Fonctions Reglées

Points de discontinuite dune fonction a` variation bornee

Soit f : I = [a, b] intervalle compact

.

Definition 1 f est a` variation bornee si sa variation totale

V (f) = supt1

2 o f est reglee si ses points de discontinuite sont tous de premie`re espe`ce.2

3 o f est en escalier sil existe une partition finie de I en sous-intervalles (eventuel-lement reduits a` un point) sur chacun desquels f est constante.

Proposition 8 ([Cho69, p. 148]) Si f est a` variation bornee, elle estreglee.

Demonstration Dapre`s le lemme de Jordan, f est la difference g h de deuxfonctions croissantes. Les limites g(x) = supyx g(y) ex-istent toujours (et leur analogue pour h), donc les points de discontinuite de g etceux de h sont de premie`re espe`ce. Si x est un point de discontinuite de f , il estun point de discontinuite de g, de h, ou des deux ; dans les trois cas, les limitesf(x) = g(x) h(x) et f(x+) = g(x+) h(x+) existent donc x est un point dediscontinuite de premie`re espe`ce de f .

Lemme 9 Lensemble des points de discontinuite de premie`re espe`ce dunefonction f : I intervalle

est denombrable.

(Ce lemme ne concerne donc pas seulement les fonctions a` variation bornee, nimeme les fonctions reglees.)

Demonstration Nous allons discretiser les niveaux possibles de discontinuite. Rap-pelons que loscillation de f en un point x I est

(f, x) = lim supyx inclus

f(y) lim infyx inclus

f(y) [,+],

ou`, contrairement a` notre habitude, les limites superieure et inferieure sont prisesau point x inclus. Ainsi x est un point de continuite de f si et seulement si (f, x) =0.

Soit

Dn = {x I discontinuite de f de premie`re espe`ce telle que (f, x) 1/n}.

Lensemble des points de discontinuite de premie`re espe`ce de f est n1Dn, aug-mente eventuellement des deux extremites de I si elles sont finies et si f y estdiscontinue (mais nous ne nous soucierons pas de ces extremites, qui ne peuventde toute facon pas changer le caracte`re denombrable ou pas du nombre de pointsde discontinuite de premie`re espe`ce). Montrons que chaque Dn est denombrable.

Nous allons montrer que Dn na que des points isoles. En effet, soit x un pointdaccumulation de Dn : x est limite dune suite (xk) de points distincts deux a` deuxde Dn. Quitte a` extraire une sous-suite, on peut supposer que (xk) est monotone,et par exemple decroissante. Par definition de Dn,

lim supyxk inclus

f(y) lim infyxk inclus

f(y) 1/n;

2On montre aussi quune fonction est reglee si et seulement si elle est la limite uniformedune suite de fonctions en escalier.

2

donc, commelim inf

klim sup

yxk inclusf(y) lim sup

x+ (exclu)f

etlim inf

klim inf

yxk inclusf(y) lim inf

x+ (exclu)f,

par passage a` la limite inferieure quand k tend vers linfini, on obtient

lim supx+ (exclu)

f lim infx+ (exclu)

f 1/n,

donc f(x+) ne peut pas exister, donc x / Dn. (Ceci montre quun point daccumu-lation de Dn est un point de discontinuite de deuxie`me espe`ce.) Lensemble Dn,nayant que des points isoles, est denombrable (et meme fini si I est compact) ;donc Dn est denombrable.

Corollaire 10 Si f est a` variation bornee, lensemble de ses points de discontinuiteest denombrable.

Reciproquement, lexemple suivant montre que toute partie denombrable de I peutetre realisee comme ensemble des points de discontinuite dune fonction monotonef definie sur I.

Exemple 11 ([Cho69, p. 149]) Si (an) est une suite dense dans [0, 1],n est

une serie a` termes > 0 et de somme egale a` 1 et

f(x) =

an

Bibliographie

[Cho69] Gustave Choquet. Cours de Topologie. Deuxie`me edition (2000). Dunod, 1969.

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