La notation scientifique Écriture et opérations. Écriture

La notation scientifique

Écriture et opérations

Écriture

La notation scientifique est une forme d’écriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits.

a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z

Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.

La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des gens.

Exemples: 2 500 $

2,5 kg

75 ans

8 frères et soeurs

2 automobiles

45,7 cm

Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle est facile à utiliser.

La caractéristique principale de la notation décimale est que:

 chaque position des chiffres représente un multiple de 10.

1L’unité

Unité de milliard: 1 000 000 000

Unité de million: 1 000 000

Centaine de mille: 100 000

Dizaine de mille: 10 000

Unité de mille: 1 000

Centaine: 100

Dizaine: 10

Dixième: 0,1

Centième: 0,01

Millième: 0, 001

Millionième: 0, 000 001

Vers: ∞+

∞-Vers:

G : giga :

M : méga :

K : kilo :

: micro :

n : nano : Milliardième: 0, 000 000 001

da : déca :

h : hecto :

d : déci :

c : centi :

m : milli :

Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10.

= 10-4

= 109

= 106

= 105

= 104

= 103

= 102

= 101

= 100

= 10-1

= 10-2

= 10-3

Remarque: Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.

G : giga M : méga

: micro= 10-6

n : nano

0,01

0, 001

0, 000 1

1

1 000 000 000

1 000 000

100 000

10 000

1 000100

10

0,1

0, 000 001

0, 000 000 001 = 10-9

k : kilo

da : décah : hecto

d : déci

c : centi

m : milli

a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z

Dans la définition mathématique de la notation scientifique:

signifie donc un nombre écrit en utilisant la base 10;

le 10

étant pris dans la famille des entiers, soit Z;

l’exposant

a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z

ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10.

L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.

Exemple 1: Écrire 23 643 en notation scientifique.

Dans 23 643 la virgule est à la fin: 23 643,0

Étape 1:

Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; 2 3 6 4 3 0,

Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions,

1 ≤ 2,364 3 < 10

mais il n’est pas égal à 23 643

Pour le rendre égal à 23 643, il faut le multiplier par 10 000.

23 643 = 2,364 3 X 10 000

soit le nombre de positions traversées par la virgule.

Étape 2:

c’est-à-dire 104.

23 643 = 2,364 3 X 104

Exemple 2: Écrire 0,000 034 en notation scientifique.

Étape 1:

Déplacer la virgule entre le 3 et le 4; 0 000 03 4,

Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions.

1 ≤ 3,4 < 10

mais il n’est pas égal à 0,000 034.

0,000 034 = 3,4 X 0,000 01

soit le nombre de positions traversées par la virgule.

Étape 2:

Pour le rendre égal à 0,000 034, il faut le multiplier par 0,000 01.

c’est-à-dire 10-5

0,000 034 = 3,4 X 10-5

Remarque:

Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter l’exposant de la base 10.

2 3 6 4 3 0,

Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer l’exposant de la base 10.

23 643,0 X 100 2,364 3 X 104

0 000 03 4,

0,000 03 4 X 100 3,4 X 10-5

Exercices

Transforme les nombres suivants en notation scientifique:

1,676 5 X 1013

156 000:

234 000 000 000 000:

946 080 000 000 000 000:

0,0456:

0,000 000 12:

0,000 000 000 000 000 000 160 218:

0, 000 000 000 456:

16 765 000 000 000:

Remarque: La calculatrice écrira 1,676 5 E13. Le E remplace la base 10.

1,56 X 105

2,34 X 1014

9,460 8 X 1017

4,56 X 10-2 la calculatrice écrira 4,56 E -2

1,2 X 10-7

1,602 18 X 10-19

4,56 X 10-10

À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement:

2,3 X 105 = 2,3 X 100 000 = 230 000

Remarque:

230 000,0

Notation décimale

2 3 0 0 0 0 0

Notation scientifique

2,3 X 105

230 000,0

Notation décimaleNotation scientifique

2,3 X 105 2 3 0 0 0 0 0,

,

1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5

0,001 5

Notation décimale

0 001 5,

Notation scientifique

1,5 X 10-3

0,001 5

Notation décimale

0 001 5,

Notation scientifique

1,5 X 10-3

À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement:

Remarque:

Exercices

Transforme les nombres suivants en notation décimale:

1,27 X 106 : 1 270 000

4,5869 X 103 : 4 586,9

1,2 X 1010 : 12 000 000 000

2,5 X 10-3 : 0, 002 5

3,475 X 1020 : 347 500 000 000 000 000 000

1,897 X 10-10 : 0, 000 000 000 189 7

2, 49573 X 10-12 : 0, 000 000 000 002 495 73

Quelques symboles

unité de milliard: 1 000 000 000G : giga : = 1 X 109

unité de million: 1 000 000M : méga : = 1 X 106

millionième: 0, 000 001 : micro : = 1 X 10-6

unité de mille: 1 000K : kilo : = 1 X 103

n : nano : milliardième: 0, 000 000 001 = 1 X 10-9

Quelques symboles

La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de 1 528 MW.

1 528 MW = 1 528 X 1 000 000 = 1 528 000 000 watts

La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW.

16 GW = 16 X 1 000 000 000 = 16 000 000 000 watts

La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$.

13,7G$ = 13,7 X 1 000 000 000 = 13 700 000 000,00 $

1 m

1 km

1 Mm

1 Gm

1 mètre

1 mm

1 m

1 nm

La technologie évolue très rapidement.

Observe des réalisations faites au m ( micromètre ).

1 m = 0,000 001 m = 0,001 mm

La technologie évolue très rapidement.

Observe des réalisations faites au nm ( nanomètre ).

1 nm = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm

Les opérations

Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories:

1) la multiplication et la division;

2) l’addition et la soustraction.

Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.

La multiplication

Exemple:

200 X 3 000

6 X 105

2 X 102 X 3 X 103

On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:

Calculer:

Reconvertir en notation scientifique:

Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

600 000

Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.

2 X 102 X 3 X 103

Étape 1: Multiplier les nombres accompagnant les bases 10.

2 X 3 = 6

Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables: - on récupère la base;

- on additionne les exposants;

102 X 103 = 102+3 = 105

Étape 3: On regroupe le tout: 6 X 105

Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide.

Exemple: 2 X 108 X 4 X 106 = 8 X 1014

Exercices

Calcule les quantités suivantes:

1,5 X 105 X 3 X 106 = 4,5 X 1011

4 X 1034 X 2 X 106 = 8 X 1040

2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109

Attention: 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108

mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10.

Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10

On doit donc terminer l’écriture:

12,5 X 108 = 1,25 X 109

Calcule les quantités suivantes:

2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010

1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109

4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,635 X 1012

Attention: La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique.

-3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010

-2,1 X 105 X - 4,3 X 102 = 9,03 X 107

Calcule les quantités suivantes:

2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102

Attention: 2 X 106 X 3 X 10-4

106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102

3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105

2,4 X 1010 X 3 X 10 -4 = 7,2 X 106

La division

Exemple:

400 000 ÷ 200

2 X 103

4 X 105 ÷ 2 X 102

On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:

Calculer:

Reconvertir en notation scientifique:

Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

2 000

Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.

4 X 105 ÷ 2 X 102

Étape 1: Diviser les nombres accompagnant les bases 10.

4 ÷ 2 = 2

Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables: - on récupère la base;

- on soustrait les exposants;

105 ÷ 102 = 105-2 = 103

Étape 3: On regroupe le tout: 2 X 103

Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide.

Exemple: 9 X 1014 ÷ 3 X 106 = 3 X 108

Exercices

Calcule les quantités suivantes:

3 X 106 ÷ 1,5 X 104 = 2 X 102

4 X 1034 ÷ 2 X 106 = 2 X 1028

2,5 X 108 ÷ 5 X 103 = 5 X 104

Attention: 2,5 ÷ 5 = 0,5 et 108 ÷ 103 = 105

mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10.

Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10

On doit donc terminer l’écriture:

0,5 X 105 = 5 X 104

Calcule les quantités suivantes:

2,8 X 107 ÷ 5 X 102 = 5,6 X 104

1,5 X 106 ÷ 2 X 102 = 7,5 X 103

1,02 X 108 ÷ 3,4 X 103 = 3 X 104

8 X 106 ÷ 2 X 10 -4 = 4 X 1010

Attention: 8 X 106 ÷ 2 X 10 -4

106 ÷ 10-4 = 106- -4 = 106 + 4 =1010

2,4 X 1010 ÷ 3 X 10-2 = 8 X 1011

1,2 X 10-6 ÷ 4 X 10-3 = 3 X 10-4

L’addition et la soustraction

Exemple:

400 000 + 2000

4,02 X 105

4 X 105 + 2 X 103

On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:

Calculer:

Reconvertir en notation scientifique:

2 000

400 000+

402 000

Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente.

Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10.

Exemple: 4 X 105 + 2 X 103

Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas.

400 X 103 + 2 X 103

On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10;

400 + 2 = 402

On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 103

400 X 103 + 2 X 103

On regroupe le tout: 402 X 103

On termine l’écriture: 4,02 X 105

Remarque : On pourrait aussi procéder ainsi:

4 X 105 + 2 X 103

4 X 105 + 0,02 X 105

Transformer le plus petit des nombres:

On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10;

On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 105

4 X 105 + 0,02 X 105

4 + 0,02 = 4,02

On regroupe le tout: 4,02 X 105

Exercices

3 X 106 + 1,5 X 104 = 3,015 X 106

2,5 X 106 + 5 X 103 = 2,505 X 106

8,4 X 105 - 2,3 X 104 = 8,17 X 105

1,6 X 104 - 5,2 X 106 = - 5,184 X 106

Attention: La loi concernant l’addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique.