3. TABLE DES MATIRES Avant-propos VII 1 Prlude : lments nis en
dimension un 1 1.1 Le problme modle 1 1.2 Principes de la mthode
des lments nis 6 1.3 lment ni de Lagrange P1 9 1.4 lment ni de
Lagrange Pk 15 1.5 Analyse de convergence 21 1.6 Rsolution numrique
24 1.7 Complment : lment ni de Hermite 27 2 La mthode de Galerkin
30 2.1 Le problme modle est-il bien pos ? 31 2.2 Principe de la
mthode de Galerkin 33 2.3 Le problme approch est-il bien pos ? 35
2.4 Analyse derreur 37 3 lments nis de Lagrange 45 3.1 Notion
locale dlment ni de Lagrange 45 3.2 Exemples classiques dlments nis
de Lagrange 47 3.3 Notions lmentaires sur les maillages 54 3.4
Gnration dlments nis de Lagrange 62 3.5 Espaces H1-conformes 64 3.6
Interpol de Lagrange sur un maillage 69 3.7 Interpolation
isoparamtrique 70 cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit III
4. 4 Autres lments nis 75 4.1 Dnition gnrale dun lment ni 75
4.2 Oprateur dinterpolation local 77 4.3 Oprateur dinterpolation
global 78 4.4 lments nis de CrouzeixRaviart 83 4.5 lments nis de
RaviartThomas 86 4.6 lments nis de Ndlec (ou darte) 90 4.7 lments
nis de degr lev 94 5 Approximation de problmes coercifs 103 5.1 Le
Laplacien 104 5.2 lasticit linaire 121 5.3 Complment :
approximation spectrale 129 6 lments nis mixtes 133 6.1 Problmes de
type point selle 134 6.2 lments nis mixtes pour le problme de
Stokes 139 6.3 lments nis mixtes pour le problme de Darcy 151 6.4
Complment : compressibilit articielle 163 7 Galerkin/moindres carrs
165 7.1 Principe de la mthode 165 7.2 Advectionraction 169 7.3
Advectiondiffusion avec advection dominante 175 7.4 Problme de
Stokes 181 7.5 Complment : viscosit de sous-maille 184 8 Estimation
derreur a posteriori 188 8.1 Cadre gnral 188 8.2 Estimateurs par
rsidu 192 8.3 Estimateurs par dualit 196 8.4 Estimateurs
hirarchiques 199 8.5 Maillages adaptatifs 205 8.6 Complments 206
IV
5. 9 Quadratures 213 9.1 Principe des quadratures 213 9.2
Exemples de quadratures 217 9.3 Erreurs de quadrature dans la
mthode des lments nis 224 10 Matrices dlments nis 228 10.1
Conditionnement 229 10.2 Factorisation LU et variantes 236 10.3
Matrices creuses et renumrotation 243 11 Solveurs itratifs 249 11.1
Mthodes de relaxation 250 11.2 Gradient conjugu et variantes 256
11.3 Mthodes multi-chelles 271 11.4 Complments 284 12 Programmer
les lments nis 288 12.1 Structure de donnes pour le maillage 288
12.2 Structure de donnes pour les quadratures 292 12.3 Assemblage
296 12.4 Stockage 300 12.5 Mailleurs 305 12.6 Conditions aux
limites de Dirichlet 307 Annexe Bases mathmatiques de la mthode des
lments nis 310 A.1 Espaces de Banach 310 A.2 Espaces de fonctions
rgulires 319 A.3 Intgration et espaces de Lebesgue 320 A.4
Distributions et espaces de Sobolev 323 Nomenclature 329
Bibliographie 337 Index 345 cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit
V
6. AVANT-PROPOS Les origines de la mthode des lments nis
remontent aux annes 1950 lorsque des ingnieurs lutilisrent an de
simuler des problmes de mca- nique des milieux continus dformables.
Depuis, le champ dapplications sest considrablement tendu et les
fondements thoriques de la mthode se sont amplement consolids. Il
existe de nos jours un nombre important de logi- ciels commerciaux
et acadmiques qui utilisent la mthode des lments nis comme un outil
de simulation robuste pour des problmes de mcanique des milieux
continus, de mcanique des uides, de thermique, dlectromagn- tisme
ou de nance, pour ne citer que quelques exemples. Lessor de la
mthode des lments nis repose sur deux ingrdients fonda- mentaux.
Dune part, les proprits interpolantes des lments nis : ceux-ci
permettent dapprocher des fonctions dnies sur un domaine en
maillant ce domaine puis en choisissant sur chaque maille des
combinaisons linaires de fonctions de forme (par exemple
polynmiales). Dautre part, la mthode de Galerkin, qui fournit un
cadre dapproximation gnral pour une large classe de problmes o
linconnue est une fonction qui doit satisfaire une ou plu- sieurs
quations aux drives partielles et des conditions aux limites. Cet
aide-mmoire sadresse en premier lieu aux ingnieurs en bureaux
dtudes qui utilisent ou dveloppent des modles numriques bass sur la
mthode des lments nis. Son objectif est de rappeler (sans
dmonstration) les principaux rsultats thoriques fondant la mthode,
den analyser des applications divers problmes modles des sciences
de lingnieur et, enn, den tudier la mise en uvre numrique et les
bases de sa programmation. Cet aide-mmoire constitue galement un
outil de travail pour les lves-ingnieurs et tudiants de niveau
master. En particulier, certains chapitres correspondent des cours
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit VII
7. dispenss par lauteur en premire et deuxime annes dcoles
dingnieurs. Une annexe qui rsume les bases mathmatiques de la
mthode des lments nis permet au lecteur de faire le point sur son
bagage mathmatique an de tirer le meilleur prot de la lecture de
cet ouvrage. Cet aide-mmoire peut galement servir dintroduction au
livre de Ern et Guermond, Theory and Practice of Finte elements,
Applied Mathematical Se- ries, volume 159, Springer, New York
(2004), qui sadresse aux tudiants de troisime cycle et aux
chercheurs. Le lecteur dsireux dapprofondir ltude de la mthode des
lments nis est invit consulter cette rfrence. Il y trouvera en
particulier la preuve des rsultats qui sont ici noncs sans
dmonstration. Par ailleurs, cet aide-mmoire propose une
bibliographie comprenant quatre- vingts rfrences la littrature
spcialise dont une quarantaine douvrages de rfrence dans le
domaine. Jadresse mes plus vifs remerciements Erik Burman, Linda El
Alaoui, Jean- Frdric Gerbeau, Tony Lelivre et Pierre Tardif
dHamonville pour avoir relu cet ouvrage et mavoir fait part de
leurs suggestions. VIII
8. 1 PRLUDE : LMENTS FINIS EN DIMENSION UN Ce chapitre
introductif a pour but dclairer les fondements thoriques de la
mthode des lments nis et les grandes tapes intervenant dans sa mise
en uvre numrique travers ltude dun exemple relativement simple : un
problme aux limites dordre deux en dimension un. Cette tude
permettra dintroduire dune part quelques mots cls essentiels pour
la comprhension de la mthode et dautre part quelques lments nis
classiques en une dimen- sion despace. 1.1 Le problme modle On
considre un intervalle V 5 ]a, b[. tant donn deux fonctions a : V R
et f : V R, on cherche une fonction u : V R telle que (au ) 5 f
dans V, (1.1) u(a) 5 u(b) 5 0. (1.2) Le problme modle (1.1)(1.2)
admet plusieurs interprtations physiques. quilibre mcanique dune
corde tendue. On considre une corde ho- rizontale tendue entre ses
deux extrmits situes aux points a et b. On applique cette corde une
densit linique defforts verticaux. Ces efforts sont dcrits par la
fonction f : pour x V, f (x)dx reprsente lintensit des efforts
appliqus sur le segment (x, x 1 dx) de la corde. La fonction u re-
prsente le dplacement vertical de la corde lquilibre ; voir la gure
1.1. Enn, la fonction a dcrit les proprits mcaniques de la corde.
Si la corde est homogne, la fonction a est constante.
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 1
9. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.1 Le problme modle
Figure 1.1 quilibre mcanique dune corde tendue : dplacement de la
corde lquilibre ( gauche) et densit linique defforts appliqus (
droite). Lorsque la fonction a est constante et gale 1, la fonction
de droite est gale loppos de la drive seconde de la fonction de
gauche. quilibre thermique dune barre chauffe. La barre occupe le
domaine V, la fonction inconnue u reprsente la distribution de
temprature dans la barre, la fonction f la puissance linique
fournie et la fonction a la conduc- tivit thermique de la barre. Si
la barre est homogne, la fonction a est constante. Les quations
(1.1)(1.2) interviennent galement dans des modles de diffu- sion et
dans des modles dlectrostatique. Dans le problme (1.1)(1.2),
linconnue u est une fonction de V dans R. La mthode des lments nis
permet de construire une approximation de cette fonction,
cest--dire une fonction de V dans R que lon note uh et telle que la
diffrence u uh en une certaine norme puisse tre rendue sufsamment
petite. Toutefois, avant dtudier lapproximation du problme
(1.1)(1.2) par la mthode des lments nis, il convient de prciser le
cadre mathmatique dans lequel on se place. Lobjectif est de
sassurer que le problme (1.1)(1.2) est bien pos, cest--dire quil
admet une et une seule solution. Pour cela, on reformule ce problme
sous la forme suivante, appele forme faible, Chercher u V tel que V
au v 5 V fv, v V , (1.3) o V est un espace fonctionnel (un espace
vectoriel dont les lments sont des fonctions) qui sera prcis par la
suite. On suppose que les lments de V sannulent en a et en b.
Formellement, lquivalence entre (1.1)(1.2) et (1.3) repose sur une
intgration par parties. En effet, si u est solution de (1.1)(1.2),
alors en multipliant (1.1) par une fonction test v arbitraire dans
V , en intgrant 2
10. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.1 Le problme modle
par parties et en utilisant le fait que v sannule en a et en b, il
vient V fv 5 V (au ) v 5 V au v [au v]b a 5 V au v . (1.4)
Rciproquement, si u est solution de (1.3), on obtient en intgrant
par parties le membre de gauche de (1.3), v V , V [f 1 (au ) ]v 5
0. (1.5) Puisque v est arbitraire dans V , on en dduit (1.1). De
plus, par construction, u V implique que u sannule en a et en b, si
bien que lquation (1.2), quon appelle condition aux limites, est
galement satisfaite. An dtablir le caractre bien pos de (1.3), il
est ncessaire de prciser les- pace fonctionnel V . Un point
important concerne le sens donner aux d- rives. En effet, si le
coefcient a est discontinu (ce qui est le cas dans les exemples
ci-dessus lorsque la corde ou la barre est htrogne), on ne peut pas
donner un sens classique la drive de au mme si la fonction u est
rgulire. Pour remdier cette difcult, on introduit la notion de
distribu- tion sur V et celle de drive au sens des distributions.
Les distributions sur V constituent une gnralisation naturelle de
la notion de fonction : toute fonction intgrable (au sens de
Lebesgue) sur V est une distribution sur V, mais il existe des
distributions sur V qui ne peuvent pas tre reprsentes par des
fonctions (par exemple, la masse de Dirac). De plus, toute
distribution sur V est drivable au sens des distributions. Cette
notion fournit une exten- sion naturelle de la notion de drivation
au sens classique puisque pour toute fonction continment
diffrentiable sur V, sa drive usuelle et sa drive au sens des
distributions concident. De plus, pour une fonction continue sur V
et diffrentiable par morceaux, sa drive au sens des distributions
svalue simplement en drivant au sens usuel la fonction l o elle est
drivable. Ainsi, la drive au sens des distributions de la fonction
1|x| sur V 5 ]1, 1[ est la fonction valant 1 sur ]1, 0[ et 1 sur
]0, 1[ ; voir la gure 1.2. Pour des rap- pels sur les bases
mathmatiques de la mthode des lments nis, on renvoie lannexe A.
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 3
11. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.1 Le problme modle
11 11 Figure 1.2 Fonction 1|x| ( gauche) et sa drive au sens des
distributions ( droite). On introduit les espaces fonctionnels
suivants : H1 (V) 5 {v L2 (V) ; v L2 (V)}, (1.6) H1 0 (V) 5 {v H1
(V) ; v(a) 5 v(b) 5 0}, (1.7) les drives tant entendues au sens des
distributions1 . On quipe les espaces H1 (V) et H1 0 (V) de la
norme v 1,V 5 v 2 0,V 1 v 2 0,V 1 2 , (1.8) o 0,V dsigne la norme
canonique de L2 (V) : pour v L2 (V), on a v 0,V 5 ( V v2 ) 1 2 . Un
rsultat classique danalyse fonctionnelle montre ququips de cette
norme, les espaces H1 (V) et H1 0 (V) sont des espaces de Hilbert.
Par ailleurs, on pose |v|1,V 5 v 0,V. (1.9) On notera que | |1,V
est une semi-norme (et non une norme) sur H1 (V) car |v|1,V 5 0
nimplique pas v 5 0 (la fonction v peut tre constante sur V). 1.
Les lments de H1(V) sont des fonctions dnies presque partout sur V,
cest-- dire que ces fonctions sont dnies partout sur V sauf sur un
ensemble de mesure nulle. Il nest donc pas vident a priori que lon
puisse parler de la valeur de ces fonctions en a ou en b. En fait,
un rsultat classique danalyse fonctionnelle montre que si v H1(V),
les valeurs prises par v en a et en b ont bien un sens ; voir la
section A.4. 4
12. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.1 Le problme modle
Par la suite, on considre galement les espaces fonctionnels
suivants, quon appelle espaces de Sobolev : pour un entier s 1, Hs
(V) 5 {v L2 (V) ; k {1, . . . , s}, v(k) L2 (V)}, (1.10) o v(k)
dsigne la drive dordre k de v (au sens des distributions). quip de
la norme v s,V 5 v 2 0,V 1 v 2 0,V 1 . . . 1 v(s) 2 0,V 1 2 5 s k50
v(k) 2 0,V 1 2 , (1.11) Hs (V) est un espace de Hilbert. Par
ailleurs, on introduit la semi-norme |v|s,V 5 v(s) 0,V. (1.12) Il
sagit dune norme et non dune semi-norme car |v|s,V 5 0 si la
fonction v est un polynme de degr infrieur ou gal (s 1). On formule
le problme (1.3) sous la forme suivante : Chercher u H1 0 (V) tel
que V au v 5 V fv, v H1 0 (V). (1.13) On suppose que f L2 (V) et
que la fonction a : V R est dune part minore sur V par un rel a0
strictement positif et dautre part majore sur V par un rel a1. On a
le rsultat suivant. Proposition 1.1. Avec les hypothses ci-dessus,
le problme (1.13) est bien pos. Le caractre bien pos du problme
(1.13) rsulte du lemme de LaxMilgram ; voir la section 2.1.1. En
particulier, on utilise le fait que v H1 0 (V), V a(v )2 a0|v|2 1,V
cVa0 v 2 1,V, (1.14) o cV est une constante strictement positive ne
dpendant que de la mesure de lintervalle V. La premire minoration
rsulte de lhypothse sur la fonction a. La deuxime minoration est
une consquence de lingalit de Poincar ; voir le lemme 5.1 et la
section A.4. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 5
13. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.2 Principes de la
mthode des lments nis 1.2 Principes de la mthode des lments nis La
mthode des lments nis repose sur deux principes : dune part, la
formu- lation dun problme approch par la mthode de Galerkin (ou une
variante de celle-ci) ; dautre part, la construction dun espace
dapproximation (de di- mension nie) laide dun maillage, de
fonctions polynmiales par morceaux et de degrs de libert sur chaque
maille. 1.2.1 Le problme approch On cherche une solution approche
du problme (1.13) en y remplaant les- pace de dimension innie H1 0
(V) par un sous-espace de dimension nie. En notant Vh H1 0 (V) ce
sous-espace de dimension nie, quon appelle espace dapproximation,
le problme approch consiste Chercher uh Vh tel que V auhvh 5 V fvh,
vh Vh. (1.15) La mthode dapproximation introduite ci-dessus porte
le nom de mthode de Galerkin. Elle est prsente ici sous sa forme la
plus simple. Plusieurs variantes sont tudies dans le chapitre 2. Le
problme approch (1.15) nest rien dautre quun systme linaire. En
effet, soit {w1, . . . , wN } une base de Vh o N dsigne la
dimension de Vh. On dcompose la solution approche uh dans cette
base selon uh 5 N i51 Uiwi, (1.16) et on introduit le vecteur U de
RN form par les composantes de uh dans cette base, U 5 (Ui)1 i N .
Soit A RN,N la matrice de rigidit dont les composantes sont Aij 5 V
awiwj , i, j {1, . . . , N}, (1.17) 6
14. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.2 Principes de la
mthode des lments nis et soit F RN le vecteur de composantes Fi 5 V
f wi, i {1, . . . , N}. (1.18) Un calcul lmentaire montre que uh
est solution de (1.15) si et seulement si AU 5 F. (1.19) La mthode
de Galerkin permet donc de remplacer un problme pos en dimension
innie par un systme linaire. Grce lingalit (1.14), on montre que la
matrice de rigidit A est dnie positive. Le systme linaire (1.19)
admet donc une et une seule solution et il en va de mme du problme
approch (1.15). La prochaine question qui se pose est de savoir si
la solution approche uh est une bonne approximation de la solution
exacte u. Pour rpondre cette ques- tion, on dispose de lestimation
derreur suivante. Il sagit dun cas particulier du lemme de Ca qui
sera nonc au chapitre 2 sous une forme un peu plus abstraite.
Proposition 1.2. Il existe une constante c, indpendante du choix de
lespace dapproximation Vh, telle que u uh 1,V c inf vhVh u vh 1,V.
(1.20) La quantit infvhVh u vh 1,V sinterprte comme la distance de
la solution exacte u lespace dapproximation Vh (pour la distance
induite par la norme 1,V). Lestimation derreur (1.20) montre que la
solution approche nest pas trop loin de la plus proche fonction u
dans Vh. Lestimation (1.20) rsulte de la relation dorthogonalit de
Galerkin que lon retrouvera au chapitre 2. Lemme 1.3. Pour tout vh
Vh, on a V a(u uh) vh 5 0. (1.21) La preuve du lemme 1.3 est
immdiate. Pour tout vh Vh, il vient V auhvh 5 V fvh 5 V au vh,
(1.22) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 7
15. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.2 Principes de la
mthode des lments nis la dernire galit rsultant du fait que Vh H1 0
(V). En utilisant linga- lit (1.14), on dduit que pour tout vh Vh,
cVa0 u uh 2 1,V V a(u uh) (u uh) V a(u uh) (u vh) a1 u uh 1,V u vh
1,V, (1.23) do lestimation (1.20) avec c 5 1 cV a1 a0 puisque la
fonction vh est arbitraire dans Vh. 1.2.2 Construction de lespace
dapproximation La premire tape dans la construction de lespace
dapproximation Vh consiste mailler lintervalle V. En une dimension
despace, un maillage de V 5 ]a, b[ est une collection indexe
dintervalles, {Ii 5 [x1,i, x2,i]}1 i Nma , tous de mesure
non-nulle, et formant une partition de V. En dautres termes, on a
[a, b] 5 Nma i51 [x1,i, x2,i] et ]x1,i, x2,i[]x1,j, x2,j[ 5 pour i
j. (1.24) Les intervalles Ii sont appels les mailles (ou les lments
ou les cellules du maillage) et lentier Nma dsigne le nombre total
de mailles. La faon la plus simple de construire un maillage est de
choisir (Nma 1 1) points distincts de V tels que a 5 x1 < x2
< ... < xNma < xNma11 5 b, (1.25) et de poser x1,i 5 xi et
x2,i 5 xi11 pour tout i {1, . . . , Nma}. Les points de lensemble
{x1, . . . , xNma11} sont appels les sommets du maillage. On dsigne
par Nso le nombre de sommets du maillage. En une dimension despace,
on a donc Nso 5 Nma 1 1. (1.26) Le maillage est a priori de pas
variable. On pose pour tout i {1, . . . , Nma}, hi 5 xi11 xi et h 5
max 1 i Nma hi. (1.27) 8
16. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de
Lagrange P1 On dit que le maillage est uniforme lorsque hi 5 h pour
tout i {1, . . . , Nma}. Par la suite, le maillage est dsign sous
la forme Th 5 {Ii}1 i Nma , lindice h indiquant la nesse globale du
maillage. La deuxime tape dans la construction de lespace
dapproximation consiste choisir des fonctions de forme sur chaque
maille. En dautres termes, les fonc- tions de Vh sont telles que
leur restriction chaque maille Ii Th est dans tel ou tel espace
polynmial. Dnition 1.4. Soit un entier k 1. En une dimension
despace, on dsigne par Pk lespace vectoriel des polynmes coefcients
rels de degr infrieur ou gal k. On pose Wh 5 {wh L2 (V) ; i {1, . .
. , Nma}, wh|Ii Pk}. (1.28) Il est clair que Wh est un espace de
dimension nie, sa dimension tant gale (k 1 1) 3 Nma. Toutefois, Wh
ne peut pas tre utilis tel quel dans le problme approch (1.15) car
il nest pas inclus dans H1 0 (V). En effet, une fonction wh Wh peut
tre discontinue aux interfaces entre les mailles et un rsultat
classique danalyse fonctionnelle montre que dans ces conditions, wh
H1 (V). De plus, une fonction wh Wh nest pas ncessairement nulle en
a et en b. On pose donc Vh 5 Wh H1 0 (V). (1.29) Les sections 1.3
et 1.4 prsentent des exemples concrets despaces dapproxi- mation
Vh. 1.3 lment ni de Lagrange P1 On considre les espaces vectoriels
suivants : P1 c,h 5 {vh C0 (V) ; i {1, . . . , Nma}, vh|Ii P1},
(1.30) P1 c,h,0 5 {vh P1 c,h ; vh(a) 5 vh(b) 5 0}, (1.31)
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 9
17. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de
Lagrange P1 dont les lments sont des fonctions continues et afnes
par morceaux. Les fonctions de P1 c,h sont drivables (au sens
classique) sur chaque maille ; elles sont de plus continues aux
interfaces entre les mailles. Un rsultat danalyse fonctionnelle
conduit alors au rsultat suivant. Proposition 1.5. P1 c,h H1 (V) et
P1 c,h,0 H1 0 (V). On introduit la famille de fonctions {w1, . . .
, wNso } que lon d- nit localement sur chaque maille de la manire
suivante : pour tout i {2, . . . , Nso 1}, wi(x) 5 1 hi1 (x xi1) si
x Ii1, 1 hi (xi11 x) si x Ii, 0 sinon, (1.32) et (on rappelle que
Nso 1 5 Nma) w1(x) 5 1 h1 (x2 x) si x I1, 0 sinon, wNso (x) 5 1
hNso1 (x xNso1) si x INso1, 0 sinon. (1.33) Il est clair que wi P1
c,h pour tout i {1, . . . , Nso} et que wi P1 c,h,0 pour tout i {2,
. . . , Nso 1}. Pour tout i {1, . . . , Nso}, la fonction wi vaut 1
au sommet xi et 0 aux autres sommets du maillage. On a donc wi(xj)
5 dij, i, j {1, . . . , Nso}, (1.34) o dij dsigne le symbole de
Kronecker tel que dij 5 1 si i 5 j et dij 5 0 si i j. Les fonctions
wi sont appeles fonctions chapeau en rfrence la forme de leur
graphe ; voir la gure 1.3. La drive au sens des distributions de la
10
18. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de
Lagrange P1 x1 x2 w1 xi2 xi1 xi xi11 xi12 xNso1 xNso 1 wiwi1 wi11
wNso . . .. . . Figure 1.3 Fonctions de forme dans lespace
dapproximation P1 c,h : fonctions chapeau. fonction wi sexprime
sous la forme wi(x) 5 1 hi1 si x Ii1, 1 hi si x Ii, 0 sinon. (1.35)
Il sagit donc dune fonction constante par morceaux. La famille {w1,
. . . , wNso } est une base de P1 c,h. En effet, cette famille est
clai- rement libre puisque si la fonction w 5 Nso j51 ajwj (1.36)
est identiquement nulle sur V, il est clair que pour tout i {1, . .
. , Nso}, on a w(xi) 5 Nso j51 ajwj(xi) 5 Nso j51 ajdij 5 ai 5 0.
(1.37) Cette famille est galement gnratrice de P1 c,h. En effet,
soit vh P1 c,h. On pose wh 5 Nso j51 vh(xj)wj. (1.38)
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 11
19. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de
Lagrange P1 Sur chaque intervalle Ii Th, i {1, . . . , Nma}, les
fonctions vh et wh sont afnes et concident en deux points (les
extrmits de la maille Ii). Par cons- quent, ces fonctions sont
gales. On en dduit que vh 5 wh sur V, ce qui montre que toute
fonction de P1 c,h peut scrire comme une combinaison li- naire des
fonctions {w1, . . . , wNso }. Pour tout i {1, . . . , Nso}, on
dnit la forme linaire gi : C0 (V) v v(xi) R. (1.39) Il est clair
que pour tout i, j {1, . . . , Nso}, gi(wj) 5 dij. (1.40)
Proposition 1.6. (i) La famille {w1, . . . , wNso } est une base de
P1 c,h et la famille {g1, . . . , gNso } est une base de L(P1 c,h;
R). (ii) La famille {w2, . . . , wNso1} est une base de P1 c,h,0 et
la famille {g2, . . . , gNso1} est une base de L(P1 c,h,0; R).
Corollaire 1.7. dim P1 c,h 5 Nso 5 Nma 1 1 et dim P1 c,h,0 5 Nso 2
5 Nma 1. Dnition 1.8. (i) Les formes linaires {g1, . . . , gNso }
sont appeles les degrs de libert dans P1 c,h et les fonctions {w1,
. . . , wNso } sont appeles les fonctions de forme dans P1 c,h.
(ii) Les formes linaires {g2, . . . , gNso1} sont appeles les degrs
de libert dans P1 c,h,0 et les fonctions {w2, . . . , wNso1} sont
appeles les fonctions de forme dans P1 c,h,0. On introduit
loprateur dinterpolation suivant : I1 c,h : C0 (V) v Nso i51
gi(v)wi P1 c,h. (1.41) Pour une fonction v C0 (V), I1 c,hv est
lunique fonction continue et af- ne par morceaux qui prend les mmes
valeurs que v aux Nso sommets du 12
20. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de
Lagrange P1 maillage ; voir la gure 1.4. La fonction I1 c,hv est
appele linterpol de La- grange de v de degr 1. En une dimension
despace, les fonctions de H1 (V) sont continues. Par consquent, I1
c,h peut galement tre vu comme un oprateur de H1 (V) dans H1 (V).
On montre que cet oprateur est continu et que sa norme I1 c,h
L(H1(V);H1(V)) est uniformment borne en h. En dautres termes, il
existe une constante c, indpendante de h, telle que pour tout v H1
(V), I1 c,hv 1,V c v 1,V. (1.42) x1 xNso I1 c,hv v Figure 1.4
Interpol de Lagrange de degr 1. Par ailleurs, on souhaite connatre
la prcision de loprateur dinterpolation I1 c,h, cest--dire que pour
toute fonction v sufsamment rgulire, on sou- haite estimer lerreur
dinterpolation v I1 c,hv dans une certaine norme. On a le rsultat
suivant. Proposition 1.9. Pour tout h et pour tout v H2 (V), on a v
I1 c,hv 0,V h2 |v|2,V et |v I1 c,hv|1,V h|v|2,V. (1.43) On dit que
lerreur dinterpolation en norme L2 est dordre 2 en h et quelle est
dordre 1 en h en semi-norme H1 (et donc galement en norme H1 ). La
preuve de la proposition 1.9 est la fois relativement simple et
instructive. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 13
21. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.3 lment ni de
Lagrange P1 (i) On considre un intervalle Ii Th. Soit w H1 (Ii) une
fonction qui sannule en (au moins) un point j dans Ii. Alors, pour
tout x Ii, on a |w(x)| 5 |w(x) w(j)| x j |w (s)| ds x j ds 1 2 x j
|w (s)|2 ds 1 2 h 1 2 i |w|1,Ii , grce lingalit de CauchySchwarz.
On en dduit w 0,Ii hi|w|1,Ii . (ii) Soit v H2 (V) et soit i {1, . .
. , Nma}. On pose ui 5 (v I1 c,hv)|Ii et wi 5 ui. Il est clair que
wi H1 (Ii) et daprs le thorme des accroissements nis, wi sannule en
(au moins) un point j dans Ii. On dduit de ltape (i) ci-dessus que
wi 0,Ii hi|wi|1,Ii . Par consquent, |v I1 c,hv|1,Ii 5 wi 0,Ii
hi|wi|1,Ii 5 hi|v|2,Ii , puisque la fonction (I1 c,hv) est
identiquement nulle sur Ii. En sommant les estimations ci-dessus
sur toutes les mailles, on obtient la deuxime majoration dans
(1.43). (iii) An de prouver la premire majoration dans (1.43), on
observe que les- timation de ltape (i) ci-dessus peut tre applique
(v I1 c,hv)|Ii avec j 5 xi, ce qui donne v I1 c,hv 0,Ii hi|v I1
c,hv|1,Ii h2 i |v|2,Ii . On conclut en sommant sur les mailles.
Cette preuve illustre trs clairement le fait que les proprits
interpolantes de loprateur I1 c,h sont purement locales. On tablit
dabord une estimation de lerreur dinterpolation sur chaque maille,
puis on dduit les estimations globales (1.43) en sommant les
contributions des diffrentes mailles. Cette observation motive
lapproche adopte dans les chapitres 3 et 4 o : (i) on dnit un lment
ni et loprateur dinterpolation associ en adop- tant un point de vue
local sur une maille ; (ii) puis, on construit un oprateur
dinterpolation global en maillant le do- maine V. 14
22. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de
Lagrange Pk Figure 1.5 Une fonction interpoler dont la drive
seconde nest pas grande (trait n), une fonction interpoler dont le
graphe prsente une forte courbure (trait pointill) ; ces deux
fonctions ont ici le mme interpol de Lagrange de degr 1 (trait
gras). Remarque 1.10 Le fait que la drive seconde de v intervienne
dans les estimations (1.43) est re- lativement naturel dans la
mesure o plus cette drive seconde est grande, plus le graphe de la
fonction v est courbe, do une plus grande dviation par rapport un
interpol afne par morceaux ; voir la gure 1.5 pour une illustration
graphique. Par ailleurs, si la fonction interpoler nest pas
sufsamment rgulire pour tre dans H2(V), on dispose des majorations
suivantes : h, v I1 c,hv 0,V h|v|1,V et lim h0 |v I1 c,hv|1,V 5 0,
qui montrent que lerreur dinterpolation en norme H1 tend vers zro
et que ler- reur dinterpolation en norme L2 converge lordre 1 en h.
1.4 lment ni de Lagrange Pk Soit un entier k 1. On considre les
espaces vectoriels suivants : Pk c,h 5 {vh C0 (V) ; i {1, . . . ,
Nma}, vh|Ii Pk}, (1.44) Pk c,h,0 5 {vh Pk c,h ; vh(a) 5 vh(b) 5 0},
(1.45) dont les lments sont des fonctions continues et polynmiales
de degr k par morceaux. On a le rsultat suivant.
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 15
23. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de
Lagrange Pk Proposition 1.11. Pk c,h H1 (V) et Pk c,h,0 H1 0 (V).
An dexhiber les fonctions de forme dans Pk c,h et Pk c,h,0, on
introduit les po- lynmes dinterpolation de Lagrange. Dnition 1.12
(Polynmes dinterpolation de Lagrange). Soit un entier k 1. On
considre une famille F 5 {s0, . . . , sk} constitue de (k 1 1) rels
distincts. Les polynmes dinterpolation de Lagrange {LF 0 , . . . ,
LF k } associs la famille F sont dnis comme suit : LF m (t) 5 lm(t
sl ) lm(sm sl ) , m {0, . . . , k}. (1.46) Par construction, on a
LF m (sn) 5 dmn, m, n {0, . . . , k}. (1.47) Par la suite, les
polynmes dinterpolation de Lagrange associs la famille de rels {m k
}0 m k quirpartis sur lintervalle [0, 1] sont nots {Lk 0, . . . ,
Lk k}. Le tableau 1.1 contient une reprsentation graphique ainsi
que lexpression analytique de ces polynmes pour k {1, 2, 3}. Soit i
{1, . . . , Nma}. On considre la famille de (k 1 1) rels quirpartis
sur la maille Ii Th telle que Fi 5 {xi 1 m k hi}0 m k. (1.48) Un
simple changement de variables montre que les polynmes
dinterpolation de Lagrange associs la famille Fi sexpriment sous la
forme LFi m (t) 5 Lk m txi hi , m {0, . . . , k}. (1.49) On
regroupe les Nma familles de rels Fi en une seule grande famille.
En comptant une seule fois les rels qui se trouvent aux extrmits
des intervalles (voir la gure 1.6 pour un exemple avec k 5 3), on
obtient une famille de (kNma 1 1) rels distincts que lon note {a1,
. . . , akNma11}. (1.50) 16
24. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de
Lagrange Pk Tableau 1.1 Polynmes dinterpolation de Lagrange {Lk 0,
. . . , Lk k} pour k {1, 2, 3} : reprsentation graphique et
expression analytique. k 5 1 k 5 2 k 5 3 0 10.5 0 1 0.5 0 10.5 0 1
0.5 0 10.5 0 1 0.5 L 1 0(t) 5 1 t L 1 1(t) 5 t L 2 0(t) 5 (2t 1)(t
1) L 2 1(t) 5 4t(1 t) L 2 2(t) 5 t(2t 1) L 3 0(t) 5 1 2 (3t 1)(3t
2)(t 1) L 3 1(t) 5 9 2 t(3t 2)(t 1) L 3 2(t) 5 9 2 t(3t 1)(t 1) L 3
3(t) 5 1 2 t(3t 1)(3t 2) Les rels aj sont appels les nuds du
maillage1 . On note Nno le nombre de nuds du maillage. On a donc
Nno 5 kNma 1 1. (1.51) Pour un nud aj avec j {1, . . . , Nno}, on
effectue la division euclidienne de (j 1) par k sous la forme j 1 5
k(i(j) 1) 1 m(j), (1.52) avec i(j) {1, . . . , Nso} et m(j) {0, . .
. , k 1}. Lorsque m(j) 0, le nud aj se trouve lintrieur de
lintervalle Ii(j). Lorsque m(j) 5 0, le nud aj concide avec le
sommet xi(j) du maillage. On introduit la famille de fonctions {w1,
. . . , wNno } dnies de la manire suivante : pour tout j {1, . . .
, Nno}, 1. Pour k 5 1, la notion de nud concide avec celle de
sommet. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 17
25. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de
Lagrange Pk Figure 1.6 Assemblage des nuds du maillage pour lespace
dapproximation P3 c,h. (i) si m(j) 0, la fonction wj est dnie
localement sur chaque maille par wj(x) 5 L Fi(j) m(j) (x) si x
Ii(j), 0 sinon; (1.53) (ii) si m(j) 5 0, la fonction wj est dnie
localement sur chaque maille par wj(x) 5 L Fi(j)1 k (x) si x
Ii(j)1, L Fi(j) 0 (x) si x Ii(j), 0 sinon. (1.54) Si i(j) 5 1 ou
i(j) 5 Nso, seulement un des deux intervalles intervient dans la
dnition ci-dessus. Il est clair que wj Pk c,h pour j {1, . . . ,
Nno} et que wj Pk c,h,0 pour j {2, . . . , Nno 1}. De plus, par
construction, on a wj(aj ) 5 djj , j, j {1, . . . , Nno}. (1.55)
Enn, on notera que la drive au sens des distributions de wj est une
fonction polynmiale de degr (k 1) par morceaux. Cette fonction est
discontinue aux sommets du maillage. La gure 1.7 prsente une
illustration graphique des fonctions wj pour k 5 2. Pour i {1, . .
. , Nma}, on note xi1 1 2 le point milieu de lintervalle Ii. On
observera la diffrence de support entre les fonctions associes aux
sommets du maillage (le support est constitu de deux mailles) et
celles associes aux milieux des mailles (le support est rduit la
maille correspondante). La famille {w1, . . . , wNno } est une base
de Pk c,h. En effet, cette famille est claire- ment libre puisque
si la fonction w 5 Nno j51 ajwj est identiquement nulle sur 18
26. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de
Lagrange Pk V, il est clair que pour tout i {1, . . . , Nno}, on a
w(ai) 5 ai 5 0. Cette famille est galement gnratrice de Pk c,h. En
effet, soit vh Pk c,h. On pose wh 5 Nno j51 vh(aj)wj. Sur chaque
intervalle Ii Th, i {1, . . . , Nma}, les fonctions vh et wh sont
des polynmes de degr k qui concident en (k 1 1) points (les nuds
{ak(i1)1m11}0 m k situs dans Ii). Par consquent, ces fonctions sont
gales. On en dduit que vh 5 wh sur V, ce qui montre que toute
fonction de Pk c,h peut scrire comme une combinaison linaire des
fonc- tions {w1, . . . , wNno }. 1 x1 x2 x3 xNso1 xNso xi xi11
xi12xi1xi2 xi 3 2 xi 1 2 xi1 1 2 xi1 3 2 x3 2 x5 2 xNso 1 2 xNso 3
2 w2i1 w2i11w2i3 w2iw2i2 wNno wNno1 wNno2w3 w2 Figure 1.7 Fonctions
de forme dans lespace dapproximation P2 c,h. Pour tout j {1, . . .
, Nno}, on introduit la forme linaire gj : C0 (V) v v(aj) R. (1.56)
Il est clair que gj(wj ) 5 djj pour tout j, j {1, . . . , Nno}.
Proposition 1.13. (i) La famille {w1, . . . , wNno } est une base
de Pk c,h et la famille {g1, . . . , gNno } est une base de L(Pk
c,h; R). (ii) La famille {w2, . . . , wNno1} est une base de Pk
c,h,0 et la famille {g2, . . . , gNno1} est une base de L(Pk c,h,0;
R). Corollaire 1.14. dim Pk c,h 5 Nno 5 kNma 1 1 et dim Pk c,h,0 5
Nno 2 5 kNma 1. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 19
27. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.4 lment ni de
Lagrange Pk Dnition 1.15. (i) Les formes linaires {g1, . . . , gNno
} sont appeles les degrs de libert dans Pk c,h et les fonctions
{w1, . . . , wNno } sont appeles les fonctions de forme dans Pk
c,h. (ii) Les formes linaires {g2, . . . , gNno1} sont appeles les
degrs de libert dans Pk c,h,0 et les fonctions {w2, . . . , wNno1}
sont appeles les fonctions de forme dans Pk c,h,0. On introduit
loprateur dinterpolation suivant : Ik c,h : C0 (V) v Nno i51
gi(v)wi Pk c,h. (1.57) Pour une fonction v C0 (V), Ik c,hv est
lunique fonction continue et poly- nmiale de degr k par morceaux
qui prend les mmes valeurs que v aux Nno nuds du maillage. La
fonction Ik c,hv est appele linterpol de Lagrange de v de degr k.
Loprateur dinterpolation Ik c,h peut galement tre vu comme un
oprateur de H1 (V) dans H1 (V). On peut montrer que cet oprateur
est continu et quon a la proprit de stabilit suivante : il existe
une constante c, indpen- dante de h (mais dpendant de k), telle que
pour tout v H1 (V), Ik c,hv 1,V c v 1,V. (1.58) Par ailleurs, le
rsultat suivant permet destimer la prcision de loprateur
dinterpolation Ik c,h. Proposition 1.16. Il existe une constante c
(dpendant de k) telle que pour tout h et pour tout v Hk11 (V), v Ik
c,hv 0,V 1 h|v Ik c,hv|1,V c hk11 |v|k11,V, (1.59) et k11 m52 hm N
i50 |v Ik c,hv|2 m,Ii 1 2 c hk11 |v|k11,V. (1.60) 20
28. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.5 Analyse de
convergence Lestimation (1.59) montre que lerreur dinterpolation
est dordre (k 1 1) en norme 0,V et quelle est dordre k en
semi-norme | |1,V ; elle est donc galement dordre k en norme 1,V.
La preuve de la proposition 1.16 est analogue celle de la
proposition 1.9. Le point important est qu nouveau, les proprits
interpolantes de loprateur Ik c,h sont purement locales. Une
comparaison entre les estimations de la proposition 1.16 et celles
de la proposition 1.9 montre que, maillage x, lerreur
dinterpolation est plus petite si on utilise des polynmes de degr
lev pourvu que la fonction inter- poler soit sufsamment rgulire. En
particulier, si v Hs (V) et v Hs11 (V) pour un entier s k, on
montre que lestimation (1.59) devient v Ik c,hv 0,V 1 h|v Ik
c,hv|1,V c hs |v|s,V. (1.61) On obtient donc la mme estimation que
pour une interpolation par des polynmes de degr (s 1). 1.5 Analyse
de convergence Lobjectif de cette section est lanalyse de
convergence de la solution uh du problme approch (1.15) vers la
solution u du problme exact (1.3) lorsque lespace dapproximation Vh
dans (1.15) est pris gal P1 c,h,0 ou plus gnra- lement Pk c,h,0
pour un entier k 1. On cherche dabord estimer lerreur u uh dans la
norme H1 . Pour cela, on utilise lestimation (1.20), ce qui conduit
u uh 1,V c inf vhPk c,h,0 u vh 1,V c u Ik c,hu 1,V c hk |u|k11,V,
(1.62) pourvu que la solution exacte soit sufsamment rgulire,
savoir u Hk11 (V). On notera que Ik c,hu Pk c,h,0 puisque u H1 0
(V) ; en dautres termes, Ik c,hu est bien nul en a et en b. On a
ainsi montr le rsultat suivant.
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 21
29. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.5 Analyse de
convergence Proposition 1.17. Soit un entier k 1. On suppose que la
solution de (1.3) est dans Hk11 (V). On dsigne par uh la solution
du problme approch (1.15) avec lespace dapproximation Vh 5 Pk
c,h,0. Alors, il existe une constante c, indpen- dante de h, telle
que u uh 1,V c hk |u|k11,V. (1.63) On dit que lestimation derreur
(1.63) est optimale car elle est du mme ordre en h que lerreur
dinterpolation en norme H1 ; voir la proposition 1.16. Si la
solution exacte nest pas sufsamment rgulire, par exemple si u Hs
(V) mais u Hs11 (V) pour un entier s k, on montre la majoration
derreur suivante : u uh 1,V c hs1 |u|s,V. (1.64) En dautres termes,
lapproximation base sur llment ni de Lagrange Pk est sous-optimale
car on obtient le mme ordre de convergence que si on avait choisi
des polynmes de degr (s 1) par morceaux. Ce rsultat permet dta-
blir un lien direct entre lordre de convergence de la mthode des
lments nis, la rgularit de la solution exacte (quantie par le plus
grand entier s tel que u Hs (V) mais u Hs11 (V)) et le degr
polynmial des fonctions de Vh sur chaque maille. En notant d cet
ordre de convergence, on a d 5 min(k, s 1). (1.65) On sintresse
maintenant une estimation de lerreur u uh en norme L2 . Pour cela,
on utilise la technique suivante, dite de dualit. On introduit un
problme adjoint qui consiste Chercher z H1 0 (V) tel que V av z 5
V(u uh)v, v H1 0 (V). (1.66) Ce problme est clairement bien pos. De
plus, en supposant que a C1 (V), on dduit de la relation (az ) 5 u
uh que z H2 (V) H1 0 (V) et que |z|2,V c u uh 0,V, (1.67) 22
30. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.5 Analyse de
convergence pour une constante c indpendante de h. En prenant v 5 u
uh dans (1.66), il vient u uh 2 0,V 5 V a(u uh) z 5 V a(u uh) (z
zh) , zh Pk c,h,0, (1.68) daprs la relation dorthogonalit de
Galerkin (1.21). On en dduit u uh 2 0,V a1 z zh 1,V u uh 1,V, zh Pk
c,h,0. (1.69) Puisque z H2 (V) H1 0 (V), en prenant zh 5 I1 c,hz Pk
c,h,0 dans la majora- tion ci-dessus et en utilisant les
estimations (1.43) et (1.67), on obtient1 u uh 2 0,V c h|z|2,V u uh
1,V c h u uh 0,V u uh 1,V. (1.70) Do nalement, u uh 0,V c h u uh
1,V, (1.71) ce qui, grce lestimation (1.63), conduit au rsultat
suivant. Proposition 1.18. Avec les hypothses de la proposition
1.17 et en supposant que a C1 (V), il existe une constante c,
indpendante de h, telle que u uh 0,V c hk11 |u|k11,V. (1.72)
Lestimation derreur (1.72) est optimale car elle est du mme ordre
en h que lerreur dinterpolation en norme L2 ; voir la proposition
1.16. Enn, si la solution exacte nest pas sufsamment rgulire, par
exemple si u Hs (V) mais u Hs11 (V) pour un entier s k, on montre
la majoration derreur suivante : u uh 0,V c hs |u|s,V. (1.73) 1.
Dans cet aide-mmoire, on adopte la convention de notation suivante
: c dsigne une constante gnrique, indpendante de h, mais dont la
valeur numrique peut chan- ger chaque occurrence.
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 23
31. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.6 Rsolution
numrique 1.6 Rsolution numrique Dans la section 1.2.1, on a vu que
la mthode des lments nis consiste approcher la solution du problme
modle (1.3) par la solution du problme approch (1.15) en
introduisant un espace dapproximation Vh de dimension nie. De plus,
en choisissant une base {w1, . . . , wN } de Vh, o N 5 dim Vh, les
composantes de la solution approche dans cette base sobtiennent par
la rsolution du systme linaire (1.19). Lobjet de cette section est
dexaminer brivement lvaluation de la matrice de rigidit A
intervenant dans (1.19) et la rsolution du systme linaire. On
rappelle que les coefcients de la matrice de rigidit sexpriment
sous la forme Aij 5 V awiwj , i, j {1, . . . , N}. (1.74) Pour
simplier, on suppose que lapproximation est base sur llment ni de
Lagrange P1. On a donc Vh 5 P1 c,h,0 et N 5 Nma 1 5 Nso 2 ; voir la
section 1.3. Soit j {2, . . . , Nso 1}. Le support de la fonction
de forme wj associe au j-ime sommet du maillage est rduit aux deux
mailles partageant ce sommet. Par consquent, Aij 5 0 si |i j| >
1. (1.75) En dautres termes, la matrice A est tridiagonale : A 5
A11 A12 A21 A22 A23 ... ... ... ... ... ... AN1,N2 AN1,N1 AN1,N
AN,N1 AN,N . (1.76) An dvaluer les coefcients non-nuls de cette
matrice, on pose, pour tout i {1, . . . , Nma}, ai 5 1 hi Ii a.
(1.77) 24
32. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.6 Rsolution
numrique Un calcul direct montre que Ai,i11 5 Ai11,i 5 1 hi11 ai11,
i {1, . . . , N 1}, (1.78) Ai,i 5 Ai,i1 Ai,i11, i {2, . . . , N 1},
(1.79) ainsi que A11 5 1 h1 a1 1 1 h2 a2 et ANN 5 1 hN aN 1 1 hN11
aN11. (1.80) Dans le cas particulier o la fonction a est constante
sur V et vaut a0 et o le maillage est uniforme de pas h, on obtient
A 5 a0 h tridiag(1, 2, 1). (1.81) Lorsque la fonction a nest pas
constante, on ne dispose pas ncessairement dune expression
explicite permettant dvaluer sa valeur moyenne sur les mailles.
Dans ces conditions, les coefcients de la matrice de rigidit sont
va- lus de faon approche par une formule de quadrature. Le chapitre
9 prsente diverses formules de quadrature en une, deux et trois
dimensions despace. Lutilisation de quadratures est galement
ncessaire an dvaluer le membre de droite du systme linaire (1.19).
Une fois calculs les coefcients de la matrice de rigidit, il sagit
dvaluer la solution U du systme linaire (1.19). Lorsque la matrice
A est tridia- gonale, on dispose dun algorithme de rsolution
particulirement efcace, connu sous le nom dalgorithme de Crout ;
voir lalgorithme 1.1. On procde en deux tapes. (i) la matrice A est
dcompose sous la forme dun produit dune matrice bidiagonale
infrieure et dune matrice bidiagonale suprieure (dont les
coefcients diagonaux valent 1) : A 5 d1 l2 d2 ... ... lN dN 1 u1
... ... 1 uN1 1 . (1.82) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit
25
33. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.6 Rsolution
numrique On dsigne par T inf et T sup , respectivement, la matrice
bidiagonale in- frieure et suprieure dans le membre de droite de
(1.82). (ii) La solution du systme AU 5 F svalue en deux tapes : on
forme dabord le vecteur de travail Y RN tel que T inf Y 5 F ; pour
cela, on rsout le systme bidiagonal infrieur en balayant les lignes
dans lordre croissant. Puis, on inverse le systme bidiagonal
suprieur T sup U 5 Y en balayant les lignes dans lordre dcroissant.
larrive, on obtient AU 5 T inf T sup U 5 T inf Y 5 F, (1.83) si
bien que U est effectivement la solution du systme linaire AU 5 F.
Algorithme 1.1 Algorithme de Crout pour rsoudre le systme tridiago-
nal AU 5 F Input : F RN et A RN,N ======Dcomposition de la matrice
A selon (1.82) for i {2, . . . , N} do li 5 Ai,i1 end for d1 5 A11
for i {2, . . . , N} do ui1 5 Ai1,i di1 di 5 Aii liui1 end for
======Rsolution du systme linaire T inf Y 5 F Y1 5 F1 d1 for i {2,
. . . , N} do Yi 5 1 di (Fi liYi1) end for ======Rsolution du
systme linaire T sup U 5 Y UN 5 YN for i {N 1, . . . , 1} do Ui 5
Yi uiUi11 end for 26
34. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.7 Complment : lment
ni de Hermite Le cadre idal des matrices tridiagonales est
toutefois trs limit. On verra dans le chapitre 10 que la structure
de la matrice de rigidit est nettement plus complexe lorsque le
problme modle est pos en deux ou trois dimen- sions despace. La
rsolution du systme linaire (1.19) se fait, en gnral, en utilisant
une mthode itrative. De telles mthodes sont dcrites dans le
chapitre 11. Remarque 1.19 Mme en une dimension despace, la matrice
de rigidit nest plus tridiagonale, mais bloc-tridiagonale, lorsquon
emploie un lment ni de Lagrange Pk avec k 2. 1.7 Complment : lment
ni de Hermite On considre lespace vectoriel PHer h 5 {vh C1 (V) ; i
{1, . . . , Nma}, vh|Ii P3}, (1.84) dont les lments sont des
fonctions de classe C1 et polynmiales de degr 3 par morceaux. On
vrie que PHer h H2 (V). Tableau 1.2 Polynmes de Hermite sur [0, 1]
: reprsentation graphique et expression analytique. 0 10.5 0 1 0.5
u1(t) 5 (2t 1 1)(t 1)2 u2(t) 5 t(t 1)2 u3(t) 5 (3 2t)t2 u4(t) 5 (t
1)t2 cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 27
35. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.7 Complment : lment
ni de Hermite An dexhiber les fonctions de forme dans PHer h , on
introduit les polynmes de Hermite {u1, u2, u3, u4} sur lintervalle
de rfrence [0, 1] ; voir le tableau 1.2 pour leur reprsentation
graphique et leur expression analytique. En introdui- sant les
formes linaires {s1, s2, s3, s4} sur P3 telles que s1(p) 5 p(0),
s2(p) 5 p (0), s3(p) 5 p(1), s4(p) 5 p (1), (1.85) on observe que
sm(un) 5 dmn, m, n {1, 2, 3, 4}. (1.86) On introduit les fonctions
{w1,0, . . . , wNso,0, w1,1, . . . , wNso,1} telles que wi,0(x) 5
u3 xxi1 hi1 si x Ii1, u1 xxi hi si x Ii, 0 sinon, wi,1(x) 5 hi1u4
xxi1 hi1 si x Ii1, hiu2 xxi hi si x Ii, 0 sinon, (1.87) avec des
modications lmentaires si i 5 1 ou si i 5 Nso. Pour tout i {1, . .
. , Nso}, on considre les formes linaires suivantes : gi,0 : C1 (V)
v v(xi) R, (1.88) gi,1 : C1 (V) v v (xi) R. (1.89) On constate que
(i) pour tout i, j {1, . . . , Nso} et pour tout m, n {0, 1},
gi,m(wj,n) 5 dijdmn; (ii) la famille {w1,0, . . . , wNso,0, w1,1, .
. . , wNso,1} est une base de PHer h ; (iii) la famille {g1,0, . .
. , gNso,0, g1,1, . . . , gNso,1} est une base de L(PHer h ; R) ;
(iv) dim PHer h 5 2Nso. 28
36. 1 Prlude : lments nis en dimension un 1.7 Complment : lment
ni de Hermite Les formes linaires {g1,0, . . . , gNso,0, g1,1, . .
. , gNso,1} sont appeles les degrs de libert dans PHer h et les
fonctions {w1,0, . . . , wNso,0, w1,1, . . . , wNso,1} sont appeles
les fonctions de forme dans PHer h . On introduit loprateur
dinterpolation suivant : IHer h : C1 (V) v Nso i51 gi,0(v)wi,0 1
Nso i51 gi,1(v)wi,1 PHer h . (1.90) La fonction IHer h v est appele
linterpol de Hermite de v. Comme les fonctions de H2 (V) sont de
classe C1 , IHer h peut tre vu comme un oprateur de H2 (V) dans H2
(V). Cet oprateur est uniformment continu en h. De plus, on a le
rsultat suivant. Proposition 1.20. Il existe une constante c,
indpendante de h, telle que pour tout v H4 (V), v IHer h v 0,V 1
h|v IHer h v|1,V 1 h2 |v IHer h v|2,V c h4 |v|4,V. (1.91) Loprateur
dinterpolation de Hermite est donc particulirement prcis, pourvu
que la fonction interpoler soit sufsamment rgulire. Llment ni de
Hermite peut tre utilis pour approcher le problme modle (1.3). Il
peut tre galement considr dans lapproximation du problme suivant :
Chercher u H2 0 (V) tel que V au v 5 V fv, v H2 0 (V), (1.92) o H2
0 (V) 5 {v H2 (V) ; v(a) 5 v (a) 5 v(b) 5 v (b) 5 0}. Ce problme
intervient par exemple dans la modlisation des poutres en exion et
encas- tres leurs deux extrmits. On observera que (modulo des
modications triviales au bord) PHer h H2 0 (V) mais que Pk c,h,0 H2
0 (V) car les drives des fonctions de Pk c,h,0 sont discontinues
aux interfaces entre les mailles.
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 29
37. 2 LA MTHODE DE GALERKIN La mthode de Galerkin permet
dapprocher la solution de problmes mo- dles dont la formulation
abstraite est la suivante : Chercher u V tel que a(u, w) 5 f (w), w
W , (2.1) o V et W sont des espaces fonctionnels (des espaces
vectoriels dont les l- ments sont des fonctions), a est une forme
bilinaire dnie sur V 3 W et f est une forme linaire dnie sur W . On
dit que V est lespace solution et que W est lespace test. Les
lments de W sont appels des fonctions tests. Les espaces
fonctionnels V et W sont quips de normes, notes V et W
respectivement, qui leur confrent une structure despace de Banach
(V et W sont des espaces vectoriels norms o toute suite de Cauchy
est convergente). Dans de nombreuses applications, les normes V et
W sont induites par des produits scalaires, nots (, )V et (, )W
respectivement, si bien que V et W sont en fait des espaces de
Hilbert. Pour simplier, on conserve cette hypothse par la suite. On
suppose que la forme bilinaire a est continue sur V 3 W , ce quon
note a L(V 3 W ; R). On rappelle que cette hypothse consiste
supposer quil existe une constante c1 telle que pour tout (v, w) V
3 W , a(v, w) c1 v V w W . (2.2) De mme, on suppose que la forme
linaire f est continue sur W , ce quon note f L(W ; R) :5 W ,
cest--dire quil existe une constante c2 telle que pour tout w W , f
(w) c2 w W . (2.3) 30
38. 2 La mthode de Galerkin 2.1 Le problme modle est-il bien
pos ? On introduit les normes de a et f (dans L(V 3 W ; R) et W
respectivement) dnies par a V ,W 5 sup (v,w)V 3W a(v, w) v V w W ,
f W 5 sup wW f (w) w W , (2.4) tant entendu que les arguments des
suprema sont pris non-nuls. On renvoie la section A.1 pour des
complments. 2.1 Le problme modle est-il bien pos ? Lobjet de cette
section est de rappeler brivement les deux principaux rsultats qui
permettent dtudier le caractre bien pos du problme (2.1). La notion
de problme bien pos est entendue au sens de la dnition suivante.
Dnition 2.1 (Hadamard). On dit que le problme (2.1) est bien pos
sil admet une et une seule solution. Lorsque le problme (2.1) est
bien pos, son unique solution u satisfait lesti- mation a priori
suivante : il existe une constante c tel que pour tout f W , u V c
f W . (2.5) Cette estimation dcoule des proprits gnrales des
oprateurs bijectifs dans les espaces de Banach ; voir la section
A.1.4. 2.1.1 Le lemme de LaxMilgram On considre dabord le cas
particulier o lespace solution et lespace test dans (2.1) sont
identiques : V 5 W . Le problme modle consiste donc Chercher u V
tel que a(u, w) 5 f (w), w V . (2.6) Dnition 2.2 (Coercivit). Soit
V un espace de Hilbert. On dit quune forme bilinaire a L(V 3 V ; R)
est V -coercive, ou coercive sur V , si a > 0, v V , a(v, v) a v
2 V . (2.7) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 31
39. 2 La mthode de Galerkin 2.1 Le problme modle est-il bien
pos ? Lemme 2.3 (LaxMilgram). Soit V un espace de Hilbert, a L(V 3
V ; R) et f V . On suppose que la forme bilinaire a est V
-coercive. Alors, le pro- blme (2.6) est bien pos. Lorsque la forme
bilinaire a nest pas coercive sur V , peut-on en dduire que le
problme (2.6) nest pas bien pos ? La rponse est ngative : le lemme
de LaxMilgram ne fournit que des conditions sufsantes pour analyser
le caractre bien pos de (2.6).1 2.1.2 Le thorme de
BanachNecasBabuka (BNB) Le thorme BNB est le rsultat fondamental
pour analyser le caractre bien pos des problmes (2.1) et (2.6).
Contrairement au lemme de LaxMilgram qui ne fournit que des
conditions sufsantes, le thorme BNB fournit des conditions
ncessaires et sufsantes pour que le problme modle soit bien pos.
Thorme 2.4 (BanachNecasBabuka). Soit V et W deux espaces de Hil-
bert,2 a L(V 3 W ; R) et f W . Alors, le problme (2.1) est bien pos
si et seulement si a > 0, inf vV sup wW a(v, w) v V w W a,
(BNB1) w W , (v V , a(v, w) 5 0) = (w 5 0). (BNB2) La terminologie
adopte pour ce thorme a t introduite par Ern et Guer- mond [38].
Elle fait rfrence au fait que le thorme BNB est une reformu- lation
de deux rsultats fondamentaux dus Banach : le thorme de limage
ferme et le thorme de lapplication ouverte ; voir la section A.1.4.
Le tho- rme BNB a t nonc dans sa forme ci-dessous par Necas en 1962
[58]. Son importance pour lanalyse des mthodes dlments nis a t
souligne par Babuka en 1972 [9]. 1. Si la forme bilinaire a est
symtrique (a(v, w) 5 a(w, v) pour tout (v, w) V 3 V ) et positive
(a(v, v) 0 pour tout v V ), la V -coercivit est une condition
ncessaire et sufsante pour que le problme (2.6) soit bien pos. 2.
Voir la section A.1.4 pour le cadre gnral du thorme BNB qui est
celui des espaces de Banach. 32
40. 2 La mthode de Galerkin 2.2 Principe de la mthode de
Galerkin La condition inf-sup (BNB1) se reformule de la faon
suivante : il existe a > 0 tel que pour tout v V , a v V sup wW
a(v, w) w W . (2.8) Pour prouver la condition inf-sup, on peut
procder comme suit : on consi- dre une fonction v V et on construit
une fonction wv W telle que a(v, wv) a1 v 2 V et wv W a2 v V . Ceci
permet de montrer que la condition (BNB1) est satisfaite avec a 5
a1 a2 . 2.2 Principe de la mthode de Galerkin On considre le
problme modle (2.1) et on suppose quil est bien pos. La mthode de
Galerkin permet dapprocher la solution u de ce problme. Lide
consiste remplacer dans (2.1) les espaces fonctionnels V et W par
des espaces de dimension nie, nots Vh et Wh, ce qui conduit
Chercher uh Vh tel que ah(uh, wh) 5 fh(wh), wh Wh. (2.9) On dit que
(2.9) est le problme approch ou le problme discret et que uh est la
solution approche. On notera que sous sa forme la plus gnrale, le
problme approch (2.9) fait intervenir une forme bilinaire ah L(Vh 3
Wh; R) qui est une approximation de la forme bilinaire a et une
forme linaire fh Wh qui est une approximation de la forme linaire f
. Lespace Vh, quon appel- lera espace dapproximation, et lespace
Wh, quon appellera espace test discret, sont construits laide de la
mthode des lments nis selon les techniques prsentes dans le
chapitre 1 pour les problmes en dimension 1 et dans les chapitres 3
et 4 pour les problmes en dimension suprieure. Lindice h fait
rfrence la nesse des maillages employs pour construire ces espaces.
Les lments de Wh sont appels des fonctions tests discrtes. Un choix
particulier dans (2.9) consiste utiliser le mme espace Vh comme
espace dapproximation et comme espace test discret, ce qui conduit
au pro- blme approch suivant : Chercher uh Vh tel que ah(uh, wh) 5
fh(wh), wh Vh. (2.10) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit
33
41. 2 La mthode de Galerkin 2.2 Principe de la mthode de
Galerkin Dans ce cas, on parle de mthode de Galerkin standard,
alors que si les espaces discrets Vh et Wh sont diffrents, on parle
de mthode de Galerkin non-standard (dans la littrature, on
rencontre galement la terminologie mthode de PetrovGalerkin ).
Dnition 2.5 (Conformit). Lapproximation (2.9) est dite conforme si
Vh V et Wh W ; elle est dite non-conforme si Vh V ou Wh W . On dit
que lespace Vh est V -conforme lorsque Vh V et que lespace Wh est W
-conforme lorsque Wh W . Dnition 2.6 (Consistance). Soit u la
solution unique de (2.1). On suppose que la forme bilinaire ah peut
tre tendue (V 1 Vh) 3 Wh. Lapproximation (2.9) est dite consistante
si wh Wh, ah(u, wh) 5 fh(wh). (2.11) Si tel nest pas le cas,
lapproximation est dite non-consistante. En dautres termes,
lapproximation est consistante si la solution exacte satis- fait
les quations discrtes. La non-consistance de la mthode dapproxima-
tion peut, par exemple, provenir de lutilisation de quadratures
pour valuer les intgrales dans la forme bilinaire a et la forme
linaire f . Le problme approch (2.9) est un systme linaire. En
effet, on pose N 5 dim Vh et M 5 dim Wh. (2.12) Soit {w1, . . . ,
wN } une base de Vh et soit {c1, . . . , cM } une base de Wh. On
dcompose la solution approche uh dans la base de Vh selon uh 5 N
i51 Uiwi, (2.13) et on introduit le vecteur U de RN form par les
composantes de uh dans cette base, U 5 (Ui)1 i N . Soit A RM,N la
matrice de rigidit dont les composantes sont Aij 5 ah(wj, ci), i
{1, . . . , M}, j {1, . . . , N}, (2.14) et soit F RM le vecteur de
composantes Fi 5 fh(ci), i {1, . . . , M}. Il est clair que uh est
solution de (2.9) si et seulement si AU 5 F. (2.15) 34
42. 2 La mthode de Galerkin 2.3 Le problme approch est-il bien
pos ? 2.3 Le problme approch est-il bien pos ? Lobjet de cette
section est danalyser le caractre bien pos du problme ap- proch
(2.9). On retiendra les rsultats suivants. Pour une approximation
consistante et conforme dun problme dont la forme bilinaire est
coercive, le problme approch est automatiquement bien pos. De plus,
la matrice de rigidit est dnie positive. Lorsque le caractre bien
pos du problme modle repose sur les condi- tions inf-sup (BNB1) et
(BNB2), celles-ci ne sont pas transfres automa- tiquement au cadre
discret. Pour montrer que le problme discret est bien pos, il faut
(et il suft de) prouver une condition inf-sup discrte et vrier que
lespace dapproximation et lespace test discret ont la mme dimen-
sion. 2.3.1 Approximation consistante et conforme dun problme
coercif Soit V un espace de Hilbert, soit a L(V 3 V ; R) une forme
bilinaire et V -coercive et soit f V . Dans ce cadre, le problme
modle (2.6) admet une unique solution u. Pour approcher cette
solution, on considre le problme discret suivant : Chercher uh Vh
tel que a(uh, wh) 5 f (wh), wh Vh, (2.16) et on suppose que Vh V .
On notera que le problme discret (2.16) fait intervenir la mme
forme bilinaire a et la mme forme linaire f que le problme modle
(2.6). Proposition 2.7. Avec les hypothses ci-dessus, la matrice de
rigidit A est dnie positive ; par consquent, le problme discret
(2.16) est bien pos. Le caractre dni positif de la matrice A rsulte
du fait que pour tout X 5 (Xi)1 i N RN o N 5 dim Vh, on a 1 i,j N
AijXiXj 5 a(j, j) a j 2 V , (2.17)
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 35
43. 2 La mthode de Galerkin 2.3 Le problme approch est-il bien
pos ? avec j 5 N i51 Xiwi Vh, {w1, . . . , wN } tant une base de
Vh. Par suite, 1 i,j N AijXiXj 5 0 implique j 5 0 et donc X 5 0.
Remarque 2.8. Si la forme bilinaire a est symtrique, la matrice de
rigidit lest galement. 2.3.2 Cas gnral On considre maintenant le
cas gnral, cest--dire que lon considre le pro- blme modle (2.1),
que lon suppose bien pos, et on souhaite utiliser le problme
discret (2.9) pour obtenir une solution approche uh. On notera Vh
et Wh les normes dont sont quips les espaces discrets Vh et Wh,
respectivement. Lapproximation pouvant tre non-conforme, il nest
pas pos- sible dquiper a priori les espaces discrets Vh et Wh des
normes induites par V et W , respectivement. Clairement, en vertu
du thorme BNB, le caractre bien pos de (2.9) est quivalent aux deux
conditions suivantes : ah > 0, inf vhVh sup whWh ah(vh, wh) vh
Vh wh Wh ah, (BNB1h) wh Wh, (vh Vh, ah(vh, wh) 5 0) = (wh 5 0).
(BNB2h) La condition (BNB1h) est une condition inf-sup discrte. Mme
si lapproxi- mation est conforme et consistante, rien ne garantit a
priori que la condition inf-sup (BNB1) implique la condition
inf-sup discrte (BNB1h). La mme dif- cult se pose entre les
conditions (BNB2) et (BNB2h). On constate que linterprtation des
conditions (BNB1h) et (BNB2h) en termes matriciels est la suivante
: (i) (BNB1h) quivaut au fait que la matrice A est injective ; (ii)
(BNB2h) quivaut au fait que la matrice A est de rang maximal. Par
consquent, les conditions (BNB1h) et (BNB2h) sont quivalentes
(BNB1h) et dim Vh 5 dim Wh. En rsum, on a le rsultat suivant.
Thorme 2.9. Le problme approch (2.9) est bien pos si et seulement
si la condition inf-sup discrte (BNB1h) est satisfaite et si dim Vh
5 dim Wh. 36
44. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Remarque 2.10.
La constante ah intervenant dans (BNB1h) est la plus petite valeur
propre de AT A. 2.4 Analyse derreur On considre le problme modle
(2.1) et son approximation (2.9) par la mthode de Galerkin. On
suppose que ces deux problmes sont bien poss, cest--dire que : (i)
la forme bilinaire a est dans L(V 3 W ; R) et elle satisfait les
conditions inf-sup (BNB1) et (BNB2) ; (ii) la forme bilinaire ah
est dans L(Vh 3 Wh; R), elle satisfait la condition inf-sup discrte
(BNB1h) et dim Vh 5 dim Wh. On note u et uh la solution unique de
(2.1) et (2.9), respectivement. Lobjectif de cette section est
destimer lerreur uuh. Cette quantit est appele lerreur
dapproximation. En particulier, on souhaite prciser sous quelles
hypothses lerreur dapproximation tend vers zro lorsque h tend vers
zro (on rappelle que le paramtre h fait rfrence la nesse du
maillage qui est utilis pour construire les espaces Vh et Wh). On
sintresse donc des familles despaces {Vh}h>0 et {Wh}h>0
obtenues en rafnant le maillage. 2.4.1 Approximation consistante et
conforme On suppose dans cette section que lapproximation est
consistante et conforme. On a donc Vh V et Wh W et la relation
(2.11) est satisfaite. On considre le problme approch suivant :
Chercher uh Vh tel que ah(uh, wh) 5 fh(wh), wh Wh. (2.18) Lhypothse
Vh V implique en particulier que lerreur u uh est dans V . On peut
donc utiliser la norme V pour la mesurer. Une consquence immdiate
de (2.11) est la suivante. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit
37
45. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Lemme 2.11
(Orthogonalit de Galerkin). Avec les hypothses ci-dessus, on a la
relation, dite dorthogonalit de Galerkin, wh Wh, ah(u uh, wh) 5 0.
(2.19) On suppose en outre que ah 5 a et fh 5 f . Le rsultat
suivant est connu sous le nom de lemme de Ca. Lemme 2.12 (Ca). Avec
les hypothses ci-dessus, on a ||u uh||V 1 1 a V ,W ah inf vhVh ||u
vh||V . (2.20) On suppose en outre que V 5 W , Vh 5 Wh et que la
forme bilinaire a est V -coercive. Dans ces conditions, on montre
que lestimation derreur devient ||u uh||V a V ,V a inf vhVh ||u
vh||V , (2.21) o a est la constante de coercivit de a. Si la forme
bilinaire a est de plus symtrique, cette estimation peut encore tre
amliore en u uh V a V ,V a 1 2 inf vhVh u vh V . (2.22) An dtablir
la convergence de uh vers u, on doit contrler la quantit infvhVh u
vh V . Il sagit donc destimer la distance de u Vh pour la norme V .
Pour cela, on introduit la notion suivante. Dnition 2.13. On dit
que la famille despaces {Vh}h>0 est asymptotique- ment dense
dans V si v V , lim h0 inf vhVh v vh V 5 0. (2.23) Thorme 2.14. On
suppose que : (i) la condition (BNB1h) est satisfaite uniformment
en h ; (ii) lapproximation est consistante et conforme ; (iii) la
famille {Vh}h>0 est asymptotiquement dense. Alors, on a lim h0 u
uh V 5 0. (2.24) 38
46. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur 2.4.2 Le cadre
gnral pour lanalyse de convergence Lapproximation pouvant tre
non-conforme, lerreur u uh nappartient pas ncessairement lespace V
mais lespace tendu V (h) 5 V 1 Vh. (2.25) On quipe cet espace dune
norme tendue V (h) et an deffectuer lanalyse derreur, on fait les
hypothses suivantes : vh Vh, vh V (h) 5 vh Vh , (2.26) v V , v V
(h) c v V , (2.27) pour une constante c indpendante de v et de h.
Ces deux hypothses signi- ent que la norme tendue est une extension
de la norme de Vh et que V sinjecte continment dans V (h) pour la
norme tendue. La notion de densit asymptotique se reformule laide
de la norme tendue V (h) de la manire suivante. Dnition 2.15
(Densit asymptotique). On dit que la famille despaces {Vh}h>0
est asymptotiquement dense dans V si v V , lim h0 inf vhVh v vh V
(h) 5 0. (2.28) An destimer la quantit u uh V (h), on introduit une
nouvelle notion : la consistance asymptotique. Dnition 2.16
(Consistance asymptotique). On suppose que la forme bili- naire ah
est uniformment continue en h sur Vh 3 Wh, cest--dire que ah Vh,Wh
est major uniformment en h. Lapproximation (2.9) est dite
asymptotiquement consistante sil existe un oprateur Ph : V Vh tel
que (i) pour tout v V , Phv v V (h) c infvhVh v vh V (h) o c est
une constante indpendante de v et de h, et (ii) lim h0 sup whWh
|fh(wh) ah(Phu, wh)| wh Wh 5 0. (2.29)
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 39
47. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Dans ces
conditions, on dnit lerreur de consistance Rh(u) par Rh(u) 5 sup
whWh |fh(wh) ah(Phu, wh)| wh Wh . (2.30) Remarque 2.17 Lorsque la
famille {Vh}h>0 est asymptotiquement dense, la notion de consis-
tance asymptotique est indpendante du choix de loprateur Ph. En
effet, soit Ph : V Vh un deuxime oprateur tel que pour tout v V ,
Phv v V (h) c infvhVh v vh V (h). Soit Rh(u) lerreur de consistance
mesure avec loprateur Ph. Alors, pour tout wh Wh, |fh(wh) ah(Phu,
wh)| |fh(wh) ah(Phu, wh)| 1 |ah(Phu Phu, wh)|, ce qui implique,
grce luniforme continuit de ah et lingalit triangulaire, que Rh(u)
Rh(u) 1 c ah Vh,Wh inf vhVh u vh V (h) . En utilisant la densit
asymptotique de {Vh}h>0, cette ingalit implique que lap-
proximation (2.9) est asymptotiquement consistante en utilisant
loprateur Ph. En dautres termes, lerreur de consistance est
indpendante, un facteur prs contrl par la proprit de densit
asymptotique de la famille {Vh}h>0, de lop- rateur Ph utilis
pour lvaluer. Thorme 2.18. On suppose que : (i) la condition
(BNB1h) est satisfaite uniformment en h ; (ii) la forme bilinaire
ah est uniformment continue en h sur Vh 3 Wh ; (iii) la famille
{Vh}h>0 est asymptotiquement dense ; (iv) lapproximation est
asymptotiquement consistante. Alors, en notant Rh(u) lerreur de
consistance, on a u uh V (h) 1 ah Rh(u) 1 c inf vhVh u vh V (h) ,
(2.31) si bien que lim h0 u uh V (h) 5 0. (2.32) 40
48. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Ce thorme
montre quelles sont les quatre proprits satisfaire pour garan- tir
la convergence de lapproximation dans la mthode de Galerkin :
stabilit de ah uniforme en h, continuit de ah uniforme en h, densit
asymptotique et consistance asymptotique. Un principle gnral de
lanalyse numrique, connu sous le nom de principe de Lax, est que
stabilit et consistance im- pliquent convergence. Le fait que ce
principe ne mentionne pas explicitement la continuit et la densit
asymptotique ne veut pas dire que ces deux propri- ts doivent tre
considres comme aquises dans tous les cas. On pourra par exemple
consulter [38, p. 97] pour un contre-exemple la densit asympto-
tique dans le contexte des quations de Maxwell. 2.4.3 Cas
particuliers : lemmes de Strang Les deux estimations derreur
prsentes dans cette section sont connues sous le nom de premier et
deuxime lemme de Strang. On suppose dabord que lapproximation est
conforme, cest--dire que Vh V et Wh W . On a donc V (h) 5 V , ce
qui permet de mesurer lerreur dans la norme V . Lemme 2.19 (Strang
1). On suppose que Vh V et Wh W . Alors, on a u uh V 1 ah sup whWh
|f (wh) fh(wh)| wh Wh (2.33) 1 inf vhVh 1 1 a V ,W ah u vh V 1 1 ah
sup whWh |a(vh, wh) ah(vh, wh)| wh Wh . La preuve du lemme 2.19 est
relativement simple. Soit vh Vh. On dduit de la condition (BNB1h)
que ah uh vh V sup whWh ah(uh vh, wh) wh Wh . (2.34) Un calcul
direct montre que ah(uh vh, wh) 5 a(u vh, wh) 1 a(vh, wh) ah(vh,
wh) 1 fh(wh) f (wh). (2.35) cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit
41
49. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur Par consquent,
ah uh vh V a V ,W u vh V 1 sup whWh |a(vh, wh) ah(vh, wh)| wh Wh 1
sup whWh |f (wh) fh(wh)| wh Wh . (2.36) On conclut en utilisant
lingalit triangulaire u uh V u vh V 1 uh vh V , (2.37) puis en
prenant linmum sur vh Vh. On ne suppose plus maintenant que
lapproximation est conforme ; par contre, on suppose que la forme
bilinaire ah peut tre tendue V (h) 3 Wh ; par suite, ah(v, wh) est
bien dni pour v V (h) et wh Wh. Lemme 2.20 (Strang 2). On suppose
que ah est continue sur V (h) 3 Wh. Alors, on a u uh V (h) 1 1 ah V
(h),Wh ah inf vhVh u vh V (h) 1 1 ah sup whWh |fh(wh) ah(u, wh)| wh
Wh . (2.38) De plus, si lapproximation est consistante, alors u uh
V (h) 1 1 ah V (h),Wh ah inf vhVh u vh V (h). (2.39) La preuve du
lemme 2.20 est relativement simple. Soit vh Vh et soit wh Wh. On a
ah(uh vh, wh) 5 ah(uh u, wh) 1 ah(u vh, wh) 5 fh(wh) ah(u, wh) 1
ah(u vh, wh). (2.40) Grce la condition (BNB1h) on obtient ah uh vh
V (h) sup whWh |fh(wh) ah(u, wh)| wh Wh 1 ah V (h),Wh u vh V (h).
(2.41) On conclut en utilisant une ingalit triangulaire puis en
prenant linmum sur vh Vh. 42
50. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur 2.4.4 Le lemme
de AubinNitsche On suppose que V 5 W et quil existe deux espaces de
Hilbert Z et L tels que Z V L, (2.42) avec injections continues. On
considre une forme bilinaire l sur L 3 L que lon suppose continue,
symtrique et positive. On dsigne par ||L 5 l(, ) la semi-norme
induite par l. Lobjectif de cette section est destimer lerreur dans
la semi-norme | |L. Pour simplier, on se restreint au cadre dune
ap- proximation consistante et conforme par la mthode de Galerkin
standard (Vh 5 Wh et Vh V ) ; voir, par exemple, Braess [18, p.
108] pour un cas plus gnral. On suppose que : (i) il existe une
constante de stabilit cS telle que pour tout g L, la solu- tion (g)
du problme adjoint Chercher (g) V tel que a(v, (g)) 5 l(g, v), v V
, (2.43) satisfait lestimation a priori (g) Z cS|g|L; (2.44) (ii)
il existe une constante ci telle que h, v Z, inf vhVh v vh V cih v
Z . (2.45) Le rsultat ci-dessous est connu sous le nom de lemme de
AubinNitsche ; voir, par exemple, Aubin [8]. Lemme 2.21
(AubinNitsche). Avec les hypothses ci-dessus, on a h, |u uh|L c h u
uh V , (2.46) avec c 5 cicS a V ,V . Dnition 2.22. Lorsque la
proprit (2.44) est satisfaite, le problme (2.43) est dit
rgularisant. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 43
51. 2 La mthode de Galerkin 2.4 Analyse derreur On utilisera la
notion de problme rgularisant et le lemme de AubinNitsche dans le
chapitre 5 pour le Laplacien et les modles de mcanique des milieux
continus (| |L correspondra la norme L2 (V) ou [L2 (V)]3 ) et dans
le cha- pitre 6 pour le problme de Stokes (| |L correspondra la
semi-norme | |1,V de la vitesse). 44
52. 3 LMENTS FINIS DE LAGRANGE Lobjet de ce chapitre est
dtudier les lments nis les plus couramment ren- contrs dans la
pratique, savoir les lments nis de Lagrange. On effectue cette tude
en adoptant un point de vue local. Cette approche permet dap-
prhender les lments nis de Lagrange (et plus gnralement tout lment
ni ; voir le chapitre 4) comme la brique lmentaire permettant
dinterpo- ler des fonctions dnies sur un domaine V : on maille ce
domaine (par des triangles, des quadrangles ou dautres types de
mailles) puis on gnre des l- ments nis sur chaque maille partir dun
lment ni de rfrence dont les proprits sont purement locales. Ce
chapitre est organis comme suit. On donne dabord une dnition g-
nrale dun lment ni de Lagrange et on introduit les notions de degrs
de libert, de fonctions de forme et doprateur dinterpolation local.
On pr- sente ensuite les exemples classiques dlments nis de
Lagrange. Enn, on tudie comment mailler un domaine et comment
utiliser ce maillage an de construire dune part un oprateur
dinterpolation global et dautre part des espaces vectoriels de
dimension nie qui ont vocation tre utiliss comme espaces
dapproximation dans le cadre de la mthode de Galerkin an dap-
procher la solution de problmes modles. 3.1 Notion locale dlment ni
de Lagrange Soit K une partie de Rd ; pour simplier, on suppose que
K est un intervalle en dimension 1, un polygone en dimension 2 ou
un polydre en dimension cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit
45
53. 3 lments nis de Lagrange 3.1 Notion locale dlment ni de
Lagrange 3. Soit P un espace vectoriel de fonctions (en gnral
polynmiales) dnies sur K et valeurs dans R. Soit {a1, . . . , anf }
un ensemble de points dans K o nf est un entier strictement
positif. Pour i {1, . . . , nf}, on introduit la forme linaire si :
P p p(ai) R. (3.1) On pose S 5 {s1, . . . , snf }. Dnition 3.1
(lment ni de Lagrange). Si lapplication linaire P p s1(p), . . . ,
snf (p) T Rnf , (3.2) est bijective, on dit que le triplet {K , P,
S} est un lment ni de Lagrange. Les points {a1, . . . , anf } sont
appels les nuds de llment ni et les formes linaires {s1, . . . ,
snf } sont appeles les degrs de libert de llment ni. La bijectivit
de lapplication linaire dnie en (3.2) signie que pour tout (a1, . .
. , anf )T Rnf , il existe un et un seul polynme p P tel que p(ai)
5 ai pour tout i {1, . . . , nf}. Ceci quivaut au fait que dim P 5
card S 5 nf, p P, p(ai) 5 0, i {1, . . . , nf} = (p 5 0), ou encore
au fait quil existe une base de P, note {u1, . . . , unf }, telle
que si(uj) 5 uj(ai) 5 dij, i, j {1, . . . , nf}. (3.3) On rappelle
que dij dsigne le symbole de Kronecker tel que dij 5 1 si i 5 j et
dij 5 0 si i j. Les fonctions {u1, . . . , unf } sont appeles les
fonctions de forme de llment ni. Pour i {1, . . . , nf}, la
fonction de forme ui vaut 1 au nud ai et 0 aux autres nuds. Dnition
3.2 (Oprateur dinterpolation local). Loprateur dinterpola- tion
local I Lag K est dni comme suit : I Lag K : C0 (K ) v nf i51
v(ai)ui P. (3.4) On dit que I Lag K v est linterpol de Lagrange de
v sur K . Linterpol de Lagrange est tel que sa valeur aux nuds {a1,
. . . , anf } concide avec celle de la fonction interpoler v.
46
54. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments
nis de Lagrange Loprateur dinterpolation I Lag K est une projection
de C0 (K ) dans P. En effet, pour tout p P, en dcomposant p dans la
base des fonctions de forme selon p 5 nf j51 xjuj, on obtient I Lag
K p 5 nf i51 p(ai)ui 5 nf i,j51 xjuj(ai)ui 5 nf i,j51 xjdijui 5 p.
(3.5) Par suite, pour tout v C0 (K ), il vient I Lag K (I Lag K v)
5 I Lag K v. Cette proprit se gnralise tout type dlment ni ; voir
la section 4.2. 3.2 Exemples classiques dlments nis de Lagrange
Lobjet de cette section est de dresser le catalogue des principaux
lments nis de Lagrange utiliss en pratique. On considre : (i) les
lments nis de Lagrange unidimensionnels ; (ii) les lments nis de
Lagrange simplectiques (K est un triangle, un t- tradre ou plus
gnralement un simplexe) : on parle dlments nis de Lagrange Pk ;
(iii) les lments nis de Lagrange structure tensorielle (K est un
carr, un cube ou plus gnralement un hypercube) : on parle dlments
nis de Lagrange Qk ; (iv) les lments nis de Lagrange prismatiques
(K est un prisme). On dsigne par x le point courant de Rd et on
note (x1, . . . , xd ) ses coordon- nes cartsiennes. 3.2.1 lments
nis de Lagrange unidimensionnels Dnition 3.3. Soit un entier k 1.
Soit K 5 [c, d] un intervalle de me- sure non-nulle. En une
dimension despace, llment ni de Lagrange Pk est d- ni comme le
triplet {K , P, S} tel que P 5 Pk et S 5 {s0, . . . , sk} o les
formes linaires sm, m {0, . . . , k}, associent p Pk sa valeur au
nud am 5 c 1 m k (d c). cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit
47
55. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments
nis de Lagrange Les nuds {a0, . . . , ak} associs llment ni de
Lagrange Pk sont illus- trs sur la gure 3.1 pour k {1, 2, 3}.
Lorsque K 5 [0, 1], les fonctions de forme de llment ni de Lagrange
Pk sont les polynmes dinterpola- tion de Lagrange {Lk 0, . . . , Lk
k} introduits dans la section 1.4. Le tableau 1.1 page 17 contient
une reprsentation graphique de ces polynmes ainsi que leur
expression analytique. Lorsque K 5 [c, d], les fonctions de forme
sont les polynmes um(x) 5 Lk m( xc dc ), m {0, . . . , k}. k 5 1 k
5 2 k 5 3 Figure 3.1 Nuds {a0, . . . , ak} de llment ni de Lagrange
Pk, k {1, 2, 3}, en dimension 1. 3.2.2 lments nis de Lagrange
simplectiques Soit {s0, . . . , sd } une famille de points dans Rd
avec d 2. On suppose que les vecteurs {s1 s0, . . . , sd s0} sont
linairement indpendants. Dnition 3.4. Lenveloppe convexe des points
{s0, . . . , sd } est appele un sim- plexe de Rd et les points {s0,
. . . , sd } sont appels les sommets du simplexe. En particulier,
le simplexe unit de Rd est lensemble de points x Rd ; xi 0, i {1, .
. . , d}, et d i51 xi 1 , (3.6) dont les (d 1 1) sommets ont pour
coordonnes cartsiennes (0, . . . , 0) et pour tout i {1, . . . ,
d}, (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), le 1 tant en i-ime position.
De manire quivalente, on peut dnir un simplexe de Rd comme limage
par une transformation afne bijective du simplexe unit. En
dimension 2, un simplexe est appel un triangle et en dimension 3,
un simplexe est appel un ttradre. Pour i {0, . . . , d}, on dnit Fi
comme la face de K oppose un sommet si et on dnit ni comme la
normale extrieure K sur Fi ; voir la gure 3.2. En dimension 2, une
face est galement appele arte. 48
56. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments
nis de Lagrange si K Fi ni Figure 3.2 Un triangle K, un sommet si,
la face oppose Fi et la normale extrieure ni. Dnition 3.5. Dans un
simplexe K de Rd , on dnit les coordonnes bary- centriques (l0, . .
. , ld ) telles que pour tout i {0, . . . , d}, li : Rd x 1 (x si)
ni (sj si) ni R, (3.7) o sj est un des sommets de K situs sur Fi,
(x si) le vecteur reliant si x et (sj si) le vecteur reliant si sj.
La dnition (3.7) de li est clairement indpendante du choix
particulier du sommet sj sur la face Fi. La coordonne barycentrique
li est une fonction afne qui vaut 1 en si et sannule sur la face
Fi. De plus, ses courbes de niveau sont des hyperplans (des droites
si on est en dimension 2) qui sont parallles la face Fi. Le
barycentre de K a toutes ses coordonnes barycentriques gales 1 d11
. Si K est le simplexe unit, on a en dimension 2, l0 5 1 x1 x2, l1
5 x1 et l2 5 x2 ; en dimension 3, l0 5 1 x1 x2 x3, l1 5 x1, l2 5 x2
et l3 5 x3. Les coordonnes barycentriques satisfont les proprits
suivantes : (i) pour tout x K , 0 li(x) 1 ; (ii) pour tout x Rd , d
i50 li(x) 5 1 et x 5 d i50 li(x)si. (3.8)
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 49
57. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments
nis de Lagrange On considre lespace vectoriel des polynmes en les
variables (x1, . . . , xd ), coefcients rels et de degr global
infrieur ou gal k. On pose Pk 5 p(x) 5 0 i1,...,id k i11...1id k
ai1...id xi1 1 . . . xid d ; ai1...id R . (3.9) Pk est un espace
vectoriel dont la dimension sexprime en fonction des coef- cients
binomiaux de Pascal sous la forme dim Pk 5 Ck k1d 5 k 1 1 si d 5 1,
1 2 (k 1 1)(k 1 2) si d 5 2, 1 6 (k 1 1)(k 1 2)(k 1 3) si d 5 3.
(3.10) Proposition 3.6. Soit K un simplexe de Rd . Soit un entier k
1. On considre lensemble de nuds {ai}1 i nf dont les coordonnes
barycentriques sont i0 k , . . . , id k , 0 i0, . . . , id k, i0 1
. . . 1 id 5 k, (3.11) et on note S les degrs de libert associs ces
nuds. Alors, nf 5 dim Pk et le triplet {K , Pk, S} est un lment ni
de Lagrange, appel lment ni de Lagrange Pk. Le tableau 3.1 prsente
les nuds et les fonctions de forme pour les lments nis de Lagrange
P1, P2 et P3 en dimension 2 et 3. On notera que pour k 5 1, les (d
1 1) fonctions de forme sont les coordonnes barycentriques. En
dimension 2 et pour k 5 2, les fonctions de forme sont {l0(2l0 1),
l1(2l1 1), l2(2l2 1), 4l0l1, 4l0l2, 4l1l2}. Lespace polynmial Pk
sert, de manire plus gnrale, dnir le degr dun lment ni de Lagrange
quelconque. Dnition 3.7. Soit {K , P, S} un lment ni de Lagrange.
Le plus grand entier k tel que Pk P est appel le degr de llment ni.
50
58. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments
nis de Lagrange Tableau 3.1 Degrs de libert et fonctions de forme
pour les lments nis de Lagrange P1, P2 et P3 en dimension 2 et 3 ;
en dimension 3, seuls les degrs de libert visibles sont reprsents.
P1 P2 P3 li [0 i d] li(2li 1) [0 i d] 4lilj [0 i < j d] 1 2
li(3li 1)(3li 2) [0 i d] 9 2 li(3li 1)lj [0 i, j d, i j] 27liljlk
[0 i < j < k d] 3.2.3 lments nis de Lagrange structure
tensorielle Dnition 3.8. On considre un ensemble de d intervalles
{[ci, di]}1 i d , tous de mesure non-nulle. Lensemble K 5 d i51[ci,
di] est appel un hypercube (ou, galement, un pav). Dnition 3.9.
Soit K un hypercube. Pour x K , il existe un unique vec- teur de
composantes (t1, . . . , td ) [0, 1]d tel que pour tout i {1, . . .
, d}, xi 5 ci 1 ti(di ci). Les rels (t1, . . . , td ) sont appeles
les coordonnes locales de x dans K .
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 51
59. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments
nis de Lagrange On considre lespace vectoriel des polynmes en les
variables (x1, . . . , xd ), coefcients rels et de degr infrieur ou
gal k en chaque variable. Cet espace est not Qk 5 q(x) 5 0
i1,...,id k ai1...id xi1 1 . . . xid d ; ai1...id R . (3.12) Qk est
un espace vectoriel de dimension dim Qk 5 (k 1 1)d . (3.13) On
notera les inclusions Pk Qk Pkd et le fait quen dimension un, Pk 5
Qk. Proposition 3.10. Soit K un hypercube de Rd . Soit un entier k
1. On considre lensemble de nuds {ai}1 i nf dont les coordonnes
locales dans K sont i1 k , . . . , id k , 0 i1, . . . , id k,
(3.14) et on note S les degrs de libert associs ces nuds. Alors, nf
5 dim Qk et le triplet {K , Qk, S} est un lment ni de Lagrange,
appel lment ni de Lagrange Qk. Cet lment ni est de degr k. Le
tableau 3.2 prsente les nuds et les fonctions de forme pour les l-
ments nis de Lagrange Q1, Q2 et Q3 en dimension 2 et 3. On rappelle
que {Lk 0, . . . , Lk k} sont les polynmes dinterpolation de
Lagrange asso- cis aux nuds {a0, . . . , ak} de lintervalle [0, 1]
tels que am 5 m k pour m {0, . . . , k}. On notera que les
fonctions de forme pour llment ni de Lagrange Qk sobtiennent
simplement par produit tensoriel des polynmes dinterpolation de
Lagrange valus en les coordonnes locales (t1, . . . , td ) de x
dans K . En dimension 2, les fonctions de forme sont pour k 5 1,
{L1 0(t1)L1 0(t2), L1 1(t1)L1 0(t2), L1 0(t1)L1 1(t2), L1 1(t1)L1
1(t2)}, et pour k 5 2, {L2 0(t1)L2 0(t2), L2 0(t1)L2 1(t2), L2
0(t1)L2 2(t2), L2 1(t1)L2 0(t2), . . . , L2 2(t1)L2 2(t2)}. 52
60. 3 lments nis de Lagrange 3.2 Exemples classiques dlments
nis de Lagrange Tableau 3.2 Degrs de libert et fonctions de forme
pour les lments nis de Lagrange Q1, Q2 et Q3 en dimension 2 et 3 ;
en dimension 3, seuls les degrs de libert visibles sont reprsents.
(t1, . . . , td) sont les coordonnes locales du point courant de
lhypercube. Q1 Q2 Q3 0011 0011 0011 0011 0011 00 00 11 11 0011 0011
0011 00 00 11 11 0011 00 00 11 11 0011 0011 01 01 0011 001101010011
00 00 11 11 0 0 1 1 0 0 1 1 00 00 11 11 001101010011 L1 i1 (t1) . .
. L1 id (td) [0 i1, . . . , id 1] L2 i1 (t1) . . . L2 id (td) [0
i1, . . . , id 2] L3 i1 (t1) . . . L3 id (td) [0 i1, . . . , id 3]
3.2.4 lments nis de Lagrange prismatiques Dans cette section, on se
place en dimension d 3. Pour x 5 (x1, . . . , xd ) Rd , on pose x 5
(x1, . . . , xd1). Soit K un simplexe de Rd1 et soit [a, b] un
intervalle de mesure non-nulle. Dnition 3.11. Lensemble K 5 {x Rd ;
x K et xd [a, b]} est appel un prisme. On introduit les coordonnes
barycentriques (l0, . . . , ld1) de x dans K et on considre t [0,
1] tel que xd 5 a 1 t(b a). cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit
53
61. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les
maillages Dnition 3.12. On appelle coordonnes prismatiques de x K
le vecteur de composantes (l0, . . . , ld1; t). Soit Pk[x ]
(respectivement, Pk[xd ]) lespace des polynmes coefcients rels en
la variable x (respectivement, xd ) de degr global infrieur ou gal
k. On pose PRk 5 {p(x) 5 p1(x ) p2(xd ) ; p1 Pk[x ], p2 Pk[xd ]}.
(3.15) On constate que Pk PRk et que dim PRk 5 1 2 (k 1 1)2 (k 1 2)
en dimen- sion 3. Proposition 3.13. Soit K un prisme de Rd . Soit
un entier k 1. On considre lensemble de nuds {ai}1 i nf de
coordonnes prismatiques i0 k , . . . , id1 k ; id k , 0 i0, . . . ,
id1, id k, i0 1 . . . 1 id1 5 k, (3.16) et on note S les degrs de
libert associs ces nuds. Alors, nf 5 dim PRk et le triplet {K ,
PRk, S} est un lment ni de Lagrange, appel lment ni de Lagrange
prismatique. Cet lment ni est de degr k. Le tableau 3.3 prsente les
nuds et les fonctions de forme pour les lments nis de Lagrange
prismatiques de degr k {1, 2, 3} en dimension 3. En notant (l0, l1,
l2; t) les coordonnes prismatiques du point courant dans le prisme,
les fonctions de forme sexpriment comme un produit tensoriel des
fonctions de forme associes au triangle K (et qui font intervenir
les co- ordonnes barycentriques (l0, l1, l2)) et des polynmes
dinterpolation de Lagrange unidimensionnels en la variable t. Par
exemple, pour k 5 1, les fonctions de forme sont les suivantes :
{l0L1 0(t), l1L1 0(t), l2L1 0(t), l0L1 1(t), l1L1 1(t), l2L1 1(t)}.
3.3 Notions lmentaires sur les maillages Intuitivement, un maillage
dun domaine V est une partition de V en mailles. Pour simplier, on
suppose que ces mailles sont des intervalles en dimen- sion 1, des
triangles ou des quadrangles en dimension 2 et des ttradres, des
prismes ou des pavs en dimension 3. Les mailles sont galement
appeles les cellules du maillage. 54
62. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les
maillages Tableau 3.3 Degrs de libert et les fonctions de forme
pour les lments nis de Lagrange prismatiques de degr k {1, 2, 3} ;
seuls les degrs de libert visibles sont reprsents. (l0, l1, l2; t)
sont les coordonnes prisma- tiques du point courant dans le prisme.
PR1 PR2 PR3 liL1 0(t) [0 i 2] liL1 1(t) [0 i 2] li(2li 1)L2 0(t) [0
i 2] li(2li 1)L2 1(t) [0 i 2] li(2li 1)L2 2(t) [0 i 2] 4liljL2 0(t)
[0 i < j 2] 4liljL2 1(t) [0 i < j 2] 4liljL2 2(t) [0 i < j
2] 1 2 li(3li 1)(3li 2)L2 m(t) [0 i 2] [0 m 2] 9 2 li(3li 1)ljL2
m(t) [0 i, j 2, i j] [0 m 2] 27l0l1l2L2 m(t) [0 m 2] La famille de
mailles constituant le maillage sera note {Km}1 m Nma , o Nma est
le nombre de mailles. Par hypothse, les mailles sont des ferms et
leurs intrieurs sont deux deux disjoints (il ny a pas de
recouvrement entre les mailles). Par la suite, on pose hKm 5
diam(Km) 5 max x1,x2Km x1 x2 Rd , m {1, . . . , Nma}, (3.17) o Rd
dsigne la norme euclidienne sur Rd . On pose galement h 5 max 1 m
Nma hKm , (3.18) et Th 5 {Km}1 m Nma . (3.19)
cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 55
63. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les
maillages Dans les applications, on est souvent amen considrer une
suite de maillages de plus en plus ns, ce quon notera
conventionnellement {Th}h>0. On parle de famille de maillages.
Dnition 3.14 (Famille de maillages quasi-uniformes). On dit que la
fa- mille {Th}h>0 est quasi-uniforme sil existe une constante c
telle que h, K Th, hK c h. (3.20) Lorsque le domaine V est un
polygone ou un polydre, le maillage peut tre construit de faon
recouvrir exactement V ; on a donc V 5 Nma m51 Km, (3.21) o V
dsigne ladhrence du domaine V. Par contre, si le domaine V est
frontire courbe, le recouvrement nest pas exact en gnral ; dans ces
condi- tions, on note Vh lintrieur de Nma m51 Km, si bien que Vh 5
Nma m51 Km. (3.22) Quest-ce quau juste un domaine ? En dimension 1,
un domaine est un in- tervalle ouvert et born. En dimension d 2,
les polygones dans R2 et les polydres dans R3 sont des domaines.
Plus gnralement, un domaine de Rd est un ouvert born et connexe
dont la frontire V satisfait certaines pro- prits de rgularit,
savoir quil existe : (i) deux rels a > 0 et b > 0 ; (ii) une
famille nie, de cardinal R, de systmes de coordonnes locales xr 5
(xr , xr d ) pour r {1, . . . , R}, avec xr Rd1 et xr d R ; (iii)
une famille nie de R cartes locales fr qui sont lipschitziennes1
sur leur domaine de dnition {xr Rd1 ; |xr | < a} ; 1. On dit
quune fonction f : D Rn est lipschitzienne sur son domaine de
dnition D Rm sil existe un rel L tel que pour tout (x, y) D 3 D, f
(x) f (y) Rm L x y Rn . 56
64. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les
maillages tels que V 5 R r51 {(xr , xr d ) ; xr d 5 fr (xr ) ; |xr
| < a}, et pour tout r {1, . . . , R}, {(xr , xr d ) ; fr (xr )
< xr d < fr (xr ) 1 b ; |xr | < a} V, {(xr , xr d ) ; fr
(xr ) b < xr d < fr (xr ) ; |xr | < a} Rd V, o |xr | a
signie que |xr i | a pour tout i {1, . . . , d 1}. On no- tera quun
domaine est ncessairement situ dun seul ct de sa frontire. Lorsque
les proprits ci-dessus sont satisfaites, on dit que la frontire de
V est lipschitzienne. Pour un entier m 1, on dit quun domaine V est
de classe Cm si toutes les cartes locales fr sont de classe Cm .
Pour un domaine de classe Cm , sa normale extrieure n est dnie en
tout point de sa frontire. 3.3.1 Gnration du maillage Un maillage
est gnr partir dune maille de rfrence, quon note K , et dune
famille de transformations gomtriques envoyant K dans les cellules
du maillage. Par la suite, on fait lhypothse que ces
transformations sont des C1 - diffomorphismes et pour une maille K
Th (on omet lindice m pour allger les notations), on note TK : K K
, la transformation gomtrique correspondante. Comment spcier la
transformation gomtrique TK ? Une faon simple de procder consiste
utiliser un lment ni de Lagrange. Par la suite, cet l- ment ni sera
not {K , Pgo, Sgo}. On pose ngo 5 card(Sgo), on dsigne par {g1, . .
. , gngo } les nuds de K et par {c1, . . . , cngo } les fonctions
de forme correspondantes. Dnition 3.15. On dit que {K , Pgo, Sgo}
est llment ni gomtrique, {g1, . . . , gngo } sont les nuds
gomtriques et {c1, . . . , cngo } sont les fonctions de forme
gomtriques. cDunodLaphotocopienonautoriseestundlit 57
65. 3 lments nis de Lagrange 3.3 Notions lmentaires sur les
maillages Tableau 3.4 Exemples de transformations gomtriques gnres
partir dun lment ni de Lagrange. P1 g1 g2 g3 gK 1 gK 2 gK 3 K K P2
Q1 Pour chaque maille K Th, on dispose dun ngo-uplet {gK 1 , . . .
, gK ngo }. La transformation gomtrique envoyant K dans K est alors
dnie comme suit : TK : K x ngo i51 gK i ci(x) K , (3.23) si bien
que TK (gi) 5 gK i pou