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Contraintes et déformations (1)
Pour un point matériel :
La connaissance des forces auxquelles est soumis le point permet de déterminer complètement le mouvement de celui-ci.
Pour un milieu étendu (continu) ?
Forces Contraintes
Mouvement Déformations
Masse Masse volumique
Ça ne suffit pas !
Il faut connaître les propriétés mécaniques du milieu (solide élastique, fluide visqueux, milieu fragile...)
Plan du cours
Contraintes
Déformations
La notion de contrainte
Cette corde de diamètre 8 mm résiste à une charge de 400 kg (r= 4.10-3 m, F = 4.102 kg)
Le rapport des rayons vaut :
Le rapport des charges vaut :
Cette corde de diamètre 14 mm résiste à une charge de 1200 kg (r= 7.10-3 m, F = 12.102 kg)
La notion de contrainte
Cette corde de diamètre 8 mm résiste à une charge de 400 kg (r= 4.10-3 m, F = 4.102 kg)
Le rapport des rayons vaut :
Le rapport des charges vaut :
Le rapport des (rayons)2 vaut :
Cette corde de diamètre 14 mm résiste à une charge de 1200 kg (r= 7.10-3 m, F = 12.102 kg)
C'est une contrainte
L'unité de mesure est le N/m2 = Pascal (Pa)
(comme la pression atmosphérique)
La charge de rupture, ou la force maximale F est proportionnelle à la section S de la corde :
F(*) = 9.8 m.s-2 x 4.102 kg ≈ 4.103 N S(**) = π.(4.10-3 m)2 ≈ 5.10-5 m2
F = 9.8 m.s-2 x 12.102 kg ≈ 12.103 N S = π.(7.10-3 m)2 ≈ 15.10-5 m2
F/S ≈ (4/5).108 = (12/15).108 = 0.8 108 Nm-2
(*) Force (N) = Masse (kg) x Accélération (m.s-2) (**) Surface (=section; m2) = π x r2(m)
Une contrainte s'exerce toujours sur une surface
1- Elle peut être perpendiculaire à cette surface :
La contrainte est alors dite normale,
et notée σn
σn
Dans la réalité, la contrainte s'exerce sur toute la surface de contact
Par convention : une compression est positive une extension est négative
2- Elle peut aussi être oblique par rapport à la surface sur laquelle elle s'exerce :
La contrainte se décompose alors en une contrainte normale, notée σn, et une
composante tangentielle, dite contrainte cisaillante, notée τ.
σn
τ
C'est le cas le plus général.
Il y a des contraintes à l'intérieur d'un milieu continu
Il y a eu rupture lorsque la contrainte normale sur la surface fictive est
devenue trop forte. surface fictive
La surface est devenue une surface de rupture effective.
Autre exemple :
surface fictive Il y a eu rupture lorsque la contrainte
cisaillante sur la surface fictive est devenue trop forte.
La surface est devenue une surface de rupture effective.
Séisme
Glissement de terrain
D'où viennent les contraintes ?
Dès qu'un milieu continu est soumis à des forces extérieures :
- forces de surface - forces de volume
il est soumis à des contraintes.
Connaître les contraintes à l'intérieur d'un milieu continu signifie pouvoir les calculer en chaque point et pour
toutes les orientations de surface possible...
En chaque point : calculer 9 nombres (tenseur)
Compliqué ?
On peut montrer que, pour chaque point, il existe 3 plans perpendiculaires 2 à 2 sur lesquels la contrainte est normale. Ces
plans sont appelés plans principaux.
Si on connaît ces 3 contraintes normales (σ1, σ2, σ3), appelées contraintes principales, alors on peut calculer les contraintes pour
n'importe quelle orientation.
σ1 σ2
σ3
Par convention : σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
Les contraintes principales marchent par 3 : il faut les préciser toutes les trois pour décrire complètement l'état de contrainte
Ces trois états de contrainte sont différents
σ1
σ3
σ3 = 0
σ1 σ1
σ2
σ2 σ3
σ2 = 0
Dans le cas général, l'orientation des plans principaux, celle des contraintes principales correspondantes et l'amplitude de
ces contraintes peut varier d'un endroit à l'autre.
Dans la pratique, on fera l'hypothèse que les directions ne changent pas sur une région suffisamment grande
Quelques exemples d'états de contraintes
Contrainte uniaxiale σ3 ≠ 0, σ1 = σ2 = 0
Contrainte plane σ1 ≠ 0 , σ3 ≠ 0, σ2 = 0
Contrainte isotrope σ1 = σ2 = σ3
Si σ1 = σ2 = σ3 = ρgz, l'état de contrainte est dit lithostatique
σ1
σ2 σ3
σ1 σ3
σ3
Dans la croûte, la direction verticale est l'une des 3 directions principales, les 2 autres directions principales sont nécessairement horizontales
σ1
σ2 = 0
σ3
Quelques exemples :
Dans une chaîne de montagnes, le raccourcissement est perpendiculaire à la chaîne. Pour une chaîne de direction N-S :
σ1 σ2
σ3
la contrainte principale maximum σ1 sera horizontale, de direction E-W et s'exercera sur un plan vertical de direction N-S.
la contrainte principale minimum σ3 sera verticale et s'exercera sur un plan horizontal.
la contrainte principale intermédiaire σ2 sera horizontale, de direction N-S et s'exercera sur un plan vertical de direction E-W.
Dans un rift, l'extension est perpendiculaire à la direction du rift. Pour un rift de direction N-S par exemple :
la contrainte principale maximum σ1 sera verticale et s'exercera sur un plan horizontal.
la contrainte principale minimum σ3 sera horizontale de direction E-W et s'exercera sur un plan vertical de direction N-S.
la contrainte principale intermédiaire σ2 sera horizontale de direction N-S et s'exercera sur un plan vertical de direction E-W.
σ1
σ2 σ3
Question : Comment sont les contraintes pour un décrochement sénestre de direction NE-SW ?
Contraintes et déformations (2)
Comportements mécaniques
Les déformations élastiques
Analogue du point matériel attaché à un ressort
La force et l'allongement sont proportionnels Quand on enlève la charge, le ressort retourne à sa longueur initiale
Domaine élastique
Dom
aine élastique
2- Déformations à l'intérieur des grains
2- Déformations à l'intérieur des grains = propagation des dislocations
Deux exemples:
Sismicité le long de la faille de San Andreas
Sismicité dans la région du Mt Rainier (Chaine des Cascades)
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