View
14
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Interférences lumineuses
PC*
2
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
I) Notions de vibration lumineuse :
1) Théorie scalaire de la lumière :
Dans un grand nombre de situations, l’intensité lumineuse, due à la
superposition de plusieurs ondes EM, peut être déterminée au moyen d’un
modèle simplifié, où le champ électrique est associé à une grandeur scalaire.
Cette approximation est justifiée :
• Dans le cas très fréquent d’ondes non polarisées dont les directions de propagation sont voisines.
• Pour des ondes polarisées dont on sait que les directions de polarisation sont voisines.
Les détecteurs usuels sont dits « quadratiques » : ils sont sensibles à la valeur
moyenne temporelle (sur des temps très supérieurs à la période des ondes
lumineuses qui est de l’ordre de quelques 10 – 15 s) du carré du module des
champs électriques.
3
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
On définit alors la grandeur « Eclairement » ou « Intensité lumineuse » par :
2*2 1 1( , ) Re( . )
2 2tI k s M t k s s k s= = =
où k est une constante multiplicative.
L’éclairement s’exprime en W.m – 2 et est en fait relié au module du vecteur de
Poynting.
On a vu en effet que, pour une OPPH :
zuEc�
��
2
0ε=Π .
4
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
2) Composition de deux vibrations lumineuses, formule de Fresnel :
On peut écrire :
( ( ))
1 21 2( , ) ; ( , )i t i t Ms M t A e s M t A eω ω ϕ−= =
1 2 1 22 cos ( )I I I I I Mϕ= + + (Formule de Fresnel)
avec :
2
1 1
1
2I kA=
et 2
2 2
1
2I kA=
les éclairements des ondes (1) et (2) lorsqu’elles sont seules.
Souvent, les deux ondes ont la même amplitude ; l’éclairement total sera alors :
02 (1 cos ( ))I I Mϕ= +
5
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Le déphasage entre les deux ondes est relié à la différence de chemin optique :
0
2( ) ( )M M
πϕ δ
λ=
- 2 1( ) ( ) ( )géo M SM SMδ = − est la différence de marche géométrique au point
M entre les deux voies 1 et 2.
- sup( ) ( )géoM Mδ δ δ= + , qui tient éventuellement compte des déphasages
supplémentaires, est la différence de marche optique.
6
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
A la séparation entre deux milieux transparents, les rayons lumineux sont
réfractés et réfléchis.
Si les limites transversales du faisceau sont très grandes devant la longueur
d’onde, les rayons sont déviés selon les lois de Snell-Descartes.
Dans le cas, contraire, on observe le phénomène de diffraction.
On note n1 l’indice du milieu (1) et n2 l’indice du milieu (2). Alors, en tout
point du dioptre (surface de séparation entre ces deux milieux) :
• La phase de l’onde réfractée est égale à celle de l’onde incidente.
• Si 1 2n n> , alors la phase de l’onde réfléchie est égale à celle de l’onde
incidente.
• Si 1 2n n< , alors la phase de l’onde réfléchie est égale à celle de l’onde
incidente augmentée de π .
7
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
On rappelle également que :
• Une réflexion sur un métal s’accompagne d’une discontinuité de phase de π .
• Lorsqu’une onde passe par un point de convergence (voir figure), on admettra qu’il faut ajouter π à la différence de phase calculée à partir de la
distance.
A
B
ϕA->B = nAB + π
8
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
3) Cohérence temporelle :
On se limite à une source ponctuelle (S) qui émet des trains d’ondes de durée
moyenne τc qui occupent dans l’espace une longueur :
c cL cτ= (Longueur de cohérence)
Chaque train d’ondes issu de (S) se divise en deux trains d’ondes et présente au
point M un retard temporel :
2 1( ) ( )SM SMt
c c c
δ∆ = − =
9
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
10
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
• Si ,c géo ct soit Lτ δ∆ << << : les deux trains d’ondes qui interfèrent en
M sont issus du même train d’ondes émis par (S).
Le déphasage entre les deux ondes est constant, les deux ondes sont
cohérentes et on observe des interférences.
• ,c géo ct soit Lτ δ∆ >> >> , les deux trains d’ondes qui se superposent en
M sont issus de deux trains d’ondes différents émis par (S), avec des
phases à l’origine différentes et aléatoires.
Les deux ondes sont incohérentes et il est impossible d’observer des
interférences.
• Dans le cas intermédiaire, les deux trains d’ondes issus d’un même train
d’ondes primaires ne se superposent que partiellement en M. Les deux
ondes sont partiellement cohérentes. Les interférences existent mais avec
un contraste plus faible.
11
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Conclusion :
Pour avoir interférences, les ondes issues de S1 et de S2 doivent provenir de la
désexcitation du même atome.
Alors les variations aléatoires de phase au cours du temps affectent S1 et S2 de
la même manière et la différence de phase ϕ est alors constante dans le temps.
S1 et S2 doivent être les images d’une source unique S (souvent au moyen d’un
dispositif d’optique géométrique), les ondes parcourent simplement des
chemins optiques différents mais sont émises par le même point S.
On dit ainsi que les sources secondaires S1 et S2 sont cohérentes entre elles.
12
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
4) Cohérence spatiale :
On considère une source « large », constituée d’un ensemble de sources
ponctuelles incohérentes entre elles, réparties sur une surface ou dans un
volume.
Les sources étant incohérentes entre elles, les intensités vont devoir s’ajouter :
si la source est large, on n’observera plus d’interférences, par contre si la
source est « peu étendue », on pourra observer des interférences mais avec un
contraste affaibli.
La longueur de cohérence spatiale sL est la largeur maximale de la source
donnant une figure d’interférences peu brouillée.
13
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
II) Interférences par division du front d’onde :
1) Fonctionnement de principe en lumière monochromatique :
* (S1) et (S2) constituent alors deux sources secondaires cohérentes.
* On parle pour ce type de dispositif de « division du front d’onde ».
* Lorsque la source placée en S est ponctuelle, la figure d’interférences est
observable dans tout le volume où les faisceaux issus de (S1) et (S2) se
superposent.
On dit que les interférences sont non localisées.
14
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
* Forme des franges :
15
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
2) Exemple du dispositif des trous d’Young :
Comme les interférences sont visibles sur l’écran indépendamment de sa
position, on parle d’interférences non localisées dans tout l’espace.
En pratique, on aura D >> a et on observera les franges en des points M(x,y)
proches de O, pour lesquels x et y << D.
16
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
La différence de chemin optique entre les rayons (2) et (1) vaut :
2/1
ax
Dδ δ= =
17
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
L’éclairement au point M :
0
0
2( ) 2 1 cos
axI M I
D
πλ
= +
Les franges d’interférences lumineuses sont obtenues pour x = cste et sont
donc des droites parallèles à l’axe (Oy).
18
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Les franges de même nature seront séparées d’une distance appelée interfrange
et notée i :
0 0
0
2( ) 2 1 cos 2 1 cos 2
ax xI M I I
D i
ππ
λ
= + = +
Ainsi :
0Dia
λ=
L’interfrange est de l’ordre du mm.
19
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Remarque :
Les trous S, S1 et S2 peuvent être remplacés par des fentes (de très faible
largeur selon Ox) parallèles à Oy : le phénomène sera plus lumineux.
20
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
3) Montages des trous d’Young avec lentilles :
S F’1
S1
S2 H
θ θ
L1 L2 Ecran
F’2
M(x)
x f’1 f’2
21
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Finalement, l’éclairement dans le plan focal de la 2ème lentille :
+=
20
0'
2cos12)(f
axIxI
λπ
Le résultat est similaire à celui obtenu sans lentille. La distance trous – écran
est remplacée par la distance focale de la 2nde lentille.
Les franges sont évidemment rectilignes et l’interfrange vaut :
a
fi 20 'λ
=
22
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Exercices d’application : interférences à trois fentes d’Young
On réalise l’expérience des trous d’Young, utilisant deux lentilles convergentes,
mais avec trois trous équidistants de a.
Les deux lentilles sont identiques, de focale f’. La source S (monochromatique
de longueur d’onde λ0 et ponctuelle) et l’écran sont respectivement placés aux
foyers objet et image des deux lentilles.
1) Faire un schéma du dispositif expérimental. Quel est le rôle de chaque
lentille ?
2) Evaluer la différence de marche δ entre les différents rayons interférant en un point M de l’écran.
3) Quelle est l’intensité lumineuse observée sur l’écran en fonction de cosϕ, où
0
2πϕ δ
λ= ? On notera I0 l’intensité en un point de l’écran quand un seul des
trous d’Young laisse passer la lumière.
4) Représenter graphiquement l’allure de l’intensité sur l’écran.
23
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
24
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
2
0
0
21 2cos
'
axI I
f
πλ
= +
25
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
File Diffint : « 3fentes »
26
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
4) Interférences avec des ondes planes :
27
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
28
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
5) Problème de la cohérence spatiale : cas de deux sources ponctuelles
décalées (de même longueur d’onde) :
On considère une source constituée de deux points P1 et P2, séparés d’une
distance h.
Cette source éclaire deux trous d’Young.
Ce cas peut représenter par exemple les deux composantes d’une étoile double
vue de la Terre.
Les deux points sources sont incohérents : l’intensité totale sur l’écran sera
donc la somme des intensités créées par chacune des sources séparément.
29
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
P1
P2
M(x)
x
S2
S1
a h
D D’
+=
D
ax
D
ahIMI
00
0
2cos
'2
2cos14)(
λπ
λπ
30
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
On reconnaît dans le second cosinus le terme d’interférences des trous
d’Young pour une seule source ponctuelle.
Les franges sont donc rectilignes et l’interfrange vaut :
a
Di 0λ
=
Le 1er cosinus est indépendant du point d’observation. Il est appelé visibilité et
noté V :
=
'2
2cos
0 D
ahV
λπ
Le contraste des franges vaut :
VII
IIC =
−
−=
minmax
minmax
Contraste et visibilité sont donc égaux au signe près.
31
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Allure des franges d’interférences pour quelques valeurs de C.
32
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Application ; observation d’une étoile double au travers de fentes
d’Young :
Les deux composantes d’une étoile double sont vues sous un angle α depuis la Terre.
On pointe un système de deux trous d’Young vers le milieu des deux étoiles et on
place un écran à la distance D derrière les deux trous.
On obtient une 1ère annulation de contraste pour a = 1,16 m, dans le visible
(λ = 635 nm).
Que vaut α ? (Courbes obtenues avec Regressi)
33
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Quelques exercices :
Le Miroir de Lloyd :
Animation JJR : le miroir de Lloyd (Lloyd’s mirror)
Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Miroir de Lloyd
34
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Etoiles doubles :
Pour déterminer la distance angulaire de deux étoiles très proches, on utilise
l'interféromètre constitué de deux fentes très fines, disposées en a / 2 et – a / 2 par
rapport à l'axe optique.
On observe le système interférentiel sur un écran placé à la focale de la lentille (L).
La lumière émise par les deux étoiles qui éclairent l'interféromètre est filtrée et on la
considère monochromatique. Les rayons lumineux de la première étoile arrivent
parallèles à l'axe optique, ils sont indicés 1. Les rayons issus de la seconde sont indicés
2, ils font un angle θ petit avec ce même axe.
35
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
a) Calculer l'éclairement diffracté pour la première puis la seconde étoile lorsque l'écart
angulaire θ est petit.
b) Les deux étoiles émettent-elles de la lumière incohérente. Pourquoi ?
c) Quel est l'éclairement total observé sur l'écran ?
d) La distance entre les fentes a est variable. Quelle est la valeur minimale de a pour
laquelle l'écran est uniformément éclairé ? Donner alors la valeur de l'éclairement E.
e) En faisant varier la distance qui sépare les deux fentes, on constate que la visibilité
des franges d'interférences devient nulle lorsque la distance a atteint la valeur
a = 40 cm. En déduire l'expression de l'écart angulaire θ entre les deux étoiles. Application numérique: nm546=λ .
36
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
III) Interférences par division d’amplitude :
1) Description de l’interféromètre de Michelson :
37
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
38
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
39
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
L’expérience de Michelson – Morley (1887) :
Expérience de Michelson et Morley : les chemins empruntés par les rayons lumineux lors du
déplacement de la Terre sont représentés en pointillés.
La vitesse de la Terre ajoutée à celle de la lumière aurait dû engendrer des interférences qui ne
furent jamais observées.
40
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
2) Schéma équivalent de l’interféromètre de Michelson :
Schéma équivalent dans le cas de la lame
d’air
41
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
S
S’
S1’
S2’
S’’
M1
M2
M’2
M1 e
2e
42
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
3) Utilisation en lame d’air ; franges d’égale inclinaison :
Dans ce cas, les miroirs réels (M1) et (M2) sont perpendiculaires entre eux et,
par conséquent, les miroirs (M’1) et (M2) sont parallèles.
43
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Calcul de la différence de marche dans le cas
de la lame d’air
(Interférences localisées à l’infini, observables dans le plan
focal d’une lentille CV)
44
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
S
S’
S1’
S2’
S’’
M1
M2
M’2
M1 e
2e
Ecran
f’
LCV
i
H
M
ρ
D’a
ieHSSMSM cos2)'()()( 212 ==−=δ
45
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
46
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
47
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Evolution of the circular fringes when the mirror (M2) is moving :
Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interféromètre de Michelson
e = 0,12 mm e = 0,4 mm e = 0,78 mm e = 1,5 mm
Rayon du Kième anneau :
0 0 02ecos( i ) p ( p K )δ λ λ= = = −
1 1 0
0 0 0
2 2 2' 'K
K ef K f et p
p pρ ρ ρ
λ
= = = =
48
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Contact optique (teinte plate) :
Lorsque d tend vers zéro, l’ordre d’interférence tend vers zéro et l’intensité
vaut 4Emax partout : l’intensité sur l’écran est uniforme.
On dit qu’on a réalisé le contact optique et atteint la teinte plate.
49
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
4) Utilisation en coin d’air ; franges d’égale épaisseur :
Utilisation d’une source large (en incidence normale) :
αααα
Rayon 2
Rayon
incident
Rayon 1
M
O
x
M1
M’2
e(M)
50
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Observation des franges d’égale épaisseur (source large) :
Franges du coin d’air en lumière du Sodium
51
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
5 - Etude d’un interférogramme :
On éclaire l’interféromètre de Michelson, réglé en lame à faces parallèles, par
une source étendue.
On projette les anneaux d’égale inclinaison dans le plan focal image d’une
lentille CV.
On place un petit détecteur (une photodiode ou une barrette CCD, par
exemple) au centre des anneaux.
On mesure alors l’éclairement correspondant à la différence de marche δ = 2e, où e est l’épaisseur entre les deux miroirs (ici, i = 0).
Un des miroirs se déplace à vitesse constante et on mesure ainsi
l’interférogramme I(δ) relatif à la source lumineuse utilisée.
On va montrer que l’interprétation de cet interférogramme permet d’analyser le
spectre lumineux.
52
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
On considère l’exemple des interférences avec la lumière jaune du sodium :
La lumière émise par les lampes à vapeur de sodium est essentiellement
constituée d’un doublet jaune de longueurs d’ondes proches, notées 02
λλ
∆− et
02
λλ
∆+ (de nombres d’onde voisins, notés 1 0
2
σσ σ
∆= − et 2 0
2
σσ σ
∆= + (avec
0 01/σ λ= )).
Chaque radiation étant incohérente, on ajoute les intensités :
[ ] [ ]1 2 0 1 0 2( ) 2 1 cos(2 ) 2 1 cos(2 )I I I I Iδ πσ δ πσ δ= + = + + +
Soit, après calculs :
[ ]0 0( ) 4 1 cos( ) cos(2 )I Iδ π σ δ π σ δ= + ∆
53
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
L’interférogramme I(δ) est donc identique à celui d’une radiation
monochromatique de nombre d’ondes σ0, modulé par un contraste Γ à variation lente :
( ) cos( )δ π σ δΓ = ∆
1/∆σ
On appelle battements ce type de modulation créée par la somme de deux
fonctions sinusoïdales de fréquences voisines.
54
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
L’analyse de l’interférogramme permet de déterminer l’écart spectral entre les
deux radiations du doublet.
En effet, l’écart entre deux franges claires ou deux franges sombres est :
1
0
1δ
σ∆ =
L’écart entre deux annulations du contraste est : σδ
∆=∆
12
Le nombre N de franges entre deux annulations du contraste est donc :
0 0Nσ λ
σ λ= =
∆ ∆
Ainsi, en comptant le nombre de franges, on a accès à ∆σ.
55
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Ordre de grandeur :
1 2
589,3589,0 ; 589,6 ; 0,6 ; 982
0,6nm nm nm Nλ λ λ= = ∆ = = ≈
Ceci est un premier exemple de « spectrométrie interférentielle », une des
applications de l’interférométrie.
L’analyse d’un interférogramme permet de déterminer le profil spectral d’une
source de lumière.
C’est une des applications importantes de l’interféromètre de Michelson.
Vidéo : « Le doublet du sodium : coïncidences et anticoïncidences »
56
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Weak contrast : destructive interference Medium contrast Neat contrast : constructive interference
57
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
0 2
0 0
2 42 1 cos cos
e eI I
π λ πλ λ
∆= +
1 20
2
λ λλ
+ =
2
00( 589,3 ; 0,6 )
2nm nm
e
λλ λ λ∆ = = ∆ =
∆
∆e : distance between two positions of the mirror (M1 ) when the light intensity is equal to zero.
File Regressi software (« Battements optiques »)
∆∆∆∆e
58
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
59
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
IV) Utilisation de ces dispositifs en lumière blanche :
La lumière blanche contient toutes les radiations du spectre visible, de 0,4 µm
(violet) à environ 0,8 µm (rouge).
Comme il n’y a pas d’interférences entre des sources de fréquences différentes,
on obtient sur l’écran la superposition des phénomènes correspondant aux
différentes longueurs d’onde.
Ce sont donc les éclairements qui vont s’ajouter.
Pour une longueur d’onde λ0 donnée, l’intensité en un point M vaut, dans le
cas des fentes d’Young par exemple :
0
0
(M) 2 (M) 1 cos 2( )a x
I ID
πλ
= +
60
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
L’interfrange dépend de la longueur d’onde λ 0 dans le vide : 0
frange
Di
a
λ=
.
* Au centre de la figure d’interférences, la différence de marche est nulle,
quelle que soit la longueur d’onde : on observe une frange « d’ordre zéro »
brillante et achromatique.
* Cette frange brillante sera bordée de deux franges sombres.
* L’interfrange vaut 0
frange
Di
a
λ= et est donc minimum pour le violet et
maximum pour le rouge : plus on s’éloigne du centre, plus les systèmes de
franges de décalent. Les deux franges brillantes suivantes sont irisées, le bord
violet étant tourné vers la frange d’ordre 0.
61
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
62
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Système de franges produites par deux fentes d’Young éclairées en lumière blanche
Franges rectilignes, interféromètre en coin d'air, observation en lumière blanche
63
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Quand on s’éloigne davantage du centre de l’écran, les franges disparaissent ;
l’écran est uniformément éclairé en blanc (on parle de blanc d’ordre
supérieur).
Les franges brillantes de certaines longueurs d’onde occupent la même place
que les franges sombres d’autres longueurs d’onde.
Si l’on analyse cette lumière avec un spectroscope, il apparaît des raies noires
correspondant aux longueurs d’onde pour lesquelles il y a une frange sombre.
(Spectre cannelé)
64
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Young’s slits experiment with white light : (Channeled spectrum)
65
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
There is a slit in M (x = 5 mm) and a prism is put at the exit.
Without prism, we see nothing but uniform, apparently white
light.
With prism, the various colours are dispersed on a screen.
The rainbow produced by the white light is not uniform : it
contains dark fringes, showing that the spectrum of the light has
been changed (channeled spectrum)
(a = 1,5 mm ; D = 1,5 m)
66
O Granier, PC* J Decour (Interférences lumineuses)
Path length difference :
ax5 m
Dδ µ= =
Condition to have dark fringes : (destructive interferences)
[ ]0 0
ax 15 m (m ) ( 0,4 m,0,8 m
D 2δ µ λ λ µ µ= = = + ∈
For :
0
10,4 m m 12,5 hence m 12
2λ µ= ⇒ + = =
The different wavelengths given dark fringes are :
Interference order m 12 11 10 9 8 7 6
Wavelength (µm) 0,4 0,43 0,47 0,52 0,59 0,67 0,77
We can see 7 dark fringes.
Recommended