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Enseignement et apprentissage des

mathématiques

Que disent les recherches

psychopédagogiques?

Sous la direction de M. Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J. Grégoire

Apprendre et enseigner les maths… - Chap. I

(De Corte & Verschaffel)

Maths ≠ collection de concepts abstraits et habiletés procédurales à

maîtriser

Maths série d’activités de création « de cohérence » et de résolution de

problèmes basées sur une modélisation mathématique de la réalité

But ultime de l’enseignement des maths développement d’une

disposition à mathématiser le réel

Apprentissage des maths construction active, opérée par une

communauté d’étudiants, de significations et de compréhensions basées

sur la modélisation de la réalité

La « disposition mathématique »

Pour devenir compétents… maîtrise coordonnée de cinq

catégories d’outils cognitifs

Une base de connaissances spécifiques

Des heuristiques stratégies de recherche en résolution

de problèmes

Des connaissances métacognitive

Des stratégies d’auto-régulation

Les croyances associées aux mathématiques

La résolution de problèmes

A. Résoudre et symboliser des problèmes

additifs et soustractifs

I. Introduction

Problèmes liens entre le symbolisme mathématique et les actions sur les objets (monde réel)

Objet de l’étude

Investiguer les difficultés rencontrées par les élèves pour créer des connexions entre leurs démarches informelles de résolution (comptage) et le symbolisme mathématique (les calculs)

Etudier les limites d’une approche top-down

Approche top-down

Les symboles conventionnels

sont proposés d’emblée aux élèves à qui on explique ce qu’ils représentent et comment les utiliser

sont considérés comme référant de manière fixe et non ambigüe à des objets mathématiques

L’enseignement ne s’appuie pas sur les stratégies informelles des enfants

Situation couramment rencontrée en CF

- Techniques de calculs => pré-requis à RP

- Problèmes => illustrer applicabilité des opérations

- Symbolisme => entraîner techniques de calculs

D’après une enquête réalisée en 2004-2005 auprès d’une centaine d’enseignants du cycle 5-8 (Fagnant & Hindryckx, 2006)…

l’objectif principal de la résolution de problèmes est d’appliquer, dans des situations « réelles », les opérations formelles apprises en classe (l’objectif de donner du sens aux opérations n’est pas assez présent).

seul un tiers des enseignants déclare appuyer, dès le début de la première année primaire, l’apprentissage des opérations sur la résolution de problèmes.

Pour les autres RP post-posée après Janvier (pour environ 20%), en fin d’année (pour 20 autres %) voire à l’année ou au cycle suivant (pour encore environ 20%).

Le présupposé selon lequel les problèmes sont trop complexes pour les jeunes élèves (autrement dit, l’idée selon laquelle une maîtrise préalable des calculs et certaines compétences en lecture sont nécessaires) semble encore bien présent…

Apports des théories du traitement de l’information

Typologie

Type changement

Type

combinaison

Type

comparaison

+

ou -

II. Méthodologie

25 élèves de 1P (6 classes – 4 écoles)

Interviews individuelles

14 problèmes de la classification de Riley et al. (changement, combinaison, comparaison)

I. lit l’énoncé à voix haute

E. répète l’énoncé

E. résout le P (matériel manipulable)

E. propose un calcul (lié à histoire ou stratégie)

I. repose la question

E. entoure la réponse au sein du calcul (+ flexibilité)

Pour la phase de résolution RC si elle permettait d’aboutir à la réponse attendue.

Si erreur de comptage recompter (éviter les erreurs « techniques »).

Pour l’écriture du calcul, plusieurs critères : - structure correcte (ex. pas 3-5=2)

- construit au départ des trois nombres attendus (les deux données du problème et la réponse attendue)

- réponse identifiée correctement au sein du calcul

CC même si aucun lien au problème ou à la stratégie de résolution (ex. « 5+(7)=12 » face à changement 2 et stratégie soustractive)

CI si R mal identifiée (ex. (4)+(9)=13 face à combinaison 1)

1. En fin de première primaire, les enfants sont-ils capables de résoudre et de

symboliser certains problèmes ?

R

(sur 25) C

(sur 25) D

(R-C)

Combinaison 1 - Pierre a 4 pommes. Anne a 9 pommes. Combien de

pommes Pierre et Anne ont-ils ensemble ?

22 16 6

Changement 1 - Pierre avait 4 pommes. Anne a donné 9 pommes à

Pierre. Combien de pommes Pierre a-t-il maintenant ?

23 17 6

Changement 2 - Pierre avait 12 cerises. Pierre a donné 7 cerises à Anne. Combien de cerises Pierre a-t-il maintenant ?

22 13 9

Changement 3 - Pierre avait 5 bonbons. Anne a donné quelques bonbons à Pierre. Maintenant, Pierre a 11 bonbons. Combien de bonbons Anne a-t-elle donnés à Pierre ?

19 13 6

Changement 5 - Pierre avait quelques livres. Anne a donné 6 livres à

Pierre. Maintenant Pierre a 11 livres. Combien de livres Pierre avait-il au départ ?

18 11 7

Comparaison 1 - Pierre a 5 bonbons. Anne a 11 bonbons. Combien de bonbons Anne a-t-elle de plus que Pierre ?

12 7 5

Comparaison 3 - Pierre a 4 pommes. Anne a 9 pommes de plus que Pierre. Combien de pommes Anne a-t-elle ?

11 7 4

III. Quelques résultats

Pour tous les problèmes nombre de CC toujours inférieur au

nombre de RC (colonne «D»).

Pas seulement une tendance globale aucun élève n’est parvenu à

produire un calcul correct s’il n’avait pas, au préalable, résolu le

problème correctement.

Colonne « D » difficultés de symbolisation

nombre d’élèves qui n’ont pas pu produire un calcul correct face à

un problème qu’ils avaient pourtant résolu correctement (et ceci,

généralement par comptage).

2. Quels types de calculs les élèves produisent-ils ?

Les élèves privilégient les calculs relationnels qui correspondent à leurs stratégies informelles de résolution et à la structure des problèmes (ex. 5+(6)=11 face à changement 3)

Les calculs numériques (ou canoniques) qui entrent en conflit ne sont quasi jamais proposés (ex. 11-5=(6))

abstraction extrême des approches d’enseignement qui imposent les calculs avec la réponse derrière le signe d’égalité

3. Chaque élève est-il capable d’utiliser correctement les signes « + » et « -

» en situation de résolution de problèmes ?

Profil I – 3 élèves

Le néant

Aucun calcul correct aucune connexion

problèmes / symboles

Profil II – 4 élèves

Des additions pour des

situations additives

Uniquement calculs « + » dans des situations

additives (Chang. 1) ou mixtes (ex. chang. 3).

Profil III – 9 élèves

Des additions pour des

situat. de ttes sortes

Uniquement calculs « + » idem que profil II

+ reconstructions additives dans situations

soustractives (ex. 7+(5)=12 face à chang. 2)

Profil IV – 5 élèves

Add et soustr dans ttes

sortes de situations

Calculs « + » et « - », mais

(1) pas tjrs adaptés (reconstructions additives)

(2) pas tjrs CC (certains P sont RC mais pas CC)

Profil V – 4 élèves

Add et soustr bien

adaptées aux situat.

Tous les calculs bien adaptés aux situations et

tous les problèmes RC sont symbolisés

correctement

4. Peut-on considérer l’utilisation d’un symbolisme mathématique

insuffisamment intégré comme un élément déclencheur de démarches

superficielles ?

Analyser les erreurs produites au moment de la résolution et au moment

de la production du calcul

voir si on peut les attribuer à des mécanismes différents…

Résultats (non développés ici)

- Erreurs de nature conceptuelle (résolution)

- Développement de démarches superficielles (production du calcul)

IV. En guise de conclusion…

La maîtrise des techniques de calcul n’est pas un pré-requis à la résolution de problèmes ET ce n’est pas non plus une aide…

Développer plus tôt la RP et s’appuyer d’avantage sur les stratégies informelles des élèves

Utilisation très prépondérante des calculs relationnels qui « collent » à la structure du P et aux stratégies informelles

Ne pas imposer l’utilisation de calculs canoniques (R derrière le signe d’égalité) ces calculs demandent une trop grande abstraction (partie/tout) + ils creusent l’écart avec stratégies informelles manque de sens et stratégies superficielles…

L’analyse par profils d’élèves révèle de manière criante les difficultés éprouvées par bon nombre d’élèves pour utiliser les symboles mathématiques en situation de résolution de problèmes

Développer la RP pour viser une co-construction des concepts d’addition et de soustraction et des symbolisations utilisées pour les représenter (plutôt qu’entraîner les techniques de calcul hors contexte et utiliser la RP pour appliquer les opérations en situation « réelle »)

L’analyse des erreurs commises par les élèves permet d’apporter des arguments en faveur de l’hypothèse selon laquelle l’utilisation d’un symbolisme mathématique qu’ils n’ont pas suffisamment intégré pourrait être un facteur déclencheur de stratégies superficielles

Mise en garde en matière d’enseignement : enseignement « tardif » de RP centré sur l’objectif d’illustrer l’applicabilité des opérations risque de favoriser le développement de stratégies superficielles (alors que ces stratégies sont peu présentes chez les jeunes élèves)

Références

Fagnant, A. (2005). Résoudre et symboliser des problèmes additifs et soustractifs en début d’enseignement primaire. In M. Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J. Grégoire (Eds.), Enseignement et apprentissage des mathématiques. Que disent les recherches psychopédagogiques ?(131-150). Bruxelles : De Boeck.

Fagnant, A. & Hindricks, G. (2006). La résolution de problèmes : enquête auprès des enseignants du cycle 5-8. Actes du quatrième congrès des chercheurs en éducation, 111-113. Namur, du 21 au 22 mars 2006 : http://www.agers/cfwb/be.

Pour en savoir plus… Fagnant, A. (2002). Mathematical symbolism : A feature responsible for superficial approaches ? In A.D.

Cockburn and E. Nordi (Eds), Proceedings of the 26th Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol. 2, 345-352. Norwich, UK : University of East Anglia.

Fagnant, A., Vlassis, J. & Crahay, M. (2005). Using mathematical symbols at the beginning of arithmetical and algebraic learning. In Verschaffel, L. De Corte, E. Kanselaar, G. & Valcke, M. (Eds.). Powerful environments for promoting deep conceptual and strategic learning (81-95). (Studia Paedagogica, n°41). Leuven: Leuven University Press.

Fagnant, A. (2005). The use of mathematical symbolism in problem solving. An empirical study carried out in grade one in the French Community of Belgium. European Journal of Psychology of Education, XX (4), pp. 355-367.

La résolution de problèmes

B. La modélisation et la résolution de

problèmes d’application

Steve a acheté 4 planches de 2,5 m chacune. Combien de planches de 1 m peut-il

faire à partir de ces planches ?

Quelle sera la température de l’eau d’un container si vous versez dedans un litre d’eau à 80 degrés et un litre d’eau à 40 degrés.

John court le 100 m en 15 secondes. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir un km ?

Bruce et Alice vont à la même école. Bruce habite à 17 km de l’école et Alice à 8 km de l’école. Quelle est la distance entre la maison de Bruce et la maison d’Alice?

Point de départ – Le phénomène sous étude

Démarches superficielles et suspension

de construction de sens

Age du capitaine et bus de l’armée

confrontés à des problèmes un peu particuliers (dans un contexte de

classe classique) réagissent de manière stéréotypée et artificielle

Problème:

Un bus de l’armée contient 36 soldats. Si 1128 soldats ont besoin de se rendre à leur camp d’entraînement en bus, combien de bus sont nécessaires ?

Réponses les plus fréquentes:

1.128 36 = 31.33 bus

1.128 ÷ 36 ≈ 31 bus

Problèmes standards et problèmes problématiques

Item standard (item S): peut être résolu d’une manière

indiscutable en appliquant des opérations arithmétiques

évidentes avec les nombres fournis

Item problématique (item P): le modèle mathématique

approprié est moins évident et plus discutable, du moins si on

prend sérieusement en compte la réalité du contexte évoqué

dans le problème

Exemple d’un item S et P

Problème S: un homme coupe une corde à linge de 12 mètres en morceaux de 1,5 mètres chacun. Combien de morceaux obtiendra-t-il ?

Problème P: un homme veut une corde assez longue pour l’étendre entre deux mats séparés de 12 mètres, mais il ne dispose que de morceaux de corde de 1,5 mètre de long. Combien de ces morceaux doit-il attacher les uns aux autres pour disposer d’une corde qu’il puisse étendre entre les deux mats ?

Réactions réalistes et non-réalistes

Réaction réaliste (RR): Dès qu’un élève donnait une réponse

au problème en prenant en compte le contexte ou quand il

produisait une réponse « non réaliste » accompagnée d’un

commentaire réaliste

Réaction non-réaliste (NR): Les réactions sans indice

manifeste d’activation ou d’utilisation de connaissances du

monde réel

Plusieurs études sur les problèmes problématiques

ex. 4 planches de 2,5 m // courir le 100 m en 15 secondes // 2 amis

habitent à 8 et 17 km de l’école

très peu de réponses réalistes : les élèves résolvent les problèmes sans

faire appel à leurs connaissances de la vie réelle

appliquer envers et contre tout des opérations mathématiques en vue

de fournir des réponses numériques précises à tous les problèmes qui leur

sont proposés

Les présupposés et leurs origines

Présupposés

supposer que tous les problèmes proposés sont corrects, complets et qu’ils ont du sens (puisque déterminés comme tels par l’autorité)

supposer qu’il n’y a qu’une seule réponse correcte et qu’elle doit se présenter sous une forme numérique et précise (et qu’il n’y a qu’une seule façon d’y arriver)

Origine ?

Nature stéréotypée des énoncés

Culture de classe

L’enseignement des mathématiques

Induit une série de représentations chez les élèves qui les

conduisent

à court-circuiter leur réflexion et leur bon sens

à agir comme s’il suffisait d’exécuter des opérations

arithmétiques pour résoudre les problèmes qui leur sont

soumis

N’incite pas les élèves à développer des capacités à la

modélisation

Le modèle du mathematical modeling

Phénomène

sous étude

Compré-

hension

Modèle de

situation

Modéli-

sation

Modèle

mathématique

Analyse

Evaluation mathématique

Résultat

communiqué

Commu-

nication

Résultat

interprété

Interpré-

tation

Résultat

découlant du

modèle math.

Stratégies superficielles

Version atrophiée du processus de modélisation

Les recherches de type intervention

Faire acquérir aux élèves une stratégie générale permettant de résoudre des problèmes

développer des heuristiques (R / R)

Proposer des problèmes réalistes (ouverts et complexes)

Développer les échanges entre élèves (travaux de groupes et débats en groupe-classe)

Faire acquérir aux élèves un ensemble de croyances et d’attitudes positives

culture de classe

Une stratégie heuristique et métacognitive générale

Références

Verschaffel, L. & De Corte, E. (2005). La modélisation et la résolution des problèmes d’application : de l’analyse à l’utilisation efficace. In M. Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J. Grégoire (Eds.), Enseignement et apprentissage des mathématiques. Que disent les recherches psychopédagogiques ? (153-176). Bruxelles : De Boeck.

Verschaffel, L., Greer, B. & De Corte, E. (2000). Making sense of word problems. Lisse, The Netherlands : Swets & Zeitlinger.

La résolution de problèmes

C. La difficulté d’articuler diverses procédures

dans des problèmes complexes.

Introduction Maîtrise des procédures = condition nécessaire mais non suffisante

Importance de la représentation mobilisation

Organisation

Surcharge cognitive

Face à des problèmes complexes….

H1 oubli de mobiliser certaines procédures (alors qu’ils en

disposent)

H2 difficultés de mise en œuvre de ces procédures (par

ailleurs maîtrisées)

Données méthodologiques

Deux problèmes complexes (désignés par le code SC) et N

questions « fermées » (procédures testées isolément)

1436 élèves de 6e primaire

issus de 61 écoles différentes

et répartis dans 81 classes différentes

Une promenade dans les bois

Des élèves de 6e primaire d'une école liégeoise ont décidé de faire une promenade à pied

dans les bois d'Esneux. Voici le plan de cette promenade. L'itinéraire est surligné en noir.

Les élèves veulent partir à 9 h de l'école. Il faut 20 minutes au bus scolaire

pour les déposer au début de la promenade. Ils marcheront à 3,5 km à l'heure

et comptent s'arrêter 1/2 h. en chemin pour se reposer. À quelle heure les

élèves arriveront-ils à la fin de la promenade dans les bois si tout se passe

comme prévu ?

Procédure 1 Mesurer, sur le plan, les sept tronçons du trajet et, par addition, obtenir

la longueur correcte.

Procédure 2 Calculer la longueur réelle en tenant compte de l'échelle 1/20 000.

Procédure 3 Calculer la durée de la marche en tenant compte du résultat de

l'opération précédente et de l'énoncé qui indique que les élèves ont

marché à 3,5 km/heure.

Procédure 4 Ajouter, au résultat précédent, 1/2 heures d'arrêt.

Procédure 5 Tenir compte de l'heure de départ (9h00) et des 20 minutes de

déplacement en bus pour fixer le départ réel de la promenade à 9h20.

Procédure 6 Calculer l'heure d'arrivée en ajoutant la durée du trajet (opérations 3 et

4) à l'heure du départ réel (opération 5).

Pour résoudre ce problème, il faut :

Taux de réussite, d'échec et d'omission relatifs à chacune des

procédures à mobiliser pour résoudre le problème complexe

N° de

procédure

Nature de la procédure Réussite Échec Omissio

n

P 1 /SC1 a mesuré correctement les longueurs sur le

plan

43,1 % 13,4 % 42,5 %

P 2 /SC1 a calculé la longueur réelle 36,2 % 22,1 % 41,7 %

P 3 /SC1 a calculé la durée correctement 33 % 23,1 % 43,9 %

P 4 /SC1 a tenu compte de la 1/2 h. d'arrêt 49,7 % 7 % 43,3 %

P 5 /SC1 a tenu compte des 20 minutes de

déplacement en car

54,6 % 4,6 % 40,9 %

P6 /SC1 a indiqué l'heure d'arrivée exacte 24,3 % 49,7 % 31 %

Procédures 1 et 2 testées isolément

SF 1.1.

Voici la distance, sur un plan à l'échelle entre la ville A et la ville B. Calcule la distance

réelle qui les sépare.

----------------------------------------------------------------------------------

A B

SF1.2 Distances réelles Distances sur le plan Échelle

………. 1 cm

1

100

Taux de réussite, d'échec et d'omission des procédures 1

et 2 testées dans deux situations fermées

Situation Procédure Nature de la

procédure

Réussite Échec Omission

SF 1.1 P1 a mesuré

correctement la

longueur sur le plan

80,7 % 3,3 % 16,0 %

P2 a calculé la longueur

réelle

54,6 % 30,1 % 15,3 %

SF 1.2 P2 a calculé la longueur

réelle

72,0 % 14,4 % 13,7 %

Taux de réussite, d'échec et d'omission pour la procédure

1 "Mesurer correctement sur le plan" testée en situation

complexe ou fermée.

Situation complexe

Situation fermée

Réussite Échec Omission Total

Réussite 35,4 % 1,2 % 6,5 % 43,1 %

Échec 13,4 % 0,0 % 0,0 % 13,4 %

Omission 31,9 % 2,1 % 9,5 % 43,5 %

Total 80,7 % 3,3 % 16,0 % 100,0 %

Taux de réussite, d'échec et d'omission pour la procédure 2, "Calculer

une longueur réelle connaissant une longueur sur le plan", testée en

situation complexe et en situation fermée.

Situation SF 1.1

Réussite Échec Omission Total

Situation complexe

Réussite 25,6 % 7,9 % 1,7 % 36,2 %

Échec 11,7 % 8 % 3,0 % 22,1 %

Omission 17,3 % 14,7 % 9,7 % 41,7 %

Total 54,6 % 30,6 % 14,4 % 100,0 %

Discussion

Il ne suffit pas de maîtriser les procédures pour résoudre des

problèmes complexes qui les impliquent…

Difficultés pour se représenter le problème correctement

Erreurs de procédures d’autant plus fréquentes que la situation est

complexe

Difficultés pour planifier la séquence de procédures

Importance de la maîtrise des procédures mais…

Quid des compétences stratégiques et de la régulation métacognitive?

EST-IL POSSIBLE D’APPRENDRE A RESOUDRE DES

PROBLEMES ? Affaire à suivre….

Référence

Crahay, M. (2005). La difficulté d’articuler diverses procédures dans des

problèmes complexes. In M. Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J.

Grégoire (Eds.), Enseignement et apprentissage des mathématiques. Que

disent les recherches psychopédagogiques ? (177-199). Bruxelles : De

Boeck.