Chapitre 3 : Méthodes de provisionnement

Chapitre 3 : Méthodes de provisionnement

En assurance vie, les règles de tarification et d’évaluation ultérieuredes engagements reposent sur l’emploi de règles (tables et taux) quasisystématiquement obligatoires. Les provisions sont appelées provisionsmathématiques.En assurance non-vie, il n’y a pas de règles imposées et les provisionssont appelées provisions techniques (bien que leur détermination ouévaluation fasse également appel aux outils mathématiques etstatistiques). La seule règle imposée est que ces provisions soient «suffisantes pour le règlement intégral de leurs engagements vis-à-visdes assurés ou bénéficiaires de contrats

Quels sont ces engagements ?Les provisions de primesLes provisions de sinistre

Fouad Marri 106 / 151

Les provisions de primes, PPNA

Un risque est souscrit pour une durée de 1 an, le 1er octobre, moyennantune prime de 100. Au 31 décembre de l’année, seul 25% de la période degarantie est écoulée. On fractionne la prime en 2 : 25% est appelée primeacquise, et 75% est la contrepartie de l’engagement de couvrir le risquependant encore 9 mois. Il faut constituer 75 de PPNA.Le solde de la prime (prime non acquise) est à conserver pour les futurssinistres. Cette seconde partie est inscrite au bilan sous l’intitulé Provisionpour Primes Non Acquises (PPNA)La réglementation impose le choix d’une règle de répartition des primesentre partie acquise et non acquise prorata temporisUne prime annuelle d’assurance payée le 01/01/1995 est une prime acquisede l’exercice 1995 (prime acquise de l’exercice)Une prime annuelle d’assurance payée le 01/04/1995 est acquise àl’exercice 1995 pour les 3

4 de son montant et à l’exercice 1996 pour unquart de son montant

Fouad Marri 107 / 151

Primes émises(Written premium) Ce sont les primes ayant fait l’objet d’une émission.Prime Acquise (Earned Premium) : Portion de la prime souscrite quicorrespond à la période écoulée de la police depuis son entrée envigueur.Cette portion de la prime souscrite n’est pas remboursable sil’assuré décide de résilier sa police. L’assureur à déjà assumé le risquedurant la période écoulée de la police. La prime acquise est calculée à partirde la prime émise prorata temporis.Primes non acquises,PNA(Unearned premium) : Portion de la primesouscrite qui correspond à la période non-écoulée de la police depuis sonentrée en vigueur.Cette portion de la prime souscrite est remboursable sil’assuré décide de canceller sa police. L’assureur n’a pas encore assumé lerisque de la période non-écoulée de la policeRatio S/P (Loss Ratio) Le ratio sinistres à primes où S/P est un indicateurtechnique de rentabilité couramment utilisé en assurance non vie. Il est égalau rapport de la charge des sinistres divisée par les primes acquises.Primes acquises et non émises (PANE) : Les primes acquises et non émisessont des primes afférentes à l’exercice courant mais n’ayant pu être émises ;elles peuvent être assimilées à des produits non encore facturés,les contratspour lesquels l’émission n’a pu être effectuée en raison de retard dans lesservices émission ou dans les traitements informatiques

Provisions pour primes non acquises, PPNA

Un contrat annuel avec une prime de 600 $ est émis au 31 août. Au 31décembre, l’assureur a acquis 200 $ et doit enregistrer une provision pourprimes non acquises PPNA de 400.

Fouad Marri 109 / 151

Fouad Marri 110 / 151

Les provisions de sinistre (CLAIMS RESERVING)

Dynamique de la vie des sinistresLes différents aspects de la vie des sinistres sont représentés à la figure ci-dessous

Figure: Aspect dynamique de la gestion des sinistres (survenance, déclaration, paiements, clôture)Fouad Marri 111 / 151

A un moment dans le temps, un sinistre survient. Avec un certain délai, le sinistre est déclaréà la compagnie d’assurance

Le processus qui va de la déclaration à la clôture du sinistre s’appelle le développement.Les prestations d’une compagnie d’assurances couvrent alors plusieurs années dedéveloppement,Il peut s’écouler un délai plus ou moins long entre la survenance du sinistre et son règlementintégral (plusieurs années par exemple pour un sinistres corporel,

Les indemnités peuvent être payées après la période de couverture.Pour un type de risque (RC auto, santé,....), les sinistres sont constatés (avec plusou moins de retard), puis payés (aussi avec un certain laps de temps),

Fouad Marri 112 / 151

Si un sinistre survient pendant la période de couverture, l’assuré le déclareà l’assureur qui effectue des remboursements. Le sinistre est clôturé unefois qu’il n’y a plus de règlements.Le montant de ces paiements est estimé par la compagnie d’assurance àpartir de différents critères. Mais cela ne concerne que les sinistressurvenus et effectivement déclarés à la compagnie.La difficulté réside alors dans l’estimation des règlements au titre dessinistres survenus mais non encore déclarés à la compagnie à la date del’inventaire, comme l’exige la réglementation : sinistres tardifs, ou sinistresIncurred But Not Reported (IBNR).

Fouad Marri 113 / 151

Considérons un cas simple, celui d’un accident matériel sur la route :le sinistre survient (deux voitures se percutent) ;le sinistre est déclaré par l’assuré à l’assureur ;un certain nombre de paiements sont effectués ;si l’on pense que plus aucun paiement ne sera effectué, on peutclôturer le sinistre.

Dans d’autres cas, le processus est nettement plus complexe. Lors d’unaccident corporel en assurance automobile, la date de survenance est bienconnue, mais il faut un temps très long avant de pouvoir clôturer unsinistre. Il convient aussi d’attendre que l’état du patient se stabilise avantde pouvoir avoir la première estimation valide du montant du sinistre.

Fouad Marri 114 / 151

1 1er janvier 2014 premiers contrats signés

2 15 février 2014, déclaration d’un sinistre 1 survenu le 1er février 2014, , aucun paiement

3 30 Juillet 2014, déclaration d’un sinistre 2 survenu le 1er Juillet 2014, aucun paiement

4 16 octobre 2014, paiement de 250 $ pour le sinistre 1, paiement de 300 $ pour le sinistre 2

5 20 octobre 2014, paiement de 130 $ pour le sinistre 1

6 16 décembre 2014, déclaration d’un sinistre 3 , survenu le 15 sep 2014, paiement de 300 euro

7 10 janvier 2015, paiement de 400 $ pour le sinistre 2, paiement de 500 $ pour le sinistre 3

8 15 février 2015, déclaration d’un sinistre 4, survenu le 16 janvier 2015, paiement de 150 $ .

9 25 février 2015, déclaration d’un sinistre 5, survenu le 30 décembre 2014.

10 25 Avril , paiement de 200 $ pour le sinistre 5 .

11 30 Avril : paiement de 220 $ pour le sinistre 4

12 31 décembre 2015, on clôture l’année,

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2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 2.29 1.87 0.2 0.052012 38.61 3 2.49 0.462013 43.85 3.45 2.152014 49.52 3.812015 55.47

3

7

7

7

7

7

7

7

5

Table: Pertes incrémentales

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.56 39.76 39.812012 38.61 41.61 44.1 44.562013 43.85 47.30 49.452014 49.52 53.332015 55.47

3

7

7

7

7

7

7

7

5

Table: Pertes cumulativesLe but des méthodes de provisionnement est de prévoir combien il reste à payer pour les sinistres survenus

en 2011, 2012, 2013,2014,2015 etc. L’idée centrale est que les cadences de paiement observées

dans le passé devraient (sous certaines hypothèses ) se reproduire dans le futur.

Triangles de développement (Run-off triangles)

Pour évaluer le montant des provisions, on présente souvent les donnéessous forme triangulaire(triangles cumulés ou non cumulés) (appeléstriangles de développement) :

Y1,1 Y1,2 · · · Y1,n�1 Y1,nY2,1 Y2,2 · · · Y2,n�1

......

...Yn�1,1 Y

n�1,2Yn,1

C1,1 C1,2 · · · C1,n�1 C1,nC2,1 C2,2 · · · C2,n�1

......

...Cn�1,1 C

n�1,2Cn,1

Fouad Marri 117 / 151

Triangles de développement (Run-off triangles)

Les méthodes de provisionnement sont basées sur des triangles, Ceux-cireflètent la dynamique des sinistres et permettent d’avoir une visionagrégée des sinistres,Les notations utilisées dans la suite sont les suivantes :

i correspond à l’indice des années de survenance i = 1, · · · , n;j correspond à l’indice des années de développement j = 1, · · · , n ;Yi,j correspond au montant des sinistres survenus l’année i et payés l’année

i + j � 1 (après j années de développement), on parle aussi d’incréments ouencore de paiements non-cumulés ;Ci,j correspond aux paiements agrégés des sinistres survenus l’année i , en j

années de développement :

Ci,j = Y

i,1 + Yi,2 + · · ·+ Y

i,j =j

X

k=1

Yi,k

on parle également de paiements cumulés,

Fouad Marri 118 / 151

Triangles de développement (Run-off triangles)

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.56 39.76 39.812012 38.61 41.61 44.1 44.562013 43.85 47.30 49.452014 49.52 53.332015 55.47

3

7

7

7

7

7

7

7

5

Table: Pertes cumulatives

En supposant qu’il n’y a pas de pertes supplémentaires encourues après lacinquième période de développement, on définit les pertes ultimes commeétant les pertes cumulatives de la dernière période. De même, on peut alorsdire que pour l’année 2011, 35.4

39.81 = 88.92% des pertes sont réglées lors dela première période de développement. Aussi, on obtient 5.75 % lors de lapériode suivante et 4.7 % lors de la troisième période, 0.5023863% lors dela quatrième période, et 0.1255966% de la cinquième période

Fouad Marri 119 / 151

Y1,1 Y1,2 · · · Y1,n�1 Y1,nY2,1 Y2,2 · · · Y2,n�1 Y2,n

......

... · · · · · ·Yn�1,1 Y

n�1,2 · · · Yn�1,n�1 Y

n�1,nYn,1 Y

n,2 · · · Yn,n�1 Y

n,n

C1,1 C1,2 · · · C1,n�1 C1,nC2,1 C2,2 · · · C2,n�1 C2,n

......

... · · · · · ·Cn�1,1 C

n�1,2 · · · Cn�1,n�1 C

n�1,nCn,1 C

n,2 · · · Cn,n�1 C

n,n

L’objectif est alors de déterminer les Yi ,j et C

i ,j pour i + j � n + 2 (i,e,sous la diagonale),Les provisions pour l’année i (i = 2, · · · , n) sont alors données par

Ri

= Yi ,n+2�i

+ Yi ,n+3�i

+ · · ·+ Yi ,n = C

i ,n � Ci ,n+1�i

La réserve totale est donc :R =

n

P

i=2Ri

=n

P

i=2

⇣

Ci ,n � C

i ,n+1�i

⌘

=n

P

i=2

⇣

Yi ,n+2�i

+ Yi ,n+3�i

+ · · ·+ Yi ,n

⌘

On appelle charge ultime de l’année de survenance i le montant desrèglements cumulés au bout d’un certain nombre d’années dedéveloppement jugé suffisant pour la clôture du sinistre.La provision pour l’année de survenance i correspond à la différence entrece que l’on s’attend à payer au total pour cette année de survenance, àsavoir la charge ultime estimée, et ce que l’on a déjà réglé, c’est-à-dire lemontant cumulé figurant sur la dernière diagonale connue C

i ,n+1�i

.

Objectif

L’objectif est de remplir la partie inférieure du triangleLes réserves sont la somme des pertes incrémentales futures.Pour obtenir le montant des provisions, nous devrons estimer les montantsde la partie inférieure du triangle de liquidation à partir de l’informationdisponible dans la partie supérieure de celui-ci.

Fouad Marri 121 / 151

Méthodes déterministes

1 La méthode de Chain Ladder2 La méthode de London Chain3 La méthode London Pivot

Fouad Marri 122 / 151

1)Méthodes Chain LadderL’idée de cette méthode est que l’évolution des sinistres est gouvernée pardes facteurs de développement (link ratios notés �

j

) qui ne dépendent pasdes années de survenance :

Ci ,j+1 = �

j

.Ci ,j

où Ci ,j désigne le montant cumulé des sinistres survenus l’année i pour j

années de développement,Disposant d’un triangle de n années (c’est-à-dire que l’on a n(n+1)

2observations), L’estimateur du facteur de déroulement �

k

est donné par

�k

=

n�k

P

i=1Ci ,k+1

n�k

P

i=1Ci ,k

pour k = 1, · · · , n � 1

Fouad Marri 123 / 151

Exemple

�k

=

n�kPi=1

C

i,k+1

n�kPi=1

C

i,k

pour k = 1, · · · , n � 1

Ci ,j+1 = �

j

.Ci ,j

Appliquons la méthode Chain Ladder au triangle des paiements cumulés dela société X , Il vient

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.56 39.76 39.812012 38.61 41.61 44.1 44.562013 43.85 47.30 49.452014 49.52 53.332015 55.47

3

7

7

7

7

7

7

7

5

Fouad Marri 124 / 151

�k

=

n�kPi=1

C

i,k+1

n�kPi=1

C

i,k

pour k = 1, · · · , n � 1

Ci ,j+1 = �

j

.Ci ,j

La partie inférieure du triangle peut alors être complétée :

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.56 39.76 39.812012 38.61 41.61 44.1 44.562013 43.85 47.30 49.452014 49.52 53.332015 55.47 59.62909

3

7

7

7

7

7

7

7

5

�1 =37.69 + 41.61 + 47.30 + 53.3335.4 + 38.61 + 43.85 + 49.52

= 1.074979

55.47 ⇥ 1.074979 = 59.62909

Fouad Marri 125 / 151

�k

=

n�kPi=1

C

i,k+1

n�kPi=1

C

i,k

pour k = 1, · · · , n � 1

Ci ,j+1 = �

j

.Ci ,j

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.56 39.76 39.812012 38.61 41.61 44.1 44.562013 43.85 47.30 49.452014 49.52 53.33 56.072322015 55.47 59.62909 62.69533

3

7

7

7

7

7

7

7

5

�2 =39.56 + 44.41 + 49.4537.69 + 41.61 + 47.30

= 1.051422

53.33 ⇥ 1.051422 = 56.07232

59.62909 ⇥ 1.051422 = 62.69533Fouad Marri 126 / 151

�k

=

n�kPi=1

C

i,k+1

n�kPi=1

C

i,k

pour k = 1, · · · , n � 1

Ci ,j+1 = �

j

.Ci ,j

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.56 39.76 39.812012 38.61 41.61 44.1 44.562013 43.85 47.30 49.45 49.840112014 49.52 53.33 56.07232 56.514682015 55.47 59.62909 62.14896 63.18993

3

7

7

7

7

7

7

7

5

�3 =39.76 + 44.5639.56 + 44.1

= 1.007889

49.45 ⇥ 1.007889 = 49.84011

56.07232 ⇥ 1.007889 = 56.51468

62.14896 ⇥ 1.007889 = 63.18993Fouad Marri 127 / 151

�k

=

n�kPi=1

C

i,k+1

n�kPi=1

C

i,k

pour k = 1, · · · , n � 1

Ci ,j+1 = �

j

.Ci ,j

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.56 39.76 39.812012 38.61 41.61 44.1 44.56 44.616042013 43.85 47.30 49.45 49.84011 49.902792014 49.52 53.33 56.07232 56.51468 56.585752015 55.47 59.62909 62.14896 63.18993 63.26940

3

7

7

7

7

7

7

7

5

�4 =39.8139.76

= 1.001258

44.56 ⇥ 1.001258 = 44.61604

49.84011 ⇥ 1.001258 = 49.90279

56.51468 ⇥ 1.001258 = 56.58575

63.18993 ⇥ 1.001258 = 63.26940Fouad Marri 128 / 151

Ri

= Ci ,n � C

i ,n+1�i

i = 2, · · · , n

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.56 39.76 39.81 02012 38.61 41.61 44.1 44.56 44.61604 0.0562013 43.85 47.30 49.45 49.84011 49.90279 0.4532014 49.52 53.33 56.07232 56.51468 56.58575 3.2562015 55.47 59.62909 62.14896 63.18993 63.26940 7.799

3

7

7

7

7

7

7

7

5

Le montant total des réserves est R = 11.564

Fouad Marri 129 / 151

ModèleL’estimation des montants cumulés futurs (la partie non-observabledans le triangle) s’obtient alors par

Ci ,j =

⇣

�n+1�i

⇥ · · ·⇥ �j�1

⌘

⇥ Ci ,n+1�i

pour i = 2, · · · , n et j = n + 2 � i , · · · , nAyant estimé ces paiements futurs, le montant des provisions pourl’année de survenance i est donné par

Ri

= Ci ,n � C

i ,n+1�i

i = 2, · · · , n

Soit un montant total de réserve nécessaire s’élevant à

R =n

X

i=2

Ri

=n

X

i=2

⇣

Ci ,n � C

i ,n+1�i

⌘

Fouad Marri 130 / 151

Inclusion d’un tail factor

Pour les risques longs (ceux pouvant être entièrement réglés après plusieursdizaines d’années), le triangle n’est parfois pas complet, c’est-à-dire quenous ne disposons pas du développement complet de la sinistralité. Celaconduit à une sous estimation des charges ultimes,Il est donc nécessaired’estimer une queue de développement du triangle.Nous présentons une méthode d’estimation de cette queue dedéveloppement

Fouad Marri 131 / 151

Inclusion d’un tail factor

Nous cherchons à ajuster une fonction �k

= ea+bk + 1, régulière etsupérieure à 1, afin de les extrapoler.Comme le développement des sinistres survenus en l’année d’accident in’est pas nécessairement terminé après n années de développement, onutilise un tail factor �

ult

> 1 pour estimer le montant ultime Ci ,ult par

Ci ,ult = C

i ,n.�ult

où �ult

=1Q

k=n

�k

et les �k

futurs sont estimés par une extrapolation

linéaire.

1 Régression linéaire des logarithmes �k

= ln(�k

� 1) = a+ bk

2 Prédiction des �k

3 On obtient les coefficients du tail factor 1 + e �k

Fouad Marri 132 / 151

Inclusion d’un tail factor

Cela donnerait pour le montant de provision

Fouad Marri 133 / 151

2)La méthode de London Chain

La méthode de London Chain n’est rien d’autre qu’une généralisation de laméthode de Chain Ladder. En effet, celle-ci suppose que la dynamiqued’évolution des paiements cumulés est donnée par

Ci ,k+1 = �

k

Ci ,k + ↵

k

pour i = 1, · · · , n et k = 1, · · · , n � 1L’ensemble des points (C

i ,k ,Ci ,k+1) sont alignés sur une même droite,mais celle-ci ne doit plus nécessairement passer par l’origine.Ce nouveau modèle nécessite l’estimation de 2n-2 paramètres, à savoir les�k

et ↵k

. On recourt à la méthode des moindres carrés : on cherche pourtout k

(�k

, ↵k

) = arg min

(

n�k

X

i=1

⇣

Ci ,k+1 � �

k

Ci ,k � ↵

k

⌘2)

Fouad Marri 134 / 151

Résultats

�k

=

1n�k

n�k

P

i=1Ci ,kCi ,k+1 � C (k)

k

C (k)k+1

1n�k

n�k

P

i=1C 2i ,k � C (k)2

k

où

C (k)k

=1

n � k

n�k

X

i=1

Ci ,k et C (k)

k+1 =1

n � k

n�k

X

i=1

Ci ,k+1

Les ↵k

sont donnés par

↵k

= C (k)k+1 � �

k

C (k)k

Notons que

�k

=cov(colonne

k

, colonnek+1)

var(colonnek

)

Fouad Marri 135 / 151

3)La méthode London Pivot

La méthode London-Pivot est proposé par Straub [1988], où l’on supposeque

Ci ,k+1 + ↵ = �

k

(Ci ,k + ↵)

pour i = 1, · · · , n et k = 1, · · · , n � 1Graphiquement, l’hypothèse s’avère envisageable lorsque : les points(C

i ,k ,Ci ,k+1) sont plus ou moins alignés sur des droites, et ces droites sontconcourantes en (�↵,↵), qu’on appel le le point pivot (et qui correspond àl’origine dans le cas Chain-Ladder). La calibration de ce modèle se fait unenouvelle fois par méthode des moindres carrés. Il s’agit de minimiser lecritère :

(�k

, ↵) = arg min

(

n�k

X

i=1

⇣

Ci ,k+1 + ↵� �

k

(Ci ,k + ↵)

⌘2)

Fouad Marri 136 / 151

Méthodes stochastiques

Les méthodes déterministes ne nous permettent pas de calculer l’erreur deprédiction. C’est pourquoi, nous utiliserons des méthodes stochastiquesinspirées de ces méthodes déterministes que sont la méthode de Mack et laméthode de glm.

1 La méthode de Mack2 La méthode du glm

Fouad Marri 137 / 151

1)Méthodes stochastiques : Modèle de Mack

Le modèle stochastique de Mack (1993) relatif à la méthode Chain Ladderrepose sur trois hypothèses. Les deux premières sont les suivantes :(H1)

n

Ci ,1, · · · ,Ci ,n

o

,n

Cj ,1, · · · ,Cj ,n

o

, i 6= j sont indépendants ;

(H2) Eh

Ci ,k+1|Ci ,1, · · · ,C

i ,k

i

= �k

Ci ,k , 1 i n, 1 k n � 1

(H3) Varh

Ci ,k+1|Ci ,1, · · · ,C

i ,k

i

= �2k

Ci ,k , 1 i n,

La première hypothèse signifie que les années de survenance sontindépendantes entre elles.La deuxième hypothèse traduit quant à elle deux hypothèses de base de laméthode Chain Ladder.

Fouad Marri 138 / 151

Théorème :Sous les hypothèses (H1) et (H2), les estimateurs standards de Chain

Ladder, i.e. �k

=

n�kPi=1

C

i,k+1

n�kPi=1

C

i,k

sont sans biais, et non-corrélés.

Démonstration :

Eh

�k

i

= Eh

E⇣

�k

|Ci ,1, · · · ,C

i ,k

⌘i

= Eh

E⇣

n�kPi=1

C

i,k+1

n�kPi=1

C

i,k

�

�

�

Ci ,1, · · · ,C

i ,k

⌘i

=

E

"

1n�kPi=1

C

i,k

n�k

P

i=1E⇣

Ci ,k+1

�

�

�

Ci ,1, · · · ,C

i ,k

⌘

#

= �k

Sous les deux hypothèses, le modèle stochastique induit fournit exactementles mêmes réserves que la méthode Chain Ladder lorsque les facteurs �

k

sont estimés par �k

=

n�kPi=1

C

i,k+1

n�kPi=1

C

i,k

Fouad Marri 139 / 151

Modèle de Mack :Calcul de l’erreur sur la réserve

Ci ,n fournit un estimateur mais pas la valeur exacte de C

i ,n. Nous nousintéressons à la distance moyenne entre l’estimateur et la vraie valeur.L’erreur carrée moyenne, mse(C

i ,n) de l’estimateur Ci ,n de C

i ,n se définitpar

mse⇣

Ci ,n

⌘

= Eh⇣

Ci ,n � C

i ,n

⌘2|D

i

Nous calculons l’erreur quadratique moyenne (MSEP - Mean Square ofError of predicion) en Conditionnant par rapport aux données passées :

mse⇣

Ri

⌘

= E

"

⇣

Ri

� Ri

⌘2�

�

�

�

�

Ci ,j : i + j n + 1

#

Ri

= Ci ,n � C

i ,n�i+1

Ri

� Ri

= Ci ,n � C

i ,n

mse⇣

Ri

⌘

= mse⇣

Ci ,n

⌘

Fouad Marri 140 / 151

Modèle de Mack :Calcul de l’erreur sur la réserveThéorème : Mack propose d’estimer l’erreur quadratique moyenne (meansquared error : mse) du montant de provision par

mse⇣

Ri

⌘

= C 2i ,n

n�1X

k=n�i+1

�2k

�2k

1Ci ,k

+1

n�k

P

j=1Cj ,k

!

Remarque : Dans certains articles nous trouvons le terme "d’erreur type"ou "standard error" noté se(R

i

) =q

mse(Ri

) .Dans son raisonnement, Mack propose également un estimateur sans biaisde �2

k

Théorème : �2k

= 1n�k�1

n�k

P

i=1Ci ,k

⇣

C

i,k+1

C

i,k� �

k

⌘2, k = 1, · · · , n � 2, et

�2n�1 = min

�4

n�2

�2

n�3

,min(�2n�3, �

2n�2)

!

, est un estimateur non-biaisé de �2k

Fouad Marri 141 / 151

Exemple

2

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 2 3 42011 35.4 37.69 39.13 39.76 40.162012 38.61 41.61 43.37 44.562013 43.85 47.30 49.452014 49.52 53.332015 55.47

3

7

7

7

7

7

7

7

5

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Modèle de Mack sous R

.

Fouad Marri 143 / 151

Modèle de Mack : Intervalles de confiance

Le modèle de Mack permet d’estimer la moyenne de la variable aléatoireRi

(par Ri

), ainsi que l’écart-type de cette même variable aléatoire par

se(Ri

) =q

mse(Ri

)Pour établir des intervalles de confiance sur les réserves estimées, il fautposer une hypothèse paramétrique sur la distribution des R

i

.Si un nombre suffisant de données est disponible, la distribution normaleest un bon candidat.Un intervalle de confiance à 95 % est alors donné par

h

Ri

� 1.96se(Ri

), Ri

+ 1.96se(Ri

)i

Fouad Marri 144 / 151

Modèle de Mack : Intervalles de confiance

La distribution Normale peut cependant conduire à une borne inférieurenégative, pas très instructive. La distribution Log Normale constitue unebonne alternative.Ri

⇠ LogN(µi

,�i

) telle que :

exp⇣

µi

+�2i

2

⌘

= Ri

exp⇣

2µi

+ �2i

⌘

exp⇣

�2i

� 1⌘

=⇣

se(Ri

)⌘2

par conséquent µi

= ln(Ri

)� �2

i

2 �2i

= ln

⇣

se(Ri

)

R

i

⌘2!

+ 1

Un intervalle de confiance à 95 % est alors donné par"

eµi

�1.96�i , eµi

+1.96�i

#

=h

Ri

exp⇣

� �2i

2� 1.96�

i

⌘

, Ri

exp⇣

� �2i

2+ 1.96�

i

⌘i

2) La méthode du glm

Les GLM supposent les paiements non-cumulés Yi ,j distribués selon une

loiappartenant à la famille exponentielle linéaire.La modélisation stochastique GLM part de la supposition que les incrémentsde paiements du rectangle de liquidation sont des variables aléatoires.On les note Y

ij

, i , j = 0, · · · , n.Les éléments du triangle supérieur ont été en effet observés. Il s’agit donc deréalisations bien connues qu’on note (y

ij

)i+jn

.On suppose par la suite que les Y

ij

, i , j = 0, · · · , n sont des variablesaléatoires identiquement distribuées. On y rajoute l’hypothèsed’indépendance pour pouvoir utiliser l’approche GLM.Les variables choisies pour leur influence explicite sur la variable dépendanteYij

sont :L’année de survenance i :elle sera paramétrée par un coefficient ↵

i

.Le délai de règlement j :elle sera paramétrée par un coefficient �

j

.E (Y

ij

) = eµ+↵i

+�j

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2) La méthode du glm : Loi Log-Normale

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2) La méthode du glm : Loi Log-Normale

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2) La méthode du glm : Loi Log-Normale

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2) La méthode du glm : Loi Gamma

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2) La méthode du glm : Loi Gamma

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