MDF CHAP 3 Dynamique Des Fluides Incompressibles Parfaits

8/20/2019 MDF CHAP 3 Dynamique Des Fluides Incompressibles Parfaits

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CHAPITRE 3:

DYNAMIQUE DES

FLUIDES

PARFAITSPréparé par : SAGGAI SofianeDépartement d’Hydraulique et de Génie civilFaculté des Sciences et Technologie et Sciences de la Matières

Université Kasdi Merbah OuarglaAnnée universitaire 2011/2012


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1. INTRODUCTIONDans ce chapitre, nous allons étudier les fluides enmouvement. Les éléments d’un fluide enmouvement peuvent se déplacer à des vitessesdifférentes. L’écoulement des fluides est un

phénomène complexe.On s’intéresse aux équations fondamentales quirégissent la dynamique des fluides incompressibles

parfaits, en particulier :- L’équation de continuité (conservation de lamasse),

- Le théorème de Bernoulli (conservation del’énergie) et,- Le théorème d’Euler (conservation de la quantité

de mouvement)


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2 EQUATION DE CONTINUITE

Considérons un écoulement permanent d’un fluideincompressible de masse volumique ρ dans une conduite(voir figure suivante).

dm2

dm1M

s1 s’1

s’2s2

dx1

dx2

v1 v2


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Nous avons:

- S1 et S2 respectivement la section d’entrée et lasection de sortie du fluide à l’instant t,

- S’1 et S’2 respectivement les sections d’entrée et

de sortie du fluide à l’instant t’=(t+dt),- V1 et V2 les vecteurs vitesse d’écoulement

respec vemen ravers es sec ons e ela veine.

- dx1 et dx2 respectivement les déplacements des

sections S1 et S2 pendant l’intervalle de temps dt,- M : masse comprise entre S1 et S2,


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- dm1 : masse élémentaire entrante comprise entre

les sections S1 et S’1,- dm2 : masse élémentaire sortante comprise entreles sections S2 et S’2,

- dV1 : volume élémentaire entrant compris entreles sections S1 et S’1,

- 2 : vo ume men a re sor an compr s en reles sections S2 et S’2,

A l’instant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une

masse égale à (dm1+ M)A l’instant t+dt : le fluide compris entre S’1 et S’2 a

une masse égale à (M+ dm2).


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Par conservation de masse: dm1+M=dm2+M

d’où dm1=dm2...... (1) mais ρ=dm/dVDonc dm= ρ.dV. En remplaçant en (1) on

aura: ρ1.dV1= ρ2.dV2….(2). Si dV=dx.S (2)devient: ρ1.dx1.S1= ρ2.dx2.S2….(3)

= = ’dans la conduite dans un intervalle detemps dt, donc (3) sera:

(dx1 /dt).S1= (dx2 /dt).S2 et v=dx/dt , parconséquence: v1.S1=v2.S2….(*)qui l’équation de continuité


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3 NOTION DE DEBIT

3.1 Débit massique:C’est la masse de fluide par unité de temps

qui traverse une section droite quelconquede la conduite. Donc qm=dm/dt maisd’a rès 1 et 2 dm= .dx.S

d’où qm= ρ.(dx/dt).S= ρ.v.SDonc:

qm=ρ.v.S


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3.2 Débit volumique:

C’est le volume de fluide par unité de temps quitraverse une section droite quelconque de laconduite. Donc qV=dV/dt en remplaçant par

dV=dm/ ρ qv=dm/dt/ ρ=qm / ρ soit

=v.S3.3 Relation entre le débit massique et débit

volumique:

qm= ρ.v.S donc:

qm= ρ. qv


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4. Théorème de BERNOULLI

4.1 - Le phénomèneObservations

• Une balle de ping-pong peut rester ensuspension dans un jet d'air incliné.

• ne eu e e pap er es asp r e orsqu onsouffle dessus.

Conclusion : La pression d'un fluide diminuelorsque sa vitesse augmente.


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4.2 - Théorème de Bernoulli pour un écoulement

permanent d’un fluide parfait incompressible


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On considère un écoulement permanent iso-

volume d’un fluide parfait, entre les sectionsS1 et S2, entre lesquelles il n’y a aucune

machine hydraulique, (pas de pompe, ni de

turbine).

Soit m la masse et V le volume du fluide ui

passe à travers la section S1 entre les instants tet t+∆t. Pendant ce temps la même masse et le

même volume de fluide passe à travers lasection S2. Tout se passe comme si ce fluide

était passé de la position (1) à la position (2).


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• On applique le théorème de l’énergie mécanique

au fluide entre t et t+∆t : « La variation del’énergie mécanique est égale à la somme destravaux des forces extérieures. »

• On a Emec=Epot+Ecin=dm.g.z+(dm/2).v2• E2mec- E1mec= Wforces de pression= F1 .dx1- F2 .dx2⇔⇔⇔⇔

2mec

-1mec 1

.1.

1-

2.

2.

2

1.

1-

2.

2On a dV=dm/ ρ, par conservation de masse:dm1=dm2=dm et puisque le fluide est parfait:

ρ1=ρ2=ρen simplifiant on obtient l’équation de BERNOULLI:

(V22-V12)/2+(P2-P1)/ ρ+g(z2-z1)=0


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On a: ρ.(V22-V12)/2+(P2-P1)+ ρ g(z2-z1)=0

Donc: P+(ρ /2).V2 + ρ.g.z= constantP est la pression statique, ρ.g.z est la pression

de pesanteur, (ρ /2).V2

est la pression cinétique.Tous les termes s’expriment en pascal.

n v san ous es ermes e a re a onprécédente par le produit ρ.g, on écrit tous lestermes dans la dimension d'une hauteur

(pressions exprimées en mètres de colonne de

fluide).

P/ ρ.g +V2 /2.g + z=H


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H est la Hauteur totale, P/ ρ.g est la Hauteur

de Pression, z est la cote, V2 /2.g est laHauteur cinétique, P/ ρ.g+z est la Hauteurpiézomètrique.

4. 3Cas d'un écoulement (1)vers(2) sanséchan e de travail

Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait,

il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine)

entre les points (1) et (2) d'une même ligne decourant, la relation de Bernoulli peut s’écrire

sous l'une ou l'autre des formes suivantes :


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ou4.4 - Cas d'un écoulement (2)vers(1) avec

échange d’énergieLorsque le fluide traverse une machine

’,

machine sous forme de travail ∆W pendant

une durée ∆t. La puissance P échangée est:

Unités : P en watt (W), W en joule (J), t en

seconde (s).


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• P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. :

pompe) ;• P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. :

turbine).

Si le débit-volume est qv la relation de Bernoulli

’


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5 APPLICATION DU THÉORÈME DE

BERNOULLI :5.1 Phénomène de Venturi

Un conduit de section principale SA subit unétranglement en B où sa section est SB. La

’

l’étranglement, donc sa pression y diminue :

vB > vA donc pB < pA


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D'après l'équation de continuité,et donc

La différence de pression aux bornes auxextrémités du tube de Venturi est

proportionnelle au carré du débit ; application

à la mesure des débits (organes déprimogènes)

On peut citer aussi la trompe à eau, le

pulvérisateur...


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5.2 Écoulement d'un liquide contenu dans un

réservoir - Théorème de TorricelliConsidérons un réservoir muni d'un petit orifice

à sa base, de section s et une ligne de courant

partant de la surface au point (1) et arrivant à

l'orifice au oint (2).

En appliquant le théorème de Bernoulli entre les

points (1) et (2),


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Or p1 = p2 = pression atmosphérique ett v1


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6.THEOREME D’EULER :

Une application directe du théorème d’Euler estl’évaluation des forces exercées par les jets

d’eau. Celles-ci sont exploitées dans divers

domaines : production de l’énergie électrique à

artir de l’éner ie h drauli ue râce aux

turbines, coupe des matériaux, etc.

Le théorème d’Euler résulte de l’application du

théorème de quantité de mouvement àl’écoulement d’un fluide : Σ F ext =dP/ dt ; avec

P = mV : quantité de mouvement.


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Ce théorème permet de déterminer les efforts

exercés par le fluide en mouvement sur lesobjets qui les environnent.

• Enoncé

La résultante (ΣFext ) des actions mécaniques

(fluide contenu dans l’enveloppe limitée parS1 et S2 ) est égale à la variation de la

quantité de mouvement du fluide qui entreen S1 à une vitesse V1 et sort par S2 à unevitesse V

2

. ΣFext

=qm

(V2

−V1

)


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7.CONCLUSIONLes lois et les équations établies dans ce chapitre en particulier

l’équation de Bernoulli ont un intérêt pratique considérable

du moment ou elles permettent de comprendre le principe

de fonctionnement de beaucoup d’instruments de mesure de

débits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le

diaphragme…etc.

serv es aux u es ncompress es, ces o s e qua ons

peuvent être employées dans certains cas particulier pour les

fluides compressibles à faible variation de pression.

Une telle variation existe dans plusieurs cas pratiques.Cependant, lorsqu’on veut prendre en considération la

compressibilité dans les calculs, il est nécessaire d’employer

les formules appropriées.


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Références bibliographiques

• BEN HAMOUDA R.; NOTIONS DEMECANIQUE DES FLUIDES, Cours et

Exercices Corrigés.

Centre de PublicationUniversitaire, Tunis.• Liens : Expériences de mécanique des fluides

Cours de Mécanique des Fluides (BTS Industriels) http://www.ac-nancy- metz.fr/ enseign/ physique /

phys/term/mecaflu/Poly-mecaflu.htm

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