Gradient d’une fonction

Gradient d’une fonctionGradient d’une fonctionGradient d’une fonctionGradient d’une fonction

GénéralitésGénéralités

La notion de gradient est d’un usage courant : on parle du gradient de température, gradient de concentration...

En électromagnétisme on effectue souvent des calculs de variations de grandeurs scalaires ou vectorielles.

La variation par rapport à x d’une fonction à plusieurs variables est obtenue en calculant la dérivée par rapport à x de cette fonction en considérant y et z comme des constantes ; on parle alors de dérivée partielle

)z,y,x(fx

La variation d’une fonction de plusieurs variables qui résulterait de petites variations simultanées des variables x,y et z est la somme des dérivées partielles

dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs

)dz,dy,dx(dM

z

f,

y

f,

x

f

le vecteur déplacement

un vecteur de coordonnées

dMfgraddf .fgrad

Ce vecteur est– confondu avec l’opérateur dérivée partielle– appelé gradient de la fonction f(x,y,z)

– noté

'c.c'b.b'a.a'V.V)'c,'b,'a('V

)c,b,a(V

dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

La variation de la fonction f(x,y,z) s ’écrit

Produit scalaire de deux vecteurs

Cet opérateur vectoriel n’est qu’un outil mathématique destiné à rendre compte

des réalités simples et concrètes.

z

f,

y

f,

x

ffgrad

f constante

dMdM.fgraddf

0df

Soit un déplacement dM sur la surface f=constante

dM.fgrad0

fsufacelaàfgrad

fgrad

M

DirectionDirection

Caractéristiques du vecteur gradientCaractéristiques du vecteur gradient

0

Soit un déplacement dM orthogonal à la surface f dans le sens f vers f ’ > f

dMquesensmêmefgradf constantef ’constante > f

dM

croissantfdesensledansdirigéestfgrad

fgrad

0df

dM.fgraddf

SensSens

Caractéristiques Caractéristiques du vecteurdu vecteur

normal à la surface iso-f

fgrad

z

f,

y

f,

x

f

f 2 > f1

dirigé dans le sens des f croissants

de coordonnées cartésiennes

fgrad

f1 constante

)z

,

.r

Système de coordonnéesSystème de coordonnées

cylindriquescylindriques(r, , z)

0

r

M

z

x

y

z

cartésiennescartésiennes(x, y, z)

Coordonnées

sphériquessphériques

0

M

(r, (r, , , ))

0

M

r

Vecteur déplacement

(dx, dy, dz)

dxdy

dzr.ddr

dzd

(dr, rd, dz)

Vecteur déplacement Vecteur déplacement

r.sin.d

r.ddr

d

d

(dr, rSin(dr, rSin.d.d, r.d, r.d))

Composantes de l ’opérateur gradient

z,

y,

x,

r(

r,

sin.r,

r

RemarquesRemarques

grad Opérateur : Nabla

Autre notation

Opérateur gradient

opérateur vectoriel agissant

grad

Fonction scalaire Fonction vectorielle

fgrad

V.grad Vgrad

divergence rotationnel

f

V. V

Gradient d ’une fonctionGradient d ’une fonction

La variation d’une fonction de plusieurs variables dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

Le vecteur gradient est

– confondu avec l’opérateur dérivée partielle

– perpendiculaire à la surface f constante

– dirigé dans le sens des f croissants

fgrad fou

z

f,

y

f,

x

f

dM.fgraddf

Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs

gradient f déplacement

– noté

ExerciceExercice

En coordonnées cartésiennes

calculer

r

1grad

2

1222 zyxr

2

1222 zyx

xr

1

x

r

1grad

r

1

z

r

1

y

r

1

x

de la même façon 2

3222 zyxy

r

1

y

2

3222 zyxz

r

1

z

2

3222 zyxx

2

1

0

M

z

r

x

y

(un) ’=n.un-1.u ’

222 zyx 2

3

)x2(

suitesuite

2

3222 zyxy

r

1

y

2

3222 zyxz

r

1

z

r

1grad

3r

r

r

1grad

2

3222 zyxx

r

1

x

kr

1

zj

r

1

yi

r

1

xr

1grad

r

1grad

.r

kzyxz 2

3222

izyxx 2

3222

jzyxy 2

3222

kzjyix

2

3222 zyx.

r 2r

2

32r

2

32r

r

3r

r

Théorème du gradientThéorème du gradient

2

1

dM.fgrad2

1

df

La circulation d ’un tel vecteur

est indépendante du chemin suivi ne dépend que du point de départ et d ’arrivée

si la boucle est fermée, la circulation est nulle

12 ff

dMfgraddf .Si un vecteur est représentable comme le gradient d’une fonction scalaire f

L’intégrale d’un vecteur le long d’un chemin est appelée circulation du vecteur

Potentiel électriquePotentiel électrique

ur

q

4

1E

20

Une charge électrique q

30 r

r

4

q

r

1grad

4

q

0

r4

qgrad

0

r

r

r

1

4

q2

0

VgradE

avecavecr4

qV

0

V est appelé potentiel électrique créé par la charge q à la distance r de la charge

q

MM

rruu

u.rr

3r

r

r

1grad

r

ru

créé en un point M à la distance r de la charge un champ électrique

V est une fonction scalaire

RAPPELRAPPELUne charge électrique q créé en un point M à la distance r un champ électrique

VgradE r4

qV

0

q

MM

rruu

u.rr

r

ru

rr

q

.4

1E

31

0

Le potentiel électrique créé en M par la charge q s ’écrit

Opérateur gradient

fonction scalaire

Application du théorème du gradientApplication du théorème du gradient

VgradE

si la courbe est ferméesi la courbe est fermée

AB VV

B

A

dl.E

B

A

dl.Vgrad

BA VV

0dl.E

B

A

dV

B

A

dl.Vgrad

La tension électrique UAB entre les points A et B est égale à la circulation du champ électrostatique entre ces deux points

ABU

dMfgraddf .

CommentairesCommentaires

L ’unité de potentiel électrique est le Volt

Il est souvent plus aisé de déterminer le potentiel créé par une distribution de charges on calcule le gradient du potentiel le champ par E=-gradV

On ne peut pas mesurer un potentiel V

r4

qV

0

On ne peut que mesurer des différences de potentiel entre deux points

r

1grad Composante radiale de

r

1

r 2r

1 r2

ur

1

r

1grad

r

ru r

rr

13

Le potentiel est défini à une constante près cter4

qV

0

0 0

Commentaires (suite)Commentaires (suite)

Le potentiel créé par une distribution continue de charges

r

dl.

4

1V

0

s0 r

dS.

4

1V

V0 r

dV.

4

1V

Le potentiel créé par une distribution discrète de charges

i i

i

0 r

q

4

1V

distribution linéique distribution surfacique distribution volumique

Surfaces équipotentiellesSurfaces équipotentielles

+

30 r

r

4

qE

r4

qV

0

Les équipotentielles sont perpendiculairesaux lignes de champ

Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants

Ensembles des points pour lesquels V = constante

Ligne de champ

équipotentielle

V1

V2 < V1

-

V1

V2 > V1

VgradE

normal à la surface V constant

dirigé dans le sens des V croissants