Espace et géométrie cycle 2 et cycle 3

Espaceetgéométriecycle2etcycle3

BernadetteNGONOMaîtredeconférencesendidactiquedesmaths

1

EquipeOpérationMathsanciennementEuroMaths

•  Marie-LisePeltier,LaboratoireA.RevuzUniversitéParis7;

•  JoëlBriand,DAESTUniversitéBordeaux2;•  BernadetteNgono,LaboratoireCIRNEF,UniversitédeRouen;

•  DanielleVergnes,LaboratoireA.RevuzUniversitéParis;

•  MarcSampo,Professeurdesécoles.

2

Cadrethéoriquedel’intervention

•  Approchesocio-constructivistedel’apprentissage(Piaget,Vygotsky,Bruner…)

•  Approchedidactiqueentreenseignementetapprentissage(Brousseau,Chevallard,Vergnaud,…)

3

Obstacleseterreursdesélèvesengéométrie

Quelquesexemples

4

Obstacles-difficultés

5

Mafalda–Quino)

Lescompétencesspatio-géométriquesàtraverslesévaluationsnationales

exempleàl’entréeduCE2

•  Ellespermettentd’illustrerdeslieuxdecertainesdifficultéspourlesélèves

•  Etd’envisagerdesactivitésspécifiquesdèslecycle2

•  Enliaisonaveclesprogrammesetlesoclecommundesconnaissances.

6

Théopartdel’écoleetprendlaruedesPeupliers.Iltourneàdroiteetpassedevantlaposte.Iltourneàgauche.IlprendlaruedesSapinsetpasseàdroitedelafontaine.Ensuite,ilpassedevantlamairie.Puis,iltourneàdroitedanslaruedesSaules.Ilentredanslebâtimentsituésursagauche.Ilestarrivé.TracelecheminprisparThéo.

EvaluationsnationalesCE2

7

Desdifficultés

•  Résultats51,3%-Traiterlesinformationspourtracerletrajet.-Interventiond’expressionsdécrivantdesrelationsspatiales

(Tourneràdroite,àgauche,«àdroitedelafontaine»,«sursagauche»…)-L’élèvedoitsedécentrer,s’imaginerentraindecirculerdansunespaceinconnu,imaginersaproprerotation,ensemettantàlaplacedecelledeThéo.

8

Exemple2.CE2–2005a.89,81%b.49,18%

Tâcheexigeantecarsollicitantlesélèvesdefaçoninhabituelle.Difficultés:- avoirunereprésentationdecequ’estunrectangle,et le« voir » globalement parsessommetsdanslespointscandidats.-  le rectangle est penché,position inhabituelle quioblige à effectuer unerotation mentale, enangle droit (dont il fautaussi avoir une bonnereprésentation.)

•  a.Relieenrougetroispointsalignés.

•  b.Quatrepointspermettentdetracerunrectangle.Tracelerectangleenvert.

9

Exemple3

Leserreursrepérées:-  Erreur de dénombrement decarreaux pour construire le carrémais respect de la contrainte « àl’intérieurde»

-  Non prise en compte de lacontrainte« lestroisdoiventêtreàl’intérieur d’un seul carré » etconstruction de 3 carrés ou autrespolygonesrenfermantcesfigures,-  Non prise en compte des nœudsduquadrillage,etc.

Surcequadrillage,onafaittroisdessins.Traceuncarréent’aidantduquadrillage.Lestroisdessinsdoiventsetrouveràl’intérieurdececarré.

Réussite:26,4%

CE2

10

Lequadrillage

•  Un autre obstacle est celui de la compréhension del’expression « sur ce quadrillage ». Selon les cas, àl’école, dessiner sur quadrillage peut signifierdifférenteschoses:

-tracerdesfiguresenn’utilisantqueleslignesduquadrillage;

-tracerdesfiguresenjoignantdesnœudsduquadrillage,toutens’autorisantàdessinerendehorsdeslignes;

-tracersurlesupportquadrilléennetenantpascompteduquadrillage.

11

Exemple4-Aucycle3etaucollège

Danslafigure,ABCestuntrianglerectangleavecBC=10cm,AB=8cm.ACDEestuncarréavecCD=6cm.Quelleestlelongueurdusegment[AC]?

réponses 10ans 12ans 14ans

Correcte-utilisationdepropriétés

36,4% 71,8% 66,9%

Correcte-utilisationd’unthéorème

---------- ------- 18,5%

Fausse–mesureàlarègle

8,4% 2,1% -------

Fausse–opérationsarithmétiques

6% 4,8% 2,4%

12

Analyse

•  Pourréussir,lesélèvesdoivent:-  (a)identifier,danslafigureprésentée,lessous-figuresducarréetdutrianglerectangle,

-  (b)«voir»quelesegmentinconnu[AC]estl'undescôtésducarréet

-  (c)serappeleretappliquerlapropriétédescôtéségauxdansuncarré. (Gagatsis,INRP,2010)

13

Problème2

Surcedessinàmainlevée,onareprésentéunrectangleABCDetuncercledecentreAquipasseparD.Lesmesuresréellessontencentimètres.Cecerclecoupelesegment[AB]aupointE.Trouvelalongueurdusegment[EB.]Expliquetaréponse

réponses 10ans 12ans 14ans

Correcte-utilisationdepropriétés

15,1% 33,3% 51,9%

Fausse-perceptionvisuelle(1)

6,6% 16,5% 9,3%

Fausse–perceptionvisuelle(2)

8,7% 11,1% 9%

Fausse–algorithmes 10,2% 5,4% 0,9%

(Gagatsis,INRP,2010)14

Ex5-LessituationsdecommunicationCM1

FigureA FigureB

LesélèvessontpargroupesdedeuxAetBéloignés.Chaqueélèved’ungroupereçoitlamêmefigure(AouB).Illadécritpourquesonpartenairedel’autregroupepuisselaconstruiresansl’avoirvue.

15

Desquestionsd’élèves

•  «Commentfairepourdireà«L»quelecarrén’estpasdroit?»

•  «Commentças’appelleça(enpointantlediamètre)?Jenem’enrappelleplus».

•  «Jen’arrivepasàdécrirecetteéquerre»

16

(Extraitsdetravauxd’unestagiaireM2)

L’élèveJdécrit,Lconstruit

17

CdécritetFconstruit

18

PdécritetMconstruit

19

20

Conclusionprovisoire•  Les connaissances que doivent mobiliser les élèves

s’effectuentdansl’espacedelafeuilledepapier.•  Or,ellessupposentdescompétencesspatialesnonprises

encompteparlesprogrammesavant2002.•  Depuis les programmes 2002, l’accent est mis sur la

nécessité de travailler les concepts spatiaux etgéométriques en prenant en compte les résultats de larecherche.

•  Par ailleurs des élèves à la fin de l’école primairecontinuentàconcevoir lagéométriecommeportantsurdes objets matériels ou de simples dessins plutôt quecomme sur des objets théoriques avec des propriétésspécifiques.(M.-H.Salin)

21

Unpointd’ancrage:lesprogrammesetquelquesrésultatsissusdela

recherche

22

ExtraitsdesprogrammesCycle2 Cycle3

«lesélèvesacquièrentàlafoisdesconnaissancesspatialescommel’orientationetlerepéragedansl’espaceetdesconnaissancesgéométriquessurlessolidesetsurlesfiguresplanes.»«Lescompétencesetconnaissancesattenduesenfindecycleseconstruisentàpartirdemanipulationsetdeproblèmesconcrets…»

lesactivitéspermettentauxélèvesdepasserprogressivementd'unegéométrieoùlesobjets(lecarré,ladroite,lecube,etc.)etleurspropriétéssontessentiellementcontrôlésparlaperceptionàunegéométrieoùlerecoursàdesinstrumentsdevientdéterminant,pourallerensuiteversunegéométriedontlavalidations’appuiesurleraisonnementetl’argumentation.

23

Lesdifférentstypesd’espace(Galvez,Brousseau,1983)

•  Lemicro-espaceou«espacedesinteractionsliéesàlamanipulationdespetitsobjets»

•  Leméso-espaceou«espacedesdéplacementsdusujetdansledomainecontrôléparlavue»,

•  Lemacro-espaceou«espaceaccessibleuniquementàdesvisionspartielles»(n’intervientguèreàl’école)

24

Lesrapportsentreconnaissancesspatialesetconnaissancesgéométriques

(M.-H.Salin)

•  leurgenèses’effectuedifféremment.•  cesontlesproblèmesspatiauxquiontdonnénaissanceàlagéométrie.

•  Les connaissances géométriques sont desoutils pour la résolution des problèmesspatiaux.

25

Géométriesnonaxiomatiques

Typedegéométrie

GéométrieconcrèteG0

Géométriespatio-graphiqueG1

Objets physiques Physiquesetgraphiques(dessins)

Validation Perceptionglobale Perceptioninstrumentée

Cycle Cycle1 Cycle2,cycle3

Plusieursniveaux,plusieursgéométries- Selonlanaturedesobjets:objetsphysiques,dessins,figures- Selonlesmodesdevalidation:perceptionglobale,instrumentée,ouraisonnement- Selonlelangageutilisé

(Houdement,Kuzniak1999)

26

Géométriesaxiomatiques

Typedegéométrie

Géométrieproto-axiomatiqueG1

GéométrieaxiomatiqueG2

Objets Théoriques(figures) théoriques

Validation Raisonnementdéductif Perceptioninstrumentée

Cycle (Cycle3),collège Collège,lycée,université

27

Deuxaspectsàprendreencompte

•  Deuxaspectsdoiventêtretravaillésprogressivement.

-Unegéométriepragmatiquedufaire,del’actionoùlaprécisiondestracésestimportantecarlavalidationsefaitaveclesinstruments.

-Unegéométrieausensmathématiquequiconsisteàréfléchirsurlespropriétésdesobjets,àmettreenœuvreleraisonnementdéductif.

28

Dumésoespaceaumicro-espaceExemplesdesituations

29

- Lerepéragedansl’espace- Lesrelationsgéométriques

Lerepéragedansl’espace

Avantdetravaillersurunefeuilledepapier,ilestimportantdetravaillerdansleméso-espace,cequipermetaussidemettreenplacelelangagespatial.Communiqueraveclesautresengendrel’utilisationd’unvocabulairespécifique.Àlafind’uneactivité,leprofesseurfaitdécrireparlesélèveslasituationvécue.Progressivement,lesélèvesdevrontanticiperleursactionsavantdeleseffectuerpourvaliderleursprévisions.Cesactivitéscontribuentàlastructurationdel’espacequifaitégalementl’objetd’untravaildansd’autresdisciplines.

30

DèsleCP

•  Aiderlesélèvesàlamaitrisedel’espaceàl’aidedejeux(«Jacquesadit»,«oùestmaplace?»...)

•  Passerdel’espacevécuàl’espacereprésenté

31

Phase1-Revoirsadroiteetsagauche-Jeude“Jacquesadit”

(OpérationMaths,Hatier2019)

Phase2:jeu«oùestmaplace?»-Passerdurepérageparrapportàsoiaurepérageparrapportàquelqu’und’autre:Etape1-Unoudeuxélèvesdécriventlapositiondeleurplacedanslaclasseenfonctiondeleursvoisins.Exemple:«ÀmadroitesetrouveX,àmagaucheY,jesuisentreXetY;devantmoisetrouveZ,derrièremoisetrouveT».Etape2:Décrirelapositiond’unélèvesansdirelequel.Lesélèvesdoiventdevinerl’élèvedontils’agit.

32

Phase3-Passerdel’espaceauplan

Passerdurepérageparrapportàsoi,aurepérageparrapportàquelqu’und’autre(duméso-espaceaumicro-espace)

Projeterl’illustrationdel’étapeLesélèvesdoiventrepérer,surl’image,ladroiteetlagauchedepersonnagesdessinéssoitdedos(ilestalorsencorepossibledes’identifierfacilementaupersonnage),soitdeface,cequidemandeunecertainedécentration.

33

Autressituations

•  Positionsrelatives(devant,derrière,àsadroite,àsagauche,sur,sous,entre…)

•  quadrillages:coderdesdéplacements(jeudesobjetscachés)

34

Etape1-Jeudutrésor:fairetrouverunobjetdelaclasseendécrivantsapositionparrapportàd’autresobjetsoupersonnes.

Etape2–fichierEncoreprésentenCE1

(OpérationMathsCPHatier2019)

35

JeudesobjetscachésdansunquadrillagePhase1-Surlesol,unquadrillage4x4(auminimum).8potsdeyaourtretournés,4jetonsàplacersous4pots.Ungroupeémetteurrédigeunmessagepourungrouperécepteurquidoitdécoderlemessageetretrouverlesjetons.-Miseenplacedelanécessitéderepèresetd’uncodededéplacement→→↑↓etdestermesassociés.

Phase2

36

Lesactivitésdansleméso-espace:-Utilespourserepérerdansunquadrillage-Reproduireenrepérantlescasesd’unquadrillage

37

Pourdécriredespointsdevue

38

Reproduireenrepérantlesnoeuds

39

Importancedulangage

40

Lecodagecartésien:repéragedescase(CE1)–Lejeudutouchécoulé

Etape1-JeuréelEtape2:transfertdanslefichieretentrainement

(OpérationMathsCE1–Hatier2017) 41

42

Encoreimportantaucycle3

Gestiondedonnées Proportionnalité

43

Lesrelationsgéométriques

44

Lesrelationsetpropriétésspatio-géométriques

•  Alignementdepoints•  Angledroit,perpendicularité•  Egalitédelongueurs•  Milieu•  Parallélisme•  Axedesymétried’unefigure

45

Entrainerlesélèvesautracéàmainlevée(dèsleCP)

Traceràmainlevéedestraitslesplusdroitspossibles

«Continuelestracésàmainlevée»

46

Intérêtsdutracéàmainlevée

•  Les tracés à main levée participent à laconstruction d’images mentales nécessairespour pouvoir reconnaître et identifierdiverses propriétés (alignements, anglesdroits,égalitésdelongueurs,etc.).

•  Ilsconstituentsouventunepremièreétapeavantlestracésàl’aidederègles.

47

Apprendreàutiliserlarègle

«Relielespointsdelamêmecouleur»(CP)

48

Utiliserlarèglepourtracerdestraits(CP)

49

Uneprogression•  Cesrelationsgéométriquesetlesconceptsfondamentaux

sontétudiés:-D’aborddansl’espaceenvironnant(méso-espace)àpartirdelaperception,aucoursdejeux.-  Puisdansl’espaceplandelafeuilledepapier(micro-espace)

pourquelesélèvesaffinentlesimagesmentalesquileursontassociéesetlesrendentfonctionnelles.

-  Enfin,ilssontutilisésdansl’analyse,lareproductionoulaconstructiondefiguresplanesoudereprésentationsplanesdesolides,

cequicontribueàengagerlesélèvesdansunchangementdepointdevuesurcesobjets.

Nepasoublierlesaspectslangagiersensituation

50

DèsleCE1

•  L’alignementdepointsestunepropriétégéométriquefondamentale,dontlamaîtriseconditionnelacompréhensiondesconceptsdedroite,desegment,demilieuetcontribueàl’analysepertinentedesfiguresgéométriques

51

Lejeude«puissance4»

Remarque:fairevérifierl’alignementàlarègle.Conclure:Onditquelesjetonssont«alignés»quandilssonttouscontreleborddelarègle.

(OpérationMathsCE1-Hatier2017)

52

Remplacerprogressivementlesjetonspardespoints,institutionnaliserlelienentrepointsalignésetpointspouvantêtrereliésàlarègleparuntraitdroit.

53

Notiondedistance-CE2premièreapproche

Lanotiondedistanceestconstitutivedecelledemilieu,c’estunenotionfondamentalequinécessitedeconcevoirlalignedroitecommepluscourtcheminentrecesdeuxpoints.Lemilieud’unsegmentapparaîtainsicommelasolutiongéométriqued’unproblèmeposédansunesituationdejeudansleméso-espace.

54

Lecompaspermetdecomparerdesdistancesentredespointssansavoiràtracerlesegmentcorrespondant.

Quandlesréponses«àvued’oeil»nesuffisentpas,onpeututiliserunebandedepapierouuncompas.

Comparerdesdistances

55

Milieud’unsegment(CE2)

ProblèmeOùplacerlebéretentrelesdeuxéquipespourquelejeusoittoutàfaitéquitable?

•  Etape1:jeudubéretdanslacour.

56

Stratégiespossibles•  1.Pourtracerlesegment:–miseboutàboutdeplusieursrègles,cequinécessitedevérifier

leuralignement;–utilisationd’uneficelletendueetglissementdelarèglesursa

trace;–etc.•  2.Pourrechercherlemilieu:–mesurage;–pliageendeuxdelaficelle;–utilisationdespiedsmisboutàbout;–recherchevisuelleàl’oeil,puisapproximationssuccessives;–etc.

57

Micro-espace:lemilieuenCE2(Aprèslejeudubéret–delacourderécréationàlafeuille)PlacelepointMsurlesegment[AB]àl’endroitoùilfautposerlebéretpourquelejeusoitéquitable.

58

Laprocéduredepliageestàlafoispluspréciseetplusfacileàutiliserpuisqu’ellenedépendnidelamaîtrisedel’instrumentnidelacapacitéàdiviserpardeuxunemesuredelongueurquipeutnepasêtreentière.

L’angledroit,laperpendicularité

59

DèsleCE1

•  AuCE1,lesélèvesapprennentàconstruireunangledroitpardoublepliageetàutilisercetteéquerreenpapierouuneéquerreducommercepourrepérerdesanglesdroitsd’unefigure.

60

CE1-Découvertedel’angledroitdansdespolygones–découvertedutrianglerectangle.

Construireunangledroitpardoublepliageetàutilisercetteéquerreenpapierpourrepérerdesanglesdroitsd’unefigure

61

Apprendreàutiliseruneéquerre(CE1)

Pourconstruireunangledroit,ouvérifiersonexistence.

62

Découverteducodagedel’angledroit(CE2)

Danscettefigure,ilya8anglesdroits.Marque-les

63

Reconnaîtredesdroitesperpendiculairesdesdifficultésrepérées

Evaluationsnationales–6èmeDanscertainscadres,onatracédeuxdroitesperpendiculaires.Donnelesnumérosdecescadres.

réponses Nbd’élèves

2,6(correct) 13

2,4,6 4

4,6 1

4 1

3 1

5 1

1,5 1

1,3,4,5,6 1

Casd’uneclassede23élèves*

*RepèresIREMn°17

43%desélèvesfontdeserreurs(résultatsnationaux) 64

Desconceptionserronées

•  «Deuxlignesquisecoupentformentunangledroit.»

•  «Deuxlignesdontl’uneestsoitverticaleousoithorizontaleformentunangledroit.»

•  Uneligneverticaleestune«perpendiculaire»•  Desdéfinitionslacunairesduesaussiàladifficultédedistinguerdroite,segmentettraitdessiné.

65

Nécessitédeséquences

•  Pourmettreenévidencelesconceptionsdesélèves;

•  Leurpermettrederemettreencauseleursconceptionserronées;

•  Leurpermettrededévelopperunecertaineexpertiseenreconnaissancedel’angledroit,

•  Enrencontrantunediversitédeconfigurations.

66

Unediversitédeconfigurations

Prendreencomptedesvariables:- Figuresouvertesoufermées- Anglesisolésouàisoler- Orientationdel’angle.Lesupportpeutêtreuniouquadrillé.

67

Unediversitédeliens-Laperpendicularitéestliée:

•  auconceptd’angledroit;•  auconceptdedistance:-  distanced’unpointàunedroite•  auconceptdeparallélisme(droitesperpendiculairesàunemêmetroisième)

•  Auconceptdesymétrieaxiale.•  théorèmedePythagoredansuntrianglerectangle(collège)

68

Lanotiondedistanced’unpoint

àunedroite(dèsleCE2)

69

DroitesperpendiculairesEtape1-jeu«1,2,3,soleil»danslacour«Connaissanceenacte»:propriétédepluscourtedistanced’unpointàunedroite.(encoreprésentenCM1ouautreactivitédemêmenature.

ConclureaveclesélèvesLecheminlepluscourtd’unpointàunedroiteestperpendiculaireàladroite.•Pourconstruireunedroiteperpendiculaireàuneautre,ilfaututiliseruneéquerreetunerègle.

1.ComparelalongueurdescheminsdeRose,JulesetNoraavecunebandedepapieroutoncompas.Quelestlecheminlepluscourt?2Liamveutsuivrelecheminlepluscourtpossible.Tracecechemin.Quelinstrumentas-tuutilisé?

70

Undessin Unedescriptionverbale

Lesegment[AH]estperpendiculaireàladroited.AHestlalongueurlapluscourtepourallerdupointAàladroited.

AH=4cm

Uneexpressionsymbolique:

Pourdéfinirdesdroitesparallèlescommedroiteséquidistantes

Lesdroitesd1etd2sontparallèlescarladistancequilessépareesttoujourslamême.

71

Ladistance–unepluralitédefonctionsetdereprésentations

Maisaussi

•  L'ensemble des points situés à une mêmedistance d'une droite (d)est défini par deuxdroites parallèles à (d) situées de part etd'autrede(d).(implicitedanslesactivités).

(CM)

72

Conception3«aestparallèleàb,bestparallèleàc,maisan’estpasparallèleàccarilyabentrelesdeux».

Conception1«Desdroitesparallèlesdoiventavoirlamêmelongueur.»cesdroitesnesontpasparallèles.

Conception2«Cesdroitesnesetouchentpas(surlepapier).Ellesnesontpasparallèles.

Lesdroitesparallèles–quelquesconceptionserronées

73

Obstacleliéàunedéfinitionlacunaire

•  Définitionlacunaire:Lesélèvesontdumalàdistinguerdroite,segmentettraitdessiné;

théorème-élève:«deuxtraitsnonsécantssontparallèles»

74

Exempled’activitédanslacour(CM1)•  Matériel–pargroupe:

–  Unecorde;30jetons–  Unerègleetuneéquerregrandformat;unmètreruban

•  Dessinersurlesoldelacourunelignedroited(entre5et10m).

•  Lesélèvesdoiventplacerleplusvitepossible30jetonstoussituéssituésàlamêmedistancededdansuntempsminuté.

75

(OpérationMaths–CM1-Hatier2016)76

DroitesparallèlesCM1–unifierlesdéfinitionsetdonclesméthodes

Lesdroitesd1etd2sontparallèlesparcequ'ellessonttouteslesdeuxperpendiculairesàladroitea.

Lesdroitesd1etd2sontparallèlesparcequeladistancequilessépareesttoujourslamême.

77

Lasymétrieaxiale

78

Lasymétrieaxiale

DèsleCE1,Aspectstatique(existenced’axesdesymétriedansdiversesfigurespuisrecherchedetelsaxesparpliage,àl’aidedupapiercalqueouendénombrantlescarreauxsurunquadrillage),dansdessituationsmettantenavantlerôledel’anticipationavantlamanipulationetlamiseenoeuvredelapartdesélèvesdeplusieurs«théorèmesenactes».Lesfiguresétudiéesadmettentounondesaxesdesymétriedansdespositionsdiverses.ÀpartirduCE2:L’aspect«dynamique»ou«transformation»:ils’agitdeconstruirelesymétriqued’unefigure.

79

Etape1Manipulation:Pliagesetdécoupages(napperonsetribambelles).

Étape2–lefichier:anticiperl’effetd’undécoupagesurunpapierplié.

QuelleétoileNoraa-t-elleobtenueavecledécoupage1?avecledécoupage2?•Pourvérifier,effectuelesmêmesdécoupagesqueNorasurunpapiercalquepliéendeux.

(dèsleCE1)

80

LasymétriePremièrespropriétés(CE1)

comprendrecommentcorrespondentlesélémentssymétriquesdansundessinouuncoloriagequiaunaxedesymétrie.

81

Compléterunefigureparsymétrie

Utiliserlespropriétésdupapierquadrillépourcompléterundessinouunefigureparsymétrieparrapportàunaxe.(axehorizontalouverticalenCE1)

82

Uneprogression

83

RésoudredesproblèmesReconnaissance,reproduction,

description,constructiondefiguresplanes

84

Aucycle2:Deuxvisionsd’unefigure

•  Lesassemblagesétudiéspeuventêtreconstitués:-depiècesjuxtaposées,cequirendaisél’identificationdesformesutiliséesenvuedelesreproduire.

-  Depiècessuperposées,lareconnaissancedesformesnécessairespourreproduirel’assemblageestplusdifficilecarlesélèvesdoiventperdrel’idéedespiècesdepuzzle(juxtaposition)pourpenserlasuperposition.

-  Lavisionparjuxtapositions’avèreunobstacleaucycle3.

85

Illustration

Visionpuzzle(parjuxtaposition) Visionparsuperposition

Vuecomme Vuecomme

86

AssemblagedesurfacesenCP

•  parjuxtaposition:dansunefigure,onpeutvoirautantdeformesquedecontoursfermés.

•  Parsuperposition:dansunefigureonpeutvoirmoinsdeformesquedecontoursfermés,d’oùréductionimportantedes

formeseffectivementreconnues. AugusteHerbin,Oui,1951

(OpérationMaths-CP–Hatier2019)87

AssemblagesdesurfacesenCP

AugusteHerbin,Oui,1951

Coloriechaqueformecommedansl’oeuvred’AugusteHerbin.Vérifieavectonmatériel

Etape1–ManipulationReconstitutionindividuelledel’œuvreavecdumatérielcartonné.

Etape2–travailsurfichier

88

Tracéàmainlevée•  DèsleCP

•  But:favoriserlaréflexiondel’élèvesurl’activitéavantutilisationdesinstruments

•  Exemple:«Reproduiscerectangleàmainlevée,puisaveclegabaritdetonmatériel»

89

OpérationMathsCE1Hatier2017

Lajuxtapositiondescouleursfaitapparaîtrelesdifférentssegments.

90

Reconnaîtreunefigure

91

«LepetitfrèredeMafalda»Quino–éd.Glenat

92

Lespolygones(CE1)-Manipulation

II.Lespolygones:onpeutlesdécrireparlenombredecôtésetlenombredesegments.

93

Lespolygones,décrireleurspropriétésDèsleCE2,s’entraineràraisonneretàprouveràl’aidedepropriétésetdesinstruments«RosearegroupélespolygonesCetGcarilsontunepropriétécommune.Laquelle?«

94

Lesjeuxdeportrait

•  Situationdecommunication•  Buts:-  aiderlesélèvesàcomprendrequ’unefigureplane(ouunsolide)estcaractériséeparsespropriétés;

-  favoriserlamiseenplaceetl’emploid’unvocabulaireappropriéetàdévelopperdescompétencesenargumentation.

95

Exemples

•  «C’estuntriangle.Ilaunangledroit.C’estlafigure…»

•  «C’estunquadrilatère.Ilaquatreanglesdoitset4cotésdemêmelongueur.C’estlafigure…»

96

Lejeuxde«quiest-ce»

Matériel:uneplanchedefiguresJeuàplusieursRègledujeu:unjoueurprincipal(quipeutêtreleprofesseur)choisitunefiguresansdirelaquelle.Lesautresjoueursluiposentdesquestions.Ilnerépondqueparouiouparnon.Lepremierjoueurquipenseavoirtrouvélasolutionnommelafigure(parunelettre),enjustifiantsaréponse.

97

DèsleCE2

Jeuxquis’enrichissentaufuretàmesureques’ajoutentdespropriétésjusqu’auCM2.

98

Intérêtdujeude«quiest-ce?»•  Ilnécessite:

-d’analyserlesfiguresafind’identifierlespropriétéséventuelles-deposerdesquestionsrelativesàcespropriétés-d’écouterlesquestionsdesautres-d’écouterlesréponsesauxquestions-deserappelerlesquestionsposéesetlesréponsesprécédentes-decombinercesinformationsentreellespourréduirelenombredepossibilités-depenseràunenouvellequestion.

•  Cetteactivitéestdoncaprioricomplexe:analyseinstrumentéedefigures,priseencomptedeplusieursindices,leurmémorisationpourélimineraufuretàmesurelesintrusetdéterminerlafigure.

99

Avecdessolides

100

Delareproduction/restaurationàladescriptiondesfiguresplanes

Àlaconstruction

101

Distinction

•  Restaurationdefigure:ondisposed’unmodèle,c’estreproduireunefiguresuperposableàunefiguredonnéeouàuneéchelledifférente;ondisposedéjàd’unepartiedelafigure.

•  Reproduction:ondisposed’unmodèle,ondoitobtenirunefigurequisoitsuperposableàcemodèleprésente,àlamêmeéchelleounon.

102

Lesupportpapierquadrillé

•  Ilprésentel’avantagededévelopperchezlesélèvesdescompétencesenrepéragedecasesoudenœuds,etl’inconvénientdeprivilégierlesdirectionshorizontalesetverticales,

•  cequirésoutàlaplacedel’élèveleproblèmedestracésdecertainsanglesdroitsetsupprimel’usagedelarèglepourcomparerleslongueursdecertainssegments.

•  Ilestprivilégiéjusqu’enCE2.EnCM,ilestuneaideàl’analyse.

103

CE1Utiliserlespropriétésduquadrillagepourconstruiredespolygonesusuels.

104

Analyserunefigure:2emevoie

•  Lespropriétésgéométriquesconnuesprennentlepassurlesformesvisuellementreconnuespouranalyserunefigure.

•  Lareprésentationvisuelledevientcognitivementsubordonnéeauxinformationsgéométriquesquel’onysuperpose.

105

3emevoie

•  Celledesinstrumentstrèsvariésquipeuventêtreutiliséspourreproduireoupourconstruireunefigure:l’analysedelafiguredépenddesprocéduresdereproductionoudeconstructionquel’instrumentutiliséimpose.

106

DèsleCE1

Repère5anglesdroitssurlemodèle.ComplètelafigureJpourqu’ellesoitunagrandissementdelafiguremodèle.

107

But

«analyser»unefigurecomplexe,c’est-à-direàenrepérerlespropriétéspourpouvoirlareproduiresurpapierunienutilisantlesinstruments.

DèsleCE1,lesreproductionssefontàuneéchelledifférentedumodèlepourbloquerlesprocéduresdereportdelongueursetfocaliserl’attentiondesélèvessurlesalignements,(utilisationdelarègleseule)etunefoisl’angledroitétudié,surlesanglesdroits(utilisationdel’équerreetdelarègle).

108

Lequadrillagepouraiderlesélèvesàanalyserlesfigures(CM)

•  analyser:identifierlesprincipauxélémentsquicomposentlafigure,fairedeshypothèsessurleurspositions,puislescontrôleravecdesinstruments.

Untraitquiaserviàconstruirelafigureestenpointillés,d’autresontétéeffacés.•Cherche-lesetreproduislafiguresurdupapierquadrillé,puissurdupapieruni.Pourcela,construisuncarréde12cmdecôté.•Effacelestraitsdeconstruction(CM2)

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Alignementsutilisables

CM2

110

Pourquoi?

Difficulté:lesélèvesnepensentpasspontanémentàagirsurlafigurepourrepérerlesrelationsentreseséléments.Ilestnécessairedepasserpardesactivitésconsistantàretrouvercequiaétéeffacéetquiaserviàconstruirelafigure:-prolongerdessegments,- Relierdespoints,- tracerdesdiagonales,desmédianes,descercles,etc..- Envuederepérerdesalignements,desmilieux,desanglesdroits….

111

CM1–OpérationMaths

•  ABCDestuncarré.a.VérifiequelepointFestlemilieudusegment[BC]etquelepointGestlemilieudusegment[DC].

b.Àvued’oeil,quelpointdelafigureteparaitalignéavecAetF?

QuelpointdelafigureteparaitalignéavecAetG?

Vérifieavectarègle.c.Traceunefiguresemblableàcelle-cisurpapierquadrillépuissurunpapierunienprenant6cmdecôtépourlecarréABCD.

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Décrireunefigure-suite

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Décriredespolygones–CE1

Etape1-JeuduportraitUnélèvechoisitunefigure,sonpartenaireluiposedesquestionspourdevinerlaquelle.Lepremierélèvenerépondqueparouiouparnon.

Etape2–lefichier

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Dictéesoralesdefigures

«Mafigureestcomposéed’uncarréetd’uncercle,lecentredemoncercleestlecentreducarré;moncerclepasseparlessommetsducarré».

«ConstruireuncarréABCD,tracersesdiagonales[AC]et[BD].EllessecoupentenO.ConstruirelecercledecentreOetderayonOA,effacerlesdiagonales».

Descriptionglobale

Programmedeconstruction

Ou

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Dictéedefigures

Toutcommepourlarésolutiondeproblèmesoraux,lesdictéesoralesdefigurespeuventpermettreauxélèvesd’apprendreàinterpréterunvocabulairespatialetgéométriqueadapté.

Deplus,lesélèvesontàmémoriserlesinformations,anticipersurcertainesconstructions,mobiliserdesimagesmentalespourdéciderdesconclusionspossibles.

Lestextessontcourtsetlesélèvessecentrentplussurletraitementdesrelationsentrelesdonnées.

116

Variables

•  Onpeutexploiterdesvariablesliées:-  àlatâchedel’élèveet-  àlaformedeladescription.

117

Latâchedel’élève

•  Apartirdeladescription,l’élèvepeutavoirà:-  construirelafigureàmainlevéeouauxinstruments,

-  acheveruneconstruction.

118

Laformedeladescription•  ladescriptiondesfigurespeutêtreglobale,oucorrespondreàunprogrammedeconstructiontraditionnel.

•  Unedescriptionglobalepourraitêtre«mafigureestcomposéed’uncarréetd’uncercle,lecentredemoncercleestlecentreducarré;moncerclepasseparlessommetsducarré».

•  Unprogrammedeconstructionclassiquepourraitêtre«construireuncarréABCD,tracersesdiagonales[AC]et[BD].EllessecoupentenO.ConstruirelecercledecentreOetderayonOA.».

119

Lamiseenoeuvre•  Afind’aiderlesélèvesàmémoriserlesétapes,ilestpossibledevarier:

-lacomplexitédesmessages,-  leurlongueur,-  delesrépéter,detraiterpasàpasleseffetsduprogramme.

-  Lafréquencedecesdictéesestunfacteurimportantdansl’acquisitiondescompétencesvisées(anticipation,mémorisation,vocabulaire,…).

120

Lesdictéesoralesdefigures

•  Objectifs:-  apprendreàinterpréterunvocabulairespatialetgéométriqueadapté.

-  mémoriserlesinformations,anticipersurcertainesconstructions,mobiliserdesimagesmentalespourdéciderdesconclusionspossibles.

Lestextessontcourtsetlesélèvessecentrentplussurletraitementdesrelationsentrelesdonnées.

121

Anticiper,basedel’activitémathématique

Ellesuppose:

- d’identifierlesinformationsàgérer,dediscernercellesquiimposentdescontraintessemblablesoudifférentesdesituationsdéjàrencontrées

- seredéfinirleproblèmeàrésoudre(lasituation,lebutàatteindre,lesmoyenspourl’atteindre)

- Anticiperlesactionsàentreprendre- organisercesactionsdemanièrepertinente

Unecertitude:Lafamiliaritéavecunesituationfavorisel’anticipation

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Construireunefigure-verslecycle3

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124

Associerunefigureàsonprogrammedeconstruction,construiredesfiguresàpartirdemessages.(CE2)

Unefigureestdonnée,troismessagessontfournis.Associerlafigureaumessagequiluicorrespond

125

Unmessageestdonné,troisfiguressontfournies.

Unefigureestdonnée,etunprogrammedeconstructionincomplet.Compléterunprogrammedeconstruction.

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Unprogrammedeconstructionestdonnée,unefigurepartiellementconstruiteestfournie.Acheverlaconstruction.

Unprogrammedeconstructionestdonné.Construirelafigure.

Construisuncarrédecôté6cm.SesdiagonalessecoupentenunpointI.TracelecercledecentreIetderayon3cm.Lecercletouche-t-illecarré?.Commentpeux-tuenêtresûr?

Cycle3Voicideuxfiguresdessinéesàmainlevée.Construiscesfiguresenrespectantlesinformations.

Voicideuxfiguresdessinéesàmainlevée.Construislesfiguressurdupapierquadrillépuissurdupapierunienrespectantlesinformations

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Synthèse:desvariables

1.Apartird’unefigure,faireunedescriptionFiguremodèle

décrire

Description

2.Associerfigureetdescription

a.Figuremodèledonnée/Plusieursdescriptions

Trouverladescription

b.Plusieursfigures/Unedescription

Trouverlafigure

3.Construction

Unedescriptionestdonnée

Unefigureestconstruite

Unschémacodéestdonné Unefigureestconstruite

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Conclusion

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Deseffetschezlesélèves

•  Lagéométrie,par:-  lesproblèmesqu’ellepropose,-  lematérieldemanipulationutilisé,-  lespossibilitésd’auto-évaluation,permetauxélèvesdedévelopperdesstratégiesmétacognitives, notamment chez les élèvesendifficulté.

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Expériences,manipulation

•  Lerôledel’expérienceetdelamanipulation,activitésindispensablespour:

-aideràdévelopperdiversmodesdeperceptionsensorielle(kinesthésique,visuelle….)-contribueràl’enrichissementdeconceptsfondamentauxCesactivitéssontfondamentalesetindispensables

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Tâchedifficile,tâchecomplexe

•  Leprogrèscognitifs'appuieraitessentiellementsurlaconfrontationàdesproblèmessuffisammentnouveauxpourqu'ilssoientstimulantsmaisaussisuffisammentvoisinsdesproblèmesdéjàmaîtriséspourqu'ilssoientappréhendables.

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troisdegrésdecompétences,Reyetall(2002)

-Degré1:«Savoirexécuteruneopérationenréponseàunsignal(unequestion,uneconsigne,ouunesituationconnueetidentifiablesansdifficulté,niambiguïté)(procéduredebase.

-Degré2:Possédertouteunegammedecesprocéduresdebaseetsavoir,dansunesituationinédite,choisircellequiconvient.

•  Degré3:Savoirchoisiretcombinercorrectementplusieursprocéduresdebasepourtraiterunesituationnouvelleetcomplexe.

133

Lerôledel’expérienceetdelamanipulation Lesactivitésmotriceset/oumanipulatoires-permettentledéveloppementdediversmodesdeperceptionsensorielle(kinesthésique,visuelle….)-contribuentàl’enrichissementdeconceptsfondamentauxCesactivitéssontfondamentalesetindispensables

Leprocessusd’institutionnalisationConstructionprogressived’unemémoirecommunedesfaitsmathématiquesàretenir

LerôledulangageCesactivitésdoiventêtre reprisesdansdessituationsd’évocationoudeprévisionsansmatériels

Lelienavecd’autreschampsdisciplinairesArtsplastiques,questionnerlemonde 134

Lamanipulation

•  Deuxtypesdeprocessuscognitifsenjeudansunesituationdedécouverteparlamanipulation:exempledesactivitésspatio-géométriques

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ProcessusProcessusvisantàmodifierlesconnaissancesmathématiquesspécifiques

Processusderégulationvisantàmodifierlesconnaissancesgénérales

-raisonnementdécisionsàprendrequiguidentlamanipulation,pourextrairel’informationdel’expérience:émettredeshypothèses,lestester,lesvalideroulesrejeter,déciderdenouvellesmanipulations,conclure.But:faireprogresserlesconnaissancesmathématiques

-contrôlerledéroulementdel’activité-gérersonproprecomportement-garderenmémoireunetracedesesessais,desesprogrès-planifierdesétapes-allerauboutdelatâcheetc.

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