Géométrie 2 Les vecteurs

Géométrie 2Les vecteurs

1 – Vecteurs2 – Coordonnées de vecteurs3 – Somme de deux vecteurs4 – Multiplication d’un vecteur par un

réel5 – Vecteurs colinéaires

Comment passer d’une figure à l’autre ?

B

A

AB

On dira que la figure est l’image de la figure

par la translation de vecteur AB

Un vecteur se caractérise par :

B

A

• sa direction• son sens, de A vers B• sa norme, la longueur AB

AB

Même direction Même sens Même norme

Que dire des vecteurs suivants ?

u

t

s

r

v

u r t u t u s

Cahier de cours …

À noter …

1 - VecteurUn vecteur se caractérise par :

• sa direction• son sens, de A vers B• sa norme, la longueur AB

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens, même norme.

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens, même norme.

Notation pour la norme :

Exemples :

A

B

u;u

22222222222222AB AB

ont même direction, même sensu22222222222222

AB et

1,5 1,5u 22222222222222AB AB

mais pas la même norme

C

u 22222222222222ACEn revanche,

Et222222222222222222222222222222222222222222CC =BB = 0

est appelé vecteur nul

AB

On dit que est un représentant du vecteur

22222222222222AC

u

(repère quelconque)

2 - Coordonnées d’un Vecteur

O I

J

A

B

+ 3

2

-

M

2+

C

2

3

2

3

AB

AC

O I

J

M

N

- 4

- 3

- 1

R

2

S

1

4

2

3

MN

RS

O I

J

E F

G

H

0

4EF

3

0GH

O I

J

L

OL

OKK

-1

3

1

4

3

1

41

+4

+1

Cahier de cours …

À noter …

OM

41

O I

JM1

4

+4+1

ru

Dans un repère (O,I,J), les coordonnées d’un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que u = OM

2 – Coordonnées d’un vecteur

A

B

C

D

3

2

1

4

0

3

CD

EFO I

J

EF

AB

+4+1

+2

-3

-3

Exemples :

Calcul des coordonnéesD’un vecteur

O I

JB

MA

xAxB

yA

yB

O I

JB

MA

xAxB

yA

yB

AB xB - xA

y A -

y B

xB - xAyB - yASigne ?

Signe ?

Cahier de cours …

À noter …

yB - yA

xB - xAAB

y B -

y A

A

O I

J

B

xB - xA

xA xB

yB

yA

Calcul des coordonnées d’un vecteur :

Si A(xA;yA)

et B(xB;yB)

Alors

(repère quelconque)

3 – Somme de deux vecteurs

Une translation suivie d’une autre …

B

A AB

C

BCAC

AB BC AC+ =

Cahier de cours …

À noter …

La somme de 2 vecteurs u et v est un vecteur, noté u + v ,

obtenu en disposant bout à bout les vecteurs u et v

La somme de 2 vecteurs u et v est un vecteur, noté u + v ,

obtenu en disposant bout à bout les vecteurs u et v

AB BC AC+ =

C

BA

u + vv

u

Propriétés :

• u + v = v + u

• u + 0 = u

• (u + v) + w = u + (v + w)

Relation de Chasles

Si u et v alors u + v

a

b

a '

b '

a a '

b b '

D

BA

u + vv

u

C

Règle du parallélogramme :

Etant donné deux représentants AB de u et AC de v

La somme u + v est le vecteur AD tel que

ABDC soit un parallélogramme

(à noter … cahier de cours)

4 – Multiplication d’un vecteur par un réel

Soit u et k un réel, le vecteur k u est le vecteur de coordonnées

a

b

k a

k b

Exemple : 2u r

u

tr

4

2

2

1

8

4

A B

AB BA+ = 0Propriété : donc AB BA= -

2t u 4t r

(à noter … cahier de cours)

5 – Vecteurs colinéaires

Exemple :

u v

Soit u et v deux vecteurs, s’il existe un réel k tel que u = k v ,

on dit que les vecteurs u et v sont colinéaires.

2u v

Les deux vecteurs sont colinéaires

DC

BA

Propriétés:

et colinéaires

signifie que (AB) // (CD)

A BC et colinéaires

signifie que A, B, C sont alignés