Conduction en régime permanent a) Introduction En régime permanent Dans un milieu: isotrope...

Conduction en régime permanent

a) Introduction

div kgradT→ ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ + q

.=0En régime permanent div kgradT

→ ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ + q

.=ρC

∂T∂t

k∂2T

∂x2 +∂2T

∂y2 +∂2T

∂z2 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +q

.=0

Dans un milieu:• isotrope • homogène

k indépendant de la directionk indépendant de la position

0qTk =+Δ &

Conduction en régime permanent

Conduction en régime permanent

• a - Intro

• b - Cas du mur

Conduction en régime permanent

b) Cas du mur en absence de source interne 0qTk =+Δ &

T=ax+b a et b dépendent des conditions aux limites

1 2

∆ • Températures T1 et T2 imposées

T =T2 −T1

Δx+ T1

• Température T1 et flux de chaleur en 2 (q∆) imposées

T =−qΔkΔ

x+ T1

• Conditions d’échanges en 1 et 2 imposées

Conduction en régime permanent

Notion de résistance thermique

q =−kAΔ

ΔT

q =−ΔTR th A

k Δ=thR

i =ΔVR

R =ρlS

1 2

∆

T1 T2thR

3

∆’

thR' T3

Conduction en régime permanent

Conduction en régime permanent

• a - Intro

• b - Cas du mur

• c - cas d’un cylindre

Conduction en régime permanent

c) cas d’une couronne cylindrique

R1

R2r

T1

T2

A travers le cylindre de rayon r

q =−k 2πrL( )dTdr

En régime permanent q est indépendant de r

dT =−q

2πkLdrr

T =−q

2πkLlogr+ a

L

Conduction en régime permanent

c) cas d’une couronne cylindrique

R1

R2r

T1

T2

T =−q

2πkLlogr+ a

r=R1 T=T1

r=R2 T=T2 T2 =−q

2πkLlogR2 +a

T1 =−q

2πkLlogR1 +a

L

Conduction en régime permanent

c- cas d’une couronne cylindrique

R1

R2r

T1

T2

T1 =−q

2πkLlogR1 +a

T2 =−q

2πkLlogR2 +a

T2 −T1 =−q

2πkLlog

R2R1

=qRth Avec

R th =1

2πkLlog

R1R2

L

Conduction en régime permanent

Conduction en régime permanent

• a - Intro

• b - Cas du mur

• c - cas d’un cylindre

• d - cas d’une sphère

Conduction en régime permanent

T =q

4πkr+a

rT1

T2d) cas d’une sphère creuse

q =−k 4πr2( )dTdr

dT =−q

4πkdr

r2

Conduction en régime permanent

T =q

4πkr+a

T2 −T1 =q4π

1R2

−1R1

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =qRth ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π=

12th R

1R1

41R

rT1

T2

r=R1 T=T1

r=R2 T=T2

d) cas d’une sphère creuse

Conduction en régime permanent

Conduction en régime permanent

• a - Intro

• b - Cas du mur

• c - cas d’un cylindre

• d - cas d’une sphère

• e - Propriétés de k

Conduction en régime permanent

Gaz à la température T

E =12

mv2 =32

kBT

m

v

T

e) Propriétés de k

Conduction en régime permanent

Gaz à la température T

E =12

mv2 =32

kT

T(x)

A

Conduction en régime permanent

Gaz à la température T

E =12

mv2 =32

kT

T1

23 23

T2T(x)

A

B

EA =32

kBT1 =32

kBT x−23

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

EB =32

kBT2 =32

kBT x+23

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

= libre parcours moyen

Conduction en régime permanent

Gaz à la température T

T1

23 23

T2T(x)

A

B

EA =32

kBT1 =32

kBT x−23

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

EB =32

kBT2 =32

kBT x+23

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

ΔE = EA − EB = −3

2kB

4

3δ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟dT

dx

Conduction en régime permanent

Gaz à la température T

T1

23 23

T2T(x)

A

B

ΔE = EA − EB = −3

2kB

4

3δ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟dT

dx

si est le nombre de particules qui traversentle plan x (par unité de S) dans un sens

q= Δ On démontre que =1

4nv

q =−12

kBn vdTdx

=−kdTdx

Conduction en régime permanent

Gaz à la température T

T1

23 23

T2T(x)

A

B

q =−12

kBn vdTdx

=−kdTdx

On peut montrer que k ∝ T

k∝1

b M

b : section efficace des particules

M : masse molaire

Par m2

Conduction en régime permanent

K(M/mK)

0,4

0,2

T(°C)

200 400

H2

He

O2

AirCO2

k ∝ T

k∝1

b M

Conductibilité de quelques gaz

Conduction en régime permanent

Remarque sur l’effet de la pression

k =12

kBn v

La pression joue sur n et sur

La thermalisation du gaz demande en fait plusieurs chocs

a un rôle prépondérant

T1 T2

Conduction en régime permanent

T1 T2

T1 T2

D

D

K' =KD

D+

Conduction en régime permanent

Cas des liquides

Conduction en régime permanent

cas des solides

Très grande diversité de comportements :

Conducteurs Contribution électronique et du réseau

k(W/mK)209,3389,674,420,911

ρ(m10-8)2,621,559,049,075

*109

20,122,124,537,530,2

T=273KAlCuFeConstantanInvar

k

σT=2, 4510−8 WK−2loi de Wiedemann Frantz:

Conduction en régime permanent

0

100

200

300

400

500

-200 0 200 400 600 800

Al

Fe

Ag

Cu

Température(C)

k [

W/m

K]

Conduction en régime permanent

cas des solides

Tres grande diversité de comportements :

Conducteurs

Isolants

Contribution électronique et du réseau

Contribution du réseau seulement

Généralement k augmente avec T

Conduction en régime permanent

cas des solides

Très grande diversité de comportements :

Conducteurs

Isolants

Inhomogènes

Contribution électronique et du réseau

Contribution du réseau seulement

Céramiques

On traite comme si le matériau était homogène avec un kapparent

Conduction en régime permanent

Exemple les matériaux frittés - céramiques

Porosité p =1−déchantillon

dmassif

kapp ≈kmassif1−p( )

Conduction en régime permanent

cas des solides

Tres grande diversité de comportements :

Conducteurs

Isolants

Inhomogénes

Composites

Contribution électronique et du réseau

Contribution du réseau seulement

Céramiques

Conduction en régime permanent

Exemples Nappes de conducteurs électriques

d’

dkapp =kiΦ

dd' ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

2

4

6

8

10

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1d/d'

Conduction en régime permanent

Conduction en régime permanent

• a - Intro

• b - Cas du mur

• c - cas d’un cylindre

• d - cas d’une sphere

• e - Propriétés de k

• f - Exemple d’une ailette

Conduction en régime permanent

Ailettes de refroidissement

p=périmetre de la section SA

l

x

q1 q2

q3

Conduction en régime permanent

q1 =−kAd(Tx+dx)

dx+ hPdx(T −Ta)

q1 =−kAdTx

dx=q2 + q3

q1 q2

q3

d2θdx2

−m2θ =0

T-Ta=θ

m =hpkA

Conduction en régime permanent

d2θdx2

−m2θ =0 m =hpkA

θ =C1emx + C2e−mx

Question - Comment calculer C1 et C2 ?

Conduction en régime permanent

Rendements de l’ailette

η=Qdis

hAθ0

Par l’ailette

Si pas d’ailette

η=Qdis

hSLθ0

Par l’ailette

Si toute l’ailette à T0

1

2

Conduction en régime permanent

Conduction en régime permanent

• a - Intro

• b - Cas du mur

• c - cas d’un cylindre

• d - cas d’une sphère

• e - Propriétés de k

• f - Exemple d’une ailette

• g - Milieux avec sources internes

Conduction en régime permanent

g) Milieux avec sources internes0qTk =+Δ &

•1- Cas du mur baxxk2

qT 2 ++−= &

TaTa

∆

€

T =˙ q

2kΔ2

4−x2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +Ta

Conduction en régime permanent

• 2-Cas du cylindre infini ( ) 0qdrdT

r1

drTdk 2

2

=++ &

1

rr

dT

dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟brlogar

k4qT 2 ++−= &

∆- Cylindre plein

r=0 T doit rester finie a=0

€

T =˙ q

4kΔ2

4−r2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +Ta

- Cylindre creux

TaTa

•3- Cas de la sphère( ) 0q

drdT

r2

drTdk 2

2

=++ &0qTk =+Δ &

En posant u=dT/dt brar

k6qT 2 +−−= &

• Sphère pleine : a=0

0

r∆

€

T =˙ q

6kΔ2

4−r2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +Ta

0r

La quantité de chaleur générée dans la sphère de rayon r

3r34q π&

est évacuée par conduction

( )drdTr4k 2π−

r3q

drdTk

&−=

Remarque Conduction en régime permanent

Conduction en régime permanent

•FIN