ELECTRICITE Hervé BOEGLEN IUT de Colmar Département T&R 2005

ELECTRICITE

Hervé BOEGLEN

IUT de Colmar Département T&R 2005

Plan :• Généralités sur les circuits électriques. Théorèmes généraux en régime continu

• Les circuits en régime variable : Régime quelconque : équation différentielle

Régime sinusoïdal : transformation complexe

Régime quelconque : écriture symbolique

• Puissance et énergie électrique

Généralités• Courant électrique

• Différence de potentiel

• Notion de dipôle

Définition

Dipôle

I

U

Généralités Conventions :

ERU U

I I

Généralités

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Caractéristiques (U,I) de deux dipoles

U (

V)

I (A)

Point defonctionnement

Notion de caractéristique courant-tension :

Généralités

• Les dipôles élémentaires :

u

i

e

u = e i

Source de tension

- Actifs :

Généralités Source de courant :

i = iou

u

ioi

- Passifs :

Résistance :

Ru = +Ri

i

u

Généralités

Inductance :

dt

tdiLtu

)()(

i(t)

u(t)

L

Condensateur :

dt

tduCti

)()(

i(t)

u(t)

C

Généralités

• Réponse d’un circuit• Définition• Nature de la réponse

V1

R11K

C1100n Vout

Lois générales des réseauxlinéaires• Définitions : Linéaire, branche, nœud, maille :

E

R1

R2 R3

R4 R5

A B

C D

E1

E2 E3

E4 E5

Lois générales des réseauxlinéaires• Lois de Kirchhoff :

Loi des mailles :

Loi des noeuds :

0V

0I

Lois générales des réseauxlinéaires• Théorèmes fondamentaux : Diviseur de tension

E

R1

R2 S

I

I' = 0

Lois générales des réseauxlinéaires

Diviseur de courant

R1 R2 U

I1 I2

I

Lois générales des réseauxlinéaires

Théorème de superposition

V1 V2

R1 R2

U

Lois générales des réseauxlinéaires

Théorème de Millman

E1

R1

E2

R2

En

Rn

N

I1

I2

In

U

Lois générales des réseauxlinéaires

Théorème de Thévenin

VTH = VAB et ZTH = ZAB

Dipôleactif

A

B

Z Z

B

AZTH

VTH=

Lois générales des réseauxlinéaires

Théorème de Thévenin : exemple

V

R1

R2 R3

A

B

I

Calculer I en appliquant le théorème de Thévenin

Lois générales des réseauxlinéaires

Théorème de Norton

R

B

IN

RN

A I

Lois générales des réseauxlinéaires

Théorème de Norton : exemple

V110V

V230V

V320V

R120

R210

R320

A

B

Calculer la tension VAB en utilisant le théorème de Norton

Lois générales des réseauxlinéaires

Théorèmes : exercice de synthèse :

Calculer I par deux méthodes différentes

V15V

V210V

V35V

R12

R25

R35

R410

I

C

B

A

Réseaux en régime variable• Ecriture temporelle :

- Les circuits du 1er ordre :

Etude de la réponse d ’un circuit RC à un échelon E :

E

K R

C vc(t)

ic(t)

Réseaux en régime variableMéthode de résolution d ’une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

1. solution de l ’équation sans second membre(ESSM)

2. recherche d ’une solution particulière

3. solution générale = 1 + 2

Réseaux en régime variableAprès résolution de l ’équation différentielle onobtient la représentation graphique suivante :

Réseaux en régime variableEtude de la réponse d ’un circuit RL à un échelon E :

E

K L

R

vL(t)iL(t)

Réseaux en régime variableAprès résolution de l ’équation différentielle onobtient la représentation graphique suivante :

Réseaux en régime variable - Les circuits du 2ème ordre :

Etude de la réponse d ’un circuit RLC série à un échelon E :

E

K R L

C vc(t)

Si on pose :

LC

10 et

L

CRm

2

Réseaux en régime variable0 est appelée la pulsation propre du circuit et m son coefficient d ’amortissement.

L ’équation peut alors s’écrire :

)()(

2)( 2

002

2

0 tudt

tdum

dt

tudE

Résolution :

- Solution particulière (régime permanent) :

Etu p )(

Réseaux en régime variable- Solution générale :

L ’équation caractéristique s ’écrit :

200

2 2 rmr

Il faut distinguer deux cas :

* m > 1 :

On obtient les racines :

12001 mmr

12002 mmr

Réseaux en régime variable

On obtient la représentation graphique suivante :

D ’où :trtr eKeKEtu 21

21)(

Les conditions initiales u(0) = 0 et u ’(0) = 0 permettent de déterminer K1 et K2 :

12

21 rr

rEK

12

12 rr

rEK

Réseaux en régime variable

Réseaux en régime variable* m < 1 :

On obtient les racines :

12001 mjmr

12002 mjmr

Après quelques lignes de calcul on arrive à :

)cos(cos

)( 0

teE

Etu tm

Avec :2

0 1 m

21 m

marctget

Réseaux en régime variableReprésentation graphique :

Réseaux en régime variableExercice de synthèse :

R

R CVe(t)

i(t) i1(t) i2(t)

Vs(t)

Ve(t)

t0 t0

E

Déterminer Vs(t) sachant qu ’à t = 0 Vs(0) = 0

Réseaux en régime variable• Ecriture complexe : - La fonction sinusoïdale dans les circuits.

- Décomposition en série de Fourier d ’un signal carré :

Réseaux en régime variableComposante continue et harmoniques jusqu’à l ’ordre 7 :

Réseaux en régime variableReconstruction du signal carré par addition des différentes

composantes :

Réseaux en régime variable- Etude de la réponse d ’un circuit du 1er ordre à la fonction f(t) = Am.cost :

v(t)

R

L

i(t)

La loi de la maille permet d ’écrire :

dt

tdiLtiRtAm

)()()cos(

Réseaux en régime variableLa solution générale, qui exprime la réponse transitoire du circuit est donnée par :

t

tr eKti

)(R

Lavec

La solution particulière, qui exprime la réponse permanente du circuit est donnée par:

)cos(Im)( ttip

Im et sont inconnus. Finalement :

R

Larctgt

LR

Vmtip

cos)(

)(22

Réseaux en régime variableDéfinition de la transformation complexe :

Opération dérivation :

Fjdt

tdf )(

L’opération dérivation dans le domaine du temps se transforme en l’opération multiplication par j dans le plan complexe.

jeAFtAtf mm )cos()(

Réseaux en régime variableOpération intégration :

Fj

dxxft

1

)(0

L’opération intégration dans le domaine du temps se transforme en l’opération division par j dans le plan complexe.

Réseaux en régime variable

Résistance R :

R

U

I

L’équation u(t) = Ri(t) se traduit dans le plan complexe par :

IRU

I U = RI

- L’impédance complexe :

Réseaux en régime variableCI

U

L’équation se traduit dans le plan complexe par :dt

tduCti

)()(

UjCI I = jCU

U

Condensateur C :

Réseaux en régime variableInductance L :

LI

U

L’équation se traduit dans le plan complexe par :dt

tdiLtu

)()(

IjLU U = jLI

I

Réseaux en régime variableImpédance et admittance complexes :

I

UZ

De manière générale :

jXRZ Où R est la RESISTANCE et X la REACTANCE qui s’expriment

en .

ZY

1

Réseaux en régime variableDe manière générale :

jBGY Où G est la CONDUCTANCE et B la SUSCEPTANCE qui

s’expriment en Siemens.

- Notion de résonance :

Coefficient de qualité

pour X et R en série, R

XQ

pour X et R en parallèle, X

RQ

Réseaux en régime variable

R L

C

I

U

Résonance série : circuit RLC série :

L ’impédance Z du circuit s ’écrit :

jCjLRZ

1

Réseaux en régime variableTraçons la représentation de

ax

I

Im

2

0

0

21

1

Im

SQax

I

avec :

C

L

RQS

1 et Imax courant

maximum à = 0

Réseaux en régime variable|I|/Imax en fonction de pour quatre valeurs de Qs :

Réseaux en régime variableBande passante :

Résonance parallèle : circuit RLC parallèle :

QsBP 0

21

IC

L R U

Réseaux en régime variableL ’admittance Y du circuit s ’écrit :

jCjLR

Y 11

Le module du rapport U/I s ’écrit :

2

0

0

21

pQ

R

I

U

avec :

L

CRQP

Réseaux en régime variableStructure série ou parallèle d ’un même dipôle :

Rs jXs

Structure série

Rp

jXp

Structure parallèle

Passage du schéma série au schéma parallèle :

En écrivant l ’égalité des admittances et en posant QS=XS/RS on obtient :

)1( 2SSP QRR

2

11

SSP Q

XX

Passage du schéma parallèle au schéma série :

En écrivant l ’égalité des impédances et en posant QP=RP/XP on obtient :

21 P

PS Q

RR

2

11

P

PS

Q

XX

Réseaux en régime variable

- Réponse en fréquence :

Notion de fonction de transfert :

)(

)()(

jV

jVjT

E

S

Réseaux en régime variableNotion de filtre :

On distingue quatre types de filtres :

0

T(jw)

0

T(jw)

0

T(jw)

0

T(jw)

Passe-bas Passe-haut

Passe-bande Réjecteur de bande

Réseaux en régime variableExemple :

Représentation des fonctions de transfert, diagrammes de Bode

Calculer et étudier la fonction de transfert du circuit ci-dessus. Conclure sur ses propriétés fréquentielles.

)(

)()(

jV

jVjT

E

S

R

CVe Vs

Réseaux en régime variableDéfinitions :

Décibel :

0

log10P

PP

dB

Réponse en puissance :

E

S

dBV V

VA log20

Réponse en tension :

E

S

dBI I

IA log20

Réponse en courant :

Octave, décade :

Réseaux en régime variableDiagramme de Bode :

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-20

-15

-10

-5

0

10-1

100

101

-80

-60

-40

-20

Réseaux en régime variableIntérêt des diagrammes de Bode :

On suppose que :

nTTTT 21

On en déduit que :

nTTTT 21

Donc :

nTTTT log20log20log20log20 21

et :

nTTTT argargargarg 21

Réseaux en régime variable

Les fonctions de transfert élémentaires :

Les représentations du module et de l ’argument de T s ’obtiennent en faisant la somme des représentations correspondantes du module et de l ’argument des fonctions de transfert T1, T2, …, Tn. Il ne reste plus qu’à étudier les représentations de Bode des fonctions élémentaires composant toute fonction complexe T.

Réseaux en régime variableExercice :

R1

R2

C

VsVe R2=10R1

Calculer la fonction de transfert en tension du circuit suivant et tracer les diagrammes de Bode.