Histoire et épistémologie des mathématiques dans les temps modernes De la réforme des maths...

Histoire et épistémologie des Histoire et épistémologie des mathématiques dans les temps modernesmathématiques dans les temps modernes

De la réforme des maths De la réforme des maths modernes aux logiciels de modernes aux logiciels de

géométrie dynamiquegéométrie dynamique

Leysin, le 30 septembre 2010Leysin, le 30 septembre 2010

Les mathématiques, ce sont la partie de la physique où les expériences ne coûtent pas cher.

Vladimir I. Arnold

1983

1969

1. Les années 702. La contre-réforme3. L’expérimental

1. Les années 70a. les originesb. quelques exemples c. les principes

1947. André Weil, dans Les grands courants de la pensée mathématique

En quelques pays d’Europe […] on trouvait, il n’y a pas longtemps encore, un enseignement universitaire, appuyé sur un enseignement secondaire solide, qui assurait à l’apprenti mathématicien à la fois les connaissances spécifiques et la culture générale sans lesquelles rien d’important ne peut être fait.

Que voyons-nous aujourd’hui ? En France, aucune des branches essentielles des mathématiques modernes n’est enseignée, sinon par raccroc, dans nos universités […].

1947. La représentation de l’espace chez l’enfant

L’enseignement de la géométrie ne saurait trop gagner à s’adapter à l’évolution spontanée des notions, et cela d’autant plus que […] cette évolution est beaucoup plus proche de la construction mathématique elle-même, que ne le sont la plupart des manuels soi-disant “ élémentaires ”.

On a dit que la “ théorie des ensembles ” de Cantor devrait s’enseigner à l’école primaire. Nous ne serions pas éloignés d’en penser autant des éléments de la topologie …

1950 : Commission Internationale pour l’Etude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques.

Ewart W. BethGustave ChoquetJean DieudonnéCaleb GattegnoAndré LichnerowiczJean Piaget

[…] amener à la conscience des professeurs les principaux problèmes qui semblent devoir servir de base à la synthèse effective exigée par un enseignement rénové.

1952 : Colloque de la Rochette (près de Melun), avec notamment Dieudonné et Piaget...

Il n’est pas exagéré de soutenir que les structures opératoires de l’intelligence en formation manifestent dès le départ la présence des trois grands types d’organisation correspondant à ce que deviendront an mathématiques les structures algébriques, les structures d’ordre et les structures topologiques.

janvier 1968 : Charte de Chambéry (APMEP)

Pourquoi l’enseignement des mathématiques doit-il être réformé « de la maternelle aux facultés » ?

Que l’enseignement des mathématiques soit analysé dans son contenu, dans sa forme pédagogique, ou dans son rôle social ou économique, il est certainement très remarquable que les conclusions soient convergentes ; ce qu’on appelle un peu vite la mathématique moderne, ce qu’il conviendrait mieux d’appeler la conception constructive, axiomatique, structurelle des mathématiques […] s’adapte « comme un gant » […] à la formation de la jeunesse de notre temps.

la conception constructive, axiomatique,

structurelle des mathématiques

1. Les années 70a. les originesb. quelques exemples c. les principes

... manuels de 1971

Théorème de Thalès :

— c’est une propriété des projectionscomme applications

— c’est un axiome

— on peut en donner une version faible et démontrer la version forte...

Théorème de Pythagore :

AB BHBC AB––– = –––

AB2 = BC.BH

––– = –––AC HCBC AC

AC2 = BC.HCA

B CH

AB2 + AC2 = BC.BH + BC.HC

AB2 + AC2 = BC.(BH + HC) = BC2

1. Les années 70a. les originesb. quelques exemples c. les principes

la conception constructive, axiomatique,

structurelle des mathématiques

Bien séparer le “ réel ” du “ mathématique ” :

Bien insister sur la phase “ mathématisation ” :

Bien expliciter la “ modélisation ensembliste ” :

Au total (instructions officielles) :

1. Les années 702. La contre-réforme3. L’expérimental

2. La contre-réformea. les réactionsb. le retour au “ concret ” c. le retour de la géométrie

1970. René Thom, dans la revue L’âge de la science :

[c’est] une erreur considérable que de croire faciliter l’acquisition des mathématiques en remplaçant la géométrie par des structures algébriques inculquées massivement et prématurément faute d’une motivation convenable.

Il faut le dire tout net : l’axiomatisation est une recherche de spécialistes, qui n’a sa place ni dans l’enseignement secondaire ni en faculté (sauf, bien entendu, pour les professionnels désireux de se spécialiser dans l’étude des fondements.

1990. dans Apologie du logos :

Si, dans les années 1965-1967, j’avais suivi avec une certaine sympathie les débuts du mouvement, je ne tardai pas à être ulcéré par ses excès : on convoquait à l’université les vieux instituteurs de campagne, blanchis sous le harnois par une vie d’expérience, et là, de jeunes freluquets, à peine sortis de leurs études de licence, leur assénaient des propos arrogants du type :

Messieurs, vous prétendez savoir ce qu’est un nombre et vous croyez l’avoir enseigné à vos élèves. Détrompez-vous ! Vous ne connaissez pas Cantor et sa théorie des ensembles : on ne compte pas un ensemble, on établit des correspondances bijectives entre ensembles, etc., etc.

22 février 1971. L’Académie des Sciences :

L’Académie des sciences s’émeut du caractère sans cesse plus abstrait et dogmatique de l’Enseignement du second degré, qui sous-estime gravement l’originalité et la richesse de la méthode expérimentale.

3 janvier 1972. Jean Leray (Collège de France) après avoir cité la définition de la droite donnée plus haut :

Un enseignement “ démentiel ” de la géométrie menace [la] classe de quatrième où les vocations doivent s’éveiller ; il met en danger la technique et la science françaises.

— reflux progressif jusqu’en 1984

— disparition de la plupart des notions controversées dans les programmes de 1984, tout au moins en collège et lycée …

— quelques exemples emblématiques :

— le théorème de Thalès devient la “ propriété de Thalès ”— le théorème de Pythagore devient la “ propriété de Pythagore ”— les angles de terminale cessent d’être des matrices de rotations ...

Le cas de l’école élémentaire est plus complexe :

— le “ constructivisme ” conserve une place très importante dans les directives pédagogiques

—exemple des “ procédures opératoires ” que l’élève est censé découvrir par lui-même,

—importance durable donnée aux explications ensemblistes pour la compréhension des opérations

—quasi-disparition des mécanismes algorithmiques,

— …

Un manuel de CM2 :

— le “ constructivisme ” conserve une place très importante dans les directives pédagogiques

—exemple des “ procédures opératoires ” que l’élève est censé découvrir par lui-même,

—importance durable donnée aux explications ensemblistes pour la compréhension des opérations,

—quasi-disparition des mécanismes algorithmiques,

— …

2. La contre-réformea. les réactionsb. le retour au “ concret ” c. le retour de la géométrie

« Un nombre limité de thèmes ont été choisis dans cet esprit […] en tentant d’associer des thèmes relevant de la culture scientifique à proprement parler et des thèmes ayant une portée d’application directe, mais reposant sur des bases scientifiques. »

« Ce que l’élève doit emporter de l’école avec le petit bagage de notions pratiques déterminées par la loi, c’est un ensemble de facultés exercées, un esprit juste, un cœur droit, […].

Jadis :«  Pour faire de la boisson, une personne a acheté 5 kg. de raisin sec à 0 fr. 40 le kg., 2 kg. 5 de pommes tapées à 0 fr. 70 le kg. et 0 kg. 8 de genièvre à 0 fr. 55 le kg. Cette personne ayant mis 100 litres d’eau dans son tonneau, à combien lui revient le litre decette boisson ? » (1887)

« Un nombre limité de thèmes ont été choisis dans cet esprit […] en tentant d’associer des thèmes relevant de la culture scientifique à proprement parler et des thèmes ayant une portée d’application directe, mais reposant sur des bases scientifiques. »

«  Un ouvrier consomme tous les jours de l’eau de vie pour 0fr25, il dépense en outre 1fr75 au cabaret tous les dimanches, mais sa femme et ses enfants sont presque nus. Il leur suffirait d’une somme de 72fr pour se vêtir convenablement. Combien de jours cet ouvrier mettrait-il à économiser cette somme en s’abstenant de liqueurs alcooliques ? » (1920)

Naguère :On estime qu’une hirondelle détruit 50 chenilles par jour. On considère que chaque couple d’hirondelles a 8 petits dont 2 ne survivent pas. Evalue le nombre de chenilles qui pourraient être détruites par 5 couples et leurs petits pendant un jour, puis pendant un mois de 30 jours.

Hier :Aujourd’hui :« On sait tous qu’il y a des années à moustiques et d’autres sans,des années à coccinelles et d’autres sans ! On se propose d’étudier l’évolution d’une population animale à l’aide d’une fonction numérique f définie par ƒ(x) = kx(1 – x), k étant un paramètre réel qui dépend de l’environnement.

Dans la suite on s’intéresse à la population de coccinelles…

( Banque d'exercices TS : n° 18 ) 2003 - 2004

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

thèmes de convergence

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

santé

sécurité

mode de pensée statistique dans le

regard scientifiquesur le monde

météorologie et climatologie

environnement et développement durable

énergiethèmes de convergencethèmes de convergence

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

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« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

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météorologie et climatologie

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santé tabagisme

alcool & droguesobésité

Maladies MST Régul. naissances

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

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mode de pensée statistique dans le

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météorologie et climatologie

environnement et développement durable

énergiethèmes de convergencethèmes de convergence

santé tabagisme

obésité

Maladies MST Régul. naissances

alcool & drogues

Un ouvrier consomme tous les jours de l’eau de vie pour 25 euros, il dépense en outre 175 euros au cabaret tous les dimanches, mais sa femme et ses enfants sont presque nus. Il leur suffirait d’une somme de 720 euros pour se vêtir convenablement. Combien de jours cet ouvrier mettrait-il à économiser cette somme en s’abstenant de liqueurs alcooliques ?

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

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Maladies MST Régul. naissances

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« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

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Un collégien consomme tous les jours du coca-cola représentant 250 calories, il mange en outre 7 gâteaux au chocolat pour 30 calories chacun, mais il ne fait aucun exercice physique.

Pour compenser, il lui suffirait de courir 7 km chaque jour.

Combien de calories ce collégien pourrait-il consommer sans risques s’il courait 10 km par jour ?

« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

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« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

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« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

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physique

biologiehistoire

géographie vie scolaire

mode de pensée statistique dans le regard scientifique

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« Les thèmes de convergence se prêtent particulièrement bien à une évaluation, soit dans la discipline, soit dans le cadre d’une pluridisciplinarité concertée. »

santé

sécurité

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énergiethèmes de convergencethèmes de convergence

physique

biologiehistoire

géographie

mode de pensée statistique dans le

regard scientifiquesur le monde vie scolaire

Lors des élections de délégués, Anne, Bernard et Carole ont obtenu respectivement 12, 8 et 11 voix.

Sachant que 2 élèves ont mis des bulletins nuls, calcule le pourcentage de voix obtenu par chacun des candidats.

On tire un bulletin au hasard dans l’urne.Quelle est la probabilité pour que ce bulletin soitun bulletin nul ?

la vraie question : résoudre les problèmes ...

Méthode arithmétique…

Données

Inconnues

Données

Inconnues

EQUATION

Algèbre…

«  L’arithmétique ne marche jamais que du connu à l’inconnu ; l’algèbre, au contraire, marche souvent de l’inconnu au connu, de sorte que, de quelque manière qu’elle arrive à une conclusion ou équation, elle peut toujours parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. C’est par ce moyen qu’on résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution par l’arithmétique seule. »

Newton, 1707

Exercices d’application :

Douze bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ;21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger l’herbe de 24 arpentsen 18 semaines.

Newton, Arithmétique universelle, 1707.

On a trois prés d’une qualité égale, et dans lesquels on suppose que l’herbe croît uniformément. Le premier b peut nourrir un nombre de bœufs a pendant le temps c ; le second e peut nourrir un nombre de bœufs d pendant le temps f ; on demande combien le troisième g peut nourrir pendant le temps h .

Réponse :bdfgh – acegh – bcdgf + acefg

befh —bceh

«  12 bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines… »

«  36 bœufs paissent l’herbe de 10 arpents 4 semaines… »

3 arpents 1/3

12 bœufs

2. La contre-réformea. les réactionsb. le retour au “ concret ” c. le “ reformalisation ”

« … La pulsion empiriste, […] se traduit […] par une poussée vigoureuse du numérique, par l’éparpillement et l’évanouissement de l’apprentissage des outils algébriques, par l’insistance naïve sur le concret, et par le recours constamment réaffirmé à des “activités” dont l’enseignement cherchera, à bon droit, mais fréquemment en vain, la substance. »

…les maths modernes

« En fait, c'est bien là qu'est demandée aux maîtres une mutation radicale, qui exigera d'eux de grands efforts de vigilance, de surveillance d'eux-mêmes, une véritable conversion intellectuelle.

Car les naturels ne sont plus liés à la mesure des objets du monde physique et, surtout, les opérations sur les naturels ne sont plus tirées des opérations sur les "grandeurs" du monde physique ou de l'univers quotidien telles que longueurs, poids, prix, capacités. »

« La multiplication est une opération commutative. Les Instructions de 1945 parlent en plusieurs endroits de "nombres concrets". Cette expression, qui est proprement antinomique, car un nombre ne saurait être concret, a porté grand tort à la commutativité de la multiplication. Il n'y a pas à distinguer multiplicande et multiplicateur ; si on les distingue souvent, c'est parce qu'on pense plus à ces "nombres concrets", 3 sacs de 7 oranges, 15 barriques de 228 litres, qu'à des nombres. L'emploi de ces mots ne se justifie pas. »

[…] l’acquisition des techniques (numération, opérations sur les nombres,…) n’est pas abandonnée. Mais la notion de nombre gagnera à être préparée par des rudiments de grammaire des ensembles et de logique. Les enfants sauront compter et calculer plus tard peut-être que ne l’imposent les programmes actuels, mais ils le sauront mieux.

APMEP. Charte de Chambéry, octobre 1968Conséquences :

— importance des structures,

— mise de l’accent sur les divers ensembles de nombres, leur définition et leurs filiations : N, Z, D, Q, R, C,

— définition de la soustraction et de la division de manière entièrement littérale :

« a divisé par b » est le nombre x tel que : b x x = a

« J’ai 23 billes dont 7 sont bleues. Les autres billes sont noires Combien ai-je de billes noires ? »

« Reprenons le problème selon le schéma de la modélisation. »

« Le système étudié — l’ensemble des billes que je possède — est décrit par trois variables : “le nombre total de billes”, “le nombre de billes bleues”, “le nombre de billes noires”.

Les valeurs de ces paramètres définissent un état du système. Nombre de problèmes, élémentaires ou non, sont alors, à l’instar de celui-ci, du type suivant : connaissant les valeurs de certaines variables, trouver les valeurs des autres variables. La connaissance de ces dernières valeurs s’obtient par la considération des relations qui gouvernent l’ensemble des variables. »

«  Une tirelire contient 240 euros sous forme de billets de dix ou de cinq euros. Sachant qu’elle contient 31 billets, combien contient-elle de billets de chaque sorte ? »

Solution raisonnée : Solution algébrique :

Si les 31 billets étaient des billets de 10 euros, il y aurait 310 euros,

C’est-à-dire 310 – 240 = 70 euros de plus,

Il faut donc changer 70/5 = 14 billets de 10 en billets de 5 .

Soit x le nombre de billets de 10 euros, et y le nombre de billets de 5, on a :

x + y = 31 10x + 5y = 240{

un peu de casuistique...

Retour aux problèmes …

Retour aux nombres concrets…

Retour aux grandeurs…

« […] la modélisation d’une situation de la vie courante, par exemple par un système d’équations […] correspond au passage du cadre des grandeurs au cadre numérique. Ce type de passage, ainsi que le retour au cadre et à la situation de départ, présentent des difficultés importantes pour les élèves […] »

Les enjeux du travail sur les grandeurs.Document d’accompagnement du nouveau programme de 3ème

Exemple : calculer le volume d’un réservoir parallélépipédique de 2,3 m de longueur, 57 mm de hauteur et 2,5 cm de largeur :

V = 2,3 m x 57 mm x 2,5 cm = 2,3 (100 cm) x 57 (0,1 cm) x 2,5 cm

V = 230 cm x 5,7 cm x 2,5 cm = 3277,5 cm3

« C’est en effet une théorie mathématique des unités (et des grandeurs) qui fait actuellement défaut dans la culture de l’enseignement des mathématiques (et des sciences physiques aussi bien). »

« On sait tous qu’il y a des années à moustiques et d’autres sans,des années à coccinelles et d’autres sans ! On se propose d’étudier l’évolution d’une population animale à l’aide d’une fonction numérique f définie par ƒ(x) = kx(1 – x), k étant un paramètre réel qui dépend de l’environnement.

Dans la suite on s’intéresse à la population de coccinelles…

Principes de la modélisation :1) Vous voyez un énoncé d’apparence concrète avec ou sans dessin : ne pas lire le début pour gagner du temps et surtout ne pas être perturbé par les nombres ou les unités.

2) S’il y a un dessin il ne faut surtout pas le regarder. Non seulement il ne sert à rien mais il peut lui aussi vous perturber.

3) Guettez l’apparition d’une équation différentielle… C’est presque gagné : un exercice normal va commencer.

... / ...

1. Les années 702. La contre-réforme3. L’expérimental

22 février 1971. L’Académie des Sciences :

L’Académie des sciences s’émeut du caractère sans cesse plus abstrait et dogmatique de l’Enseignement du second degré, qui sous-estime gravement l’originalité et la richesse de la méthode expérimentale.

3. L’expérimentala. expérimenter pourquoi ?b. expérimenter comment ? c. la notion d’heuristique

… / …

… / …

Ce que l’on doit donc apprendre, c’est à « faire confiance » à l’expérimentation !

 tracer le segment [AP] ;

 tracer la droite (PQ).

• Considérons le programme suivant de construction de la parallèleà une droite d qui passe par un point P ∉ d :

d

P

 marquer un point A de d ;

A

 marquer un point M situé entre A et P ;

M

 marquer un point B à l’intersection de d et du cercle de centre A passant par M ;

B

 marquer le point Q, second point d’intersection de la droite (BM) avec le cercle de centre P passant par M ;

Q

• On trouvera ci-après une série de réalisation de l’expérience graphique consistant à exécuter ce programme …

… elles ne laissent pas de doute sur la vérité de la propriété de parallélisme des deux droites.

… / …

• A titre d’illustration complémentaire, demandons-nous si les propriétés suivantes sont vraies.

A1. Soit un parallélogramme ABCD.Sur chacun de ses côtés on construit, vers l’extérieur, le carré s’appuyant sur ce côté. Les centres des carrés forment un carré.

A2. Soit un quadrilatère convexe ABCD. Sur chacun de ses côtés on construit, vers l’extérieur, le carré s’appuyant sur ce côté. Les segments de droites joignant les centres de carrés opposés sontperpendiculaires et de même longueur.

A

B

C

D

A

B

C

D

… / …

A

B

C

C’

A’

B’

A

B

C

C’

A’

B’

… / …

3. L’expérimentala. expérimenter pourquoi ?b. expérimenter comment ? c. la notion d’heuristique

point de Torricelli

A

B

C

M

M

Le théorème d’Urquhart

A

C

B

F

E

D

AB + BC = CD + DA

AE + EC = CF + FA

Le théorème de Morley

A

B C

P

QR

… / …

… / …

O

NM

Le théorème de Lehmus – Steiner (1840)

A

B C

FE

BE = CF

BA = CA

A

B C

KJ

BJ = CK

BA = CA

A

B C

C’

B’

BB’ = CC’

BA = CA

Raisonnons un peu …

Synthèse

Hypothèses…

(bissectrices égales)

BE = CF

BA = CA

Conclusions…

(triangle isocèle)

Hypothèses…

(bissectrices égales)

Analyse

BE = CF

BA = CA

Conclusions…

(triangle isocèle)

Hypothèses

ConclusionChaînage avant …

SYNTHESE :

Propriété A

Propriété B

Théorème

Hypothèses

ConclusionChaînage arrière …

ANALYSE :

Propriété A

Propriété B

Théorème

Hypothèses

Conclusion

Chaînage mixte …

Propriété A

Propriété B

Propriété CPropriété D

Propriété E

Synthèse : assomption du requis comme concédé par les conséquences au vrai concédé…

Analyse : assomption du concédé par les conséquences tirées de la fin et compréhension du requis…

Hypothèses

Conclusion

Analyse : assomption du concédé par les conséquences tirées de la fin et compréhension du requis…

Propriétéintermédiaire

Exemple 1 :le théorème de Morley

Hypothèses

On part des trisectrices

A

B C

Conclusion

P

QR

PQR est équilatéral

P

QR

P’

Q’R’

PP’, QQ’, RR’sont concourantes.

Exemple 2 :Les hauteurs sont égales

Conclusion

ABC est isocèle

Hypothèses

Les hauteurs sont égales

A

B C

C’

B’

L’aireest donnée

par …

Exemple 3 :Les médianes sont égales

Conclusion

ABC est isocèle

Les médianes se coupent au tiers …

Hypothèses

Les médianes sont égales

A

B C

KJ

Exemple 4 :Les bissectrices sont égales

Conclusion

ABC est isocèle

?Hypothèses

Les bissectrices sont égales

A

B C

FE

Construire…

B C

BE = CF

E

F

?

Peut-on obtenir autre chosequ’un triangle isocèle ?

Expérimenter :

Chercher à savoir comment certaines grandeurs varient en fonction d’autres grandeurs ... pour en tirer des conclusions pertinentes dans le problème étudié

Essayer autre chose …

Essayer de calculer …

A

B C

FE

BE = CF = δ

2 x Aire BEC = a x δ x sinα2 x Aire BEA = c x δ x sinα2 x Aire ABC = c x a x sin2α

a x δ x sinα + c x δ x sinα = c x a x sin2α

α

etc., etc.

Lehmus – Steiner - Thébault

3. L’expérimentala. expérimenter pourquoi ?b. expérimenter comment ? c. la notion d’heuristique

Hypothèses

Conclusion

Propriétéintermédiaire

1. Avoir une idée (si possible bonne) …

2. Vérifier expérimentalement si elle marche …

3. Chercher à la démontrer… c’est-à-dire à se donner l’illusion qu’on aurait pu prévoir le résultat …

René Thom

Poincaré

Maîtriser les heuristiques …

M

A

B

C

M

A

B

C

M

A

B

C

Problème : 12 roses coûtent 28 euros, combiencoûteront 49 roses ?

Problème : une tirelire contient des billets de 5et de 10 euros, elle contient 37 billets en tout pour une somme 305 euros. Combien contient-elle de billets de chaque sorte ?

Problème : 70 vaches tondent un pré en 24 jours,30 vaches le tondent en 60 jours, combien faut-ilde vaches pour le tondre en 96 jours ?

Règle de trois…

Tableau de proportionnalité

!

Fausses

suppositions…

Système à deux

inconnues !

Proportionnalité ?

Inverse

proportionnalité ?

Fausse positi

on ?…

Problème : Y désigne une variable aléatoire réellesur l’espace de probabilité (Ω, , P). On suppose que, pour tout t > 0 , on a :

E(etY) ≤ C e ,

avec C et σ > 0 .

Démontrer que, pour tout λ > 0 , on a :

P(Y ≥ λ) ≤ C e .

t2σ2/2

– λ2/2σ2

Bienaymé-

Tchebychev

Problème : un navire de 500 tonneaux, avec trois mâts, 30 hommes d'équipage, 200 balles de coton, 1500 litres de vin, 1 tonne de café, 3 tonnes de bananes... arrive à Marseille en 1885. Quel est l'âge du capitaine ?

Problème : Un fermier possède un petit troupeau de 19 vaches, elles meurent toutes sauf 7, combien lui reste-t-il de vaches ?

Problème : me rendant à la plage, j'ai croisé 6 hommes qui avaient chacun 6 femmes, chaque femme avait 6 enfants et chaque enfant avait 6 chats. Combien de personnes et d'animaux vont à la plage ?

apprendre des méthodes …

€

R=(A×B)C

7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ?

€

R=11,90×5

7

« … multipliez seulement les deux derniers nombres ensembles …

… et divisez ce qui viendra par le premier … »

«  Une tirelire contient 240 euros sous forme de billets de dix ou de cinq euros. Sachant qu’elle contient 31 billets, combien contient-elle de billets de chaque sorte ? »

Solution raisonnée : Solution algébrique :

Si les 31 billets étaient des billets de 10 euros, il y aurait 310 euros,

C’est-à-dire 310 – 240 = 70 euros de plus,

Il faut donc changer 70/5 = 14 billets de 10 en billets de 5 .

Soit x le nombre de billets de 10 euros, et y le nombre de billets de 5, on a :

x + y = 31 10x + 5y = 240{

7 ? 5 6 2

… … … 8

… … …

… …

101

7 ? 5 6 2

… … 11 8

… … 19

… …

101

7 x 5 6 2

… … 11 8

… … 19

… …

101

Calcul infinitésimal…

«  […] il devrait être possible, au niveau de la classe de quatrième et de troisième, de donner une justification convaincante et quasiment rigoureuse de la formule d’aire de la sphère à l’aide du seul théorème de Thalès, par projection de la sphère sur un cylindre. »

Calcul infinitésimal…

«  la chute des corps avec frottement… »

«  force de frottement proportionnelle à la vitesse… »

y” = g

y” = g – k y’

y” = g – k [y’] 2

?

«  force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse… »

le problème de la modélisation

parabolesinusoïde

sinusoïde parabole

sinusoïde parabole

sinusoïde parabole

sinusoïde parabole

sinusoïde parabole

Conclusion ?

Ferdinand Buisson. Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire, 1887

Ferdinand Buisson. Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire, 1887