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« Imageries gravimétrique et magnétique »Année 2007-2008

Cours du 14-01-2008

La chaîne d'interprétation

1. Débruitage des données (amélioration signal/bruit)

2. Interprétation qualitative

3. Interprétation quantitative

Les méthodes d'interprétation

• Demi-largeur• Méthode des pentes• Méthode spectrale• Signal analytique• Déconvolution d'Euler• Transformation en Ondelette

• Filtrage linéaire• Prolongement• Opérateur de dérivation

• Modélisation 2D/3D• Inversion

1 Technique "d'Amélioration" du signal - interprétation qualitative

2 Caractérisation des paramètres des sources- interprétation quantitativeSources assimilées à des géométries simples

3 Caractérisation des paramètres des sources- méthodes directes/InversesSources assimilées à des interfaces

Interprétation des anomalies

• Caractériser les sources des anomalies

Les paramètres mis en jeu sont :

• densité/susceptibilité

• profondeur / extension / pendage

• En étudiant le contenu spectral ( = l’œil en corrélateur de Fourier !) du signal, identifier les différentes sources "géologiques" et le bruit.

« Non-unicité » en gravimétrie

• À une anomalie de pesanteur peuvent correspondre plusieurs sources différentes.

Les paramètres mis en jeu sont : profondeur / extension

• En utilisant des informations indépendantes et/ou en étudiant le contenu spectral du signal, on arrive à « réduire » cet effet.

sol

anomalie de pesanteur

sources des anomalies

Théorème de Gauss

La masse totale dans une région est proportionnelle à la composante normale de l'attraction gravitationnelle intégrée sur la surface fermée de la région

∫∫ ∇=RS

gdvdSng ..)Démo.:

∫∇∫ =RS

UdvdSng 2.)

1ère identité de Green

Equation de Poisson∫∫ −=RS

dvGdSng ρπ4.)

MGdSng TS

π4. −=∫)

i.e. le potentiel de n'importe quelle distribution de masse apparaît comme un point source vu de suffisamment loin

g(x)

xg(x)

xg(x)

x

Anomalie régionale et résiduelle

Anomalie régionale

Anomalie résiduelle

Anomalie observée

λ

Résolution des données et bruit

+ =Model of basement horsts Noise 0.5 mGal RMS

Depopulated, griddedat 2 km and low pass (20km)

filtered

Effet du bruit sur l'identification des anomalies

Nécessité de séparer le bruit du signal géologique "vrai"

Méthodes d'interprétationFiltrage

•Séparation des sources

•Elimination du bruit

•Filtrage passe-bande avant prolongement

•Attention: une source peu profonde et étendue dans le plan horizontal peut générer une anomalie de grande longueur d'onde

Méthodes d'interprétationFiltrage dans le domaine de Fourier

Filtre linéaire ( FFT)

•Butterworth

•Gaussien ("en cloche")

•Cosine

•Filtre directionnels (ex: éliminer les ondulations d'une grille créée•à partir d'une campagne NW/SE -> direction de 45°N)

•Passe - bas: sa fréquence passante est plus basse que sa fréquence de coupure et atténue les fréquences plus hautes

•passe-haut: une seule fréquence de coupure est définie ("cut-off frequency ou wavelength", généralement telle que l'amplitude de la réponse du filtre est de 0.5)

•Passe-bande: on définit 2 fréquences ou longueurs d'onde de coupure

Fréquence de Nyquist et filtre linéaire

• f : fréquence• λ : longueur d'onde• fréquence de Nyquist: fn• ∆x: pas d'échantillonnage ou pas de grille

λ =1/f= 2 ∆x/ fn

f =1/ λ = fn / 2 ∆x = 2 ∆x/ λ

Filtre linéaire: caractérisé par sa fonction de transfert (= gain)elle définit les fréquences qui sont: atténuées, conservées et amplifiées

C'est une opération de convolution dans le domaine fréquentiel:S(Z) = F(Z)*E(Z) ou |F(Z)| = fonction de transfert

Méthodes d'interprétationFiltrage FFT: Butterworth

• Fonction de transfert: 1/[1+(f/fc)n]

Butterworth passe-bas (fc=10 km)

fc=10 km

Butterworth passe-bande (3 et5 km)

Amplitude=0.5

Visualisation des données brutes

1. Elimination du bruit

Zoom sur la zone d’étude

Filtre Passe-Bande:

(entre 0 et 4 km)

- Suppression des Hautes Fréquences (bruit d’acquisition, effets Shallow)

- Suppression des longueurs d’ondes supérieures à 5000m (tendance)

Visualisation des donnes filtrées

Noise or signal?FTG data contain two types of errors:

-Random noise in every channel;

-Errors caused by not-perfect orientation of measuring device.

-20

-10

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5 km

-1

0

1

2

3

4

0.4 0.8 1.20

km

1.6 2.0

E

E

Bell’s FTG data for the Northern Sea. Distance between profiles 750 m, grid step 25 m.

0

0

0

0

0

0

0

0

6

6

6

6

6

6

6

6

Vxx measured

Vxx denoised by Bell

VxxIPGP denoising

Comparison of different denoisingmethods for component Vxx (E).

Importance du “Débruitage” !!

Prolongement: théorie

0²U∆U =∇=Equation de Laplace

ρπG4²U∆U =∇=

Dans un volume vide de masse perturbatrice

Loi de Poisson S'il existe une masse M et en dehors des sources

Connaissant le champ gravimétrique/géomagnétique sur une surface S et s'il n'existe pas de source entre S et S',il est possible de déduire le champ sur toute autre surface S': cette opération est appelée le prolongement.

Prolongement

• Ne modifie pas la phase: "non-déphasant"

•Le prolongement vers le bas est instable (on utilise un filtre passe-bas)

•on doit être en dehors des sources

•Séparation anomalies régionale - résiduelle

•Elimination des courtes longueurs d'onde

•Réduire les données à une même altitude (en magnétisme notamment)

Prolongement: théorie

L'opération consiste en un lissage, non-déphasant (i.e. filtre= fonction réelle)

ρπG4²UQ −=∇

dvR

GV∫=

ρPU

En isolant ρ:

En utilisant le théorème de Green:

Avec Rs2 = (x - xO)2 + (y-yO)2 + h2

dxdyRgh

zUp

y Sx∫∫

=

∂∂

=3

P2

gπ

Prolongement: expression dans les domaines spatial et fréquentiel

),,(),,(h)-zy,U(x, 00 hyxzyxU uψ∗=

où z0 est l'altitude du plan de mesure et h=∆z est la différence d'altitude entre les 2 plans(z > 0 vers le bas)

²)²²(1

2h)y,(x, 2/3u

hyxh

++=

πψ

''),','(),,(h)-zy,U(x, 00 dydxhyyxxzyxU u −−∗= ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ψ

L'opération de prolongement s'écrit comme un produit de convolution

Domaine spatial

[ ] ekezrz

zkzk

∆−∆−

=∆∂∂

−=

ℑ

∆∂∂

−=ℑ1

21

uπ

ψ

[ ] [ ] [ ]pp ψℑℑ=ℑ UU

Domaine de Fourier∆z > 0

Lissage: (x,y,z0-∆z) est une moyenne pondérée de toutes les valeurs de U(x,y,z0)

Fonction de transfert d'un prolongement vers le haut de 2km

Prolongement: domaine fréquentiel

Fonction de transfert: e(-2πk)

)( 22 kkk yx +=

Fréquence radial

Anomalie magnétique (réduite au pôle)Surface d'acquisition: 150 m drapée au dessus du sol

nT

Anomalie magnétique prolongée à 2km au-dessus du plan de mesure

mètres

Anomalie magnétique prolongée à 4km au-dessus du plan de mesure

Réduction des données à une même altitudeexemple 1: données magnétiques marines fond de mer/surface

Fond de mer

surface

Steep relief + Safety issues lead to 2 acquisition levels in thestrike direction: 2500 and 4500m AMSL. Grid 1km x 5 km. Cross-lineshave been flown at both elevations.

Low Elevation High Elevationm m

Réduction des données à une même altitudeexemple : données gravimétriques sur 2 niveaux

Réduction des données à une même altitudeexemple : réduction à 1 seul niveau par prolongement

Anomalie de Bouguer à 4500 m

The survey was done at a constant altitude of 5100m with the measurement linesoriented N-S and E-W. The line spacing was10 km for the N-S lines and 20 km for the E-W lines. The mean ground speed of the aircraft was around 270 km/h. The total distance of all lines flown is around 10'000 km to which more 3'000 km for positioningand de-positioning have to be added. The sampling rate of the gravimeter was at one second giving a mean distance of 80 m between two measurements.The aircraft as been equipped with five GPS receivers andone high-precision Inertial System delivering angular velocities and tri-axial accelerations. Five GPS permanent groundstations were be also installed in order to provide the necessary reference frame.Inorder to separate time dependantdisturbing accelerations from the time independant gravity a new special digital filtering technique has been developpedABouguer anomaly maps at 5100m a.s.l., wasproduced (see next figure).

Airborne Bouguer anomaly map at 5100 m with 8 km spatial resolution

Exemple de prolongement: levé gravimétrique terrestre et aéroporté

Levé aéroporté

L'anomalie de Bouguer terrestre est prolongée vers le haut

VERDUN, J., BAYER, R., KLINGELE, E.E., COCARD, M., GEIGER, A. 2001. AirborneGravimetry Measurements in MontaneousAreas by using a LaCoste and RombergAirSea Gravimeter, Geophysics, 67, 3,

807-816.

Exemple de prolongement: levé gravimétrique terrestre et aéroporté

Différence des anomalies de Bouguer

Opérateurs de gradient vertical

Z > 0

∆∆−−

=∂∂

→∆ zzzyxgzyxg

z

),,(),,(limz)y,g(x,

z 0

[ ] [ ] [ ]gkzegg

zg zk

zz

z

zℑ=

∆ℑ−ℑ

=

∂∂

ℑ∆−

→∆ 0lim

Différence finie, ∆z < 0

où k est le nombre d'onde

On peut le calculer à partir des dérivations horizontales puisque:

²²

²²

²²

yg

xg

zg

∂∂

−∂∂

−=∂∂

Anomalie du champ total 1ère dérivée verticale

•Individualiser les sources proches•identifier les contrastes de densités

Anomalie du champ total Gradient horizontal

Opérateurs de gradient horizontal

( ) ( )yyxgz

xyxgzyxgd z ∂

∂+

∂∂=

),( 2),( 2),(

Amplifier visuellement l'effet gravimétrique-magnétique de contacts géologiques

Trend of residualanomalies

Positive axis of VDwhite: mag. Discontinuity from HG

Seismic lines location

191-01-39

191-01-23

191-01-26191-01-12

Messak limit

Réduction au pôle (anomalie magnétique)

The goal of reduction to the pole is to take an observed total magnetic field map andproduce magnetic map that would result had an area been surveyed at the magnetic pole. Assuming that all the observed magnetic field of a study area is due to induced magneticeffects, pole reduction can be calculated by convolution with a filter. In the frequencydomain using, the signal is transformed using the following operator (Grant and Dodds, 1972):

θ is the wavenumber direction, I is the magnetic inclination, D is the magnetic declination.

From Equation 1, it can be seen that as I approaches 0 (the magnetic equator), and (D – θ) approaches π/2 (a North-South feature), the operator approaches infinity.

A magnetic grid may be transformed into a grid of pseudo-gravity. The process requires a pole reduction, but adds a further procedure which converts the essentially dipolar nature of a magnetic field to its equivalentmonopolar form. The result, with suitable scaling, is comparable with the gravity map. It shows the gravity mapthat would have been observed if density were proportional to magnetisation (or susceptibility). Comparison of gravity and pseudo-gravity maps reveals a good deal about the local geology. Where anomalies coincide, the source of the gravity and magnetic disturbances is likely to be the same geological structure.

Anomalie magnétique Anomalie pseudo-gravimétrique

Réduction au pôle + intégration

Anomalies pseudo-gravimétriques

Relation de Poisson: ∇²Ug=-4πGm où Ug est le potentiel scalaire gravimétrique

Um ∝ M . gdvr1

∫∇−= CmMUmPotentiel scalaire magnétique:

Fig. 12.14. Magnetic boundaries of central Nevada. (a) Total-field anomalies of Figure 12.1 were transformed to pseudogravityanomalies, then converted to horizontal gradients. (b) Dots show maxima in the horizontal gradient automatically located. Diagonal hatching represents interpretedbasaltic rocks associated with a mid-Miocene rift event; vertical hatching shows the location of a granitic pluton of Tertiaryage.

Anomalies pseudo-gravimétriques

Méthodes QuantitativesLocalisation des sources en X,Y,Z

• Demi-largeur

• Méthode des pentes

• Méthode spectrale

• Signal analytique

• Déconvolution d'Euler

• Déconvolution de Werner

• Transformation en Ondelette

Caractériser les sources

La largeur caractéristique ou λ d'une anomalie magnétique ou gravimétrique est liée à la profondeur de la source du signal

Distribution d’aimantation/densité Géométrie, profondeur et épaisseur des sources, directions de l’aimantation et du champ

( ) ξξθξδ dxzzJxT ∫∞+

∞−

−Κ= )(,,,).()( 21

Relation Longueur d'onde - Profondeur pour un corps simple: cas d'une sphère

Effet gravimétrique de géométrie simple

Exemple de sources sphériques: Réponses de diapir ou dôme de sel

Les courbes de niveau ou isogals sont "enroulées"

Méthode de la demi-largeur

•L'anomalie maximale est située en x=0:

• soit L, la largeur de l'anomalie telle que ∆g=∆g max/2:

L = 0.75 h

Les Méthodes d'interprétation

dsel = 2200 kg/m3

dsed = 2400 kg/m3

Information quantitative sur la longueur d'onde des anomalies en supposantune géométrie simple

∆g max ~0.45 mGal

2 km

Application à un diapir de sel

Méthode d'interprétation:La méthode de Peter

Information quantitative sur la profondeur des sourcesgéométrie a priori

Pente maximale

1/2 Pente maximale

Tgts à la courbe // à la 1/2 pente

PDistance de Peter

Bloc large dyke épais dyke fin

0.5xP 0.53xP 0.7xPProfondeur z

P∆T(k)=C.e-2|k|z1(1-e-|k|h)²

ln(P∆T(k))=ln(C) -2|k|z1 +2ln(1-e-|k|h)

z1=- ∆ ln(P∆T(k))/ 2∆k

Méthode spectrale

Spectre d'énergie pour des sources d'anomalies réparties de façon statistiquement indépendante (ie distribution de masse aléatoire)

Où z1: toit des sourcesh: épaisseur

Spectre d'énergie= segments de droite dont la pente est proportionnelle à la profondeur des différentes interfaces

k= 2π/λ

E = ∫ -∞+∞|TF(f)|²dx où |TF(f)|²

D'après Blakely, 1996

Anomalie magnétique créée par une couche d'aimantation aléatoire (+1/-1 A/m)dont le toit est à 3 km, d'épaisseur 1 km

Spectre d'amplitude

Log théorique du spectre puissanceLog calculé (moyenne dans

chaque anneau)

Appliquée sur l’anomalie liée au sel

Appliquée sur l’anomalie liée aux shallow gas au

sud-Est du diapir

Tz

451 m

162 m

724 m

255 m

115 m

902 m

344 m

162 m

Exemple: diapir de sel

Signal analytique

Nabighian (1972, 1984) developed the notion of 2-D analytic signal, or energy envelope, of magnetic anomalies. Roest, et al (1992), showed that the amplitude (absolute value) of the3-D analytic signal at location (x,y) can be easily derived from the three orthogonal gradients of the total magnetic field using the expression:

is the amplitude of the analytic signal at (x,y), T is the observedmagnetic field at (x,y).

Le SA est indépendant de la direction du vecteur d’aimantation

Signal analytique

D’après Roest et al., 1992GEOPHYSICS, VOL. 57, NO. 1, 116-125, 1992

Total Magnetic Intensity (TMI) Analytic signal of TMI (AS)

Topographie(falaise)Sources peu profondes

A

B

Signal analytique

La Déconvolution d'EulerProfondeur de sources modélisées par des géométries simples

Localisation des sources dans le plan XY

Localisation des sources dans le plan vertical

Avantages:2D/3DPas de réduction au pôle

Pour une source située en (x0,y0,z0), le champ est exprimé sous la forme:

L’équation d’Euler peut être écrite sous la forme:

OBJECTIF : Déterminer x0, y0, z0 et l’indice structural N de la source

Si f(x,y,z) est homogène de degré n alors elle satisfait à l’équation d’Euler suivante:

Les sources d’anomalies simples peuvent s ’exprimer sous la forme:

n = -N

par exemple, le champ est en 1/r²pour une source ponctuelle sphérique

N = indice structural fonction de la géométrie du corps

nfzfz

yfy

xfx =

∂∂

+∂∂

+∂∂

NrGzyxf =),,(

[ ]zyyxxfyxT oo ),(),(),( −−=

( ) ( ) ( )yxNTzTz

yTyy

xTxx ,000 −=

∂∂

+∂∂

−+∂∂

−

Déconvolution d'Euler: théorie

MéthodologieCalcul des gradients (utilisation des gradients mesurés ou calculés)

Choix d’une fenêtre glissante (3*3, 5*5, 10*10,…)

• solution stable si le système est sur-déterminé: > 4 points (3 inconnues)

(en théorie taille de la fenêtre = λ anomalie)

• Résolution de l’équation pour différents indices (de 0 à 3) dans chaque fenêtre

• Représentation des solutions et conclusions

Limites

•géométrie homogène, sources isolées•espacement des lignes en x et y hétérogène : problème pour le calcul des gradients•dispersion des solutions

Reid, A.B., J.M. Allsop, H. Granser, A.J. Millett, and I.W. Somerton, Magnetic interpretation in threedimensions using Euler deconvolution, Geophysics, 55, 80-91, 1990.

SI Magnetic source Gravity source0.0 Contact with considerable depth extent sill/dyke/step

0.5 Thick step ribbon

1.0 Dyke or sill pipe

2.0 Pipe intrusion (point pole) small source body

3.0 small source body (point dipole)

Indice structural

Shape of simple local homogeneous sources

Point, α=-3 Horizontal line, α=-2 Vertical line, α=-2

Vertical strip, α=-1 Vertical step, α=0

Examples of local homogeneous source of simple degree α (-3,-2,-1, or 0)

Definition of homogeneoussource σ:

N=1

Solution d'Euler

N=2

Approfondissement

Influence de l’indice structural sur les résultats

• RÉSULTATS (fenêtre 10*10)

00,10,20,30,40,5

100 200 300 400 500Profondeur (m)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

100 200 300 400 500Profondeur (m)

N=2.5

Médiane : 218m

Moyenne : 233m

00,10,20,30,40,5

100 200 300 400 500Profondeur (m)

SHALLOW GAS (à l’aplomb du sel), fenêtre 10*10

Indice 1.5

Indice 3Indice 2.5

Indice 2

N=3

Médiane : 276m

Moyenne : 275m

N=2.5

Médiane : 218m

Moyenne : 233m

N=2

Médiane : 169m

Moyenne : 180m

Exemple: diapir de sel

SHALLOW GAS (Sud-Est du sel), fenêtre 10*10

00,05

0,10,15

0,20,25

0,3

200 400 600 800 1000 1250Profondeur (m)

00,020,040,060,08

0,10,120,140,160,18

200 400 600 800 1000 1200Profondeur (m)

N=0

Médiane : 551m

Moyenne : 654m

N=1

Médiane : 755m

Moyenne : 764m

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

200 400 600 800 1000 1200Profondeur (m)

N=1.5

Médiane : 836m

Moyenne : 845m

MessakCliff limitVD positive axisHG maxima

MAGNETIC TRENDS AND DEPTH TO SOURCES BELOW FLYING SURFACE20 km

Deconvolution d'Euler: anomalie magnétique (campagne aéroportée)

Quelques résultats scientifiques et études en cours dans le domaine de la gravimétrie :

« Imagerie » du sous-sol par sélection des solutions obtenues par « déconvolution d’Euler » appliquée aux anomalies magnétiques et gravimétriques.

La Transformée en Ondelette

Localisation des sources dans le plan XY

Profondeur des sources

Avantages:Multi-EchelleProlongement + Dérivation

Dilatation a

D ’après Martelet (1999)Distance (km)

Principes:

1. Convolution: Wψ|T(x0,a)= (Daψ * T)(x0)

2. Inversion: ln(|W|/a) = C + βln(z0+a)

(voir Sailhac et al., 2000 ).

3. Source étendue: ln(|W|/a) = C + βln(z0+a) + R(a,h, z0, β)

H(a) = 2(z0+a).f.[R(a)]

avec (z0+a) >> h/2

Localisation horizontale des sources (x0), profondeur (z0), épaisseur (h), géométrie (β) et intensité (I).

La Transformée en Ondelette

Exemple: Transformée en ondelette d'un dipole vertical

anomalie

TO

X0=0, Z0= 1 km

La Transformée en OndeletteAnomalie synthétique

La Transformée en OndeletteApplication à des anomalies magnétiques marines

Fournit une représentation espace-échelle (x,a): les sources sont localisées à la fois dans les domaines spatial et fréquentiel.

Fournit les caractéristiques des sources (profondeur, épaisseur, intensité) avec un nombre limité d’hypothèses a priori.

Supprime le traitement des données pré-interprétation (prolongement).

Pas de réduction au pôle

Transformées en ondeletteAvantage de la méthode

2D; 2,5 D; 2,75D; 3D; 4D ??

Modélisation directe 2D/3D

2 Méthodes de calcul: domaine spatial / fréquentiel

( ) ξξθξδ dxzzJxT ∫+∞

∞−

−Κ= )(,,,).()( 21

x

z

y

P(x,0,z0)

h

ξ

z1

z2

R

S

M

B

( )( ) ( ) ( )( )

'''²'²'²'

').',','(),,( 3'''

dzdydxzzyyxx

zzzyxGzyxgzyx −+−+−

−−= ∫∫∫ρδ

Anomalie DT en P créée par une distribution de masse/ d'aimantation en Q(x',y',z')

Intégrale volumique

Anomalie gravimétrique

Spatial : méthode de Talwani: un corps de forme quelconque est approximé par un polygone à n cotés (intégrale surfacique)

Fréquentiel: méthode de Parker: expression de l'anomalie gravimétrique dans le domaine de Fourier

[ ])(!

21

10 xhTF

nkzπ∆ρG(x)]TF[g n

n

nk

z e ∑∞

=

−−−=

20 km

30 km

10 km

Modélisation 2D: réponse magnétiques et gravimétriques

Moho•Cob below salt•+/- 20 km 200 km

An. Mag.

An. Grav.

Densité contrainte par les logs de puits et/ou vitesses sismiques

ρ ~ (0.2161)V(.2596) Loi de Gardner

3D model : Gravity Response (Bouguer)

• Noise Level ~ 0.3 mGal (data acuracy + sediment densities variations)

1 1

2

3

4

5

5

42

3

2 mgal

Need more salt ?

diff

3D model : Gravity Response After BOS inversion

• Noise Level ~ 0.3 mGal (data accuracy + sediment densities uncertainties)

1 1

2

3

4

5

5

42

3

2 mgal

add salt

better fit

Inversion 2D/3D: méthode d'Oldenburg

Parker (1972): [ ])(!

21

10 xhTF

nkzπ∆ρG(x)]TF[g n

n

nk

z e ∑∞

=

−−−=

[ ])(!2 2

10

xhTFnk

π∆ρG(x)]eTF[g z

TF[h(x)] n

n

nz

k

∑∞

=

−

−−=

1. Calculer le terme de gauche à partir du terme de droite = prolongement vers le bas de z0 du champ g(x) mesuré en surface2. Calculer la TF inverse de h(x) = on réactualise g(x) 3. Reproduire 1 et 2 jusqu'à ce que le champ gz(x) soit suffisamment proche de l'observé au sens des moindres carrés.