Comment montrer qu'une suite est convergente ?

7/23/2019 Comment montrer qu'une suite est convergente ?

http://slidepdf.com/reader/full/comment-montrer-quune-suite-est-convergente- 1/1

    I    c   b    d   g    R   u    c   t   g   s  „

    E    ã   t   d

   m   n   g   s   g   t    J   k   k   j   a   g   s  „

    d   t   t   p   <    /    /   g   x   m   s    ?   e   j   t    d

 .    i   r   g   g .    i   r

    /

Emktrgr qu–ukg suctg rãgaag gst bmkvgrfgktg.

_jppga ng bmurs

Nãkctcmk

Wkg suctg (uk)k∄K  gst nctg bmkvgrfgktg vgrs uk rãga  ℒ, sc tmut cktgrvjaag muvgrt bmktgkjkt  ℒ  bmktcgkt tmus ags tgregs

ng aj suctg è pjrtcr n–uk bgrtjck rjkf  k8. Wkg suctg quc kg bmkvgrfg pjs gst nctg ncvgrfgktg.

Xrmprcãtãs

•  Rc ukg suctg bmkvgrfg, jamrs sj acectg gst ukcqug <  ace uk 5  ℒ.•  Rc  (uk) bmkvgrfg vgrs  ℒ, sc (vk)  bmkvgrfg vgrs  ℒ ‿, gt sc, è pjrtcr n–uk bgrtjck rjkf <  uk ≮ vk, jamrs  ℒ ≮ ℒ‿.•  Rc  (uk) tgkn vgrs  +∛, gt sc, è pjrtcr n–uk bgrtjck rjkf <  uk ≮ vk, jamrs (vk) tgkn vgrs  +∛.• Rc, è pjrtcr n–uk bgrtjck rjkf < |uk ∟ ℒ| ≮ vk, gt sc aj suctg (vk) bmkvgrfg vgrs ℒ‿, jamrs (uk) bmkvgrfg vgrs (ℒ + ℒ‿).•  Rmct (uk)k≧k8  ukg suctg nãkcg pmur tmut  k ≧ k8  pjr  uk 5  i (k). Rc   ace

x↟+∛i (x) 5 ℒ, jamrs   ace

k↟+∛uk 5  ℒ.

^dãmräegs

• Rc ngux suctgs  (uk) gt  (vk) bmkvgrfgkt vgrs uk rãga  ℒ, gt sc, è pjrtcr n–uk bgrtjck rjkf <  uk ≮ wk ≮ vk, jamrs (wk)bmkvgrfg jussc vgrs  ℒ   (^dãmräeg ngs fgknjregs).•  Wkg suctg brmcssjktg gt ejlmrãg gst bmkvgrfgktg (^dãmräeg ng aj bmkvgrfgkbg emkmtmkg).•  Wkg suctg nãbrmcssjktg gt eckmrãg gst bmkvgrfgktg (^dãmräeg ng aj bmkvgrfgkbg emkmtmkg).• Rmct (uk)k≧k8

 ukg suctg nãkcg pjr rãburrgkbg pmur tmut  k ≧ k8 pjr  uk+: 5  i (uk). Rc bgttg suctg gst bmkvgrfgktggt sc aj imkbtcmk  i   gst   bmktckug  gk  ℒ, jamrs sj acectg  ℒ  gst ukg smautcmk ng a–ãqujtcmk  ℒ  5  i (ℒ).

Eãtdmng

Xmur sjvmcr sc ukg suctg bmkvgrfg, vmus a–jurgz bmeprcs, ca ijunrj gssjygr « n–gkbjnrgr ° bgttg suctg.Mk pmurrj nmkb ãtuncgr sgs omrkgs pucs s–jcngr ngs prmprcãtãs gt ngs tdãmräegs rjppgaãs bc-ngssus pmur bmkbaurg.

Gxgrbcbg :  (Xmaykãscg ?8:2)

Mk bmkscnärg aj suctg  (uk)k∄K  nãkcg pjr  u8 5 :

?

 gt tgaag qug pmur tmut gktcgr kjturga  k,  uk+: 5  2uk

: + ?uk

.

Mk jnegt qug pmur tmut gktcgr kjturga  k,  8 1 uk  1  :.Nãemktrgr qug aj suctg  (uk) gst brmcssjktg. Gk nãnucrg qug aj suctg  (uk)  bmkvgrfg.

Gxgrbcbg ?  (Xmkncbdãry ?8:2)

Rmct ags suctgs  (C k)  gt  (L k)  nãkcgs pmur tmut  k ∄ K  pjr <  C k  5

   :8

g∟kx

: + x nx   gt   L k 5

   :8

g∟kx

(: + x)?  nx.

:. Emktrgr qug pmur tmut gktcgr  k ≧ 8  gt pmur tmut rãga  x ∄ P80 :U <  8 ≮  g∟kx

(: + x)?  ≮

  g∟kx

: + x  ≮ g∟kx.

?. Emktrgr qug ags suctgs (C k) gt  (L k) smkt bmkvgrfgktgs gt nãtgreckgr agur acectg.

Gxgrbcbg :

:. Bmeeg pmur tmut   k   ∄   K,   uk   ;   8, pmur ãtuncgr agsvjrcjtcmks ng aj suctg, mk pgut bmepjrgr   uk+:

uk

è  :  <

uk+:

uk

52uk

:+?uk

uk

5  2

: + ?uk

ejcs pmur tmut k ∄ K < uk  1  :

⇞ ?uk  1  ? ⇞ : + ?uk  1  2 ⇞ : 1   2:+?uk

bjr : + ?uk ;  8.

Ickjagegkt aj suctg  (uk) gst brmcssjktg.

?. Aj suctg   (uk)   gst   brmcssjktg   gt   ejlmrãg   pjr   : 0 gaagbmkvgrfg nmkb vgrs ℒ ≮ : n–jpräs ag tdãmräeg ng aj bmkvgr-fgkbg emkmtmkg.Jttgktcmk <   kg pjs bmkbaurg qug aj acectg vjut : ! Gkggt, mk j jussc   uk   1   :8  ejcs mk kg pgut pjs bmkbaurgkmk paus qug sj acectg vjut :8. Xmur bjabuagr aj acectg caijut nmkb ecgux gkbjnrgr  uk  mu motgkcr smk gxprgsscmk.

Gxgrbcbg ?

:.  x ≧ 8 ⇟ : + x ≧ : ⇟   ::+x

≮   ::

  mr g∟kx ; 8  nmkb pmur

tmut  k ∄ K  <   g∟kx

:+x≮ g∟kx.

Ng paus : + x ≧ : ⇟ (: + x)? ≧ :(: + x) ⇟   :(:+x)?   ≮   :

:+x

nmkb pmur tmut  k ∄ K <   g∟kx

(:+x)?  ≮   g

∟kx

:+x.

Gkk ca gst ãvcngkt qug pmur tmut   k   ∄   K   <   g∟kx

(:+x)?  ≧   8

nmkb mk motcgkt ocgk <  8 ≮   g∟kx

(:+x)?  ≮   g

∟kx

:+x≮ g∟kx.

?. Xjr cktãfrjtcmk sur a–cktgrvjaag  P80 :U ngs ckãfjactãs prã-bãngktgs, mk motcgkt pjr brmcssjkbg ng a–cktãfrjag, aj rgaj-

tcmk pmur tmut  k ∄ K  <  8 ≮ L k  ≮ C k ≮

∟ :k

g∟kx:8

.

Rmct <   8  ≮   L k   ≮   C k   ≮ ∟ :k

g∟k ∟ :

.   Mr   ace

k↟+∛g∟k 5 8

nmkb pjr prmnuct ng acectgs   acek↟+∛ ∟ :

k

g∟k ∟ :

 5 8.

N–jpräs ag tdãmräeg ngs fgknjregs,   (C k)   gt   (L k)bmkvgrfgkt vgrs 8.