DMA, École Normale Supérieure, Paris merker/merker/Exposes/2010/orsay-17-mai-2010.pdf ·...

Audition PR 25/26 Orsay 0051-0423

JOËL MERKER

DMA, École Normale Supérieure, Paris

www.dma.ens.fr/∼merker/

I. Parcours scientifique et pédagogique

II. Géométrie de Cauchy-Riemann locale

III. Application de réflexion analytique

IV. Groupes de Lie locaux en dimensions 1, 2, 3

V. Conjecture de Green-Griffiths

VI. Hyperbolicité au sens de Kobayashi

VII. Perspectives diophantiennes

Candidature 2010

sur un poste de Professeur des universités

Université Paris XI Orsay, lundi 17 mai 2010

I – Parcours scientifique et pédagogique

• Curriculum vitæ résumé :

1970 :Naissance à Bourg-la-Reine

1988 :Baccalauréat Série C à Besançon

1990 :Entrée à l’École Normale Supérieure[après deux Deugs : mathématiques et philosophie]

1992 :Agrégation de Mathématiques

1994 :Agrégation de Philosophie[après une Licence et une Maîtrise à la Sorbonne]

1995 :Caïman à l’École Normale (deux ans)

1996 :Doctorat, Paris 6 [J.-M. Trépreau dir.]

1997 :CR au CNRS [affectation au LATP,Marseille]

2006 :Habilitation à diriger des recherches

2006 :Mobilité à l’École Normale

2010 : (automne)Doctorat de philosophie des ma-thématiques spécialisé sur l’œuvre de Sophus Lie :

Merker, J. : Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème deRiemann-Helmholtz, Hermann, Paris,320 pages, sous presse

Merker, J. : Sophus Lie and Friedrich Engel’s Theory of Trans-formation Groups (Vol. I, 1888). Modern Presentation and En-glish Translation, 650 pages, Submitted to Springer, March 2010

• Publications :⊲ 35 articles parus ou acceptés⊲ 10 opuscules de philosophie des mathématiques

• Expérience d’enseignement et d’encadrement :⊲ 2 cours de M2, 1 mémoire de M2⊲ 7 cours de L3 à Marseille⊲ 3 années de coordinations de soutenances deMagistère à l’École Normale (1996, 2007, 2009)⊲ 15 mémoires de M1 (ENS+Marseille)⊲ 8 leçons d’agrégation à l’École Normale

• Responsabilités collectives :⊲ 10 années de commission de spécialistes⊲ Rédaction de projets et rapports en commun⊲ Coordination de séminaires⊲ Conseil de laboratoire, ENS, DMA

• Conférences hors séminaires :⊲ 30 conférences internationales invitées depuis 1999

• Mathematical Reviews+Zentralblatt :⊲ 80 recensions

• 14 publications depuis 2006 : Merker, J. Characterization of the Newtonian free particlesystem in m > 2 dependent variables, Acta Applicandæ Mathe-maticæ,92 (2006), no. 2, 125–207.

Merker, J. (avec Porten, E.)A geometrical proof of the Har-togs extension theorem, Publication DMA-ENS, no. 10 (2006),22 colored illustrations; J. Geom. Anal.17 (2007), no. 3, 513–546.

Merker, J. Jets de Demailly-Semple d’ordres 4 et 5 en di-mension 2, Int. J. Contemp. Math. Sciences,3 (2008) no. 18, 861–933.

Merker, J. Low pole order frames on vertical jets of theuniversal hypersurface, Ann. Inst. Fourier (Grenoble),59 (2009),no. 3, 1077–1104.

Merker, J. Lie symmetries and CR geometry, Journal of Ma-thematical Sciences (N. Y.)154(2008), 817–922.

Merker, J. Nonrigid spherical real analytic hypersurfaces inC2, 29 pages, Complex Variables and Elliptic Equations, to appear.

Merker, J. (avec Porten, E.)The Hartogs extension theoremon (n − 1)-complete complex spaces, Journal für die reine undandgewandte Mathematik637(2009), 23–39.

Merker, J. (avec Porten, E.)Holomorphic extension of CRfunctions, envelopes of holomorphy and removable singula-rities, International Mathematics Research Surveys, Volume2006,Article ID 28295,287 pages.

Merker, J. (avec Porten, E.)Characteristic foliations on maxi-mally real submanifolds of Cn and removable singularities, In-ternational Mathematics Research Papers, Volume2006, Article ID72069,131 pages.

Merker, J. (avec Diverio, S. et Rousseau, E.Effective algebraicdegeneracy, Inventiones Mathematicæ180(2010), 161–223.

Merker, J. Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème deRiemann-Helmholtz, Hermann Éditeur des Sciences et des Arts,Paris, sous presse,320 pages.

• Prépublications soumises : Merker, J. An algorithm to generate all polynomials in thek-jet of a holomorphic disc D → Cn that are invariant un-der source reparametrization, 103 pages, soumis au J. SymbolicComputations.

Merker, J. Vanishing Hachtroudi curvature and local equi-valence to the Heisenberg sphere, 16 pages,soumis à Asian J.Math.

Merker, J. Sophus Lie and Friedrich Engel’s Theory ofTransformation Groups (Vol. I, 1888). Modern Presentationand English Translation, 650 pages, soumis à Springer-Verlag.

• Thèmes de recherche :

⊲ Analyse en plusieurs variables complexes

⊲ Analyse harmonique et disques de Bishop

⊲ Géométrie de Cauchy-Riemann locale

⊲ Philosophie des mathématiques

⊲ Théorie de Lie-Cartan des EDP et G-structures

⊲ Classification des actions de groupes de Lie

⊲ Hyperbolicité en géométrie algébrique complexe

II – Géométrie de Cauchy-Riemann locale

• Sous-variété Cauchy-Riemann CR-générique :Sous-variétéréelleM dansCn telle que :

TpM + i TpM = TpCn

pour tout pointp ∈M .

M

pTpM

T cpM

∂∂z

-tangentiel

• Fibré tangent complexe :T cM := TM ∩ i TM

= directions complexes-tangentes

• ∂M -tangentiel : Dérivées ∂∂zk

qui existent dans ces di-rections complexes-tangentes.

• Fonctions Cauchy-Riemann (CR) : Fonctions quisont annulées par ces∂∂zk

complexes-tangentiels :

0 = ∂Mf.

• Heuristiquement : Les fonctions CR sont holo-morphes dans les directions complexes, mais trans-versalement, elles peuvent être des fonctions réellesquelconques.

• Wedge :Ouvert à coin attaché àM :

W :=p + c : p ∈M, c ∈ Cône tronqué

M M

W

décrireMM M

Cône auxiliaire

décrireM

• Quand M est une hypersurface :Un wedge, c’estjuste un des deux côtés de l’hypersurface.

• Orbite CR : Partir d’un point p de M et suivretoutes les courbes intégrales du fibré tangent complexe,c’est-à-dire se déplacer seulement dans les directionscomplexes-tangentes.

p

Vp

MO ′

2

O3

O2

O ′

3

q = K− es∗

(p)

OL(p)

• Thérie du contrôle : (Sussmann)

ϕ

e

n−e

Λp

Λp OL(p)

Λq

Λq

p

q = Ks(p)

• Synthèse :

Théorème. [M ERKER, IMRN 1994] Si M consiste enune seule orbite CR, il existe un wedge global atta-ché à M tel que toutes les fonctions CR sur M seprolongent holomorphiquement à ce wedge.

• Disques de Bishop(membranes):

M

C

∆

−i

− ∂∂r

A0

∂∆

1−1

i

A(1) A(−1)

∂A∂θ

(eiθ)|θ=0

A(0)

∂∂θ

−∂A∂r

(1)exit vector

• Disques en général non-tangents :

∂Aε

∂θ(1)

p = A(1)p = A(1)

Aε(∆)

−∂Aε

∂r(1)

M

M M

M

Aε(∂∆) −∂Aε

∂r(1)

Aε(∆)

• Déformer les disques :

b∆

A

MM

i

1

∆ b∆

b∆

0

∆

−i

−1

At,s(rei θ)

p

Wpr1

θ1

−θ1

r1

• Propager les wedges :Hp

At′(∆)

WCR,e

A(−1)

Cp

MM A(−1) A(∆)

p

II’ – Problème de Painlevé CR

• Contexte classique :SoitΩ un domaine dansC.

• Riemann 1851 :holomorphe(Ω−p

)∩ L∞loc(Ω) = holomorphe

(Ω

).

• Problème de Painlevé :Caractériser géométrique-ment les compactsK ⊂ Ω tels que :

holomorphe(Ω−K)∩ L∞loc(Ω) = holomorphe

(Ω

).

• Denjoy, Calderón, Coifman, McIntosh, Meyer :Lorsque le compact K ⊂ Ω est contenu dans unecourbe lipschitzienne, cela est satisfait si et seule-ment si la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle deK s’annule.

• Transférer Painlevé dans un cadre CR : Jöricke, Duval :M hypersurface strictement pseu-

doconvexe dansC2. Merker-Porten : contexte CR général. Courbe lipschitzienne←→M1 ⊂M de codimension 1.

• Donnée :SoitM CR-générique de classeC 2,α.

• Définition : Un sous-ensemble compactK ⊂ M estdit

(∂M , Lp

)-éliminable (1 6 p 6∞) si :

Lploc

(M ) ∩ CR(M−K) = Lploc,CR

(M ).

Théorème. [M ERKER-PORTEN, MATH . Z. 2002]Si :Hausdorffdim M−2(K) = 0

alors K est(∂M , Lp

)-éliminable.

• Propagation de la singularité dans le wedge :

≃

∂∆

ω−1

−i

i

1

∆

∂∆

∆ ω

∂∆

Aρ0,s,v

Aρ0,s,v(∆)

M

Ω

Cm+n

M1

Aρ0,s,v(∂∆)E

W

Ω

M

Aρ0,s,v(∂∆)M+

M−

Aρ0,s,v(ω)

C

CW

• Déformations coniques :

M

Cm+n

M1E

Ω

M

M+

M− A′(∂∆)

q

A′(∂∆)

A′(∆)

W

EW

E

Ω

A′t′(∂∆)

A′t′(∆)

A′t′(∆)

Théorème. [M ERKER-PORTEN, IMRN 2006, 131PAGES]

Si M1 ⊂ M est de codimension 1 et si K ⊂ M1

est caractéristiquement non-transverse, alors K

est(∂M , Lp

)-éliminable.

• Compact caractéristiquement non-transverse :

M1

γ(−1) γ(1)γ(0)

πFc

M1γ

K

D

D

C ′C ′

πFc

M1(C ′)

πFc

M1R1

x3, . . . , xn

x1x2

p

x2 x1

x3, . . . , xn

p

Cp

v0p

π′(v0

p

)

E

C

C′

FCp

TpM1

π′(Cp)

ω+khl

τk

X2

hl

Z

X1

M

τj p

µ

ω

S

τk

M

τj p

ω

γ ′

ω′S

q

r

q hl

III – Application de réflexion analytique

• Soit : M ⊂ Cn CR-génériqueanalytique réelle:

codim M = d > 1.

• Dans des coordonnées adaptées :Graphe local :

w = Θ(z, z, w),

oùw ∈ Cd et où la sérieΘ converge.

• Donc on peut complexifier :Remplacer(z, w) par desvariables indépendantes(ζ, ξ) :

ξ = Θ(ζ, z, w).

• Mieux vaut travailler avec cette variété complexe :M ⊂ Cn × Cn.

0

t = tp

S tp

τ = τp

tp t

L

τp

ML

Sτp

La complexification d’une sous-variété

feuilletages invariants qui sont lessous-variétés intégrales descomplexifiés des champs devecteurs de types(1, 0) et (0, 1)et qui s’identifient aussi auxsous-variétés de Segrecomplexifiées.

analytique réelle porte une paire de

• Paire invariante de feuilletages :M∩(ζ, ξ) = (ζp, ξp) trancheshorizontalesM∩(z, w) = (zp, wp) tranchesverticales.

• Chaînes de Segre :Partir de l’origine0 ∈ M , se dé-placer verticalement d’une certaine hauteurz1, atteindrele point :

Γ1(z1).

0

τ

t

Γ3(z(3))

Γ2(z(2))Γ1(z1)

M

Γ4(z(4))

Cn × Cn

Repartir du point ainsi atteint, se déplacer horizontale-ment d’une certaine longueurz2, atteindre le point :

Γ2(z1, z2),

et ainsi de suite.

S 30

S 30

ζ

M

S 10

S 20

0S 1

0

S 20

w

z

• Définition : M est diteminimale en0 si pourk assezgrand, lak-ème chaîne de SegreΓk(z1, . . . , zk) recouvreun voisinage de0 dansM .

• Proposition :⇐⇒M consiste en une seule orbite CR.

• Considérer maintenant une application holomor-phe locale :

Cn ⊃M ∋ (z, w) 7−→ h(z, w) ∈M ′ ⊂ Cn′.

• L’application complexifiée :

hc(z, w | ζ, ξ

):=

(h(z, w), h(ζ, ξ)

),

està variables séparées, donc elle respecte horizontalitéet verticalité≡ racine de larigidité CR analytique .

LES APPLICATIONS FORMELLES COMPLEXIFIÉES RESPECTENT LES PAIRES DE FEUILLETAGES

(h(t), h(τ))

0′

τ ′

t′

M ′

0

τ

t

Mhc = (h, h)

Γ1(z1) Γ2(z(2))

Γ3(z(3))

S

S ′

S′

S Cn′

× Cn′Cn × Cn

• Notons :ξ′ = Θ′(ζ ′, z′, w′)

les équations deM ′.

• Pour k entier : Définissons lemorphisme desk-jetsdeΘ′ par rapport à la variableζ ′ seulement :

(ζ ′, z′, w′) 7−→(ζ ′, Jetkζ ′Θ

′(ζ ′, z′, w′)).

• Cinq conditions de non-dégénérescence surM ′ sui-vant que ce morphisme est :

(nd1) [. . .\. . .] ;

(nd2) derang maximal possible ;

(nd3) fini ;

(nd4) [. . .\. . .] ;

(nd5) derang générique maximal possible.

• Prolifération de contributions partielles et non syn-thétiques : BAOUENDI-ROTHSCHILD, MEYLAN , EBENFELT,

ZAITSEV, M IR, LAMEL , COUPET, SUKHOV, DAMOUR.

• Toutefois : Les mathématiques(et la philosophie)exigent des résultats conceptuels et unificateurs.

• Cinq conditions de non-dégénérescence surh : Re-garder la restriction deh aux tranches horizontales.

(cr1) CR-inversible [. . .\. . .] ;(cr5) CR-transversale [. . .\. . .] ;

• Cela multiplie encore les contributions partielles !

• [M. 96] Concept invariant et unificateur :

• Application de réflexion CR associée àh :ξ′ − Θ′

(ζ ′, h(z, w)

).

Théorème. [A NNALES DE TOULOUSE 2005, 113PAGES]

Si M est minimale à l’origine et si l’application for-melle h est CR-transversale, alors pour tout sys-tème de coordonnées (z′, w′) dans lesquelles lavariété CR complexifiée M ′ est représentée parξ′ = Θ′(ζ ′, z′, w′), l’application de réflexion associéeest convergente, c’est-à-dire :

ξ′ − Θ′(ζ ′, h(z, w)

)∈ Cζ ′, ξ′, z, wd

′.

Corollaire. [A NNALES DE TOULOUSE 2005, 113PAGES] SiM et M ′ sont Nash-algébriques, alors l’applicationde réflexion ξ′−Θ′

(ζ ′, h(z, w)

)est elle aussi Nash-

algébrique.

• Auparavant, résultat définitif :

Théorème. [BULLETIN SMF 2001] Sans aucune hy-pothèse sur h, si M et M ′ sont Nash-algébriquesavec M minimale au moins en un point, alors l’ap-plication de réflexion ξ′ − Θ′

(ζ ′, h(z, w)

)est algé-

brique après réduction éventuelle de M ′.

• Analyticité de l’application de réflexion CR lisse :

Théorème. [FOURIER 2002, 82PAGES] Si h : M → M ′

est un difféomorphisme CR de classe C∞ entredeux hypersurfaces analytiques réelles globale-ment minimales de Cn, alors la fonction de ré-flexion associée ξ′ − Θ′

(ζ ′, h(z, w)

)et centrée en

p × p′ se prolonge holomorphiquement à un voisi-nage de p× p′ dans Cn × Cn.

• Support générique par gonflement d’un ellipsoïde :

M ′

1

E ′

na

γ′

p′1

q′γ′

Υ′

L′

Q′

δ1

p′

• Recouvrement par un chapeau Levi-plat :

A(∆)

D

D′M

M ′

Σγ

γ

p1q

q1

A′(∆)γ ′

(γ ′)c

Sq

h

M

p1

A(∆)

D

Ω

ω(Σγ)

Aσ(∆)

q1

Σ′γ′

M ′A′(∆)

D′

p′1

A′(∆)

h

γ′

(γ′)cΣγ

q′1

(γ′)cΣ−γ

Aρ0,s,v(∆)

Vε1

E

M

p1M−

1M+

1

Aρ0(∆)

Aρ0(−1)

∆n(ε1)

Wε1

W4

W4

M

Vε1

E

M

W4

M

W d4

Md

p1

Adρ0

(∆)

IV – Groupes de Lie locaux en dimensions 1, 2, 3

• Classification des variétés CR : Élie Cartan 1932 : hypersurfaces dansC2. Loboda ; Fels-Kaup[Acta Math. 2008, 82 pages]

Incomplet dansC3.

• Revenir aux œuvres de Sophus Lie,systématiques.

• Classification des actions de groupes de Lie locaux : Complet chez Lie dansC2. Trois branches sur quatre complètes chez Engel-

Lie dansC3.

• Reconstruire et moderniser les classifications de Lie Terminer le travail dansC3

Environ300groupes de Lie attendus Travail de longue haleine

• Actuellement : Un livre de 320 pages chez Hermann[arxiv]

Un livre de 650 pages soumis à Springer[arxiv]

• Samuel Pocchiola [élève ENS en doctorat] : Travail de classification Construction de connexions de Cartan CR

• Masoud Sabzevari [élève à Ispahan] Construction de connexions de Cartan CR

V – Conjecture de Green-Griffiths

• Hypersurface projective complexe algébrique :Xn =

[z0 : z1 : . . . : zn : zn+1

]∈ Pn+1 :

Polynôme(z0, z1, . . . , zn, zn+1) = 0

.

• Fibré canonique :KX := ΛnT ∗X .

• X est dite de type général : S’il existe le nombremaximal possible de sections globales des puissancestensorielles deKX .

• En dimension1 : Ce sont les surfaces de Riemann degenre> 2, les plus nombreuses.

• Conjecture de Green-Griffiths (1979) : Sous cettehypothèse queX soit de type général, il existe un sous-ensemble algébrique propreY ⊂ X tel que toute courbeholomorphe entière non constantef : C→ X est néces-sairement contenue dansY , à savoir :f (C) ⊂ Y .

Y

f(C)

Xf

C

• X est de type général ssi :[degré optimal]

deg X > n + 3 .

• Conjectures de Lang, Vojta.

• Dimension 2 :X2 ⊂ P3(C) : Réponses positives :

SIU-YEUNG 1996 :d > 1013.

MCQUILLAN , 1999 :d > 36.

DEMAILLY -EL GOUL, 2000 :d > 21.

PAUN, 2008 :d > 18.

• Dimension 3 :X3 ⊂ P4(C) :

ROUSSEAU2007 :d > 593.

Théorème. [DIVERIO-MERKER-ROUSSEAU, INVENTIONES

2010] Si X ⊂ Pn+1 est une hypersurface projectivealgébrique générique, il existe un sous-ensemblealgébrique propre Y $ X tel que f (C) ⊂ Y pourtoute courbe holomorphe entière non constante :• pour dim X = 4, lorsque deg X > 3203 ;• pour dim X = 5, lorsque deg X > 35355 ;• pour dim X = 6, lorsque deg X > 172925.

Théorème. [ IBIDEM] En dimension quelconque n >

2 avec Xn ⊂ Pn+1(C) générique, même conclusionlorsque :

deg X > 2n

5

.

• Je travaille actuellement pour améliorer2n5

.

DémonstrationÉtape 1 :Les courbes holomorphes entièresf : C→ X

satisfont des équations différentielles algébriques.Étape 2 : Beaucoup de telles équations différentiellesdonnent leY qui absorbe les courbes holomorphes en-tières.[SIU 2004 ; M., ANNALES DE FOURIER 2009].

Étape 1. Toute courbe holomorphe entière nonconstante f : C → X satisfait des équations dif-férentielles algébriques globales lorsque d = deg X

est assez grand.

• Dimension 2 : [GREEN-GRIFFITHS 1979] optimal :deg X > 5.

• Dimension 3 : [ROUSSEAU2006] deg X > 97. [M., 30 MAI 2009] deg X > 34.

• Dimension 4 : [D IVERIO 2008] deg X > 298. [D.M.R. 2009]deg X > 259.

• Dimension 5 : [D IVERIO 2008] deg X > 1222.

• Dimension 6 : [D.M.R. 2009]deg X > 4352.

Très loin de : deg X > n + 3 = 6, 7, 8, 9, . . .

• Pour l’ Étape 1, on peut utiliser :

Jets simples de Green-Griffiths (1979). Jets raffinés de Demailly (1995).

• Application holomorphe locale : Du disque unitéD := ζ ∈ C : |ζ| < 1 dansC à valeurs dans une cartedeX, qui est de dimensionn.

• Il y a donc n composantes :

f = (f1, f2, . . . , fn) : D −→ Xn ≃ (Cn, 0).

• Dérivées primes, secondes, jusqu’à un ordreκ :(f ′1, . . . , f

′n, f ′′1 , . . . , f ′′n , . . . . . . , f

(κ)1 , . . . , f

(κ)n

).

• Opérateurs de Green-Griffiths :Polynômes différen-tiels : ∑

|α1|+2|α2|+···+κ |ακ|=m

coefficient · (f ′)α1(f ′′)α2 . . . (f (k))αk,

où le nombre total de ‘primes’ est fixe pour chaque mo-nôme, égal à un certain entierm.

• Demailly : Être invariant par toute reparamétrisa-tion holomorphe φ du disque unité, au sens où :

P((f φ)′, . . . , (f φ)(κ)) = φ′

mP(f ′, . . . , f (κ)) .

• Concrètement :Dérivées composées degi := fi φ :g′i = φ′f ′i ,

g′′i = φ′′f ′i + φ′2f ′′i ,

g′′′i = φ′′′f ′i + 3 φ′′φ′f ′′i + φ′3f ′′′i ,

g′′′′i = φ′′′′f ′i + 4 φ′′′φ′f ′′i + 3 φ′′2f ′′i + 6 φ′′φ′

2f ′′′i + φ′

4f ′′′′i ,

g′′′′′i := φ′′′′′f ′i + 5 φ′′′′φ′f ′′i + 10 φ′′′φ′′f ′′i + 15 φ′′2φ′f ′′′i +

+ 10 φ′′′φ′2f ′′′i + 10 φ′′φ′

3f ′′′′i + φ′

5f ′′′′′i .

P(g′, g′′, g′′′, g′′′′, g′′′′′

)=

(φ′

)mP(f ′, f ′′, f ′′′, f ′′′′, f ′′′′′

).

• Sous-groupenon réductif du groupe unipotent :

1 0 0 0 0φ′′ 1 0 0 0φ′′′ 3φ′′ 1 0 0φ′′′′ · · 1 0φ′′′′′ · · · 1

Théorème. [M., 2008, SOUMIS] Construction d’un al-gorithme complet qui engendre tous les polynômesde jets invariants par reparamétrisation au sens deDemailly, en dimension arbitraire n et pour des jetsd’ordre quelconque κ.

• Descriptions connues des jets de Demailly : n = 3, κ = 3 : ROUSSEAU: 16. n = 2, κ = 4 : M. : 9. n = 2, κ = 5 : M. : 56. n = 4, κ = 4 : M. : 2835.

• Revenir à la borne générale2n5: Pour l’Étape 1 :

Théorème. [D IVERIO-MERKER-ROUSSEAU, INVENTIONES

2010]Avec les jets de Demailly d’ordre κ = n égal àla dimension, j’obtiens des équations différentiellesalgébriques pour des hypersurfaces X de degré :

deg X > 2n

4

n4n33n3

n3n2(n + 1)n

2+1 n2n 12,

• Étape 2 :Ajouter un facteur modesten2 et arrondir :

deg X > 2n

5

.

• Donc c’est surtout l’Étape 1 qui n’est pas adéquate !

• Mais en dimension2 : Green-Griffiths atteignaient en79 la borne optimale :

deg X > 2 + 3 = 5

pour l’Étape 1

• Observation : Chez Green-Griffiths, l’ordreκ des jetstendait vers l’infini.

• Or jusqu’à maintenant : Les jets raffinés de Demaillyne sont pas compris, même lorsqueκ = n.

=⇒ On a réussi à contourner maladroitement cetobstacle, ce qui explique la borne gigantesque2

n4

.

• Conclusion :Il faut revenir aux jets de Green-Griffiths.

Théorème. [M., ARX IV, 89 PAGES] Existence d’équa-tions différentielles algébriques en degré optimal :

deg X > n + 3.

Plus précisément :# équations différentielles algébriques minoré par

> m(κ+1)n−1

(κ!)n ((κ+1)n−1)!

(log κ)n

n! d (d− n− 2)n − Reste inférieur

.

• Pour atteindre le degré optimal n + 3 : Il faut quel’ordre κ des dérivées tende vers∞.

• Lionel Darondeau [élève ENS en M2 + doctorat] :Généraliser la théorie aux applications deCp → X.

• Concepts et outils pour la preuve du théorème :

Fibrés vectoriels holomorphes. Théorème de Riemann-Roch-Hirzebruch. Théorie des représentations deGLn(C). Diagrammes de Young. Fibrés de Schur. Cohomologie asymptotique. Résolutions localement libres. Asymptotique des tableaux semi-standard. Polyzêtas à plusieurs variables. Séries hypergéométriques multiples. Combinatoire de marches dirigées. C’est untravail d’Analyse: inégalités, estimations.

Théorème. [Ibidem] Le fibré gradué Gr•E GGκ,mT ∗X as-

socié au fibré E GGκ,mT ∗X des κ-jets de poids m de

Green-Griffiths s’identifie à la somme directe sui-vante de fibrés de Schur :

Gr•E GGκ,mT ∗X =

⊕

ℓ1>ℓ2>···>ℓn>0

(S

(ℓ1,ℓ2,...,ℓn)T ∗X

)Mκ,mℓ1,ℓ2,...,ℓn

,

avec des multiplicités Mκ,mℓ1,ℓ2,...,ℓn

∈ N égalesau nombre de fois qu’un diagramme de YoungYD(ℓ1,...,ℓn) dont les lignes ont les longueurs ℓ1 >

ℓ2 > · · · > ℓn > 0 peut être rempli par des entiersstrictement positifs λ

ji 6 κ placés à la i-ème ligne

et à la j-ème colonne de manière à constituer untableau semi-standard, avec la contrainte supplé-mentaire que la somme de tous ces entiers :

m = λ11 + · · · + λ

ℓn1 + · · · + λ

ℓ21 + · · · + λ

ℓ11

+ λ12 + · · · + λ

ℓn2 + · · · + λ

ℓ22

+ · · · · · · · · · · · · · · · ·+

+ λ1n + · · · + λℓn

n

soit égale au degré d’homogénéité prescrit m.

Inaccessibleavec les jets de Demailly-Semple :Le plus haut niveau de jetsplafonne à : n = κ = 4

VI – Hyperbolicité au sens de Kobayashi

Objectif : Établir qu’il existe une bornedn effectiveen fonction den telle que toutes les hypersurfaces pro-jectives complexesXn ⊂ Pn+1(C) sont hyperboliquesau sens de Kobayashi (aucun résultat complet connu).

Stratégie : Construire des différentielles de jets pure-ment en coordonnées.

Explorer les liens entre hyperbolicité et les conjec-tures de Lang, de Vojta.

Aller vers la théorie de Nevanlinna à plusieurs va-riables.

VII – Perspectives diophantiennes

Étude calculatoireà la main et sur ordinateur des va-leurs zêtas multiples.

Irrationalité (transcendance ?) des valeurs de la fonc-tion zêta.

Critère d’irrationalité de Nesterenko.

Théorie des nombres en relation avec l’Analyse Com-plexe et le calcul à plusieurs variables.