2 o f est reglee si ses points de discontinuite sont tous de
premie`re espe`ce.2
3 o f est en escalier sil existe une partition finie de I en
sous-intervalles (eventuel-lement reduits a` un point) sur chacun
desquels f est constante.
Proposition 8 ([Cho69, p. 148]) Si f est a` variation bornee,
elle estreglee.
Demonstration Dapre`s le lemme de Jordan, f est la difference g
h de deuxfonctions croissantes. Les limites g(x) = supyx g(y)
ex-istent toujours (et leur analogue pour h), donc les points de
discontinuite de g etceux de h sont de premie`re espe`ce. Si x est
un point de discontinuite de f , il estun point de discontinuite de
g, de h, ou des deux ; dans les trois cas, les limitesf(x) = g(x)
h(x) et f(x+) = g(x+) h(x+) existent donc x est un point
dediscontinuite de premie`re espe`ce de f .
Lemme 9 Lensemble des points de discontinuite de premie`re
espe`ce dunefonction f : I intervalle
est denombrable.
(Ce lemme ne concerne donc pas seulement les fonctions a`
variation bornee, nimeme les fonctions reglees.)
Demonstration Nous allons discretiser les niveaux possibles de
discontinuite. Rap-pelons que loscillation de f en un point x I
est
(f, x) = lim supyx inclus
f(y) lim infyx inclus
f(y) [,+],
ou`, contrairement a` notre habitude, les limites superieure et
inferieure sont prisesau point x inclus. Ainsi x est un point de
continuite de f si et seulement si (f, x) =0.
Soit
Dn = {x I discontinuite de f de premie`re espe`ce telle que (f,
x) 1/n}.
Lensemble des points de discontinuite de premie`re espe`ce de f
est n1Dn, aug-mente eventuellement des deux extremites de I si
elles sont finies et si f y estdiscontinue (mais nous ne nous
soucierons pas de ces extremites, qui ne peuventde toute facon pas
changer le caracte`re denombrable ou pas du nombre de pointsde
discontinuite de premie`re espe`ce). Montrons que chaque Dn est
denombrable.
Nous allons montrer que Dn na que des points isoles. En effet,
soit x un pointdaccumulation de Dn : x est limite dune suite (xk)
de points distincts deux a` deuxde Dn. Quitte a` extraire une
sous-suite, on peut supposer que (xk) est monotone,et par exemple
decroissante. Par definition de Dn,
lim supyxk inclus
f(y) lim infyxk inclus
f(y) 1/n;
2On montre aussi quune fonction est reglee si et seulement si
elle est la limite uniformedune suite de fonctions en escalier.
2
donc, commelim inf
klim sup
yxk inclusf(y) lim sup
x+ (exclu)f
etlim inf
klim inf
yxk inclusf(y) lim inf
x+ (exclu)f,
par passage a` la limite inferieure quand k tend vers linfini,
on obtient
lim supx+ (exclu)
f lim infx+ (exclu)
f 1/n,
donc f(x+) ne peut pas exister, donc x / Dn. (Ceci montre quun
point daccumu-lation de Dn est un point de discontinuite de
deuxie`me espe`ce.) Lensemble Dn,nayant que des points isoles, est
denombrable (et meme fini si I est compact) ;donc Dn est
denombrable.
Corollaire 10 Si f est a` variation bornee, lensemble de ses
points de discontinuiteest denombrable.
Reciproquement, lexemple suivant montre que toute partie
denombrable de I peutetre realisee comme ensemble des points de
discontinuite dune fonction monotonef definie sur I.
Exemple 11 ([Cho69, p. 149]) Si (an) est une suite dense dans
[0, 1],n est
une serie a` termes > 0 et de somme egale a` 1 et
f(x) =
an
