1 La géométrie au cycle 2 et au cycle 3 Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier du GDM (groupe départemental de mathématiques) Lunel 19 mai 2010

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La géométrie au cycle 2 et au cycle

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Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguierdu GDM (groupe départemental de

mathématiques)

Lunel 19 mai 2010

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Le groupe départemental de mathématiques : qui sommes-nous ?

Quelle place pour la résolution de problèmes dans le domaine de la géométrie ?

• « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente

dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. »

Quel rôle de l’expérimentation en géométrie ?

• Expérimenter en manipulant des figures :

plier, assembler, découper, décalquer …

• Expérimenter en vivant des notions mathématiques par son corps : déplacements en ligne droite, s’aligner, position verticale, faire une ronde ...

Des ressources pour enseigner les mathématiques :http://www.ac-montpellier.frhttp://math34.ac-montpellier.fr

Présentation et objectifs de la formation

Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

http://www.ac-montpellier.fr/

http://math34.ac-montpellier.fr/

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1ère activité

• Répondre par écrit à la question suivante

• Identifier les différentes tâches dans le domaine de la géométrie qui sont demandées aux élèves en faisant un inventaire à partir des verbes donnés dans les consignes (exemple : « tracer »).

• Faire également l’inventaire des outils utilisés pour l’enseignement de la géométrie en cycle 2 et en cycle 3.


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Les différentes tâches dans le domainede la géométrie

Les termes du programme de 2008 :Reconnaitre, comparer, classer, nommer, décrire, reproduire, dessiner (avec des instruments ou à main levée), tracer, vérifier, estimer, construire, utiliser (des instruments, du vocabulaire), reporter (une longueur)

Et aussi : Voir, observer, assembler des figures, décomposer des figures, décalquer, représenter, suivre ou élaborer un programme de construction, faire un plan, utiliser un logiciel de géométrie Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34

LUNEL 19/05/2010

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Le matériel

Règle graduée ou non, compas, équerre, papier calque,

papier uni, papier pointé (réseau carré ou triangulaire),

papier quadrillé, gabarit (pour des angles, des longueurs, des

carrés…).

Corde, papier millimétré, guide âne, miroir

Le corps est aussi un outil (idée de verticale quand on est

debout, estimer une longueur en pas…)


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Le rapporteur est Le rapporteur est un instrument un instrument découvert au découvert au

collègecollège


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Un instrument que l’on peut Un instrument que l’on peut utiliser : la « réquerre »utiliser : la « réquerre »


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Dessin de gauche : ces 6 droites sont-elles parallèles ?

Dessin du milieu : ce quadrilatère est-il un rectangle ?

Dessin de droite : ces deux segments sont-ils de la même longueur ?

Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin

http://www.banqoutils.education.gouv.fr


http://www.banqoutils.education.gouv.fr/

9 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Voir, observer :développer un regard géométrique sur un

dessin


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dessin


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dessin

Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin?


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dessinCombien vois-tu de rectangles sur ce dessin?

Il y a 9 rectangles dans cette figure géométrique.


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Avec des carrés...


Voir, observer, reconnaître

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On dispose de 5 carrés parfaitement superposables


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Rechercher tous les polygones que l’on peut obtenir en

juxtaposant les 5 carrés identiques

Contrainte : 2 carrés doivent toujours avoir un côté commun


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Pentaminos

Pentaminos






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Les objectifsIdentifier des figures qui ont ou n’ont pas la même forme et qui sont donc superposables ou non (géométrie

du papier calque)

Classer en fonction de la présence ou non d’axes de symétrie

Classer en fonction du périmètre (12 ou 10 unités, l’unité

étant la longueur d’un côté du carré)

Identifier des sous-figures comme des carrés et des rectangles*

Utiliser les pentaminos pour réaliser des assemblages et former des figures particulières (comme des carrés, des

rectangles ...) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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des rectangles

d’autres formes


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Réaliser des formes superposables en utilisant des pentaminos différents


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et de nombreuses autres situations à découvrir sur :

•

http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/ jeux_mat/textes/pentaminos.htm


http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/textes/pentaminos.htm



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Avec des triangles...

Observer, reconnaître, vérifier, nommer à partir d’une activité de

manipulation



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Rechercher tous les polygones que l’on peut obtenir en

juxtaposant les 2 triangles identiques

Contrainte : 2 triangles doivent être juxtaposés en faisant

coîncider 2 côtés de même longueur



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Combien de figures obtiendrait-on avec 2 triangles équilatéraux ?


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Nature du triangle

Nombre de figures

Objectifs d’apprentissage

Quelconque 6

Rectangle 6

Rectangleisocèle 3

Perpendiculaires et parallèles

Description de polygones avec l’inventaire de leurs

propriétés

Symétrie axiale

Tracés avec différents instruments sur différents

supports

Reproduction de figures

Perception de sous figures dans une figure complexe

Aire et périmètre


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Variantes didactiques

Donner aux élèves la quantité suffisante de triangles identiques pour qu’ils puissent rechercher, puis coller les assemblages

Faire réaliser le contour des figures pour matérialiser les assemblages

Faire reproduire ces figures sur un quadrillage identique à celui figurant sur les modèles

Faire reproduire ces figures sur un quadrillage plus petit que celui figurant sur les modèles

Faire reproduire les figures sur un papier uni (cela nécessite de

reproduire un triangle connaissant les longueurs de ses 3 côtés avec le compas)Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Des situations de formulation


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Nommer, décrire,écrire un programme de

construction.

Situations de formulation

Principe sous-jacent :

Le travail langagier oral et écrit est fondamental dans la construction des apprentissages.

Nous distinguons plusieurs types de travail langagier :

• Les productions langagières demandées par l’enseignant :

« explique comment tu as fait » : demande scolaire classique ;

« prouve que tu as raison » : situation de débat ou d’argumentation, de justification ;

• Les productions langagières nécessitées par la situation-problème :Ces situations sont les plus propices à développer le langage car elles donnent une raison d’être à la production langagière :

Exemple du jeu de la carte d’identité et du jeu du portrait dès le cycle 2 ;

Exemple des programmes de constructions en cycle 3. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Jeu de la carte d’identité

Nommer, décrire,écrire un programme de construction.


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But du jeu : deviner la figure choisie en posant des questions


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Les objectifs

Favoriser une production langagière orale ou écrite

Utiliser un vocabulaire de plus en plus précis Réinvestir, renforcer des notions de repérage

d’objets les uns par rapport aux autres déjà rencontrées : dessus, dessous, entre, au milieu de ...


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Phase 1

Le professeur choisit une figure, les élèves doivent deviner laquelle.

Un élève choisit une figure, les autres doivent deviner laquelle.

But : Apprendre à poser des questions de plus en plus pertinentes.

Se familiariser avec le vocabulaire spécifique lié à l’activité.

Variantes


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Phase 2Une carte par groupe : ==> chaque groupe doit rédiger « la carte d’identité » de la figure qui lui a été confiée.

Les groupes échangent 2 à 2 leur production et doivent identifier la figure décrite dans un ensemble de figures données.


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Phase 3Réunir toutes les cartes d’identité et associer les dessins et les cartes

Phase 4Travail par groupeCréer une nouvelle figure, rédiger sa carte d’identité et demander, à un autre groupe, de dessiner la figure.


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Jeu du portrait

Nommer, décrire, réinvestir les propriétés de figures

géométriques


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Les objectifs

Favoriser une production langagière orale

Réinvestir le vocabulaire introduit lors des séances en classe



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La mise en oeuvre

Chaque élève dispose d’une fiche plastifiée et d’un feutre pour tableau blanc.Une fiche agrandie est à la disposition de la classe.Consignes de jeu : Un élève choisit une figure sans la nommer Les autres doivent tenter de deviner laquelle, en posant des questions mettant en jeu les spécificités de chacune d’entre-elles.L’élève qui a choisi la figure ne répond que par oui ou par non.Des figures seront éliminées au fur et à mesure pour tenter d’identifier celle choisie .



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Les élèves apprennent à devenir de plus en plus précis et de plus en plus performants dans le choix et la formulation des questions.





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Avec des solides...


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«La main dans le sac»


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Matériel

Un sac pas transparent



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Consignes de jeu :

Un élève met la main dans le sac et choisit un objet (figure ou solide) qu’il ne montre pas. Les autres doivent tenter de deviner la nature de l’objet en posant des questionsouils doivent donner le nom de l’objet en prenant en compte les indices donnés par l’élève.


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Variante

Jouer par binôme (ou équipe) : l’un a le sac, l’autre les formes visibles devant lui mais non visibles par celui qui a le sac.

Celui qui a le sac doit tenter de trouver la forme dans son sac en suivant les indications de l’autre élève.

ou inversement

Celui qui a le sac, donne les indications et son partenaire doit retrouver la forme parmi celles qu’il a devant lui.


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Des situations de formulationCet exercice a été posé à plusieurs reprises dans les évaluations nationales de début de 6e.

Celui qui est proposé a été donné en 2000.

Écrire votre réponse personnelle à cette question avec vos connaissances d’adulte sans chercher à vous mettre dans le rôle d’un élève.


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Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de

2,2 de diamètre.

Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle

de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm.

Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut

à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre.

Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le

sommet de droite du haut doit être au centre du cercle.

Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette

droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur.

Des situations de formulationAnalyse de productions d’élèves de début de 6e


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Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de

diamètre.

Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite

tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm.

Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite

du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre.

Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de

droite du haut doit être au centre du cercle.

Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme

un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur.

Dire : « un carré de 5,5 cm de côté » est-ce si difficile ?

Pourquoi ce type d’erreur ? Quelle conception exprime-t-elle ?


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Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de

2,2 de diamètre.



Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut

à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre.



Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette

droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur.

Pourquoi ce type d’erreur ? Quelle conception exprime-t-elle ?



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La clé des maths CE1 Belin 2009

Cap Maths CE2 Hatier 2007

Des pratiques enseignantes vues à travers des manuels pour expliquer la logique des erreurs précédentes


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Des situations de formulationMildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de

2,2 de diamètre.



Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en

haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre.



Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2.

Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur.

L’orientation doit-elle être un critère à retenir pour construire la figure ?

Les instruments à utiliser doivent-ils être précisés ?Un terme du vocabulaire géométrique méconnu : sommet.


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Des situations de formulationDes critères à enseigner aux élèves pour élaborer un texte qui est un

texte de programme de construction géométrique : L’orientation du dessin ne doit pas être prise en compte (penser que c’est

le papier calque qui validera la construction) ;

Les instruments ne doivent pas être précisés ;

Les termes mathématiques les plus précis possibles doivent être utilisés ;

Toutes les informations nécessaires doivent être données, rien ne doit être deviné (un cercle est défini par un centre et un rayon, ou un centre et un diamètre) ;

Ce texte écrit en français respecte évidemment les règles d’orthographe et de grammaire de la discipline du français.

Prise de conscience pour le professeur : Plusieurs programmes de construction sont en général possibles ;

La figure donnée aux élèves doit être très simple, ce qui ne l’empêche pas d’être riche pour développer des connaissances géométriques.

Prolongation de ce type de travail : faire rédiger le programme de construction en utilisant le moins de mots possibles


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Synthèse relative aux situations présentées

Les notions rencontrées :

Figures de même forme, ou figures superposables : « la géométrie du papier calque » ;Angles droits, et angles qui ne sont pas droits !Droites parallèles, ou bien perpendiculaires ;Figure possédant un axe de symétrie ;Notion d’aire (ou quantité de surface) et de périmètre (longueur du pourtour de la figure) ;Langage spécifique des mathématiques : Nom des figures usuelles ; Vocabulaire de description : sommet, côté, diagonale, angle droit,

côtés parallèles, milieu, cercle, centre, rayon …. Expressions langagières spécifiques des mathématiques :

« un carré de 5,5cm de côté »Décomposition d’une figure en sous-figures et composition d’une figure complexe à partir de figures simples.

Repérage des verbes d’action des différentes tâches géométriques :

Observer, vérifier, assembler, décomposer, reconnaitre, tracer, décrire, nommer, écrire ou interpréter un programme de construction.Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34

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Autres types d’activités géométriques

Travailler la notion d’alignement

Reproduire

Trier et classer


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Alignement


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Une situation-problème dont l’objectif d’apprentissage est bien

caché aux élèves !(situation proposée par le groupe IREM premier degré)

Consigne : En utilisant les 8 points, tracer le poisson uniquement avec la règle sans utiliser de mesures (la règle ne sert qu’à tracer des traits droits)


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L’alignement : un outil de résolution du problème des huit points.


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Reproduire


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Reproduire à partir du cycle 2Évaluations nationales CE2


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Reproduire à partir du cycle 2

Évaluations nationales CE2


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Reproduire en cycle 3


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Reproduire en cycle 3


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Reproduire

Reproduire un dessin en faisant varier certaines contraintes :

La reproduction est de la même dimension (échelle égale à 1) ou pas ;

Elle a la même orientation dans la feuille ou pas ;

Tous les instruments de géométrie sont autorisés ou pas ;

Le support de la reproduction est un papier uni, quadrillé, à réseau pointé, c’est un écran d’ordinateur ;

Le dessin à reproduire est réalisé ou non à main levée ;

La reproduction est une déformation du dessin original (ce n’est ni un agrandissement ni une réduction)


Documents

1 La géométrie au cycle 2 et au cycle 3 Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier du GDM (groupe départemental de mathématiques) Lunel 19 mai 2010