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La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
Définition :
Un fluide parfait est un modèle dans lequel le fluide ne subit pas de force de cisaillement ou de force de viscosité
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
I) L’équation d’Euler
1) Expression de l’équation
Photo à l’instant t
O
x
y
z
(R)
P
A l’instant t, les points M et P coïncident :
a(M,t) = aP(t)
rM
M dm = (M,t).d
L’équation d’Euler
En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :
ρ ρD
. P Dt t v
v vv grad v grad f
ρ ρ2D v
x PDt t 2 v
v vgrad rotv v grad f
L’équation d’Euler
En M, à la date t, dans le référentiel R’ non galiléen :
ρ ρΩ ρ. P 2 xt v ev
v grad v grad f v a
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
I) L’équation d’Euler
1) Expression de l’équation
2) Conséquences
a) Le champ du vecteur tourbillon
Théorème de Lagrange
Dans un champ de forces volumiques conservatif, comme le champ de pesanteur, un écoulement parfait, incompressible et homogène, qui est irrotationnel à un instant t0 reste irrotationnel ultérieurement, t > t0.
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
I) L’équation d’Euler
1) Expression de l’équation
2) Conséquences
a) Le champ du vecteur tourbillon
b) Écoulement horizontal
O x
z(R)
g
v(M,t) = v(x,t).ux
v1 v2
Le long de l’axe z,la pression suit la loi de la statique
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
I) L’équation d’Euler
1) Expression de l’équation
2) Conséquences
3) Solution d’un problème
Fluide en mouvement
Ov0v0
P0 P0
v, P
Conditions aux limites au niveau d’une paroi
Fluide parfait : n.vfluide = n.vparoi ;
vt,fluide est quelconque
Fluide réel : vfluide = vparoi
Obstacle
Fluide ambiant
n
t
M
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait
1) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel
Théorème de Bernoulli
En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :
ρ
2v 1 x P
t 2v
grad rotv v grad g
Théorème de Bernoulli
ρ
2P v g.z x
2grad rotv v 0
• L’écoulement est stationnaire :tv
0
• Dans le champ de pesanteur uniforme,la densité massique de force s’écrit : g = – grad(g.z)
• L’écoulement est incompressible et homogène : est constant et uniforme
Théorème de Bernoulli
Pour deux points A et B quelconques appartenant à la même ligne de courant d’un écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel :
Γρ ρ
2 2A A B B
A BP v P v
g.z g.z C( )2 2
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait
1) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel
2) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et irrotationnel
Théorème de Bernoulli
En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :
ρ
2v 1 x P
t 2v
grad rotv v grad g
Théorème de Bernoulli
• L’écoulement est stationnaire :tv
0
• Dans le champ de pesanteur uniforme,la densité massique de force s’écrit : g = – grad(g.z)
• L’écoulement est incompressible et homogène : est constant et uniforme
• L’écoulement est irrotationnel : rotv = 0
Théorème de Bernoulli
ρ
2P v g.z
2grad 0
L’équation d’Euler devient :
En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :
Théorème de Bernoulli
Pour un écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et irrotationnel en tout point M du fluide
ρ
2P v g.z C(fluide)
2
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli
1) L’effet Venturi
a) Le phénomène Venturi
Le phénomène Venturi
S1
1
S2
2
ux P1
A1 v1
P2
A2v2
S1 > S2 ; v1 < v2 ; P1 > P2
Le phénomène Venturi
L’effet Venturi est l’apparition d’une dépression dans une région où les lignes de courant se resserrent
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli
1) L’effet Venturi
a) Le phénomène Venturi
b) Mise en évidence et applications
La balle de ping – pong
F
P1
P2
Resserrement deslignes de courant
P2 < P1
Aspiration de la balle
Le brumisateur
P1
P1 P2
P2 < P1
Aspiration du liquide
L’aile d’avion
P2 < P1
Extrados
Intrados P1
P2Portance
La toiture
Maison
P1
P2F F’
P2 < P1
Resserrement au niveau du toit
La pompe à vide
Aspiration P1
P2
Tube B
P1 > P2
le rétrécissement donne naissance à une dépression qui permet l’aspiration du fluide dans le tube B
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli
1) L’effet Venturi
2) Le tube de Pitot
Le tube de Pitot
A
B
Ecoulement h
Ecoulement
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli
1) L’effet Venturi
2) Le tube de Pitot
3) Vidange d’un réservoir
a) Vitesse d’éjection
Vidange d’un réservoir
Liquide
O x
z
h
zA
B
A
S
g
s
P0
P0
zB
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli
1) L’effet Venturi
2) Le tube de Pitot
3) Vidange d’un réservoir
a) Vitesse d’éjection
b) Temps de vidange
Vidange d’un réservoir
Liquide
O x
z
h
zA
B
A
S
g
s
P0
P0
zB
La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli
1) L’effet Venturi
2) Le tube de Pitot
3) Vidange d’un réservoir
4) L’effet Magnus
v0
Obstacle
Portance
Traînée
A
B
C
O
F
V0 V0
Fluide en mouvement
Cylindre en rotation
L’effet Magnus
• Si > 0, la balle est coupée, la portance est augmentée ;
• si < 0, la balle est liftée, la portance est réduite.
V0
Fluide en mouvement
F
Balle coupée
F
Balle liftée
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