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82.
HILBERT RAUHE
Motivation : Math.Rahman fir due Quantentheorie
Def . : ° Ein Skalwprodnkt anf einem IK- Vehtorraum H ( unit Ket Ric} ) ist eine
Abbildwng e-,. > : 71×71 → K fer die gilt : tf
,,tEH :
( :) < f. f > s. 0 und < f. l > .
- 0⇐t f=olii ) the 1k : < µ
, tf, + f, > = net.f,
> + < t.li >
1iii ) < f. µ > : < f. f >
° (H,e.
,. s ) heft Proihilbutraum .
Ben . : . Far gedes YEH ist ft < 4.4 > ein linens Funkkonal ant H,
d.h.
eine linear Abb.
wit Wvteu in K.
• Aus ( ii ) R ( in ) folgt e Xt,f > : I et, fs .
( Achtung : Mathematikv defiuiveu das Shalwprodnkt must so,
classes linear
in ushu & konjugivt linear in zwiten Argument ist ?)
Satti ( Cauchy - Schwarz ) 1st H ein Proihilbwtraum,dann gilt K f. t.CH :
khtspe < f. 9 > etits
Beweis : → libungsblatt
Sate : ( As - Ungl . ) 1st 71 ein Prihilbvtraum,dam gilt hit Htll : :< 4.4 >
"
for able MEH :
114+911 e 11411+11911
Bewn's : 114+4112 = a ttl. ttf > .
. 114112+11911't < tip > + elites e ( 11411+1141112
÷11111411 wach CS
D
83
Ben .: Dawit ist 11.11 tatsaohlich are Norm und H unit 71×71 → IR : ( 4. 4) ↳ 114411 ein
metrischer Raum.
Satz : ( Parallelogrammgl . ) :
1st 71 ein Praihilbertraum,
dann gilt Kf, t.CH :
114+4112+114- tli : 2114112+211411'+r =
.
7( Summer do Diagonal! = Summer dv Sited )
Bewu's : → kbungsblatt
Ben.
: Eine Norm vfinllt diese GL. g.
d. w.sie von linen Skalwprodnkt kommt .
Far
112=6 gilt danu die,,
Polarisations formal"
: 4 < f. ts : Hfttli . 11 f- Mitillftitll'
. illfitlp
Sate : 1st H ein Praihilbertraum und FEH,dann Sind folgende Abbildungen auf H
gleichwapigstetig :
Lil th ef,4 >
( ii ) µ ns e µ. y >
( iii ) µ h, 11411 :Bewcisi L i ) ollii ) : let, .f > - it. ,f > 1 = let, - K , 4 > 1 E 11 K . tz 1111411
hit 8 := Ee ,, bedmtet dies :
He >OFS : Hk - till < S ⇒ lek,l > - ttzif > 1<{
Da Sunabh.von tnk ist
,ist we Stetrgkeit glcichmipig .
( iii ) 111411 - 114211 E 1114 - 4211
s .Tiny .: lltntt, - t.li 1114 - till + HKI
Dawit gilt arch 1111411 - 11h11 It HK- till
D. L . He > 0 FS : Htn . till e S ⇒ / 11h11 . 1114111 " E: D
④
DEI Ein Hilbert raum 74 ist ein Prirhilbertraum,der ( arts nnetnischw Raum )
rolls tan dig ist ( d.h .
alle Cauchy folger lronvergiereu in 74 ) .
Wenn IK -- E ( IK -- IR ),
heipt 74" komplee
" ( bzw. "reel
" ).
Bspi von Hilbert rainmen :
o L'
( r ) wit e t.es :-. fetus feel pride )• Ecw ) : : ft e e " I E.
w
Itil'e a } mit et. Is :-. Earth
. Hi Ed unit - t.es : -- ÷d
,
t.fi
° Prihilbeetraum du Kein Hilbertraum ist : ( ( to .rs ) wit e t, f s :-. ! fix ) ok
^
Hier eeistrvt eine Foye fu E C ( 5973 ) ,so class
eI
11h- ft -so far feiltondlclto.nl) / §Det Sei 71 ein Pri hilbert raum
,MEN
.
- felt heipt orthogonal zu YEH,wenn et, t > = O ( ft t )
• Mt : -- f f c- 71 / t teh : rt if > : O } heft Orthogonal leoinplement von M.
Cor.: ( Pythagoras ) Sind f, t Elemente eines Prinhilbertraumes
,damn gilt :
-
ftt⇒Hfttli=HllitHtBeweis : Htt t 112 = eftt
, ft tis = 11111 't Il tell'
t elitist - til > .D
- -=O
Sa
tutanpiemii.PT?i9iitraajii.nwiienwnen.dannistdasorthogonUutervektorraum von 21.
85
Bewcis : Weger ( tent ⇒ item ) n ( tile Mt -- t Tt f E Mt ) ist M'
ein Unterraum.
Far te M gilt wit f ( f ) : -- et, f >
,class Tt : - f f E 74 I f If ) : o} = f
-"
( 403 ) .
Da f stetig und to} abgeschlossen ist ,ist auch das Urbild t
'
abgeschlassen .
Dami't ist ouch Mt = A t'
abgeschlosseh .
TEM D
Bem ..
. Ein Bsp . fir einen nicht abgeschlosseheu Uutwraum wire V : = span ( f e , };eµ
) E L,Car) .
Hier gilt 4 EV (da Vnur endliche Linear Kombinationen en th-
alt ) aber T -
- Lz .
Satz : 1st M eine nicht leere,kouveee
, abgeschlossene Teilmeuge eines Hilbertramus 74,
dawn gibt es ein eindentiges Element to EM,so class Htt Mi It toll E It TH .
Bennis : S inf It tell .
Wahle the M, so
dass II tu H → S.
te M to
Parallelogrammg .⇒ It"-Ink! 311 till
'
till tuk'
- It "ItmII ④"
/ / ..-.
.
.
.
.
• O
I,
I ( 11h11't Html) - s'
"4the M weyenkouvcxitatDawit ist ( tu ) Cauchy- Foliage und tu → to e 71
wog . Vous tandigkeit . to c. Mwog . Abgeschlussenhit.
Stelrgheit du Norm gwan NutAtoll
: hiya 11h11 = 8 .
Augenour men Ole M erfillt Hall .- 8,dann gilt unit der Ung .
she He wie eben :
11to -24 IT =
. - .
± I ( It toll'
t 11411'
) - 5=0,also 11 to - 4 H ' O und damit Of - to .
D
Bein. : Far jede nicht here ,
kouveee, abgeschlosseue Teilmeuge M ist damit eine Abbildung
Pn : 71 → M,Tts to deficient . Pm vfillt PI -- Pm ,
d. h . Pm ist eine Projektion .
86
korollw : 1st
he71 ein abgesohlossenw Unterranm lines Hilbertraums
,dann Kann
jedes FEH eindenkg in f= f. + fz unit if,
Eh,he ht zvlegt warden .
Zudeu gilt ht"
= h.
( In dem Fall scweibt man 7th Oht wind spricht von der"inueren ortho -
gonalen Summe .)
Beweis : Sei M : : f - h und winkle f. eh so,class f- f, Element minimum Norm
8=11 f- f. 11 in M ist.
wir woken zeigen , class fzi= f- f, in htist.
Es gilt : K teh KEER: 111,112 : 11 f- f. 112 I 11 f- (f.+ et ) 112
.
. 11h . et 112=11 f. 11't e2114112 - Ze Reeh ,t >
Dies istwurmoglich ,weun Reefz ,
t ' = 0 tteh und da wit teh anih itch,
impliziert dies : < f, it >:O tteh,also f. Eht .
Zur Eindenkgkeit : 1st f= I + [ unit f. eh,f. tht
,dann ist
0 . 11 f. + f. - E- Ill'
;11h . [ little, - Ili ,also
f. = f, ^ f, if, .
Pythagoras
Nochz .z. : h= htt
. Sci fe hit unit f= f. + f.,f. th , fzeht .
Da
he htt,gilt f, e
htnhtt,
also f , :O und damit htt=h.
A
Ben .: 1st R: H→h die Projeklion anf h und 11 :7l→H die ldentitntsabbildung ( It : t )
,
dann ist die Aussage des korollws,class Pn , = 1- Pn .
Denn µ : 14 = Putt ( H - R ) 4 = Putt Put .
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