Cours GMP35a Systèmes Mécaniques 1 Thierry ALONSO – Septembre 2011 ver 1.0 1- Introduction 2-...

Cours GMP35aCours GMP35aSystèmes MécaniquesSystèmes Mécaniques

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1

Thierry ALONSO – Septembre 2011 ver 1.0

1- Introduction

2- Modélisation et Analyse de Mécanisme: 2-1 Liaisons et Schéma cinématique 2-2 Analyse mobilités et hyperstatismes de structure 2-3 Rendre une structure isostatique 2-4 Hyperstatisme de liaison

3- Dynamique-Cinétique- Energétique3-1 Résultante et moment Dynamique

3-2 Principe Fondamental de la Dynamique

3-3 Résultante et Moment Cinétique

3-4 Relation entre Résultante Cinétique/Dynamique et Moment Cinétique/Dynamique

3-5 Energie Cinétique

3-6 Système Equivalent

3-7 Théorème de l'énergie

Thierry.Alonso@ujf-grenoble.fr

2

1- Introduction

L'objectif de l'UE GMP35a est de vous donner les outils pour analyser un mécanisme au niveau de :1- sa structure (liaison, mobilité, hyperstatisme,…)2- son comportement dynamique

9 Heures de cours/TD16 Heures de TP : Logiciel CAO et Calculs Mécanique (Solidworks+Meca3D)

Déroulement :

CC1 coeff 0,25 + CC2 coef 0,25Examen (durée 2h) coeff 0,5

Evaluation :

Les équations seront présentées sous leur forme générale, mais rapidement simplifiées pour pouvoir les utiliser dans des cas simples de systèmes de solides en translation ou en rotation autour d'un axe fixe. Les cas plus complexes seront traités en TP à l'aide d'un logiciel de simulation mécanique.

31-2 Thème support : Ascenseur de radiologie

-Translation / y de la table d'examen / bâti Ty (course: 2500 mm.)- Rotation / y du bras / bâti Ry (débattement 360°)- Rotation / z de l'arceau / bras Rz (débattement 150°)- Translation / x du récepteur d'images / arceau Tx (course: 450 mm.)

Zone d'étude

5

2- Modélisation :2-1 Schéma cinématique minimal

3- Dynamique-Energétique

Bâti

Arbre moteur

Vis

Chariot

Pivot

Hélicoïdale

Piv

ot

courro

ie

Glis

sièr

eM

oteu

r

+ A

Mot

eur

+ A

+ B

Mot

eur

+ A

C +

(0)

(1)

(2)

(3)

(2)

(1)

(3)

7

2- Modélisation :2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure

Mobilité (utile) : mu=1

Nb de pièces sans le bâti : Ns = 2

Inconnues Statiques de liaison : Is = 15 inc

2x6 équations = 12 équations

1 équation du PFS non exploitables11 équations exploitables !!!

Glissière : 5 incGlissière Hélicoïdale 5 incPivot : 5 inc

Degré d'hyperstatisme : 15 eq -11inc = 4

Par une analyse statique globale

Mot

eur

+ A

Mot

eur

+ A

+ B

Mot

eur

+ A

C +

(2)

(1)

(3)

Bâti

Arbre moteur

Vis

Chariot

Pivot

Hélicoïdale

Piv

ot

courro

ie

Glis

sièr

e (0)

(1)

(2)

(3)

9

2- Modélisation :2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure

Par une analyse cinématique détaillée

Mot

eur

+ A

Mot

eur

+ A

+ B

Mot

eur

+ A

C +

(2)

(1)

(3)

Bâti

Arbre moteur

Vis

Chariot

Pivot

Hélicoïdale

Piv

ot

courro

ie

Glis

sièr

e (0)

(1)

(2)

(3){1/0}M+ {2/1}M {0/2}M= {0} Bouclage cinématique :

A choisir judicieusement

pt idem

,,,10

0/10/1 00v

000

)0/1,(

zyxC

C xCV

Apt au idem

,,,21

211/21/2 00v

00

)1/2,( zyxBB x

x

BV

Bpt au idem

,,,

022/02/0 000

00

)2/0,( zyxAA

x

AV

11

2- Modélisation :2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure

Par une analyse cinématique détaillée

Mot

eur

+ A

Mot

eur

+ A

+ B

Mot

eur

+ A

C +

(2)

(1)

(3)

{1/0}A+ {2/1}A {0/2}A= {0} Bouclage cinématique :

Résultante :

0000 /

0000 /

0xx0 / 0221

z

y

x

Moment en A :

0000 /

0000 /

0xx0 / 0221

z

y

VVx

Hyperstatisme en "rotation" autour de y

Hyperstatisme en "rotation" autour de z

Hyperstatisme en "translation" autour de z

Hyperstatisme en "rotation" autour de z

Hyperstatisme en "translation" autour de y

Dh = 4

132- Modélisation :2-3 Rendre isostatique une structure

Modifier une liaison, en ajoutant des mobilités

Solution N°1 : en ajoutant une linéaire annulaire

Bâti(0)

Arbre moteur(3)

Vis(2)

Chariot(1)

Pivot

Hélicoïdale

Piv

ot

courro

ie

Glissiè

re

Ecrou(4)

LinéaireAnnulaire

{1/0}B + {4/1}B + {2/4}B + {0/2}B= {0}

Bouclage cinématique :

pt idem

,,,100/1 00v

000

zyxC

C x

zyxBBDBDBDBD

B xyyxzxyzy

zyx

,,,4141414141

4141411/4 v

Apt au idem

,,,24

244/2 00v

00

zyxBB x

x

zyxD

D y

zyx

,,,41

4141411/4 0v0

Mot

eur

+ A

+ BC +

D+

Mot

eur

+ A

+ BC +

D+

Bpt au idem

,,,

022/0 000

00

zyxAA

x

0

0

0

0

0

0

4141

4141

411024

41

41

202441

xyyx

zxvy

zyvxvx

z

y

xxx

BDBD

BD

BD

Si pas de défauts géométriques : 041414141 vyzyx

152- Modélisation :2-3 Rendre isostatique une structure Solution N°2 : en ajoutant 2 pivot glissant d'axe y et z

+ A

+ B

C ++

DE +

xyz

+ A

+ B

C ++

DE +

xyz

xyz

Bâti(0)

Arbre moteur(3)

Vis(2)

Chariot(1)

Pivot

Hélicoïdale

Piv

ot

courro

ie

Glissiè

re

Ecrou(4)

Croisillon(5)

Pivot glissant Ey

Pivot glissant Dz

{1/0}B + {5/1}B + {4/5}B + {2/4}B+ {0/2}B= {0} Bouclage cinématique :

pt idem

,,,100/1 00v

000

zyxC

C x

Apt au idem

,,,24

244/2 00v

00

zyxBB x

x

Bpt au

,,,41

511/5 0v0

00

idem

zyxEE y

y

Bpt au idem

,,,

022/0 000

00

zyxAA

x

Bpt au

,,,45

455/4 v00

00

idem

zyxDD z

z

0

0

0

0

0

0

45

41

1024

45

51

2024

vz

vy

vxvx

z

y

xx

172- Modélisation :2-4 Hyperstatisme de liaison

Mot

eur

Mot

eur

Etude statique globale :Nb de pièces = 5 30 équations statiquesNb de mobilité : utile = 1 ; interne = 4 (sans RSG)Nb d'inconnues de liaison : 8 ponctuelle + 5 pivot = 33 incHyperstatisme = 7 réglage des galets !!!

Cas de la liaison glissière chariot/Bâti

192- Modélisation :2-4 Hyperstatisme de liaison

Cas de la liaison pivot vis/Bâti

Mot

eur

Mot

eur

5 inc

2 inc

Dh = 2

3- Dynamique-Cinétique-Energétique :

Torseur dynamique :

)/,(

)/(RSQM

RRST

dyn

dyn

Qdyn

)( )/,( )/,( PdmRSPQPRSQMS

dyn

Sextdyn RR

Résultante Dynamique : )/,(.)( )/,( RSGMPdmRSPRS

dyn

R lréférentieau rapport par S solidedu G gravité de centredu on Accélérati :)/,(

solides) de systèmes(ou solidedu Masse:

RSG

M

Moment Dynamique : Difficile à calculer !!!

Principe Fondamental de la dynamique : QstatQdyn SextTRST )()/(

Théorème de la résultante :

Théorème du moment : ),()/,( SextQMRSQM dyn

Le référentiel R doit être Galiléen !!!

3-1 Dynamique :

21

3-2 Principe Fondamental de la Dynamique :

3- Dynamique/cinétique/énergétique :

Torseur cinétique :

)/,(

)/(RSQM

RRST

cinétique

cinétique

QCinétique

RScinétique SQIRSQVQGMRSQM /).,()/,(.)/,(

0

),(

BIzzIzyIzx

IyzIyyIyx

IxzIxyIxx

SQI

Résultante Cinétique : )/,(.)( )/,( RSGVMPdmRSPVRS

cinétique

R lréférentieau rapport par S solidedu G gravité de centredu Vitesse :)/,(

solides) de systèmes(ou solidedu Masse:

RSGV

M

Moment Cinétique :

3-3 Cinétique :

Cas 1 : Q=G (centre de gravité)

RScinétique SGIRSGM /).,()/,(

Cas 2 : Q=point fixe

RScinétique SQIRSQM /).,()/,(

23

z

y

x

B

RS

0

/

Avec : Qpoint au exprimé S solidedu inertied' Matrice :),( SQI

Facile à calculer pour des géométries simples, sinon à l'aide du modeleur d'une CAO

R lréférentieau rapport par S solidedu rotation de itesse vecteur v:/RS

3- Dynamique/cinétique/énergétique :

dynamiquecinétique RRSGMRdt

d )/,(.

)/,()/,()/,(.)/,( RSQMRSQVRSGVMRSQMdt

ddyncinétique

Résultante Dynamique/Cinétique :

3-4 Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique

Cas 1 : Q=G (centre de gravité) RSdyncinétique SGIdt

dRSGMRSGM

dt

d/).,()/,()/,(

Cas 2 : Q=point fixe

Moment Dynamique/Cinétique :

25

RSdyncinétique SQIdt

dRSGMRSQM

dt

d/).,()/,()/,(

"Facile" à calculer, de manière génrale, on utilisera donc ces 2 cas pour déterminer le moment dynamique

3- Dynamique/cinétique/énergétique :

Energie cinétique d'un solide en translation :

)/,(.2

1 2 RSGVMEc

Energie cinétique d'un solide en rotation :

RSRS SGIEc // ).,(.2

1

27

3-5 Energie cinétique

3- Dynamique/cinétique/énergétique :

Système équivalent sur l'arbre moteur :

)0/1,(2

1)1( 1

2 GMVEc

29

3-6 Système dynamiquement équivalent

Mot

eur

+ A

Mot

eur

+ A

+ B

Mot

eur

+ A

C +

(2)

(1)

(3)

R

R

R

RRRR

RR xxI

zxI

yxI

xxI

zzIzyIzxI

yzIyyIyxI

xzIxyIxxI

GIEc /22

2

/22

/22

/22/2/2

222

222

222/2

/22/2 .2

1

.

.

.

.

0

02

1

0

0..

0

02

1).2,(.

2

1)2(

RxxIEc /32

3 .2

1)3(

)3()2()1()321( EcEcEcEc

RR r

r/3

2

3/2 .

RR r

rppGV /3

2

3/21 .

22)0/1,(

r2=rayon poulie 2r3=rayon poulie 3p=pas de la vis

rxxIr

rxxI

r

rpMEc /3

23

2

2

32

2

2

3 .

équivalent I3

.2

.2

1)321(

3- Dynamique/cinétique/énergétique :

Système équivalent sur l'arbre moteur :

31

3-6 Système dynamiquement équivalent M

oteu

r

+ A

Mot

eur

+ A

+ B

Mot

eur

+ A

C +

RR r

r/3

2

3/2 .

RR r

rppGV /3

2

3/21 .

22)0/1,(

r2=rayon poulie 2r3=rayon poulie 3p=pas de la vis

rxxIr

rxxI

r

rpMEc /3

23

2

2

32

2

2

3 .

équivalent I3

.2

.2

1)321(

Principe Fondamental de la Dynamique :

CrestCmotEquI 2

..

3 .M

oteu

rI 3

Equ

Cmoteur

Cresistant

3- Dynamique/cinétique/énergétique :

Système équivalent sur le coulisseau 2 :

33

3-6 Système dynamiquement équivalent

Mot

eur

+ A

Mot

eur

+ A

+ B

Mot

eur

+ A

C +

RR r

r/3

2

3/2 .

RR r

rppGV /3

2

3/21 .

22)0/1,(

r2=rayon poulie 2r3=rayon poulie 3p=pas de la vis)/,(.

équivalent M

.2

..2

.2

1)321( 2

2

3

23

2

2 RSGVr

r

pxxI

pxxIMEc

Principe Fondamental de la Dynamique :

Mequi

Fm

otF

resi

st

FresistFmotxM equi ..

.

3- Dynamique/cinétique/énergétique :35

3-7 Théorème de l'énergie cinétique

Puissance d'une action mécanique sur un solide :

)/2()/2()/2( RSSPRSSPRSSP

RSVTRSSP SS /(.)/2( 2

Puissance des actions mutuelles entre 2 systèmes

Théorème énergie cinétique :

)/()/( RSSPRSEcdt

d

n

jiji RSSPRSSPRSEc

dt

d

1

)/()/()/(

Pour un solide :

Pour un ensemble de solides :