/2

Les dérivées partielles de f sont:

f1(x1,x2) = ½((1+x1)-1/2 (1+x2)1/2 et

f2(x1,x2) = ½((1+x1)1/2 (1+x2)-1/2

On a donc:

1)1(2)1(2

)1()1(

])11()

11[(21

Q: Une technologie peut elle faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants ?

Q: Une technologie peut-elle faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants ?

R: Oui.E.g. y x x 1

2 322 3/ / .

Rendements d’échelley x x x xa a 1

2 322 3

1 21 2/ /

21 aaE donc, cette technologie faitl’objet de rendements d’échelle croissants.

2 322 3

1 21 2/ /

mais 3/22

3/111 3

2xxPM est décroissant en x1

2 322 3

1 21 2/ /

mais 3/22

3/111 3

2xxPM est décroissant en x1

3/212 3

2 xxPMet est décroissant en x2

Donc, une technologie peut faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants. Pourquoi?

Le produit marginal décrit le taux de variation de l’output par rapport à la variation d’un niveau d’input (toutes choses égales par ailleurs).

Le produit marginal décroît parce que les autres inputs restent fixés de sorte que les unités additionnelles de l’input ont de moins d’autres input avec lesquels elles peuvent être combinées.

Lorsque tous les niveaux d’input sont augmentés de manière proportionnelle, il peut ne pas y avoir de réduction des produits marginaux les unités additionnelles de chaque input vont pouvoir être combinées avec des unités additionnelles des autres inputs. Il est donc possible que les rendements d’échelle soient constants ou croissants alors même que la productivité marginale de chaque facteur soit décroissante

Taux marginal de Substitution technique

A quel taux la firme peut-elle substituer un input à un autre sans modifier son niveau de production ?

Taux marginal de substitution technique

Pente = taux maximal auquel le niveau d’input 2 peut être réduit lorsque l’input 1 est augmenté et que la firme désire garder constant son niveau de production. La pente de l’ isoquante est donc ce taux marginal de substitution technique

Comment calculer le Taux Marginal de substitution technique ?

Comment calculer le Taux Marginal de Substitution Technique TMST ?

On utilise, comme pour le TMS de la théorie du consommateur, le théorème des fonctions implicites

Rappel le théorème des fonctions implicites

Dans un monde à deux inputs, la courbe de l’isoquante associée à un niveau de production y, qui définit une relation entre le niveau d’input 1, x1, et le niveau d’input 2, x2

y(x1), est définie par l’identité:

yxxxf y ))(,( 121

Calcul du TMST par le théorème des fonctions implicites

Si les produits marginaux sont toujours positifs et si la fonction de production est continue, la relation

est fonctionnelle (elle

associe à toute quantité d’input 1 l’unique quantité d’input 2 qui permet à l’entreprise de produire y)

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas

dérivable)

zzTMSTy

121 )())(,())(,(0

xzxzf yyy

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable)

))(,()(

Taux marginal de substitution technique: Un exemple Cobb-Douglas

y f x x x xa b ( , )1 2 1 2

donc ba xaxxf

baxbxxf

Le TMST est donc

xbxxax

Taux marginal de substitution technique; Un exemple Cobb-Douglas

2)3/2()3/1(

;3/223/1

1 betaxxy

2)3/2()3/1(

;3/223/1

1 betaxxy

2)3/2()3/1(

;3/223/1

1 betaxxy

Hypothèses sur les Technologies

On suppose souvent d’une technologie qu’elle estmonotone, etconvexe.

Monotonie

Monotonie: Augmenter le niveau d’emploi de n’importe quel input ne réduit jamais l’ output.

monotone nonmonotone

Convexité

Convexité: Si les combinaisons d’ inputs x’ et x” permettent chacune de produire au moins y unités d’output, le mélange tx’ + (1-t)x” des deux combinaisons doit également permettre de produire au moins y unités d’output et, quelque soit 0 < t < 1.

Convexité

tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )

Convexité

tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )

Convexité

La convexité implique que leTMST augmente (devienne moins négatif) au fur et àmesure que x1 augmente.

Technologies monotones

Plus grande quantitéd’output

Une distinction importante: Le long terme vs le court terme

Le long terme décrit l’horizon temporel sur lequel l’entreprise n’est pas du tout restreinte en terme de ses choix de combinaisons d’input.

Le court terme est un horizon temporel dans lequel l’entreprise est restreinte d’une manière ou d’un autre dans ses choix de combinaisons d’input.

Il y a plusieurs horizons de court terme.

Long terme vs court terme

Exemples de restrictions qui peuvent limiter les choix d’activité productive dans le court terme:Incapacité temporaire d’installer ou de

détruire un équipement lourd ou une chaîne de montageObligation légale de satisfaire certaines

normes environnementalesObligation légale de satisfaire des

exigences en termes de contenu national.

Long terme vs court terme

Quelle type de restrictions l’horizon de court terme impose t-il à la technologie de la firme ?

De manière spécifique, supposons que la restriction de court terme fixe le niveau disponible d’input 2.

L’input 2 sera donc l’input fixe dans le court terme. L’input 1 restera variable.

Long terme et court termex2

Long terme et court terme

Quatre fonctions de production de court terme.

Long terme et court terme

y x x 11/3

est la fonction de productionde long terme (x1 and x2 sont tous les deux variables).La fonction de production de court terme pour x2 1 est .x1xy 3/1

13/13/1

La fonction de production de court terme pour x2 8 est .28 3/1

13/13/1

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