Eléments d’arithmétique dans l’ensemble des naturels

Eléments d’arithmétique dans l’ensemble des naturels

1. Diviseur d’un nombre entier naturel

Rappel : Un nombre entier naturel est un nombre entier positif

Division euclidienne : division d’un entier naturel par un entier naturel

Si le reste de la division euclidienne (division d’un entier naturel par un entier naturel) d’un entier a par un entier d est zéro alors d est un diviseur de a. Il existe ainsi un entier k tel que a = d x k

2. Diviseurs communs deux entiers naturels

a) Recherche de diviseurs

Exemple :30 = 1 x 30 = 2 x 15 = 3 x 10 = 5 x 6 Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30

24 = 1 x 24 = 2 x 12 = 3 x 8 = 4 x 6 Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24

• Pour chercher les diviseurs d’un nombre on recherche toutes les façons possibles d’écrire l’entier a sous la forme d’un produit de deux facteurs entiers naturels

Autre exemple :

36 2 18 2 9 3 3 3 1 35 = 2² x 3² décomposition en facteurs premiers Pour chercher les diviseurs d’un nombre on construit un arbre après avoir

chercher les facteurs premiers Savoir les règles de divisibilité par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9

30 = 1 1x1x1= 1 20 31 = 3 1x1x3= 3 32 = 9 1x1x9= 9 30 = 1 1x2x1= 2 1 21 31 = 3 1x2x3= 6 32 = 9 1x2x9= 18 30 = 1 1x4x1= 4 22 31 = 3 1x4x3= 12 32 = 9 1x4x9= 36 1 3 (puissances de 2) 3 puissances de 3) Nombres de diviseurs possibles : 1 x 3 x 3 Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36

quotients diviseurs

b) Recherche de diviseurs communs

Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24

Diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 6

c) PGCD : Plus Grand Commun Diviseur

a et b désignant deux nombres entiers.On note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs communs à a et b.

Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession de divisions euclidiennes de l’Algorithme d’Euclide.

Ex : PGCD (252 ; 360)

360 : 252 = 1 reste 108

252 : 108 = 2 reste 36

108 : 36 = 3 reste 0

Le PGCD (252 ; 360) = 36

Le PGCD peut se calculer en décomposant les nombres sous forme de facteurs premiers.

Ex : PGCD (36 ; 24) 36 2 24 2 18 2 12 2 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1

Le PPCM de deux nombres est le multiple le plus petit de ces deux nombres.

36 = 2² x 3² 24 = 23 x 3 PGCD (36 ; 24) = 2² x 3 = 12 (exposant le plus petit pour chaque nombre) PPCM (36 ; 24) = 23 x 32 = 72 ( exposant le plus grand pour chaque nombre)

d) Nombres premiers entre eux

On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

Ne pas confondre :

Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par 1 et lui-même.

Ex : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; …

e) Propriétés des diviseurs communs à deux entiers naturels. Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b non nuls est un diviseur de leur somme, de leur différence et du reste r dans la division euclidienne de a par b.

2. Simplification de l’écriture d’un rationnel (fraction irréductible)

On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Ex : PGCD (10 ; 7) = 1 donc fraction irréductible PGCD ( 221 ; 69) = 1 donc fraction irréductible

Lorsque l’on veut simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par le PGCD de ces deux nombres.

• Ex : simplifier

PGCD (360 ; 252) = 36

710

69221

252360

710

3625236360

252360

:

:

3. Quelques rappels

a) Division euclidienne C’est la division de deux nombres entiers naturels

a b a = b x q + r

r q r < b

b) MultiplesLe naturel a est multiple de b signifie qu’il existe un nombre entier k tel que: a = b x k a est un multiple de b et b est un diviseur de a. ex : 12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 12

Propriétés• Si les naturels a et b sont multiples de c alors a + b aussi. a > b; si a est multiple de b et si b est multiple de c alors a est multiple de c.