eau de signe d’un trinôme du seond degré. 5monlyceenumerique.fr/tsti2d/wu/dl/wu_2018.pdf ·...

Terminale STI2D, 2019

Dériver les fonctions suivantes. .......................................................................................................................................... 5

Résoudre une équation du second degré, discriminant. ..................................................................................................... 5

Tableau de signe d’un trinôme du second degré. ............................................................................................................... 5

Traduire une augmentation ou une diminution par une fonction linéaire. .......................................................................... 5

Algorithme de seuil. ........................................................................................................................................................... 6

Fonctions linéaires et pourcentages. .................................................................................................................................. 6

Calculer une dérivée. ......................................................................................................................................................... 6

Algorithme, calcul d’un terme d’une suite. ......................................................................................................................... 7

Fonctions linéaires et pourcentages. .................................................................................................................................. 7

Suite arithmétique, suite géométrique. .............................................................................................................................. 8

Calculer une dérivée. ......................................................................................................................................................... 8

Prouver qu’une suite est géométrique. .............................................................................................................................. 9

Dériver un quotient. ......................................................................................................................................................... 10

Limites de suites. ............................................................................................................................................................. 10

Calculer des limites. ......................................................................................................................................................... 12

Dériver une fonction produit. ........................................................................................................................................... 12

Solutions. ......................................................................................................................................................................... 13

Prouver qu’une suite est géométrique. ............................................................................................................................ 13

Simplification de racines carrées. ..................................................................................................................................... 14

Simplification de racines carrées. ..................................................................................................................................... 16

Problème de seuil avec une suite. .................................................................................................................................... 16

Calculer une somme......................................................................................................................................................... 19

Calculer une limite. .......................................................................................................................................................... 22

Faire un tableau de signe. ................................................................................................................................................ 22

Calculer une limite. .......................................................................................................................................................... 23

Dériver une fonction quotient. ......................................................................................................................................... 23

Simplifier des racines carrées ........................................................................................................................................... 25

Simplifications de radicaux, expression conjuguée. .......................................................................................................... 25

Simplifier une fraction avec radicaux. Simplifier des racines carrées. ................................................................................ 27

Dériver une fonction produit. ........................................................................................................................................... 27

Simplifier des racines carrées, utilisation de l’expression conjuguée. ................................................................................ 29

Dériver une fonction quotient. ......................................................................................................................................... 29

Calculer la limite de fonctions. ......................................................................................................................................... 31

Dériver une fonction inverse. ........................................................................................................................................... 31

Calculer la limite de fonctions. ......................................................................................................................................... 33

Algorithme, PYTHON. ....................................................................................................................................................... 33

Etude d’une dérivée. ........................................................................................................................................................ 35

Algorithme avec PYTHON ................................................................................................................................................. 37

Dérivation. ....................................................................................................................................................................... 37

Equation de la tangente : ................................................................................................................................................. 39

Dérivée des fonctions composées. ................................................................................................................................... 40

Tester une primitive. ........................................................................................................................................................ 43

Tester une primitive. ........................................................................................................................................................ 45

Primitives de fonctions composées. ................................................................................................................................. 47

Dériver une fonction. ....................................................................................................................................................... 49

Chercher une primitive. ................................................................................................................................................... 49

Chercher une primitive. ................................................................................................................................................... 51

Algorithme, calcul d’un terme d’une suite. ....................................................................................................................... 53

Tableau de signe d’un trinôme du second degré. ............................................................................................................. 53

Nature d’une suite. .......................................................................................................................................................... 55

Calculer une somme......................................................................................................................................................... 55

Valeurs remarquables en trigonométrie. .......................................................................................................................... 57

Equation trigonométrique ................................................................................................................................................ 57

Trigonométrie, valeurs remarquables : ............................................................................................................................. 59

Résoudre une équation trigonométrique. ........................................................................................................................ 61

Trouver des primitives. .................................................................................................................................................... 61

Simplification avec des puissances. .................................................................................................................................. 63

Logarithmes Népériens, simplifications de formules. ........................................................................................................ 63

Logarithmes Népériens, simplifications de formules. ........................................................................................................ 64

Chercher une dérivée avec logarithme. ............................................................................................................................ 64

Dériver la fonction ln(u(x)) ............................................................................................................................................... 66

Résoudre une inéquation en utilisant la fonction logarithme. ........................................................................................... 66

Résoudre une équation en utilisant la fonction logarithme népérien. ............................................................................... 68

Prouver qu’une fonction est une primitive. ...................................................................................................................... 68

Etude d’une fonction logarithme. ..................................................................................................................................... 69

Dériver une fonction logarithme. ..................................................................................................................................... 70

Vérifier une primitive. ...................................................................................................................................................... 71

Etudier une fonction logarithmique.................................................................................................................................. 73

Résoudre une équation avec la fonction exponentielle. ................................................................................................... 75

Résoudre des équations avec les fonctions logarithmes et exponentielles........................................................................ 75

Résoudre une équation en utilisant la fonction logarithme népérien. Changement de variables....................................... 77

Equations avec la fonction exponentielle. ........................................................................................................................ 79

Résoudre une inéquation avec la fonction exponentielle. ................................................................................................. 79

Chercher une valeur approchée d’une équation à la calculatrice ...................................................................................... 81

Le logarithme décimal, intensité sonore ........................................................................................................................... 81

Situation au 05/02/2020 .................................................................................................................................................. 82

Algorithme de dichotomie................................................................................................................................................ 83

Etudier une fonction logarithmique.................................................................................................................................. 83

Calculer une intégrale avec la calculatrice. ....................................................................................................................... 84

Calculer une intégrale. ..................................................................................................................................................... 84

Intégrale « vu au bac » ..................................................................................................................................................... 85

Résoudre une équation avec la fonction logarithme népérien. ......................................................................................... 85

Intégrale tirée du bac blanc de 2014. ............................................................................................................................... 86

Calculer une valeur moyenne d’une fonction. .................................................................................................................. 86

Primitive et intégrale........................................................................................................................................................ 87

Tester une solution d’une équation différentielle. ............................................................................................................ 87

Résoudre une équation. ................................................................................................................................................... 88

Résoudre une équation différentielle du premier ordre. .................................................................................................. 88

Résoudre une équation différentielle du premier ordre avec second membre. ................................................................ 88

Résoudre une équation différentielle du premier ordre avec second membre. ................................................................ 89

Valeurs remarquables en trigonométrie. .......................................................................................................................... 89

Résoudre une équation différentielle. .............................................................................................................................. 90

Résoudre une inéquation en utilisant la fonction exponentielle. ...................................................................................... 90

Résoudre une équation différentielle. .............................................................................................................................. 90

Ecriture algébrique d’un complexe. .................................................................................................................................. 91

Dériver une fonction trigonométrique. ............................................................................................................................. 91

Ecriture algébrique d’un complexe. .................................................................................................................................. 92

Calculer un module. ......................................................................................................................................................... 92

Ecriture trigonométrique d’un complexe. ......................................................................................................................... 92

Nombres complexes, différentes formes. ......................................................................................................................... 93

Calculer une valeur moyenne d’une fonction. .................................................................................................................. 94

Nombres complexes, différentes formes. ......................................................................................................................... 94

Algorithme de seuil. ......................................................................................................................................................... 95

Suites et complexes ......................................................................................................................................................... 95

Etude d’une loi associée à une variable aléatoire. ............................................................................................................ 96

Calculer avec une loi binomiale. ....................................................................................................................................... 96

Loi binomiale, rédaction. .................................................................................................................................................. 97

Utiliser une loi binomiale. ................................................................................................................................................ 97

Intervalle de fluctuation asymptotique a seuil de 95%. ..................................................................................................... 98

Intégrale. ......................................................................................................................................................................... 98

Loi uniforme sur un intervalle [a ;b] ................................................................................................................................. 98

Calculer avec une loi binomiale. ....................................................................................................................................... 99

Loi binomiale. .................................................................................................................................................................. 99

Loi uniforme .................................................................................................................................................................... 99

Loi exponentielle............................................................................................................................................................ 100

Calculer avec une loi exponentielle. ............................................................................................................................... 100

Calculer le paramètre de la loi exponentielle. ................................................................................................................. 100

Calculer avec une loi normale. ....................................................................................................................................... 101

Trouver un intervalle de confiance. ................................................................................................................................ 101

Prise de décision à partir d’un intervalle de fluctuation. ................................................................................................. 101

Warm up, Terminales STI2D

Dériver les fonctions suivantes.

Dériver les fonctions suivantes :

𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 1

𝑔(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1

ℎ(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 5

Résoudre une équation du second degré, discriminant.

Résoudre les équations suivantes :

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0

4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0

2𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

Solutions :

𝑓′(𝑥) = 4

𝑔′(𝑥) = 6𝑥 + 2

ℎ′(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 + 4

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 a=1 b=2 et c=-3 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4 + 12 = 16 ∆> 0 Il y a donc deux solutions réelles

𝑥1 = −𝑏+√∆

2𝑎=

−2+√16

−2+4

2= 1 et 𝑥2 =

−𝑏−√∆

2𝑎=

−2−√16

−2−4

2= −3

4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 a=4 b=-4 et c=1 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 16 − 16 = 0 ∆= 0 Il y a donc une solution réelle 𝑥0 =

−𝑏

2𝑎=

2𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 a=2 b=2 et c=1 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4 − 8 = −4 ∆< 0 Il n’y a pas de solution réelle

Tableau de signe d’un trinôme du second degré.

Faire le tableau de signe de la fonction : 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 4

Dériver la fonction 𝑓(𝑥)

Traduire une augmentation ou une diminution par une fonction linéaire.

Traduire par une fonction linéaire :

Une augmentation de 10%

Une diminution de 10%

Une augmentation de 50%

Une diminution de 5%

Solutions

𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 4

a=1 b=-5 et c=4

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 25 − 16 = 9 ∆> 0 Il y a donc deux solutions réelles 𝑥1 = −𝑏+√∆

2𝑎=

5+√9

2= 4 et 𝑥2 =

−𝑏−√∆

2𝑎=

5−√9

𝑥 -∞ 1 4 +∞ 𝑓(𝑥) + - +

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 5

Une augmentation de 10% : 𝑓(𝑥) = 1,1 × 𝑥

Une diminution de 10% : 𝑓(𝑥) = 0,9 × 𝑥

Une augmentation de 50% : 𝑓(𝑥) = 1,5 × 𝑥

Une diminution de 5% : 𝑓(𝑥) = 0,95 × 𝑥

Algorithme de seuil.

Une balle part d’une hauteur de 2,5 m et perd 10% de sa hauteur à chaque rebond. On cherche le nombre de rebonds

pour qu’elle perde la moitié de sa hauteur. Pour résoudre le problème, on considère l’algorithme suivant :

0 → 𝑛 Lire (h) Tant que ℎ > 1,25 𝑛 + 1 → 𝑛 ℎ ∗ 0,9 → ℎ Fin tant que Afficher 𝑛

Remplir le tableau d’exécution suivant :

Initialisation

Fonctions linéaires et pourcentages.

On considère les fonctions linéaires 𝑓(𝑥) = 1.4𝑥 et 𝑔(𝑥) = 0,87𝑥

Traduire ces deux fonctions linéaires par une augmentation ou une diminution et donner le pourcentage correspondant.

Calculer une dérivée.

Calculer la dérivée de la fonction : 𝑓(𝑥) = 𝑥 × sin (𝑥) Penser à utiliser la formule de la dérivée du produit.

Solutions :

Initialisation

𝑛 0 1 2 3 4 5 6 7

ℎ 2,5 2,25 2,025 1,8225 1,64 1,48 1,33 1,20

L’algorithme affiche 7

𝑓(𝑥) = 1.4𝑥 : c’est une augmentation de 40%

𝑔(𝑥) = 0,87𝑥 : c’est une diminution de 13%

𝑓′(𝑥) = sin(𝑥) + 𝑥 × cos (𝑥)

Algorithme, calcul d’un terme d’une suite.

On considère la suite définie par {𝑈𝑛+1 = −𝑈𝑛 + 2

𝑈0 = 4

Utiliser l’algorithme suivant pour calculer 𝑈5

5 → 𝑛 4 → 𝑈 Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑛 faire −𝑈 + 2 → 𝑈 Fin du pour Afficher 𝑈

Initialisation

𝑖 1

Fonctions linéaires et pourcentages.

Traduire par une fonction linéaire une augmentation de 8%. Une diminution de 4%

Solutions :

𝒇(𝒙) = 𝟏, 𝟎𝟖𝒙 et 𝒈(𝒙) = 𝟎. 𝟗𝟔𝒙

Initialisation 𝑛 5 5 5 5 5 5

𝑈 4 -2 4 -2 4 -2

𝑖 1 2 3 4 5

Suite arithmétique, suite géométrique.

Traduire par une suite géométrique 𝑉𝑛 une diminution de 5% chaque année ( 𝑛 peut correspondre au nombre des

années). On donne 𝑉0 = 200. Ecrire la formule de récurrence et la formule explicite. Calculer 𝑉9.

On considère l’algorithme suivant :

3 → 𝑛 200 → 𝑈 Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑛 faire 0,95𝑈 → 𝑈 Fin du pour

Que fait cet algorithme ? Faire un tableau d’exécution.

Calculer une dérivée.

Calculer la dérivée de la fonction : 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 5𝑥 − 4

Solutions.

𝑉𝑛+1 = 0,95 𝑉𝑛 𝑉𝑛 = 200 × 0.95𝑛 𝑉9 = 200 × 0.959

L’algorithme calcule 𝑉3

𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 5

Prouver qu’une suite est géométrique.

Soit (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ telle que

{𝑈𝑛+1 = 2𝑈𝑛 − 1

𝑈0 = −3

Soit (𝑉𝑛)𝑛∈ℕ telle que

{𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 1

Calculer 𝑈1, 𝑈2 , 𝑈3 . Prouver que 𝑈𝑛 n’est ni arithmétique, ni géométrique.

Prouver que la suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕ est géométrique. Ecrire 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛.

Solutions.

𝑈1 = −7, 𝑈2 = −15 , 𝑈3 = −31

𝑈2 − 𝑈1 = −8 ≠ 𝑈3 − 𝑈2 = −16. 𝑈𝑛 n’est pas arithmétique.

𝑈1=

−7≠

𝑈2−=

−15 . 𝑈𝑛 n’est pas géométrique.

𝑉𝑛+1

𝑉𝑛=

𝑈𝑛+1 − 1

𝑈𝑛 − 1=

2𝑈𝑛 − 1 − 1

𝑈𝑛 − 1=

2(𝑈𝑛 − 1)

𝑈𝑛 − 1= 2

𝑉𝑛 = −4 × 2𝑛

𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 + 1 = −4 × 2𝑛 + 1

Dériver un quotient.

Dériver la fonction : 𝑓(𝑥) =sin (𝑥)

cos (𝑥)

Limites de suites.

Donner la limite des suites :

Idée : utiliser la calculatrice pour calculer les suites avec des valeurs de 𝑛 importantes (1 000, 10 0000, 100 000)

lim𝑛→∞

𝑛² − 4𝑛 lim𝑛→∞

(3,5)𝑛 lim𝑛→∞

𝑛²

𝑛+1 lim

𝑛→∞(0,1)𝑛

𝑓′(𝑥) =cos(𝑥) × cos(𝑥) − sin (𝑥) × (− sin(𝑥))

(cos(𝑥))²=

(cos(𝑥))2 + (sin(𝑥))²

(cos(𝑥))²

Or (cos(𝑥))2 + (sin(𝑥))2 = 1 donc 𝑓′(𝑥) =1

(cos(𝑥))²

Solutions

lim𝑛→∞

𝑛² − 4𝑛 = ∞

lim𝑛→∞

(3,5)𝑛 = ∞ (suite géométrique de raison 3,5 > 1) lim𝑛→∞

𝑛²

𝑛+1= lim

𝑛→∞

𝑛²

𝑛= lim

𝑛→∞𝑛 = ∞

lim𝑛→∞

(0,1)𝑛 = 0 (suite géométrique de raison 0,1 < 1)

Calculer des limites.

lim𝑛→∞

−3𝑛² lim𝑛→∞

(3)𝑛 lim𝑛→∞

4√𝑛 + 1 lim𝑛→∞

5)𝑛

Dériver une fonction produit.

Dériver la fonction 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)(3𝑥 + 4)

Solutions.

𝑓′(𝑥) = 2𝑥(3𝑥 + 4) + (𝑥2 + 1) × 3 = 6𝑥2 + 8𝑥 + 3𝑥2 + 3 = 9𝑥2 + 8𝑥 + 3 On a utilisé la dérivée de la fonction

produit : (𝑈𝑉)′ = 𝑈′𝑉 + 𝑈𝑉′

La suite de l’exercice serait de faire l’étude de signes de cette dérivée.

lim𝑛→∞

−3𝑛² = −∞ lim𝑛→∞

(3)𝑛 = ∞ lim𝑛→∞

4√𝑛 + 1 = ∞ lim𝑛→∞

5)𝑛 = 0

Prouver qu’une suite est géométrique.

{𝑈𝑛+1 = 5𝑈𝑛 + 4

𝑈0 = 1

Soit (𝑉𝑛)𝑛∈ℕ telle que

{𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 + 1

𝑉0 = 2

Calculer 𝑈1, 𝑈2 . Prouver que 𝑈𝑛 n’est pas géométrique.

Prouver que la suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕ est géométrique.

Ecrire 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛. En déduire 𝑈𝑛 en fonction de 𝑛.

Simplification de racines carrées.

Rappels : √𝐴 × 𝐵 = √𝐴 × √𝐵 √𝐴

√𝐴

√𝐵 et √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7

Simplifier les racines carrées suivantes :

√18 , √50 , √72 , √200 , √75 , √48 , √12 , √98 , √8 ,

4√50 + √8 − √18

lim𝑛→∞

−𝑛²

𝑛2+1 lim

𝑛→∞(0,5𝑛)

Solutions :

lim𝑛→∞

−𝑛²

𝑛2+1=

−𝑛²

𝑛²= −1 lim

𝑛→∞(0,5𝑛) = 0

√18 = √9 × 2 = 3√2 , √50 =5√2 , √72 = 6√2 , √200 = 10√2 , √75=5√3 , √48 = 4√3 , √12 = 2√3 ,

√98 = 7√2 , √8 = 2√2 ,

4√50 + √8 − √18 = 4√25 × 2 + √4 × 2 − √9 × 2 = 20√2 + 2√2 − 3√2 = 19√2

Simplification de racines carrées.

Simplifier le calcul suivant.

3√27 + 6√3 − √12

Problème de seuil avec une suite.

Trouver l’entier 𝑝 tel que 𝑈𝑝 ≥ 102 avec 𝑈𝑛 = (2𝑛 + 1)²

Solutions.

3√27 + 6√3 − √12 = 3√9 × 3 + 6√3 − √4 × 3 = 9√3 + 6√3 − 2√3 = 13√3

𝑈𝑝 ≥ 102 ⟺ (2𝑝 + 1)2 ≥ 100 ⟺ 2𝑝 + 1 ≥ √100 ⟺ 𝑝 ≥√100 − 1

On choisit 𝑝 = 5

Calculer une somme.

Calculer ∑ 𝑢𝑖6𝑖=0 avec 𝑢𝑛 suite géométrique de raison 4 et de premier terme 2

∑ 𝑢𝑖

𝑖=0

= ∑ 2 × 4𝑖 =

𝑖=0

21 − 47

1 − 4= 10922

Trouver l’entier 𝑝 tel que 𝑈𝑝 ≥ 104 avec 𝑈𝑛 = (𝑛 − 1)²

𝑈𝑝 ≥ 104 ⟺ (𝑝 − 1)2 ≥ 10 000 ⟺ 𝑝 − 1 ≥ √10000 ⟺ 𝑝 ≥ 100 + 1

𝑃 = 101

Trouver l’entier 𝑝 tel que 𝑈𝑝 < 10−2 avec 𝑈𝑛 =1

2𝑛+1

lim𝑛→∞

3𝑛 lim𝑛→∞

(−0,1𝑛)

Solutions :

𝑈𝑝 < 10−2 ⟺1

2𝑛 + 1< 10−2 ⟺

10−2< 2𝑛 + 1 ⟺

10−2− 1 < 2𝑛

10−2 − 1) < 𝑛 On prend n=50

lim𝑛→∞

3𝑛 = 0 lim𝑛→∞

(−0,1𝑛) = 0

Calculer une limite.

lim𝑛→+∞

−3𝑛² et lim𝑛→+∞

𝑛2 + n

Indiquer s’il y a une forme indéterminée.

Faire un tableau de signe.

Faire le tableau de signes de l’expression

(4𝑥 − 1)(−2𝑥 + 1) = −8𝑥2 + 6𝑥 − 1

En déduire les solutions de (4𝑥 − 1)(−2𝑥 + 1) < 0

Solutions :

lim𝑛→+∞

−3𝑛2 = −∞ et im𝑛→+∞

𝑛2 + n = +∞

Il n’y a pas de forme indéterminée.

On résout l’inéquation 4𝑥 − 1 > 0 4𝑥 − 1 > 0 ⇔ 𝑥 >1

On résout l’inéquation −2𝑥 + 1 > 0 −2𝑥 + 1 > 0 ⇔ 𝑥 =−1

Tableau de signes du produit :

𝑥 -∞ 1

2 +∞

4𝑥 − 1 - + +

−2𝑥 + 1 + + - (4𝑥 − 1)(−2𝑥 + 1) - + -

(4𝑥 − 1)(−2𝑥 + 1) < 0 ⟺ 𝑆 =] − ∞;1

4[∪]

2; +∞[

Calculer une limite.

lim𝑥→−∞

𝑥² lim

𝑥→−∞−3𝑥3 lim

𝑥→+∞

𝑥 lim

𝑥→+∞√𝑥2 + 1

Dériver une fonction quotient.

Dériver la fonction : 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥2+1

Formule : (𝑈

=𝑈′𝑉−𝑈 𝑉′

𝑉²

Solutions :

lim𝑥→−∞

𝑥²= 0

lim𝑥→−∞

−3𝑥3 = +∞

lim𝑥→+∞

𝑥= 0

lim𝑥→+∞

√𝑥2 + 1 = +∞

𝑓′(𝑥) =2𝑥(𝑥2 + 1) − (𝑥2 − 1)2𝑥

(𝑥2 + 1)²=

2𝑥(𝑥2 + 1) − (𝑥2 − 1)2𝑥

(𝑥2 + 1)²=

2𝑥3 + 2𝑥 − 2𝑥3 + 2𝑥

(𝑥2 + 1)²=

(𝑥2 + 1)²

Simplifier des racines carrées

4√50 + √8 − √18

Simplifications de radicaux, expression conjuguée.

Simplifier les fractions suivantes :

𝐴 =3√6

√12 𝐵 =

6−√5 𝐶 =

2−4√5 𝐷 =

𝑥−√𝑥+1

Pour l’expression conjuguée, on utilise (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵²

Solutions :

4√50 + √8 − √18 = 4√25 × 2 + √4 × 2 − √9 × 2 = 20√2 + 2√2 − 3√2 = 19√2

𝐴 =3√6

√12=

3√6×√12

√12√12=

3√72

3√36√2

3×6√2

𝐵 =2

6−√5=

2×(6+√5)

(6−√5)×(6+√5)=

2×(6+√5)

36−5=

2×(6+√5)

𝐶 =3

2−4√5=

3(2+4√5)

(2−4√5)(2+4√5)=

3(2+4√5)

4−80=

3(2+4√5)

−76= −

3(2+4√5)

𝐷 =2

𝑥 − √𝑥 + 1=

2(𝑥 + √𝑥 + 1)

(𝑥 − √𝑥 + 1)(𝑥 + √𝑥 + 1)=

2(𝑥 + √𝑥 + 1)

𝑥2 − (𝑥 + 1)=

2(𝑥 + √𝑥 + 1)

𝑥2 − 𝑥 − 1

Simplifier une fraction avec radicaux. Simplifier des racines carrées.

Simplifier les expressions :

√(2𝑥−1)−√(𝑥+1) Penser à utiliser (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴² − 𝐵²

3√50 + 4√108

Dériver une fonction produit.

Dériver la fonction 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 4)(𝑥2 + 3𝑥 − 1) + 2𝑥

Solutions :

√2𝑥 − 1 − √𝑥 + 1=

3 × (√2𝑥 − 1 + √𝑥 + 1)

(√2𝑥 − 1 − √𝑥 + 1) × (√2𝑥 − 1 + √𝑥 + 1)=

3 × (√2𝑥 − 1 + √𝑥 + 1)

(2𝑥 − 1) − (𝑥 + 1)=

3 × (√2𝑥 − 1 + √𝑥 + 1)

(𝑥 − 2)

3√50 + 4√108 = 3√25 × 2 + 4√36 × 3 =

3 × 5√2 + 4 × 6√3 = 15√2 + 24√3

𝑓′(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 3𝑥 − 1) + (𝑥2 + 4)(2𝑥 + 3) + 2

𝑓′(𝑥) = 2𝑥3 + 6𝑥2 − 2𝑥 + 2𝑥3 + 3𝑥2 + 8𝑥 + 12 + 2

𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 9𝑥2 + 6𝑥 + 14

Simplifier des racines carrées, utilisation de l’expression conjuguée.

Simplifier

3√8 × 4√18

√10 + √6

√6 − √5

Dériver une fonction quotient.

Dériver la fonction suivante : 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥²+1

Solutions :

3√8 × 4√18

√50=

3√4 × 2 × 4√9 × 2

√25 × 2=

3 × 2√2 × 4 × 3√2

=72√2 × √2 × √2

5√2 × √2=

72√2 × 2

5 × 2=

72√2

√10 + √6

√6 − √5=

(√10 + √6) × (√6 + √5)

(√6 − √5) × (√6 + √5)=

√60 + √50 + 6 + √30

6 − 5= 2√15 + 5√2 + 6 + √30

𝑓′ (𝑥) =1(𝑥2 + 1) − 𝑥 × 2𝑥

(𝑥2 + 1)²=

1(𝑥2 + 1) − 2𝑥²

(𝑥2 + 1)²=

−𝑥2 + 1

(𝑥2 + 1)²

Calculer la limite de fonctions.

Calculer les limites suivantes et indiquer si les courbes ont des asymptotes.

lim𝑥→∞

−2𝑥 + 1

𝑥2 + 3𝑥 + 4 lim

𝑥→∞

2𝑥² − 2𝑥 + 1

𝑥2 + 3𝑥 + 4

Dériver une fonction inverse.

Dériver la fonction suivante : 𝑓(𝑥) =4

−2𝑥+1

Solutions.

lim𝑥→∞

−2𝑥 + 1

𝑥2 + 3𝑥 + 4= lim

𝑥→∞

−2𝑥

𝑥2= lim

𝑥→∞

𝑥= 0

La droite d’équation y=0 est asymptote horizontale à la courbe.

lim𝑥→∞

2𝑥² − 2𝑥 + 1

𝑥2 + 3𝑥 + 4= lim

𝑥→∞

2𝑥²

𝑥2= lim

𝑥→∞2 = 2

La droite d’équation y=2 est asymptote horizontale à la courbe.

𝑓′(𝑥) =0×(−2𝑥+1)−4(−2)

(−2𝑥+1)²=

(−2𝑥+1)² On peut aussi utiliser la formule : (

=−𝑈′

𝑈²

Calculer la limite de fonctions.

lim𝑥→−2+

3𝑥−4

𝑥+2 Que peut-on en déduire géométriquement ?

Algorithme, PYTHON.

On considère la fonction définie en Python :

Qu’affiche le langage Python (pour les valeurs, 6, 8 et

Solutions.

lim𝑥→−2+

3𝑥 − 4

𝑥 + 2

𝑥 -2

𝑥 + 2 - +

lim𝑥→−2+

3𝑥 − 4

𝑥 + 2= −∞

La droite d’équation x=-2 est asymptote verticale à la courbe de f.

Car lim𝑥→−2+

3𝑥 − 4 = −10 et lim𝑥→−2+

𝑥 + 2 = 0+

Etude d’une dérivée. Dériver et dresser le tableau de variation de la fonction

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥² + 𝑥 + 1

Etudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition. Donner l’équation de la tangente en 𝑎 = 0

Rappel pour l’équation de la tangente en a

𝒚 = 𝒇′(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)

Solutions :

La fonction est définie sur ℝ

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1

Etude du signe :

∆= 4 − 12 = −8 ∆< 0 Il n’y a pas de racine. 𝑓′(𝑥) est du signe de 3, donc positif.

La fonction f est donc croissante.

Limites :

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥→∞

(𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) = lim𝑥→∞

𝑥3 = +∞

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥→∞

(𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) = lim𝑥→−∞

𝑥3 = −∞

Tableau de variations :

𝑥 -∞ +∞

𝑓′(𝑥) +

Algorithme avec PYTHON

Que donne l’exécution de ce programme ?

Dérivation.

Soit la fonction définie par 𝑓(𝑥) =4

3𝑥+1 Calculer sa fonction dérivée et donner son ensemble de définition.

Solution :

𝑓′(𝑥) =−12

(3𝑥 + 1)² 𝑒𝑡 𝐷𝑓 =] − ∞; −

3[∪] −

3; +∞[

Equation de la tangente : Soit la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥² + 𝑥 + 1

Donner l’équation de la tangente en 𝑎 = 0

𝒚 = 𝒇′(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)

Donner l’équation de la tangente en 𝑎 = 0 de la courbe de la fonction f définie par

𝑓(𝑥) =1

𝑥² + 1

Penser à représenter la fonction et la tangente à l’aide de votre calculatrice.

Solutions.

𝒚 = 𝒇′(𝟎)(𝒙 − 𝟎) + 𝒇(𝟎) = 𝟏𝒙 + 𝟏 = 𝒙 + 𝟏

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥² + 𝑥 + 1

En a=0, l’équation de la tangente est :

𝒚 = 𝒇′(𝟎)(𝒙 − 𝟎) + 𝒇(𝟎) avec 𝒇′(𝟎) = 𝟎 et 𝒇(𝟎) = 𝟏 Donc 𝒚 = 𝟎𝒙 + 𝟏 = 𝟏

𝑓′(𝑥) = −2𝑥

(𝑥2 + 1)²

𝑓(𝑥) =1

𝑥² + 1

Dérivée des fonctions composées.

En utilisant les formules :

(𝑢2)′ = 2𝑢 𝑢′ (𝑢3)′ = 3𝑢² 𝑢′ et (√𝑢)′

=𝑢′

2√𝑢

𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 + 1)²

𝑔(𝑥) = (cos(𝑥))3

ℎ(𝑥) = √𝑥2 + 1

Donner l’équation de la tangente en 𝑎 = 0 de la courbe

de la fonction f.

𝒚 = 𝒇′(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)

Solutions :

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 − 2𝑥 + 1)(2𝑥 − 2)

𝑔′(𝑥) = (cos(𝑥))3

= 3(cos(𝑥))²(− sin(𝑥))

ℎ′(𝑥) =2𝑥

2√𝑥2 + 1=

√𝑥2 + 1

𝒚 = 𝒇′(𝟎)(𝒙 − 𝟎) + 𝒇(𝟎) = −𝟒𝒙 + 𝟏

(𝑢2)′ = 2𝑢 𝑢′ (𝑢3)′ = 3𝑢² 𝑢′ (√𝑢)′

=𝑢′

2√𝑢 et (

=−𝑢′

𝑢²

𝑔(𝑥) = (sin(𝑥))3 ℎ(𝑥) = √sin (𝑥)

Solutions :

𝑓′(𝑥) = −2𝑥

(𝑥2 + 1)²

𝑔′(𝑥) = 3(sin(𝑥))2(cos(𝑥))

ℎ′(𝑥) =cos (𝑥)

2√sin (𝑥)

(𝑢2)′ = 2𝑢 𝑢′ (𝑢3)′ = 3𝑢² 𝑢′ (√𝑢)′

=𝑢′

2√𝑢 et (

=−𝑢′

𝑢²

𝑓(𝑥) = (1 + 3𝑥)²

𝑔(𝑥) = (2x)3

ℎ(𝑥) = √cos (𝑥)

Tester une primitive.

Soit 𝑓(𝑥) = cos2(𝑥) − sin2(𝑥) et 𝐹(𝑥) = cos(𝑥) × sin (𝑥)

Calculer la fonction dérivée de la fonction F. Qu’en pensez-vous par rapport à la fonction f ?

Solutions :

𝐹′(𝑥) = cos(𝑥) × sin(𝑥) = − sin(𝑥) × sin(𝑥) + cos(𝑥) × cos(𝑥) = − sin2(𝑥) + cos2(𝑥) = cos2(𝑥) − sin2(𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 2(1 + 3𝑥)3 = 6(1 + 3𝑥)

𝑔′(𝑥) = 3(2𝑥)22 = 6(2𝑥)²

ℎ′(𝑥) =−sin (𝑥)

2√cos (𝑥)

Soit 𝑓(𝑥) = 36𝑥3 + 12𝑥 et 𝑔(𝑥) = (3𝑥2 + 1)²

Démontrer que la fonction 𝑔 est une primitive de 𝑓.

Soit 𝑓(𝑥) = 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 et 𝑔(𝑥) = (3𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)

Démontrer que la fonction 𝑔 est une primitive de 𝑓.

Solutions :

𝑔′(𝑥) = (𝑈𝑉)′ = (6𝑥)(𝑥 − 1) + (3𝑥2 + 1)1 = 6𝑥2 − 6𝑥 + 3𝑥2 + 1 = 9𝑥2 − 6𝑥 + 1

On montre que 𝑔’(𝑥) = 𝑓(𝑥) . On utilise la formule (𝑢2)′ = 2𝑢 𝑢′

Primitives de fonctions composées.

En utilisant les formules suivantes : La primitive de 𝒖′

𝒖² est −

𝒖 La primitive de 𝒖′ × 𝒖 est

𝒖²

Chercher les primitives des fonctions suivantes :

𝑓(𝑥) =2𝑥

(𝑥2+1)² et 𝑔(𝑥) = 4(4𝑥 + 1)

Primitives de fonctions composées.

En utilisant les formules suivantes : La primitive de 𝒖′

𝒖² est −

𝒖²

𝑓(𝑥) =cos (𝑥)

(sin (𝑥))² et 𝑔(𝑥) = − sin(𝑥) cos (𝑥)

Primitives :

𝑓(𝑥) =2𝑥

(𝑥2+1)²=

𝑢′

𝑢² Une primitive est 𝐹(𝑥) =

𝑥2+1

𝑔(𝑥) = 4(4𝑥 + 1) = 𝑢′𝑢 Une primitive est 𝐺(𝑥) =(4𝑥+1)²

𝑓(𝑥) =cos(𝑥)

(sin(𝑥))2 =𝒖′

𝒖𝟐 F(x) = −1

sin (𝑥)

𝑔(𝑥) = − sin(𝑥) cos(𝑥) = 𝑢′𝑢 𝐺(𝑥) =(cos(𝑥))²

Dériver une fonction.

• Dériver

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥2 + 1) − sin (3𝑥 + 4)

Chercher une primitive.

Donner une primitive de la fonction 𝑓(𝑥) = 3𝑥² + 4𝑥 − 1 . Donner la primitive 𝐹 de 𝑓 telle que 𝐹(0) = 1

Solutions :

𝑓′(𝑥) = −2𝑥 × 𝑠𝑖𝑛(𝑥2 + 1) − 3 × cos (3𝑥 + 4)

Une primitive de la fonction 𝑓(𝑥) = 3𝑥² + 4𝑥 − 1 est 𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥² − 𝑥

L’ ensemble des primitives de f est 𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 𝑐

𝐹(0) = 1 ⟺ 0 + 𝑐 = 1 ⇔ 𝑐 = 1

𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 1

Donner une primitive de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 . Donner la primitive 𝐹 de 𝑓 telle que 𝐹(0) = 1

Donner une primitive pour les fonctions suivantes :

Une primitive de 𝒖′ × 𝒖 est 𝒖²

𝑓(𝑥) = cos (3𝑥) 𝑔(𝑥) = sin (2𝑥) ℎ(𝑥) = 𝑥 (𝑥2 − 1) 𝑡(𝑥) =2

𝑥²

Une primitive de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 est 𝐹(𝑥) =𝑥²

2− 𝑥

L’ ensemble des primitives de f est 𝐹(𝑥) =𝑥²

2− 𝑥 + 𝑐 𝐹(0) = 1 ⟺ 0 + 𝑐 = 1 ⇔ 𝑐 = 1

𝐹(𝑥) =𝑥²

2− 𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = cos (3𝑥) 𝐹(𝑥) =sin (3𝑥)

𝑔(𝑥) = sin (2𝑥) 𝐺(𝑥) = −cos (2𝑥)

ℎ(𝑥) = 𝑥 (𝑥2 − 1) 𝐻(𝑥) =(𝑥2−1)²

𝑡(𝑥) =2

𝑥² 𝑇(𝑥) = −

Algorithme, calcul d’un terme d’une suite.

On considère la suite définie par {𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 − 1

𝑈0 = 6

Utiliser l’algorithme suivant pour calculer 𝑈5

𝑛 ← 5 𝑈 ← 6 Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑛 faire 𝑈 ← 𝑈 − 1 Fin du pour

Initialisation 𝑛 𝑈 𝑖 1

Tableau de signe d’un trinôme du second degré.

Faire le tableau de signe de la fonction : 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 4

Dériver la fonction 𝑓(𝑥)

Solutions

𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 4 a=1 b=-5 et c=4

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 25 − 16 = 9 ∆> 0 Il y a donc deux solutions réelles 𝑥1 = −𝑏+√∆

2𝑎=

5+√9

2= 4 et 𝑥2 =

−𝑏−√∆

2𝑎=

5−√9

𝑥 -∞ 1 4 +∞

𝑓(𝑥) + - +

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 5

Initialisation

𝑛 5 5 5 5 5 5

𝑈 6 5 4 3 2 1

𝑖 1 2 3 4 5

Nature d’une suite.

{𝑈𝑛+1 = 2𝑈𝑛 − 1

𝑈0 = −3

Calculer 𝑈1, 𝑈2 , 𝑈3 . Prouver que 𝑈𝑛 (n’est ni arithmétique hors programme à vérifier), ni

géométrique.

Calculer une somme.

𝑆 = ∑ 𝑈𝑖

𝑖=2

𝑎𝑣𝑒𝑐 (𝑈𝑛)𝑛≥0𝑔é𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑈2 = 4 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 (−3)

Rappels de cours.

𝑆𝑖 (𝑈𝑛)𝑛≥0𝑔é𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 ∑ 𝑈𝑖 = 𝑈0

1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

𝑖=0

= 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒1 − 𝑞𝑛𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠

1 − 𝑞

Solutions.

𝑈1 = −7, 𝑈2 = −15 , 𝑈3 = −31

𝑈2 − 𝑈1 = −8 ≠ 𝑈3 − 𝑈2 = −16. 𝑈𝑛 n’est pas arithmétique.

𝑈1=

−7≠

𝑈2−=

−15 . 𝑈𝑛 n’est pas géométrique.

𝑆 = ∑ 𝑈𝑖

𝑖=2

= 41 − (−3)5

1 − (−3)= 4

1 − (−3)5

4= 1 − (−3)5

Valeurs remarquables en trigonométrie.

Compléter le tableau des valeurs remarquables en trigonométrie.

Angle (x) en degré 0 30 45 60 90

Angle (x) en radian 0 𝜋

Cos(x) √3

Sin(x)

Equation trigonométrique

Résoudre l’équation trigonométrique suivante, trouver l’angle 𝑥 : {cos(𝑥) =

sin(𝑥) = −1

Solutions :

Cos(x) 1 √3

Sin(x)

2 √2

cos(𝑥) =√3

sin(𝑥) = −1

⇔ 𝑥 = −𝜋

Trigonométrie, valeurs remarquables :

Angle (x) en radian 𝜋

Cos(x)

Sin(x)

Solutions

Angle (x) en radian 𝜋

Cos(x) √2

Sin(x)

-1 √2

Résoudre une équation trigonométrique.

• Résoudre sur ]-π ;π] l’équation : cos(𝑥) =−√3

Trouver des primitives.

En utilisant les formules suivantes :

La primitive de 𝒖′

𝒖² est −

𝒖²

𝑓(𝑥) =2𝑥

(𝑥2+2)² et 𝑔(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 − 1)

cos(𝑥) =−√3

2⟺ {

𝑥 =5𝜋

6+ 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ

𝑥 = −5𝜋

6+ 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ

Sur ]-π ;π] 𝑆 = {−5𝜋

𝑓(𝑥) =2𝑥

(𝑥2+2)²=

𝑢′

𝑢 𝐹(𝑥) = −

𝑥2+2

𝑔(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 − 1) = 𝑢′ × 𝑢 𝐺(𝑥) =(𝑥2−1)²

Simplification avec des puissances.

• Simplifier 46×4−2

42×23

Formules utiles : 𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 𝒂𝒎

𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏 (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎×𝒏 𝒂−𝒏 =𝟏

𝒂𝒏

Logarithmes Népériens, simplifications de formules.

Formules utiles : 𝒍𝒏(𝒂 × 𝒃) = 𝒍𝒏(𝒂) + 𝒍𝒏(𝒃) 𝒍𝒏 (𝒂

𝒃) = 𝒍𝒏(𝒂) − 𝒍𝒏(𝒃)

𝒍𝒏(𝒂𝒏) = 𝒏 𝒍𝒏(𝒂) 𝒍𝒏(𝟏) = 𝟎 𝒍𝒏(𝒆) = 𝟏 √𝒂 = 𝒂𝟎,𝟓

Démontrer que ln(3𝑥 − 4) + 2 ln(𝑥) = ln (𝑥2(3𝑥 − 4)) et ln(4√𝑥) = 2 ln(2) +ln (𝑥)

Solutions :

42 × 23

2−3=

222× 23

2−3=

24 × 23

2−3=

2−3= 210

46 × 4−2

4−3=

4−3= 47

ln(3𝑥 − 4) + 2 ln(𝑥) = ln(3𝑥 − 4) + ln(𝑥²) = ln ((3𝑥 − 4)𝑥²)

ln(4√𝑥) = ln(4) + ln(√𝑥) = ln(22) + ln(𝑥0.5) = 2 ln(2) + 0,5 ln(𝑥) = 2ln (2) +ln (𝑥)

Logarithmes Népériens, simplifications de formules.

𝒃) = 𝒍𝒏(𝒂) − 𝒍𝒏(𝒃)

𝒍𝒏(𝒂𝒏) = 𝒏 𝒍𝒏(𝒂) 𝒍𝒏(𝟏) = 𝟎 𝒍𝒏(𝒆) = 𝟏

Prouver que ln(6𝑥2) = ln(6) + 2ln (𝑥) et

𝑙𝑛(𝑒3) − 𝑙𝑛(𝑒4) = −1

Chercher une dérivée avec logarithme.

Dériver la fonction 𝑓(𝑥) = 6 ln(𝑥) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0

Solutions :

𝒃) = 𝒍𝒏(𝒂) − 𝒍𝒏(𝒃)

𝒍𝒏(𝒂𝒏) = 𝒏 𝒍𝒏(𝒂) 𝒍𝒏(𝟏) = 𝟎 𝒍𝒏(𝒆) = 𝟏

ln(6𝑥2) = ln(6) + ln(𝑥2) = ln(6) + 2 ln(𝑥)

𝑙𝑛(𝑒3) − 𝑙𝑛(𝑒4) = 3 ln(𝑒) − 4 ln(𝑒) = 3 − 4 = −1

𝑓′(𝑥) = 6 ×1

𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0

Dériver la fonction ln(u(x))

Rappels : (ln(𝑥))′ =1

𝑥 𝑒𝑡 (ln 𝑢((𝑥)))′ =

𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥)

Dériver les fonctions

𝑓(𝑥) = 3 ln (𝑥2 + 1)

𝑔(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0 𝑅𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙 : (𝑢𝑣)’ = 𝑢’𝑣 + 𝑢𝑣’

Résoudre une inéquation en utilisant la fonction logarithme.

Résoudre 2 × 0,1𝑥 > 0,5 Rappel : ln(𝑎𝑛) = 𝑛 ln (𝑎)

Solutions :

𝑓′(𝑥) = 32𝑥

𝑥2 + 1=

𝑥2 + 1

𝑔′(𝑥) = ln(𝑥) + 𝑥 ∙1

𝑥= ln(𝑥) + 1

2 × 0,1𝑥 > 0,5 ⟺ 0,1𝑥 > 0,25

⟺ 𝑥 𝑙𝑛(0,1) > ln(0,25) ( 𝑐𝑎𝑟 ln 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒) ⟺ 𝑥 <ln(0,25)

𝑙𝑛(0,1)⟺ 𝑥 < 0,6 ( 𝑐𝑎𝑟 ln(0,1) < 0)

Résoudre une équation en utilisant la fonction logarithme népérien.

• Résoudre l’équation suivante :

2 ln(𝑥) + ln(3) = ln(𝑥 + 1) CE : 𝑥 ∈]0; +∞[

Prouver que l’équation revient à résoudre l’équation : 3𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0

Prouver qu’une fonction est une primitive.

Soit 𝐹(𝑥) = 𝑥 𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥 𝑠𝑢𝑟 ]0; +∞[. Prouver que 𝐹(𝑥) est une primitive de ln (𝑥)

On dérive F. 𝐹′(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥 ×1

𝑥− 1 = ln(𝑥) + 1 − 1 = ln (𝑥)

(𝐸) ⟺ 2 ln(𝑥) + ln(3) = ln(𝑥 + 1)

CE : 𝑥 ∈]0; +∞[

Solutions :

(𝐸) ⟺ ln(3𝑥2) = ln(𝑥 + 1)

(𝐸) ⟺ 3𝑥2 = 𝑥 + 1

(𝐸) ⟺ 3𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0

∆= 1 + 12 = 13

𝑆 = {1+√13

6} car x>0

Etude d’une fonction logarithme.

On considère la fonction 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝐥𝐧 (𝟒𝒙)

1. Donner l’ensemble de définition de la fonction f.

2. Démontrer que 𝑓(10𝑥) = 𝑓(𝑥) + ln (100) . Vérifier à la calculatrice avec 𝑓(1) et 𝑓(10)

3. Calculer la dérivée de f. Donner le signe de f’(x). En déduire le tableau de variations de la fonction f.

4. Calculer lim𝑥→0

𝑓(𝑥) Que peut-on en déduire pour la courbe de f.

5. Calculer lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

Solutions :

𝐷𝑓 =]0; ∞[

𝑓(10𝑥) = 2 ln(4 ∙ 10𝑥) = 2 ln(10 ∙ 4𝑥) = 2 (ln(4𝑥) + ln(10)) = 𝑓(𝑥) + 2 ln(10) = 𝑓(𝑥) + ln (100)

𝑓(1) ≈ 2,77 et 𝑓(10) ≈ 7,38 𝑓′(𝑥) = 2 ∙4

4𝑥=

Sur ]0; ∞[ 2

𝑥> 0 𝑓’(𝑥) > 0 La fonction f est donc croissante sur ]0; ∞[

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = −∞ La droite x=0 est donc une asymptote verticale et lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

Dériver une fonction logarithme.

Dériver la fonction 𝑓(𝑥) = 4 ln (𝑥2 + 1) .

En déduire une primitive de 8𝑥

𝑥²+1

• Résoudre sur ]-π ;π] l’équation :

cos(𝑥) =−√2

Vérifier une primitive.

Vérifier que la fonction 𝐹(𝑥) = (−2 − 𝑥)𝑒−𝑥 définie sur ℝ est une primitive de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 définie

sur ℝ.

Rappel : (𝑒−𝑥)′ = −𝑒−𝑥

Solutions :

cos(𝑥) =−√2

2⟺ {

𝑥 =3𝜋

4+ 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ

𝑥 = −3𝜋

4+ 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ

Sur ]-π ;π] 𝑆 = {−3𝜋

𝐹′(𝑥) = ((−2 − 𝑥)(−𝑒−𝑥))′

= −1𝑒−𝑥 + (−2 − 𝑥)−𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥(−1 − (−2 − 𝑥)) =

𝑒−𝑥(−1 + 2 + 𝑥) = 𝑒−𝑥(1 + 𝑥) = 𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝐹′(𝑥) = ((−2 − 𝑥)(−𝑒−𝑥))′

= −1𝑒−𝑥 + (−2 − 𝑥)−𝑒−𝑥 =

𝐹′(𝑥) = −𝑒−𝑥 + 2𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥

Etudier une fonction logarithmique.

Soit la fonction définie par 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) .

Rappels : (𝒖𝒗)’ = 𝒖’𝒗 + 𝒖𝒗’ et 𝒍𝒏( 𝒘) =𝒘′

1) Donner l’ensemble de définition de la fonction.

2) Donner les limites aux bornes de l’ensemble de définition : lim𝑥→−1

𝑓(𝑥) et lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

3) Dériver la fonction et étudier son sens de variation.

4) Trouver l’équation de la tangente en 𝑥 = 0

Rappels : 𝑻𝒂 ∶ 𝒚 = 𝒇′(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)

5) Dessiner la fonction et la tangente à la calculatrice.

Solutions :

1) 𝐷𝑓 =] − 1; +∞[

2) lim𝑥→−1

𝑓(𝑥) = 0 C’est la puissance qui l’emporte et lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

3) 𝒇′(𝒙) = 1 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) + (𝒙 + 𝟏) ×𝟏

𝒙+𝟏= 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) + 𝟏

4) On cherche le signe de f’(x).

𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) + 𝟏 > 0 ⟺ 𝑙𝑛(𝒙 + 𝟏) > −1 ⟺ 𝑥 > 𝒆−𝟏 − 𝟏 𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒙𝒑(𝒙) 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒓 ℝ

𝑥 -1 𝒆−𝟏 − 𝟏 ≈ −𝟎, 𝟔𝟑 +∞

𝑓′(𝑥) − +

0 -0,37

5) 𝑻𝒂=𝟎 ∶ 𝒚 = 𝒇′(𝟎)(𝒙 − 𝟎) + 𝒇(𝟎) = 𝟏(𝒙) + 𝟎 = 𝒙

Résoudre une équation avec la fonction exponentielle.

Résoudre l’équation : 𝑒𝑥²+𝑥 = 1

Résoudre des équations avec les fonctions logarithmes et exponentielles.

Résoudre les équations suivantes : ln(3𝑥 + 1) = 4 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈] −1

3; +∞[

𝑒2𝑥+1 = 3 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 𝜖 ℝ

Dériver la fonction 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑒−𝑥

Solutions.

𝑒𝑥2+𝑥 = 1 ⟺ 𝑥2 + 𝑥 = ln(1) = 0 Solutions : 𝑆 = {−1; 0}

ln(3𝑥 + 1) = 4 ⟺ 3𝑥 + 1 = 𝑒4 ⟺ 3𝑥 = 𝑒4 − 1 ⟺ 𝑥 =𝑒4−1

3≈ 17,9 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈] −

3; +∞[ 𝑆 = {

𝑒4−1

𝑒2𝑥+1 = 3 ⟺ 2𝑥 + 1 = ln(3) ⟺ 𝑥 =ln(3)−1

2 ≈ 0,05 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 𝜖 ℝ 𝑆 = {

ln(3)−1

𝑓′(𝑥) = (𝑈 𝑉)′ = 𝑈′𝑉 + 𝑈 𝑉′𝑓(𝑥) = ((2𝑥 + 1)𝑒−𝑥)′

𝑓′(𝑥) = 2𝑒−𝑥 + (2𝑥 + 1)(−𝑒−𝑥) = 𝑒−𝑥(2 − (2𝑥 + 1)) = 𝑒−𝑥(2 − 2𝑥 − 1) = 𝑒−𝑥(−2𝑥 + 1)

Résoudre une équation en utilisant la fonction logarithme népérien. Changement de variables.

1) Résoudre l’équation X2 − 2X − 3 = 0

2) Utiliser la question 1) et le changement de variables 𝑋 = ln (𝑥) pour résoudre l’équation

(ln(𝑥))2 − 2 ln(x) − 3 = 0

Dériver 𝑓(𝑥) = 4𝑒−𝑥+1

Solutions :

E ⟺ X2 − 2X − 3 = 0

∆= (−2)2 − 4 × 1 × (−3) = 4 + 12 = 16

𝑋1 = −1 𝑜𝑢 𝑋2 = 3

C.E x>O

(ln(𝑥))2 − 2 ln(x) − 3 = 0

𝑋 = ln (𝑥)

𝑋1 = −1 = ln(𝑥1) ⟺ 𝑥1 = 𝑒−1

𝑋2 = 3 = ln(𝑥2) ⟺ 𝑥2 = 𝑒3

𝑆 = {𝑒−1; 𝑒3}

𝑓′(𝑥) = 4 × (−1)𝑒−𝑥+1 = −4𝑒−𝑥+1

Equations avec la fonction exponentielle.

Résoudre les équations suivantes :

𝑒3𝑥+1 = 4 𝑒𝑥+1 = −1 3𝑒2𝑥−2 + 4 = 8

Dériver la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥. ln(𝑥) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0

Résoudre une inéquation avec la fonction exponentielle.

• Résoudre l’inéquation

𝑒3𝑥−1 ≤ 𝑒−𝑥+1

Solutions :

𝑒3𝑥+1 = 4 ⟺ 3𝑥 + 1 = ln(4) ⟺ 𝑥 =ln(4) − 1

𝑒𝑥+1 = −1 est impossible car la fonction exponentielle est toujours positive

3𝑒2𝑥−2 + 4 = 8 ⟺ 3𝑒2𝑥−2 = 8 − 4 = 4 ⟺ 𝑒2𝑥−2 =4

3 ⟺ 2𝑥 − 2 = ln (

3) ⟺ 𝑥 =

𝑓′(𝑥) = −𝑒−𝑥. ln(𝑥) + 𝑒−𝑥 .1

𝑥= −𝑒−𝑥 . ln(𝑥) +

𝑒−𝑥

𝑥= 𝑒−𝑥(−ln (𝑥) +

𝑥) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 0

𝑒3𝑥−1 ≤ 𝑒−𝑥+1 ⟺ 3𝑥 − 1 ≤ −𝑥 + 1

𝑐𝑎𝑟 exp 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒.

𝑒3𝑥−1 ≤ 𝑒−𝑥+1 ⟺ 4𝑥 ≤ 2 ⟺ 𝑥 ≤1

𝑆 =] − ∞;1

Chercher une valeur approchée d’une équation à la calculatrice

• Soit la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 − ln(𝑥) 𝑠𝑢𝑟 ]0; +∞[ . Chercher à la calculatrice un encadrement de la

solution de 𝑓(𝑥) = 0 dans l’intervalle [3 ;4] à 0,01 près.

Le logarithme décimal, intensité sonore

• Le niveau sonore (en décibels) d’un son d’intensité 𝑙 ( 𝑒𝑛 𝑊 𝑚−2) est donné par la formule 𝐼 = 10 𝐿𝑂𝐺 𝑙

𝑙0 . On

donne 𝑙0 = 10−12 𝑊 𝑚−2 . Le seuil de danger est de 90 dB. Quelle est l’intensité correspondante ? Donner la

valeur exacte.

Rappel : La fonction réciproque de 𝐥𝐨𝐠 (𝒙) est 𝟏𝟎𝒙

Solutions :

On propose 3,14 ≤ 𝑥0 ≤ 3,15

𝐼 = 10 𝐿𝑂𝐺 𝑙

𝑙0⟺ 90 = 10𝐿𝑂𝐺

10−12⟺ 9 = 𝐿𝑂𝐺

10−12⟺ 𝑙 = 10−12 . 109 = 10−3

Situation au 05/02/2020

Algorithme de dichotomie.

Interpréter les résultats de la console PYTHON.

Solutions :

La console renvoie l’encadrement de l’antécédent 𝑥0 de 0 par la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 − 1 avec une amplitude de O,O1

sur [1,2].

On peut écrire 1,61 ≤ 𝑥0 ≤ 1,62

Etudier une fonction logarithmique.

Soit la fonction définie par 𝒇(𝒙) = 𝑥𝒍𝒏(𝒙) .

6) Donner l’ensemble de définition de la fonction.

7) Donner les limites aux bornes de l’ensemble de définition : lim𝑥→0

𝑓(𝑥) et lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

8) Dériver la fonction et étudier son sens de variation.

9) Trouver l’équation de la tangente en 𝑥 = 1

Rappels : 𝑻𝒂 ∶ 𝒚 = 𝒇′(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂) avec a=1

10) Dessiner la fonction et la tangente à la calculatrice.

Solutions :

6) 𝐷𝑓 =]0; +∞[

7) lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 0 C’est la puissance qui l’emporte et lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

8) 𝒇′(𝒙) = 1 𝒍𝒏(𝒙) + 𝒙 ×𝟏

𝒙= 𝒍𝒏(𝒙) + 𝟏

On cherche le signe de f’(x).

𝒍𝒏(𝒙) + 𝟏 > 0 ⟺ 𝑙𝑛(𝒙) > −1 ⟺ 𝑥 > 𝒆−𝟏 𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒙𝒑(𝒙) 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒓 ℝ

𝑥 0 𝒆−𝟏 ≈ 𝟎, 𝟑𝟕 +∞

𝑓′(𝑥) − +

0 +∞

9) 𝑻𝒂=𝟏 ∶ 𝒚 = 𝒇′(𝟏)(𝒙 − 𝟏) + 𝒇(𝟏) = 𝟏(𝒙 − 𝟏) + 𝟎 = 𝒙 − 𝟏

Calculer une intégrale avec la calculatrice.

En utilisant la calculatrice, calculer l’intégrale

∫ (𝑥 + 3)𝑑𝑥6

A quoi correspond cette intégrale ?

Calculer une intégrale.

Calculer ∫ 𝑒3𝑥𝑑𝑥3

Solutions :

∫ (𝑥 + 3)𝑑𝑥 = 366

Cette intégrale correspond à l’aire de la partie située entre la courbe représentative de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 , l’ axe des

abscisses et les droites d’équations x=0 et x= 6

∫ 𝑒3𝑥𝑑𝑥3

𝑒3𝑥

=𝑒9

𝑒9−1

Intégrale « vu au bac »

Calculer ∫2

𝑥+1𝑑𝑥

Résoudre une équation avec la fonction logarithme népérien.

Résoudre

ln(𝑥 + 1) = 3 𝑠𝑢𝑟 ] − 1; +∞[

Solutions :

La réponse est c : 3<I<4

𝑥 + 1𝑑𝑥

= [2 ln (𝑥 + 1)]10

= 2 ln(2) − 2 ln(1) = 2 ln(2) = ln (4)

ln(𝑥 + 1) = 3 ⇔ 𝑥 + 1 = 𝑒3 ⇔ 𝑥 = 𝑒3 − 1 ≈ 19,1

𝑒3 − 1 ∈ ] − 1; +∞[ 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑆 = {𝑒3 − 1}

Intégrale tirée du bac blanc de 2014.

La fonction 𝑓 représentée dans la PARTIE A est définie sur ℝ par

𝑓(𝑥) = (−𝑥2 − 2𝑥 + 2)𝑒−𝑥 + 3

On considère la fonction 𝐹 définie sur ℝ par

𝐹(𝑥) = (𝑥2 + 4𝑥 + 2)𝑒−𝑥 + 3𝑥.

1) Vérifier que la fonction 𝐹est une primitive de la fonction 𝑓 sur ℝ.

2) On considère le domaine D du plan limité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations 𝑥 = 0 et

𝑥 = 2.

a) Calculer la valeur exacte de l’aire A, exprimée en unités d’aire, du domaine D.

b) Donner une valeur approchée de A au centième.

Calculer une valeur moyenne d’une fonction.

Rappel : la valeur moyenne d’une fonction est donnée par la formule :

𝑀𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒 =1

𝑏 − 𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Calculer la valeur moyenne de la fonction 𝑓(𝑥) = 3𝑒−𝑥 sur l’intervalle [0 ;4].

Primitive et intégrale

On considère la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥𝑝(−𝑥) sur ℝ

1. Soit la fonction définie par 𝐺(𝑥) = 𝑒−𝑥(−𝑥 − 1) . Montrer que G est une primitive de f.

2. Calculer ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1

0. Interpréter géométriquement ce résultat.

Solutions.

4∫ 3𝑒−𝑥𝑑𝑥 =

[−3𝑒−𝑥]40

= −3

4(𝑒−4 − 1) =

4𝑒−4

𝐺′ (𝑥) = −𝑒−𝑥(−𝑥 − 1) + 𝑒−𝑥(−1) = 𝑒−𝑥(−(−𝑥 + 1) − 1) = 𝑥𝑒−𝑥 = 𝑓(𝑥)

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1

= |𝑒−𝑥(−𝑥 − 1)|01 = 𝑒−1(−1 − 1)−𝑒−0(−0 − 1) = −2𝑒−1 + 1

Ce nombre (environ 0,26 u.a) correspond à l’aire de la partie située entre la courbe, l’axe des abscisses, les droites

d’équations x=0 et x=1.

Calculer ∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥3

0 . Penser à vérifier à la calculatrice.

Tester une solution d’une équation différentielle.

On considère l’équation différentielle du second ordre (𝐸) 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 0

On donne la fonction 𝑓(𝑥) = 2𝑒−𝑥 − 𝑒−3𝑥 définie sur ℝ . Vérifier que la fonction 𝑓 est bien une solution de ( E)

Solutions :

∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥3

= |𝑒−2𝑥

−2|0

3 = (−𝑒−6

2− (−

𝑒−6

(𝐸) 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 0 . On remplace 𝑦 par 𝑓(𝑥).

𝑓(𝑥) = 2𝑒−𝑥 − 𝑒−3𝑥 𝑓′(𝑥) = −2𝑒−𝑥 + 3𝑒−3𝑥 𝑓′′(𝑥) = 2𝑒−𝑥 − 9𝑒−3𝑥

On remplace :

𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 2𝑒−𝑥 − 9𝑒−3𝑥 + 4(−2𝑒−𝑥 + 3𝑒−3𝑥) + 3(2𝑒−𝑥 − 𝑒−3𝑥)

𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 2𝑒−𝑥 − 9𝑒−3𝑥 − 8𝑒−𝑥 + 12𝑒−3𝑥 + 6𝑒−𝑥 − 3𝑒−3𝑥

𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 0

la fonction 𝑓 est bien une solution de ( E).

Résoudre une équation.

Résoudre l’équation suivante :

6𝑒−3𝑡 + 1 = 8

Résoudre une équation différentielle du premier ordre.

Rappel de cours :

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑦′ + 𝑎𝑦 = 0 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑦 = 𝐾𝑒−𝑎𝑥

Résoudre l’équation différentielle suivante :

𝑦′ − 3𝑦 = 0

Solutions :

6𝑒−3𝑡 + 1 = 8 ⟺ 6𝑒−3𝑡 = 7 ⟺ 𝑒−3𝑡 =7

6⟺ −3𝑡 = ln (

6) ⟺

𝑡 = −ln(

𝑦′ − 3𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = 𝐾𝑒3𝑥

Résoudre une équation différentielle du premier ordre avec second membre.

Rappel de cours :

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑦′ + 𝑎𝑦 = 𝑏 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑦 = 𝐾𝑒−𝑎𝑥 +𝑏

Résoudre l’équation différentielle suivante :

𝑦′ − 4𝑦 = 2

Dériver la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 ln(𝑥) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈]0; +∞[

Solutions.

𝑦′ − 4𝑦 = 2 ⟺ 𝑦 = 𝐾𝑒−(−4𝑥) +2

−4= 𝐾𝑒4𝑥 −

𝑓′(𝑥) = 1 − (ln(𝑥) + 𝑥1

𝑥) = 1 − ln(𝑥) − 1 = −ln (𝑥) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈]0; +∞[

Résoudre une équation différentielle du premier ordre avec second membre.

Rappel de cours :

Résoudre l’équation différentielle suivante, on appellera 𝑓(𝑥) l’ensemble des solutions :

2𝑦′ − 4𝑦 = 2

Trouver la solution de l’équation différentielle f telle que 𝑓(0) = 1

Valeurs remarquables en trigonométrie.

Compléter le tableau des valeurs remarquables en trigonométrie.

Cos(x) √3

Sin(x)

Solutions.

2𝑦′ − 4𝑦 = 2 ⇔ 𝑦′ − 2𝑦 = 1 ⟺ 𝑦 = 𝐾𝑒−(−2𝑥) +1

−2= 𝐾𝑒2𝑥 −

𝑓(𝑥) = 𝐾𝑒2𝑥 −1

𝑓(0) = 1 ⇔ 𝐾𝑒0 −1

2= 1 ⇔ 𝐾 −

2= 1 ⇔ 𝐾 = 1 +

𝑓(𝑥) =3

2𝑒2𝑥 −

Angle x en degré 0 30 45 60 90

Angle x en radian 0 𝜋

Cos(x) 1 √3

Sin(x) 0 1

2 √2

Résoudre une équation différentielle.

Rappel de cours :

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑦′′ + 𝜔2𝑦 = 0

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑦 = 𝐾1 cos(𝜔𝑥) + 𝐾1 sin(𝜔𝑥)

Résoudre les équations différentielles suivantes :

𝑦′ − 𝑦 = 0

𝑦′′ + 2𝑦 = 0

Résoudre une inéquation en utilisant la fonction exponentielle.

• Résoudre

2 × 0,1𝑥 > 0,5

Solutions.

𝑦′ − 𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = 𝐾𝑒𝑥 = 𝐾𝑒𝑥

𝑦′′ + 2𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = 𝐾1 cos(√2 𝑥) + 𝐾1 sin(√2 𝑥)

2 × 0,1𝑥 > 0,5 ⟺ 0,1𝑥 > 0,25

⟺ 𝑥𝑙𝑛(0,1) > ln(0,25) ( 𝑐𝑎𝑟 ln 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒) ⟺ 𝑥 <ln(0,25)

𝑙𝑛(0,1) ( 𝑐𝑎𝑟 ln(0,1) < 0)

Résoudre une équation différentielle.

Rappel de cours :

𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑦′′ + 𝜔2𝑦 = 0

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝑦 = 𝐾1 cos(𝜔𝑥) + 𝐾1 sin(𝜔𝑥)

Résoudre les équations différentielles suivantes :

𝑦′ = 2𝑦

𝑦′′ + 4𝑦 = 0

Ecriture algébrique d’un complexe.

Rappels : 𝐸𝑐𝑖𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑖2 = −1

Mettre sous forme algébrique les complexes suivants :

𝑧1 = (4 − 2𝑖)(1 + 𝑖) − 3(2 + 2𝑖)

𝑧2 = (3 + 3𝑖)2

𝑧3 = (4 − 𝑖)2

Solutions.

𝑦′ = 2𝑦 ⟺ 𝑦′ − 2𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = 𝐾𝑒2𝑥 = 𝐾𝑒2𝑥

𝑦′′ + 4𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = 𝐾1 cos(2 𝑥) + 𝐾1 sin(2 𝑥)

𝑧1 = (4 − 2𝑖)(1 + 𝑖) − 3(2 + 2𝑖) = 4 − 2𝑖 + 4𝑖 − 2𝑖2 − 6 − 6𝑖 = 4 + 2𝑖 + 2 − 6 − 6𝑖 = −4𝑖

𝑧2 = (3 + 3𝑖)2 = 9 + 18𝑖 + 9𝑖2 = 9 + 12𝑖 − 9 = 18𝑖

𝑧3 = (4 − 𝑖)2 = 16 − 8𝑖 + 𝑖2 = 16 − 8𝑖 − 1 = 15 − 8𝑖

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

𝑧1 =3−𝑖

3𝑖 𝑧2 =

3−𝑖

3+𝑖 𝑧3 =

2+2𝑖 𝑧4 =

1+𝑖

𝑥+𝑖𝑦

Dériver une fonction trigonométrique.

Soit f la fonction définie par 𝑓(𝑥) = cos(2𝑥) + sin (4𝑥)

Dériver la fonction f

Solutions :

𝑧1 =3−𝑖

3𝑖=

(3−𝑖)𝑖

3𝑖.𝑖=

3𝑖−𝑖²

3𝑖²=

1+3𝑖

3− 𝑖

𝑧2 =3−𝑖

3+𝑖=

(3−𝑖)

(3+𝑖)=

(3−𝑖)(3−𝑖)

(3+𝑖)(3−𝑖)=

9−6𝑖+𝑖²

9−𝑖²=

8−6𝑖

𝑧3 =4𝑖

2+2𝑖=

4𝑖(2−2𝑖)

(2+2𝑖)(2−2𝑖)=

8𝑖+8

8= 1 + 𝑖

𝑧4 =1+𝑖

𝑥+𝑖𝑦=

(1+𝑖)(𝑥−𝑖𝑦)

(𝑥+𝑖𝑦)(𝑥−𝑖𝑦)=

𝑥+𝑖𝑥−𝑖𝑦−𝑖²𝑦

𝑥2+𝑦²=

𝑥+𝑦+𝑖(𝑥−𝑦)

𝑥2+𝑦²=

𝑥+𝑦

𝑥2+𝑦²+ 𝑖

𝑥−𝑦

𝑥2+𝑦²

𝑓′(𝑥) = −2 sin(2𝑥) + 4 cos (4𝑥)

• Résoudre sur ]-π ;π] l’équation : cos(𝑥) =−√3

• Résoudre sur ]-π ;π] l’équation : sin(𝑥) =−1

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

𝑧1 =2

𝑖 𝑧2 =

1−𝑖

1+𝑖

Solutions.

cos(𝑥) =−√3

2⟺ {

𝑥 =5𝜋

6+ 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ

𝑥 = −5𝜋

6+ 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ

Sur ]-π ;π] 𝑆 = {−5𝜋

sin(𝑥) =−1

2⟺ {

𝑥 = −𝜋

6+ 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ

𝑥 = −5𝜋

6+ 𝑘2𝜋 𝑘 ∈ ℤ

Sur ]-π ;π] 𝑆 = {−𝜋

6; −

𝑧1 =2

𝑖²= −2𝑖

𝑧2 =1−𝑖

1+𝑖=

(1−𝑖)(1−𝑖)

(1+𝑖)(1−𝑖)=

1−2𝑖+𝑖²

1−𝑖²=

−2𝑖

2= −𝑖

Calculer un module.

• Calculer le module du complexe 𝑧 = 4 + 2𝑖

Rappels de cours :

𝐳 = 𝐱 + 𝐢𝐲 𝐄𝐜𝐫𝐢𝐭𝐮𝐫𝐞 𝐚𝐥𝐠é𝐛𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐳 = |𝐳|(𝐜𝐨𝐬(𝛉) + 𝐢 𝐬𝐢𝐧(𝛉)) 𝐄𝐜𝐫𝐢𝐭𝐮𝐫𝐞 𝐭𝐫𝐢𝐠𝐨𝐧𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞

|𝐳| = √𝐱𝟐 + 𝐲² 𝒍𝒆 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒍𝒆 et 𝐜𝐨𝐬(𝛉) =𝐱

|𝐳| 𝐬𝐢𝐧(𝛉) =

|𝐳| 𝛉 𝐮𝐧 𝐚𝐫𝐠𝐮𝐥𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐝𝐞 𝐳

Ecriture trigonométrique d’un complexe.

• Soit 𝑧𝐵 un complexe dont le module vaut 3 et un argument vaut −𝜋

4. Donner l’écriture algébrique de 𝑧𝐵

• Soit 𝑧𝐴 = 1 − 𝑖√3 . Donner le module et un argument de 𝑧𝐴.

Solutions :

|4 + 2𝑖| = √16 + 4 = √20 = 2√5

𝑧𝐵 = 3 (cos (−𝜋

4) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (−

𝑧𝐵 = 3 (√2

2+ 𝑖

−√2

2− 𝑖

𝑧𝐴 = 1 − 𝑖√3

|1 − 𝑖√3| = √1 + 3 = 2

On a {cos(𝜃) =

sin(𝜃) = −√3

On a 𝜃 = −𝜋

Nombres complexes, différentes formes.

Rappels de cours :

𝐳 = 𝐱 + 𝐢𝐲 𝐄𝐜𝐫𝐢𝐭𝐮𝐫𝐞 𝐚𝐥𝐠é𝐛𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐳 = |𝐳|(𝐜𝐨𝐬(𝛉) + 𝐢 𝐬𝐢𝐧(𝛉)) 𝐄𝐜𝐫𝐢𝐭𝐮𝐫𝐞 𝐭𝐫𝐢𝐠𝐨𝐧𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞

𝐳 = |𝐳|𝒆𝒊 𝜽 𝑬𝒄𝒓𝒊𝒕𝒖𝒓𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒊𝒆𝒍𝒍𝒆

𝑨𝒗𝒆𝒄 |𝒛| = √𝒙𝟐 + 𝒚² 𝒍𝒆 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝜽) =𝒙

|𝒛| 𝒔𝒊𝒏(𝜽) =

|𝒛| 𝜽 𝒖𝒏 𝒂𝒓𝒈𝒖𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝒛

• Donner l’écriture algébrique du complexe :

𝑧1 = 3𝑒𝑖3𝜋4

• Trouver l’écriture exponentielle du complexe :

𝑧2 = 2√3 − 2𝑖√3

• Donner l’ensemble de définition et dériver

𝑓(𝑥) = 𝑥² × ln (2𝑥 + 1)

Solutions :

𝑧1 = 3𝑒𝑖3𝜋4 = 3 (cos

4+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

𝑧1 = 3 (−√2

2+ 𝑖

2) = −

2+ 𝑖

𝑧2 = 2√3 − 2𝑖√3

|𝑧2| = √12 + 12 = √24 = 2√6

On a {cos(𝜃) =

2√6=

sin(𝜃) = −2√3

2√6= −

On a 𝜃 = −𝜋

𝑧2 = 2√6𝑒−𝑖𝜋4

Condition d’existence

2𝑥 + 1 > 0 ⟺ 𝑥 >−1

𝐷𝑓 =]−1

2; +∞[

Dérivée

𝑓′ (𝑥) = 2𝑥 × ln(2𝑥 + 1) + 𝑥2 ×2

2𝑥 + 1

𝑓′ (𝑥) = 2𝑥 ln(2𝑥 + 1) +2𝑥²

2𝑥 + 1

Calculer une valeur moyenne d’une fonction.

Rappel : la valeur moyenne d’une fonction est donnée par la formule :

𝑏 − 𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Calculer la valeur moyenne de la fonction 𝑓(𝑥) = 3𝑒−𝑥 sur l’intervalle [0 ;4].

Nombres complexes, différentes formes.

Rappels de cours :

𝐳 = 𝐱 + 𝐢 𝐲 𝐄𝐜𝐫𝐢𝐭𝐮𝐫𝐞 𝐚𝐥𝐠é𝐛𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐳 = |𝐳|(𝐜𝐨𝐬(𝛉) + 𝐢 𝐬𝐢𝐧(𝛉)) 𝐄𝐜𝐫𝐢𝐭𝐮𝐫𝐞 𝐭𝐫𝐢𝐠𝐨𝐧𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞

𝐳 = |𝐳|𝒆𝒊 𝜽 𝑬𝒄𝒓𝒊𝒕𝒖𝒓𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒊𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒆𝒊 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔(𝜽) + 𝒊 𝒔𝒊𝒏(𝜽)

𝑨𝒗𝒆𝒄 |𝒛| = √𝒙𝟐 + 𝒚² 𝒍𝒆 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝜽) =𝒙

|𝒛| 𝒔𝒊𝒏(𝜽) =

|𝒛| 𝜽 𝒖𝒏 𝒂𝒓𝒈𝒖𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒆 𝒛

• Donner l’écriture algébrique du complexe :

𝑧1 = 2𝑒−𝑖𝜋4

• Trouver l’écriture exponentielle du complexe :

𝑧2 = 3√2 − 3𝑖√2

Solutions.

4∫ 3𝑒−𝑥𝑑𝑥 =

[−3𝑒−𝑥]40

= −3

4(𝑒−4 − 1) =

4𝑒−4

𝑧1 = 2𝑒−𝑖𝜋4 = 2 (cos

−𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛

−𝜋

𝑧1 = 2 (√2

2− 𝑖

2) = √2 − 𝑖√2

𝑧2 = 3√2 − 3𝑖√2

|𝑧2| = √18 + 18 = √36 = 6

On a {cos(𝜃) =

sin(𝜃) = −3√2

6= −

On a 𝜃 = −𝜋

𝑧2 = 6𝑒−𝑖𝜋4

Algorithme de seuil.

Une balle part d’une hauteur de 2,5 m et perd 15% de sa hauteur à chaque rebond. On cherche le nombre de rebonds

pour qu’elle perde la moitié de sa hauteur. Pour résoudre le problème, on considère l’algorithme suivant :

Lire h 0 → 𝑛 Tant que ℎ > 1,25 𝑛 + 1 → 𝑛 ℎ ∗ 0,85 → ℎ Fin tant que Afficher 𝑛

Initialisation 𝑛 0 ℎ 2,5

Suites et complexes

On considère les points 𝑀𝑛 du plan complexe dont les affixes sont définis par 𝑍𝑛 = (1 + 𝑖√3)𝑛

1. Calculer 𝑍0, 𝑍1, 𝑍2, donner l’écriture exponentielle de ces complexes. Vérifier que l’écriture exponentielle de 𝑍𝑛

est 𝑍𝑛 = 2𝑛𝑒𝑖𝑛𝜋

Solutions :

Initialisation

𝑛 0 1 2 3 4 5

ℎ 2,5 2 ,125 1,81 1,54 1,31 1,11

L’algorithme affiche 5

𝑧0 = 1 et |1| = √1 = 1

On a {cos(𝜃) = 1

sin(𝜃) = 0 On a 𝜃 = 0 donc 𝑧0 = 𝑒𝑖0

𝑧1 = 1 + 𝑖√3 et |1 + 𝑖√3| = √4 = 2

On a {cos(𝜃) =

sin(𝜃) =√3

On a 𝜃 =𝜋

3 donc 𝑧1 = 2𝑒𝑖

𝑧2 = 𝑧1² = 4(𝑒𝑖𝜋3)2 = 4𝑒𝑖

2𝜋3

On en déduit que 𝑍𝑛 = 2𝑛𝑒𝑖𝑛𝜋

Soit les fonctions 𝑓 et 𝑔 définie par

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥

Un logiciel a trouvé l’aire entre les deux courbes représentatives

des deux fonctions. Comment retrouver cette aire par le calcul ?

Démontrer que la valeur exacte de cette aire est

𝑒2 + 𝑒−2 − 2

Calculer ∫2

𝑥+1𝑑𝑥

Solutions.

Cette aire est calculée par l’intégrale : 𝐼 = ∫ 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥𝑑𝑥2

𝐼 = ∫ 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥𝑑𝑥2

= [𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥]20

= 𝑒2 + 𝑒−2 − (𝑒0 + 𝑒−0)

𝐼 = 𝑒2 + 𝑒−2 − (1 + 1) = 𝑒2 + 𝑒−2 − 2

𝑥 + 1𝑑𝑥

= [2 ln (𝑥 + 1)]10

= 2 ln(2) − 2 ln(1) = 2 ln(2) = ln (4)

Etude d’une loi associée à une variable aléatoire.

Rappels : 𝑬(𝑿) = ∑ 𝒑𝒊 × 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏 et 𝑽(𝑿) = ∑ 𝒑𝒊 × 𝒙𝒊²

𝒏𝒊=𝟏 − (𝑬(𝑿))² et 𝜹(𝑿) = √𝑽(𝑿)

On considère la variable aléatoire X et la loi de probabilité associée :

𝑋 = 𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5

𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 0,2 0,1 0,2 0,15 0,15 ?

1) Compléter la loi de probabilité.

2) Calculer :

𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) 𝑃(𝑋 < 2) 𝑃(𝑋 ≥ 3) 𝑃(0 < 𝑋 < 4) 𝑃(𝑋 < 1) 𝑃(4 ≤ 𝑋)

3) Calculer l’espérance, et l’écart-type.

Calculer avec une loi binomiale.

Soit X, la variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 100 et 𝑝 = 0,3. 𝑋−> 𝐵(100 ; 0,3)

Calculer 𝑃(𝑋 = 25) et 𝑃(𝑋 ≤ 30)

Solutions :

𝑋 = 𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖𝑖

) 0,2 0,1 0,2 0,15 0,15 0,2

𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 0,45 𝑃(𝑋 < 2) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0,3 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 0,5

𝑃(0 < 𝑋 < 4) = 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = 0,45 𝑃(𝑋 < 1) = 𝑃(𝑋 = 0) = 0,2

𝑃(4 < 𝑋) = 𝑃(𝑋 = 5) = 0,2

𝐸(𝑋) = 2,55

𝛿(𝑋) = 1,77

𝑋−> 𝐵(100 ; 0,3) 𝑃(𝑋 = 25) = 0,05 𝑃(𝑋 ≤ 30) = 0,55

Loi binomiale, rédaction.

Une société produit des composants électroniques. Une étude statistique montre que 2% des produits sont défectueux.

Cette société prélève un lot de 70 composants dans son stock pour effectuer des tests. On suppose le stock suffisamment

important pour considérer le tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de composants

électroniques défectueux.

Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Calculer la probabilité d’avoir 2 composants défectueux.

Calculer la probabilité d’avoir au plus 5 composants défectueux.

Calculer la probabilité d’avoir au minimum un composant défectueux.

Utiliser une loi binomiale.

• Soit X une VA qui suit une loi binomiale de paramètres B(15 ;0,3).

Calculer

𝑃(𝑋 ≤ 4) 𝑃(𝑋 = 7) 𝑃(𝑋 > 5) 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4)

Solution.

L’épreuve élémentaire : ‘prélever un composant dans le stock’ n’a que deux issues possibles :

• Le composant est défectueux : 𝑝 = 0,02

• Le composant n’est pas défectueux : 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,98

On répète de manière identique et indépendante 70 fois ce prélèvement car il est considéré comme un tirage avec

remise.

La variable aléatoire X qui compte le nombre de composants défectueux suit alors une loi binomiale de paramètres n=70

et 𝑝 = 0,02

𝑋−> 𝐵(70 ; 0,02)

𝑃(𝑋 = 2) = 0,245

𝑃(𝑋 ≤ 5) = 0,997

𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 < 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 0,757

𝑃(𝑋 ≤ 4) = 0,52

𝑃(𝑋 = 7) = 0,08

𝑃(𝑋 > 5) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 0,28

𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = 𝑃(𝑋 ≤ 4) − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0,52 − 0,04 = 0,48

Intervalle de fluctuation asymptotique a seuil de 95%.

Un candidat A affirme que 53% des personnes votent pour lui. Le candidat B organise un rapide sondage sur 200

personnes et récoltent 90 réponses pour le candidat.

On a comme information technique que l’intervalle de fluctuation d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de

paramètres

𝑋−> 𝐵(200 ; 0,53) est 𝐼0,95 = [92

200] = [0,46; 0,60]

Qu’en pensez-vous ?

Intégrale.

Calculer ∫ 4 𝑑𝑥5

1 (Penser à vérifier à la calculatrice)

Solutions :

200= 0,45 . Or 0,45 ∉ [0,46; 0,60]. On peut dire que le candidat A n’a pas raison avec une marge d’erreur de 5%.

∫ 4 𝑑𝑥5

= [4 𝑥]51

= 4 × 5 − 4 × 1 = 16

Loi uniforme sur un intervalle [a ;b]

Loi uniforme sur [a ;b] . 𝑷𝒐𝒖𝒓 [𝒄; 𝒅] ⊂ [𝒂; 𝒃] 𝑷(𝒄 ≤ 𝑿 ≤ 𝒅) = ∫𝟏

𝒃−𝒂𝒅𝒕 = |

𝒃−𝒂|𝑐

𝑑𝒅

𝒅−𝒄

𝒃−𝒂

Fonction de densité : 𝒇(𝒙) = 𝟏

𝒃−𝒂

𝑬(𝑿) =𝒂+𝒃

𝟐 𝑽(𝑿) =

(𝒃−𝒂)𝟐

𝟏𝟐 et 𝝈(𝑿) = √𝑽(𝑿)

Soit X la v.a qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [-4 ;4].

Donner la fonction de densité de la loi uniforme

Calculer 𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 3) 𝑃(𝑂 ≤ 𝑋) 𝑃(𝑋 ≤ 1) 𝑃(𝑋 = 3) 𝑬(𝑿) 𝑽(𝑿) 𝝈(𝑿)

Calculer avec une loi binomiale.

𝑋−> 𝐵(𝑛 ; 𝑝) 𝐸(𝑋) = 𝑛. 𝑝 (𝐸𝑠𝑝é𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑 à 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒) 𝑉(𝑋) = 𝑛. 𝑝. (1 − 𝑝) ( 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒)

𝛿(𝑋) = √𝑉(𝑋) (𝐸𝑐𝑎𝑟𝑡 − 𝑡𝑦𝑝𝑒)

Calculs à la calculatrice :

𝑃(𝑋 = 𝑘) Casio, stat,dist,BINM Bpd TI,distrib,BinomFdp

𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) Casio, stat,dist,BINM Bcd TI,distrib,BinomFrep

Soit X, la variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 200 et 𝑝 = 0,45.

𝑋−> 𝐵(200 ; 0,45)

Calculer 𝑃(𝑋 = 80) , 𝑃(𝑋 ≤ 85) 𝑃(𝑋 > 90) 𝑬(𝑿) 𝑽(𝑿) 𝝈(𝑿)

Solutions.

Fonction de densité : 𝒇(𝒙) = 𝟏

𝒃−𝒂=

𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 3) =4

2 𝑃(𝑂 ≤ 𝑋) =

2 𝑃(𝑋 ≤ 1) =

8 𝑃(𝑋 = 3) = 0 𝑬(𝑿) = 𝟎

𝑽(𝑿) =𝟔𝟒

𝟏𝟐=

𝟏𝟔

𝟑 𝝈(𝑿)√

𝟏𝟔

𝑋−> 𝐵(200 ; 0,45)

𝑃(𝑋 = 80) = 0,02 , 𝑃(𝑋 ≤ 85) = 0,26 𝑃(𝑋 > 90) = 0,47 E(X) = 90 V(X)=49,5 σ(X) = 7

Lois à densité

Loi uniforme sur [a ;b] . 𝑃𝑜𝑢𝑟 [𝑐; 𝑑] ⊂ [𝑎; 𝑏] 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) = ∫1

𝑏−𝑎𝑑𝑡 = |

𝑏−𝑎|𝑐

𝑑𝑑

𝑑−𝑐

𝑏−𝑎

Fonction de densité : 𝑓(𝑥) = 1

𝑏−𝑎

𝐸(𝑋) =𝑎+𝑏

2 𝑉(𝑋) =

(𝑏−𝑎)2

12 et 𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋)

Loi exponentielle sur [0 ;+∞[

Fonction de densité sur [0; +∞[ par 𝑓(𝑡) = ℷ𝑒−ℷ𝑡

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑒−ℷ𝑎 − 𝑒−ℷ𝑏 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) = 1 − 𝑒−ℷ𝑏 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋) = 𝑒−ℷ𝑎

Loi binomiale.

La variable X suit une loi binomiale tell que : 𝑋−> 𝐵(100 ; 0,03)

Calculer 𝑃(𝑋 = 2) et 𝑃(𝑋 ≤ 4)

Loi uniforme

Z suit une loi uniforme dans l’intervalle [15 ;45]

Calculer 𝑃(15 ≤ 𝑍 ≤ 25) 𝑃(𝑍 > 20) 𝑃(𝑍 ≤ 20) 𝑃(𝑍 = 25)

Donner 𝐸(𝑍), 𝑉(𝑍) 𝑒𝑡 𝜎(𝑍)

Loi exponentielle

T suit une loi exponentielle de paramètre 0,02

Calculer 𝑃(150 ≤ 𝑇 ≤ 250) 𝑃(𝑇 < 200) 𝑃(𝑇 ≥ 150) 𝑃(𝑍 = 25𝑂)

Donner 𝐸(𝑇), 𝑉(𝑇) 𝑒𝑡 𝜎(𝑇)

Solutions :

𝑋−> 𝐵(100 ; 0,03) 𝑃(𝑋 = 2) = 0,225 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 0,818

Z suit une loi uniforme dans l’intervalle [15 ;45] 𝑃(15 ≤ 𝑍 ≤ 25) =25−10

45−15=

2 𝑃(𝑍 > 20) =

45−20

45−15=

𝑃(𝑍 ≤ 20) =20−15

45−15=

6 𝑃(𝑍 = 25) = 0

𝐸(𝑍) = 30, 𝑽(𝑿) =𝟗𝟎𝟎

𝟏𝟐=

𝟏𝟓𝟎

𝟐 𝝈(𝑿) = √

𝟏𝟓𝟎

T suit une loi exponentielle de paramètre 0,02

Calculer 𝑃(150 ≤ 𝑇 ≤ 250) = 𝑒−0,02×150 − 𝑒−0,02×250 = 0,043 𝑃(𝑇 < 200) = 1 − 𝑒−0,02×200 = 0,982

𝑃(𝑇 ≥ 150) = 𝑒−0,02×150 = 0,050 𝑃(𝑍 = 25𝑂) = 0

Donner 𝐸(𝑇) =1

0,02= 50, 𝑉(𝑇) = 2500 𝑒𝑡 𝜎(𝑇) = 50

Calculer avec une loi exponentielle.

X suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆 =0,001.

Sur [0 ;+∞[ 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∫ ℷ𝒆−ℷ𝒙𝒅𝒙 = 𝒆−ℷ𝒂 − 𝒆−ℷ𝒃𝒃

• Redémontrez cette formule

Calculer 𝑃(𝑋 < 4) 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 6) 𝑒𝑡 𝑃(𝑋 > 5) 𝑃(𝑋 = 4)

Calculer 𝐸(𝑋) , 𝑉(𝑋) 𝑒𝑡 𝜎(𝑋)

Solutions.

𝑷(𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = ∫ ℷ𝒆−ℷ𝒙𝒅𝒙 = [−𝒆−ℷ𝒙]𝑎𝑏 = −𝒆−ℷ𝒃 − (−𝒆−ℷ𝒂) = 𝒆−ℷ𝒂 − 𝒆−ℷ𝒃

𝑃(𝑋 < 4) = 𝑃(0 < 𝑋 < 4) = 1 − 𝑒−0,004 ≈ 0,004

𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 6) = 𝑒−0,002 − 𝑒−0,006 ≈ 0,004

𝑃(𝑋 > 5) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 1 − (1 − 𝑒−0,005) ≈ 0995

𝑃(𝑋 = 4) = 0

𝐸(𝑋) = 1000 , 𝑉(𝑋) = 1000 000 𝜎(𝑋) = 1000

Calculer le paramètre de la loi exponentielle.

Soit X la variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre ℷ. Rappels :

𝑷(𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = 𝒆−ℷ𝒂 − 𝒆−ℷ𝒃 𝑷(𝑿 ≤ 𝒃) = 𝑷(𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = 𝟏 − 𝒆−ℷ𝒃 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿) = 𝒆−ℷ𝒂

On donne 𝑷(𝟐 ≤ 𝑿) = 𝟎, 𝟔 Calculer ℷ

Calculer avec une loi normale.

Soit X la variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 𝜇 = 14,5 et d’écart type 𝛿 = 2

Calculer 𝑃(12,5 ≤ 𝑋 ≤ 16,5) 𝑃(𝑋 ≤ 14,5) 𝑃(15 ≤ 𝑋) 𝑃(15 = 𝑋) 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) = 0,8 (Utiliser la touche

fracnormal ou Invnormal)

Solutions :

𝑃(12,5 ≤ 𝑋 ≤ 16,5) = 0,68

𝑃(𝑋 ≤ 14,5) = 𝑃(−1099 ≤ 𝑋 ≤ 14,5) = 0,5

𝑃(15 ≤ 𝑋) = 𝑃(15 ≤ 𝑋 ≤ 1099) = 0,4

𝑃(15 = 𝑋) = 0

𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) = 0,8 ⇔ 𝑘 = 16,18 (fracnormal ou Invnormal)

𝑷(𝟐 ≤ 𝑿) = 𝟎, 𝟔 Or 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿) = 𝒆−ℷ𝒂 donc 𝑷(𝟐 ≤ 𝑿) = 𝒆−𝟐ℷ = 𝟎, 𝟔

𝒆−𝟐ℷ = 𝟎, 𝟔 ⟺ −𝟐ℷ = 𝒍𝒏(𝟎, 𝟔) ⟺ ℷ =𝐥 𝐧(𝟎,𝟔)

−𝟐=

−𝐥 𝐧(𝟎,𝟔)

Trouver un intervalle de confiance.

• Trouver l’estimation au seuil de 95% d’un caractère de probabilité p dans un échantillon de taille 250 où on a

observé ce caractère avec 𝑓𝑒 = 0,20.

• Quelle est la longueur de l’intervalle trouvé ?

Prise de décision à partir d’un intervalle de fluctuation.

Un constructeur affirme que la probabilité qu’un de ses ordinateurs ait une panne tous les 5 ans suivant son achat est

égale à 0,15. Sur les 100 personnes interrogées, 26 ont eu une panne dans les cinq ans suivant leur achat.

Que peut-on penser de l’affirmation du constructeur au seuil de 95% ?

Solutions :

On utilise la formule 𝐼 = [𝑓𝑒 − 1,96√𝑓𝑒×(1−𝑓𝑒)

𝑛; 𝑓𝑒 + 1,96√

𝑓𝑒×(1−𝑓𝑒)

𝑛] avec 𝑛 = 250 et 𝑓𝑒 = 0,20

𝐼 = [0,15; 0,25]

P appartient à l’intervalle [0,15; 0,25] au seuil de confiance 95%

La longueur est 0,25 − 0,15 = 0,1

Recherche de la région d’acceptation : 𝐼100 = [𝑝 − 1,96√𝑝×(1−𝑝)

𝑛; 𝑝 + 1,96√

𝑝×(1−𝑝)

Avec 𝑝 = 𝑂, 15 𝑒𝑡 𝑛 = 100

𝐼100 = [0,08; 0,22]

Enoncé de la règle de décision :

Si la proportion f de l’échantillon est dans la région d’acceptation, alors l’affirmation est acceptée au seuil 95% . Sinon

l’affirmation est refusée au seuil 95%

Etude du paramètre de l’échantillon. 𝑓 = 26/100 = 0,26

On applique la règle de décision. 𝑓 ∉ [0,08; 0,22]. L’affirmation est refusée au seuil 95%

On refuse, avec une confiance de 95%, l’affirmation du constructeur qui dit que la probabilité qu’un de ses ordinateurs

ait une panne tous les 5 ans suivant son achat est égale à 0,15.

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