Conduction en régime permanent a) Introduction En régime permanent Dans un milieu: isotrope homogène k indépendant de la direction k indépendant de la

Conduction en régime permanent

a) Introduction

div kgradT→ ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ + q

.=0En régime permanent div kgradT

→ ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ + q

.=ρC

∂T∂t

k∂2T

∂x2 +∂2T

∂y2 +∂2T

∂z2 ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +q

.=0

Dans un milieu:• isotrope • homogène

k indépendant de la directionk indépendant de la position

0qTk =+Δ &



• a - Intro

• b - Cas du mur


b) Cas du mur en absence de source interne 0qTk =+Δ &

T=ax+b a et b dépendent des conditions aux limites

1 2

∆ • Températures T1 et T2 imposées

T =T2 −T1

Δx+ T1

• Température T1 et flux de chaleur en 2 (q∆) imposées

T =−qΔkΔ

x+ T1

• Conditions d’échanges en 1 et 2 imposées


Notion de résistance thermique

q =−kAΔ

ΔT

q =−ΔTR th A

k Δ=thR

i =ΔVR

R =ρlS

1 2

∆

T1 T2thR

3

∆’

thR' T3



• a - Intro

• b - Cas du mur

• c - cas d’un cylindre


c) cas d’une couronne cylindrique

R1

R2r

T1

T2

A travers le cylindre de rayon r

q =−k 2πrL( )dTdr

En régime permanent q est indépendant de r

dT =−q

2πkLdrr

T =−q

2πkLlogr+ a

L


c) cas d’une couronne cylindrique

R1

R2r

T1

T2

T =−q

2πkLlogr+ a

r=R1 T=T1

r=R2 T=T2 T2 =−q

2πkLlogR2 +a

T1 =−q

2πkLlogR1 +a

L


c- cas d’une couronne cylindrique

R1

R2r

T1

T2

T1 =−q

2πkLlogR1 +a

T2 =−q

2πkLlogR2 +a

T2 −T1 =−q

2πkLlog

R2R1

=qRth Avec

R th =1

2πkLlog

R1R2

L



• a - Intro

• b - Cas du mur


• d - cas d’une sphère


T =q

4πkr+a

rT1

T2d) cas d’une sphère creuse

q =−k 4πr2( )dTdr

dT =−q

4πkdr

r2


T =q

4πkr+a

T2 −T1 =q4π

1R2

−1R1

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =qRth ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −π=

12th R

1R1

41R

rT1

T2

r=R1 T=T1

r=R2 T=T2

d) cas d’une sphère creuse



• a - Intro

• b - Cas du mur



• e - Propriétés de k


Gaz à la température T

E =12

mv2 =32

kBT

m

v

T

e) Propriétés de k



E =12

mv2 =32

kT

T(x)

A



E =12

mv2 =32

kT

T1

23 23

T2T(x)

A

B

EA =32

kBT1 =32

kBT x−23

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

EB =32

kBT2 =32

kBT x+23

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

= libre parcours moyen



T1

23 23

T2T(x)

A

B

EA =32

kBT1 =32

kBT x−23

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

EB =32

kBT2 =32

kBT x+23

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

ΔE = EA − EB = −3

2kB

4

3δ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟dT

dx



T1

23 23

T2T(x)

A

B

ΔE = EA − EB = −3

2kB

4

3δ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟dT

dx

si est le nombre de particules qui traversentle plan x (par unité de S) dans un sens

q= Δ On démontre que =1

4nv

q =−12

kBn vdTdx

=−kdTdx



T1

23 23

T2T(x)

A

B

q =−12

kBn vdTdx

=−kdTdx

On peut montrer que k ∝ T

k∝1

b M

b : section efficace des particules

M : masse molaire

Par m2


K(M/mK)

0,4

0,2

T(°C)

200 400

H2

He

O2

AirCO2

k ∝ T

k∝1

b M

Conductibilité de quelques gaz


Remarque sur l’effet de la pression

k =12

kBn v

La pression joue sur n et sur

La thermalisation du gaz demande en fait plusieurs chocs

a un rôle prépondérant

T1 T2


T1 T2

T1 T2

D

D

K' =KD

D+


Cas des liquides


cas des solides

Très grande diversité de comportements :

Conducteurs Contribution électronique et du réseau

k(W/mK)209,3389,674,420,911

ρ(m10-8)2,621,559,049,075

*109

20,122,124,537,530,2

T=273KAlCuFeConstantanInvar

k

σT=2, 4510−8 WK−2loi de Wiedemann Frantz:


0

100

200

300

400

500

-200 0 200 400 600 800

Al

Fe

Ag

Cu

Température(C)

k [

W/m

K]


cas des solides

Tres grande diversité de comportements :

Conducteurs

Isolants

Contribution électronique et du réseau

Contribution du réseau seulement

Généralement k augmente avec T


cas des solides

Très grande diversité de comportements :

Conducteurs

Isolants

Inhomogènes



Céramiques

On traite comme si le matériau était homogène avec un kapparent


Exemple les matériaux frittés - céramiques

Porosité p =1−déchantillon

dmassif

kapp ≈kmassif1−p( )


cas des solides

Tres grande diversité de comportements :

Conducteurs

Isolants

Inhomogénes

Composites



Céramiques


Exemples Nappes de conducteurs électriques

d’

dkapp =kiΦ

dd' ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

2

4

6

8

10

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1d/d'



• a - Intro

• b - Cas du mur


• d - cas d’une sphere


• f - Exemple d’une ailette


Ailettes de refroidissement

p=périmetre de la section SA

l

x

q1 q2

q3


q1 =−kAd(Tx+dx)

dx+ hPdx(T −Ta)

q1 =−kAdTx

dx=q2 + q3

q1 q2

q3

d2θdx2

−m2θ =0

T-Ta=θ

m =hpkA


d2θdx2

−m2θ =0 m =hpkA

θ =C1emx + C2e−mx

Question - Comment calculer C1 et C2 ?


Rendements de l’ailette

η=Qdis

hAθ0

Par l’ailette

Si pas d’ailette

η=Qdis

hSLθ0

Par l’ailette

Si toute l’ailette à T0

1

2



• a - Intro

• b - Cas du mur




• f - Exemple d’une ailette

• g - Milieux avec sources internes


g) Milieux avec sources internes0qTk =+Δ &

•1- Cas du mur baxxk2

qT 2 ++−= &

TaTa

∆

€

T =˙ q

2kΔ2

4−x2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +Ta


• 2-Cas du cylindre infini ( ) 0qdrdT

r1

drTdk 2

2

=++ &

1

rr

dT

dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟brlogar

k4qT 2 ++−= &

∆- Cylindre plein

r=0 T doit rester finie a=0

€

T =˙ q

4kΔ2

4−r2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +Ta

- Cylindre creux

TaTa

•3- Cas de la sphère( ) 0q

drdT

r2

drTdk 2

2

=++ &0qTk =+Δ &

En posant u=dT/dt brar

k6qT 2 +−−= &

• Sphère pleine : a=0

0

r∆

€

T =˙ q

6kΔ2

4−r2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +Ta

0r

La quantité de chaleur générée dans la sphère de rayon r

3r34q π&

est évacuée par conduction

( )drdTr4k 2π−

r3q

drdTk

&−=

Remarque Conduction en régime permanent


•FIN

Documents

Conduction en régime permanent a) Introduction En régime permanent Dans un milieu: isotrope homogène k indépendant de la direction k indépendant de la