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Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
1- coefficient de réflexion
II.4. Lignes fermées sur une charge
Zr
II.4.a. Coefficient de réflexion
x y=l-x
vx
ix
ZcZi
ei
Ligne chargée par une impédance quelconque
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
2- coefficient de réflexion
II.4. Lignes fermées sur une charge
Au niveau de la charge :
Vx = Vx+ + Vx
-
ix = ix+ + ix
-
Vr = Vr+ + Vr
-
ir = ir+ + ir
-
Coefficient de réflexion : j
r
reRo
V
V
R
r
r
i
iR
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
3- adaptation
II.4. Lignes fermées sur une charge
r
r
r
r
i
VZc
i
V
)1(
)1(
Ri
RV
ii
VVZr
i
V
r
r
rr
rr
r
r
)1(
)1(
R
RZcZr
ZcZr
ZcZrR
Avec une ligne donnée, la réflexion dépend uniquement de la charge placée à son extrémité
concept d’adaptation
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
4- point de courant
II.4. Lignes fermées sur une charge
On va maintenant s’intéresser au coefficient de réflexion en x, la charge considérée est alors notée Zx
II.4.b. Réflexion au point de courant
Zx
x
vx
ix
Zi
ei
Rx
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
5- Rx
II.4. Lignes fermées sur une charge
On a
x
x
x
x
x i
i
v
vR Zx
ix
vx
xx
γAei
xBx
γei
xZcxv γAe
xBZcxv γe
lr
γAei yr
xlrx
γeiγeγeii d’où
yrx
γeii
yrv
xv γe
yrv
xv γe
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
6- Rx
II.4. Lignes fermées sur une charge
γy2γy2
r
r
xee
V
VR
ROn obtient alors
jeRoRor
yjyj
xeeeRo
22R
D’où
)2(2R
yjy
xeeRo
module argument
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
7- courant tension
II.4. Lignes fermées sur une charge
ZcZx
ZcZx
x
ROn obtient alors, pour une ligne sans pertes :
II.4.c. Evolution des courants et tensions
On se place dans le cas de pertes négligeables ( #0)
xx jβBejβAex
i xZcxZcv jβBejβAe
x
rr iZrv or d’où
llZcllZr jβBejβAejβBejβAe
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
8- courant tension
II.4. Lignes fermées sur une charge
ll jβ2Rejβ2e
ZcZr
ZcZr
A
B
On a de plus
ainsi :
xlRx jβejβ2ejβeA
xi
xlRxZcv jβejβ2ejβeA
x
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
9- courant tension
II.4. Lignes fermées sur une chargeEn x=0
On obtient
A0
i
xvxvv jβe0
jβe0x
B
0i
ZcAv
0ZcBv
0xixii jβe
0jβe
0x
En x=l lll
jβBejβAex
ii y
riy
ri
xi jβejβe
yrvy
rv
xv jβejβe
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
10- courant tension
II.4. Lignes fermées sur une chargeEn fonction de Vo et Zr :
ll jβeZcZr
ZcZrjβer
vo
v
En fonction de Vr et ir : Rrvvr
rv
rv 1
ZcZr
Zrrv
rv
2
ljZclZr
ljZcyZrox
sincos
sincosvv
yy Zcsinβr
jicosβr
vx
v
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
11- courant tension
II.4. Lignes fermées sur une chargeLigne avec pertes :
xx BeAex
i xZcxZcv BeAe
x
yriy
ri
xi ee
yrvy
rv
xv ee
xshoiZcxch
ov
xv
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
12- Impédance
II.4. Lignes fermées sur une chargeII.4.d. Impédance le long d’une ligne
Zr
x y=l-x
ZcZi
ei
Zxvx
ix
Zi
ei
RxZx est appelée impédance
ramenée à l’abscisse x
Attention à la différence entre Zc et Zx !!!
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
Ligne sans pertes :
13- Impédance
II.4. Lignes fermées sur une charge
yjZZ
yjZZZZx
rc
crc
tan
tan
yZyjZ
yjZyZZ
i
vZx
cr
crc
x
x
cossin
sincos
ljZZ
ljZZZZo
rc
crc
tan
tan
En x=0Impédance
d’entrée d’une ligne
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
On définit l’impédance normalisée :
14- Impédance normalisée
II.4. Lignes fermées sur une charge
βl2j
eR1
βl2jeR1
Zc
Zoo
z
Re
βl2j
eR1
oz
1o
z
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
15- Impédance normalisée
II.4. Lignes fermées sur une charge
Imaginaire
Réelle
Variation de l’impédance d’entrée
-1 +1
O1 O2
A
0
zo
O1A=zo-1O2A=zo+1
Re
βl2j
eR1
oz
1o
z
βl2, 21 AOAO
csteRAO
AORe
2
1
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
16- Impédance normalisée
II.4. Lignes fermées sur une charge
Réelle
-1 +1
O1 O2
0
Périodicité :
l augmente
selfique
capacitif
k2βl2
2l
kL’impédance varie le long de la ligne avec une période :
Imaginaire
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
Ligne avec pertes :
17- Impédance
II.4. Lignes fermées sur une charge
ythZZ
ythZZZZx
rc
crc
2eR1
2eR1
Zc
Zoo
z
csteRe
β2j
e2eR1
oz
1o
z
zo
O2
Spirale logarithmique
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
18- quart d ’onde
II.4. Lignes fermées sur une charge
On va maintenant s’intéresser au comportement
d ’une ligne sans pertes de longueur l=/4 (+k/2)
II.4.e. Ligne quart d’onde
Zr
l=/4
vr
ir
Zi
ei
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
19- quart d ’onde
II.4. Lignes fermées sur une charge
On a alors :24
2
4
ljZZ
ljZZZZo
rc
crc
tan
tan
tand’où
or
r
c
Z
ZZo
2
Si Zr réel pur, alors Zo réel pur
Si Zr capacitif, alors Zo selfique
Si Zr selfique, alors Zo capacitif
Transformateur d’impédance
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
20- quart d ’onde
II.4. Lignes fermées sur une charge
Transformateur quart d’onde
Applications de la ligne quart d’onde
50 75
l=/4
61
Isolateur quart d’onde
/4
75
612
Zo
0
2cZZo
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
21- types d’ondes
II.4. Lignes fermées sur une charge
ZrZi
eiZc
ZcZr
ZcZrR
Zr0 11 R
10 R
Onde progressiveOP
Onde pseudo stationnaireOPS
Onde stationnaireOS
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
22- OP
II.5. Lignes en ondes progressives
Ligne chargée par son impédance caractéristique Zr=Zc
Ligne infiniment longue
Le phénomène d’onde progressive pure apparaît dans deux cas :
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
23- OP
II.5. Lignes en ondes progressivesII.5.a. Avec pertes
Cas où une ligne est fermée sur son impédance caractéristiqueCas que l’on recherche quand on veut transmettre
intégralement l’énergie
tjxxx
eγAeii tjxZc
xv
xv eγAe
xtjxitjxx o
eeeγAei
pas d’onde de retour !!
xtjxvtjxZcxv o
eeeγAe
Uniquement une onde se propageant vers les x>0
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
24- OP
II.5. Lignes en ondes progressives
x
t
T/2
T
Onde dont l’amplitude a une décroissance exponentielle
Période spatiale Période temporelle T
csteZi
vZx c
x
x
Tdt
dxvp
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
25- OP
II.5. Lignes en ondes progressivesExpressions de i et v
Zi
ei
Zc
io
ZcZi
ei io
ioo eZcZi
ZciZcv
xtxZcZi
ex
i
cosei
xtxZcZi
Zcexv i cose
vo
Différence de phase entre v et i
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
26- OP
II.5. Lignes en ondes progressives
oo ii
xtZcZi
ex
i
cosi
xtZcZi
Zcexv i
cos
Amplitudes constantes
II.5.b. Ligne sans pertes
oo vv C
LcsteZ
i
vZx c
x
x purement réel
x
t
T/2
T
Animation
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
27- OP
II.5. Lignes en ondes progressivesII.5.c. Retard de phase
Les lignes en onde progressive n ’introduisent que des pertes dues à l ’atténuation, mais elles induisent également une
retard de phase :
pv
l
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
28- OP
II.5. Lignes en ondes progressives
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
29- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
Ligne terminée par un court-circuit
Ligne terminée par un circuit ouvert
Le phénomène d’onde stationnaire pure apparaît dans trois cas :
Ligne terminée par une charge purement réactive
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
30- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
car Zr=0
II.6.a. Ligne court-circuitée
Zi
ei
C.C.
ir
vr
1
ZcZr
ZcZrR
1R
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
31- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
yrvy
rv
xv jβejβe
or ici
r
r
r
r
i
i
v
vR 1
yrjvyy
rv
xv sin2jβejβe
d’où
rr
rr
ii
vv (revient à vr=0, correspond au CC) rrrr iiii 2
(sans pertes)
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
32- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
2r
iZc
rv
Zc
ri
rv
yriyy
ri
xi cosjβejβe
De même
yrijZc
xv sin
yri
xi cos
tyri
txi coscos
,
tyiZctx
v r sinsin,
2sin
2sin
, ty
ri
txi
Quadrature dans le temps
Quadrature dans l ’espace
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
33- OS
II.6. Lignes en ondes stationnairesPas de terme de propagation
de phase
Onde stationnaire
i
v
y
y
tyri
txi coscos
,
tyiZctx
v r sinsin,
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
34- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
v
i
t
t
Dans le temps :
Pour un x donné, tension et courant varient sinusoïdalement dans le temps
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
35- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
x
onde stationnaire sans pertes
t
T
court-circuit
Dans le temps pour x fixé
animations
tension
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
36- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
|v|
|i|
y 0
cour
t-ci
rcui
t
/4/2/4
Amplitudes max en fonction de y
ventre de tension
noeud de tension
ventre de courant
noeud de courant
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
37- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
y 0
Variation de l’impédance
|Zx|y
rijZc
xv sin
yri
xi cos
yjZci
vxZ
x
x tan
imaginaire pur
/4/2/4
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
38- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
y 0
|Zx|
/4/2/4
selfcapaselfcapa
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
39- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
Une ligne en onde stationnaire (CC, CO ou jX) est un résonateur. La longueur de ligne en onde stationnaire permet alors de choisir le type de
résonance pour une application voulue.
Nombreuses applications en filtrage, antennes et CEM.
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
40- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
car Zr infini
II.6.b. Ligne en circuit ouvert
Zi
ei
C.O.
ir
vr
1
ZcZr
ZcZrR
0
1
R
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
41- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
yrvy
rv
xv jβejβe
r
r
r
r
i
i
v
vR 1
yrvyy
rv
xv cos2jβejβe
d’où
0
2
rrr
rrrr
iii
vvvv
(sans pertes)
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
42- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
Zc
ri
rv
De même
yrv
xv cos
yZcrvj
xi sin
tyZcrv
txi cossin
,
tyvtx
v r sincos,
Quadrature dans le temps
Quadrature dans l ’espace
yrjiy
riy
ri
xi sin2jβejβe
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
43- OS
II.6. Lignes en ondes stationnairesPas de terme de propagation
de phase
Onde stationnaire
i
v
y
y
tyZcrv
txi cossin
,
tyvtx
v r sincos,
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
44- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
v
i
t
t
Dans le temps :
Pour un x donné, tension et courant varient sinusoïdalement dans le temps
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
onde stationnaire sans pertes
circuit ouvert
courant
45- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
animation
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
|v|
|i|
y 0
circ
uit o
uver
t
/4/2/4
Amplitudes max en fonction de y
ventre de tension
ventre de courant
46- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
Variation de l’impédance
βycotanjZci
vxZ
x
x
imaginaire pur
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
47- OS
II.6. Lignes en ondes stationnairesII.6.c. Charge purement réactive
Zi
ei
ir
vr
ZcjX
ZcjXR
X
Rc
RcX
RcXR
atan2
122
22
jX
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
48- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
tyri
txi cos
2sin
2sin
,
tyv
txv r sin
2cos
2cos
,
yXZc
yZcXrj
yjZrZc
yjZcZrZc
xZ
tanβ
tanβ
tanβ
tanβ
imaginaire pur
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
|v|
|i|
y 0
cour
t-ci
rcui
t
/4/2/4
49- OS
II.6. Lignes en ondes stationnaires
circ
uit o
uver
t
jXy 0
|Zx|
jX
animation
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
50- OS
II.7. Ondes pseudo stationnaires
Ligne terminée par une impédance Zr quelconque
Combinaison d’1 onde progressive et d’1 onde stationnaire
v y t V y t V y t
i y tV
Zy t
VZ
y t
p p st st
p
cp
st
cst
( , ) cos cos cos
( , ) cos sin sin
On montre que :
animations 25 75
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
51- OS
II.7. Ondes pseudo stationnairesII.7.a. Coefficient de réflexion
r
rj
r
r
i
ieRo
V
V RQuelques rappels :
ZcZr
ZcZrR
x
x
x
x
x i
i
v
vRCoefficient de réflexion ramené en x :
γy2γy2
r
r
xeeR
Rv
v
)2(2R
yjy
xeeRo
y
x eRo2
R
βy2x
RArg
nul si sans pertes
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
52- OS
II.7. Ondes pseudo stationnairesII.7.b. Détermination graphique
y
xv
xv 2jeRo1
On va chercher à déterminer les variations de v et i le long d ’une ligne (pertes négligeables)
xRxv
xv
xv
xv 1
OT
rv
rv
jeRo1
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
53- OS
II.7. Ondes pseudo stationnairesIm
Re
T
O
rv
rv
1
T’
ri
ri
Ro
rzZc
Zr
ri
rv
rirv
ri
ri
rv
rv
OT
OT
'
Impédance réduite
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
54- OS
II.7. Ondes pseudo stationnairesIm
Re
T
O
rv
rv
1
T’
ri
ri Ro
On parcourt un cercle centré en 1 de diamètre |Ro|
vers la charge
vers le générateur
M
M’
xR
xv
xv
xi
xi
AA’
2y
vx max quand M est en A
vx min quand M est en A’
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
55- OS
II.7. Ondes pseudo stationnaires
vx maximum quand M est en A, ix est alors minimum
En résumé :
vx minimum quand M est en A’, ix est alors maximum
Périodicité : 2y=2 y=
Écart entre un min et un max : /4
ix et vx sont en quadrature de phase
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
56- OS
II.7. Ondes pseudo stationnaires
0
1
Amplitude des oscillations en fonction de y
0 0.20.50.81
valeur de R
tension
courant
0
1
y
y
Enveloppe des signaux :
f(t) toujours sinusoïdale
Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
57- OS
II.7. Ondes pseudo stationnairesII.7.c. Rapport d’ondes stationnaires
On définit le rapport d ’ondes stationnaires (ROS) ou VSWR (Voltage Standing Waves Ratio) comme suit :
R
R
i
i
1
1
min
max
minvmax
vρ
Onde progressive : =1Onde stationnaire : =infini
Onde pseudo stationnaire : plus augmente, plus l’onde est stationnaire
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