La propagation du son dans les matériaux: vibrations, diffusion, atténuation. A. Tanguy Physique...

La propagation du son dans les matériaux: vibrations, diffusion, atténuation.

A. TanguyPhysique au Printemps, 18 mars 2009.

Verres minéraux, à base de silice

Verres métalliques, Vitreloy

Flutes or , argent, platine, maillechort, plexiglas …Mousse isolante

Variétés de bois et Composites

Dune de sable

I. Introduction: la propagation du son dans l’air.

II. Propagation du son dans les solides.

Loi de comportement.

Ex1. Tables d’harmonie.

Ex2. Ondes de surface dans une dune de sable.

III. Propagation du son dans un milieu désordonné.

Diffusion et atténuation.

Ex3. Matériaux amorphes.

Ex4. Effet de l’endommagement d’un verre.

CochléeTympan

Oreille MoyenneLa transmission du son dans l’air:

Onde de pression: avec P’ : surpression, et Po ≈ 105 Pa

loi de comportement, compressibilité s

éq. du mouvement x x+dx

conservation de la masse

d’où l’équation d’onde

0

0.1

'

S

P

'PPP o

x

P

t

v

'

0

x

v

t

00 )(

0'

.

1'2

2

02

2

x

P

t

P

S

0'

.

1'2

2

02

2

x

P

t

P

Sse résoud en

/ avec ).2..2cos(.).2..2cos(.),(' ex.par

espropagativ ondes .

1 avec )()(),('

0

cx

tPx

tPtxP

cc

xtg

c

xtftxP

S

conditions initiales conditions aux bords (impédance de sortie)

Ordres de grandeur: o = 1kg/m3 , Po = 105 Pa , c = 340 m/s dans l’air

=20 Hz =17 m=20 000 Hz =17 mm

Intensité sonore I= P’2/(0.c) en W/m2 seuil de perception Iref=10-12W/m2

Niveau sonore Ni= 10.Log(I/Iref) en dB

1<Ni<100 dB 10-5 Pa<P’<1 Pa 0,03m/s<V<3mm/s 9.10-11<<9.10-6

Amplitude de déplacement des atomes U~P’/(c) 0,1Å<U<1m pour f=330Hz

air

60 cm

600 m

diamant

Sons audibles:grandes longueurs d’onde.

Interface entre 2 milieux:réflexion + transmission, fonction de « l’ impédance » Z=.c

Continuité des vitesses et des pressions:

d’où atténuation sonore: en transmission

en réflexionDonc si Z2 >> Z1 alors T 0.Exemple: air/eau atténuation 10.logT = - 30 dB

air/solide solide =V/c ~ (air).2cair/csolide

22

11

11

0

';)exp(..'

';)exp(..'

';)exp(.'

'

Z

tPvxiktiPotP

Z

PvxiktiPorP

Z

PvxiktiPoP

x

P

t

v

tt

rrr

iii

i

r

t

tri

tri

vvv

PPP

'''

212

2122

)(

)(

ZZ

ZZr

I

IR

i

r

212

21

2

21

)(

4

ZZ

ZZ

Z

tZ

I

IT

i

t

Exemple: « Nida »

Atténuation sonore par rupture d’impédance, résonance des cavités.

Autres mécanismes d’atténuation: amortissement temporel.

• Transferts à des degrés internes de vibration moléculaires

• Vibrations déphasées de défauts localisés

• Transferts thermiques

• Plastification locale

• Anharmonicité des interactions

• Excitations électroniques …

I. Introduction: la propagation du son dans l’air.

II. Propagation du son dans les solides.

Loi de comportement.

Ex1. Tables d’harmonie.

Ex2. Ondes de surface dans une dune de sable.

III. Propagation du son dans un milieu désordonné.

Diffusion et atténuation.

Ex1. Matériaux amorphes.

Ex2. Effet de l’endommagement d’un verre.

fluide: solide:pression P’ contraintes

Equations du mouvement:

avec u, déplacement du volume élémentaire.

a

D

frrt

u

1

2

2

x

u

x

u

2

1

kllk

ijklij C .,

fugradugradzyxCdivrt

u t

))(:),,((2

2

Loi de comportement ?

Cas d’une réponse linéaire – loi de Hooke.relier les contraintes aux déformations:

21 modules d’élasticité Cijkl.

Equation de propagation vectorielle:

Milieu continu, linéaire, mais inhomogène, anisotrope.

Cas d’un milieu continu, linéaire, homogène et isotrope:

Onde longitudinale:Le mouvement des atomes est dans le sens de la propagation

Onde transverse:Le mouvement des atomes est perpendiculaire au sens de la propagation

2

,. 22..

LL cc

222.2

.2

. lmnL

cc LLlmn

Onde longitudinale:

LTT ccc ,. 22

..

Ondes transverses:

2 modules d’élasticité, et

)()(

....2

:mouvement du équations

.2.. scontrainte

2

2

0

rotgradu

furotrotudivgradt

u

tr

ext

3

2

3~)(D

gDensité des modes de vibration:

Exemple de matériau anisotrope:

Bois pour table d’harmonie.

Ex1:

Modules d’élasticitémodules d’Young:ELfibres>>Eradial ~ ETangent

Interférométrie holographique, Hutchins (1971)

E// ≈ 11,6 GPa E┴ ≈ 0,716 GPa ≈ 0.39 t.m-3

Modes propres de vibrations (simplifiés) d’une table d’harmonie:

Vibrations parallèles aux fibres:

Vibrations perpendiculaires:

Large gamme de fréquences de résonance

Recherche d’un matériau ayant une anisotropie voisine, E// / E┴ ≈ 16.

E// ≈ f.Vf + rm.(1-Vf) PRFC avec Vf ≈ 13%E┴ ≈ 1/ (Vf/f + (1-Vf)/m) alors E// = 53 GPa

On obtient la masse volumique:PRFC = 1,25 t.m-3

L’égalisation des fréquences de résonance impose alors:l’épaisseur dPRFC = 0.75 x dépicéa ≈ 2.52 mm

Mais alors la masse totale de la table d’harmonie vautMPRFC ≈ 2.69 x Mépicéa !!!

Le choix d’un matériau sandwich permet de garder la même masse que celle du bois.

Les fréquences de résonances sont approximativement données par celles du PRFC.Ce qui permet de calculer les épaisseurs:

d1 ≈ 0.63 d2

d2 ≈ 0.66 dépicéa

La technique de C. Besnainou (LAM)matériau sandwich

… application aussi à la fabrication de luths:Conséquences: léger, stable, résistant à l’humidité, moins de perte par amortissement,

Bois de placage

Fibre de carbone unidirectionnelleimprégnée de résine epoxy

Mousse acrylique

Mise en forme dans un moule de plâtrePlacé dans un sac sous vide,Chauffé à 140°C.

Système de chauffage à l’aide de rubans de silicone. Montée en température < 1/2h.

…et des violoncelles et contrebasses « COSI »

Solidité et stabilité, en particulier vis-à-vis de l’humidité, grâce à des matériaux composites à base de fibre de carbone.

Richesse du timbre?

Exemple d’une loi de comportement non-linéaire:Cas d’un matériau granulaire avec contacts de Hertz.

Contact de Hertz:

Énergie Fel~d5/2 au lieu de ~ d2

d

Ex2:

Équilibre avec pesanteur:

modes de surface, transverses:

0)0(' V

relation de dispersion:

modes:

Ondes de surface permises grâce à la loi de comportement non linéaire.

z

y

Milieu dispersif:

Test de la loi de comportement:

Expérience:

6

5

v

v

dk

dv

kv g

g

…des capteurs sensibles aux vibrations de surface…

~k5/6

Influence de la structure microscopiquesur la propagation des sons ?

?)( modes de densité

dynamique" matrice"la de ationdiagonalis

:propres fréquences propres, modes

..

:mouvement du équations

atome chaque de tsdéplacemen

..)(

:0)(T epotentiell Energie

2

2

0

,1

g

M

rfruMr

Ur

t

um

rrru

ruruMrEU

ijj

iji

totalii

iii

jiji

ijij

N

i jLJtotal

Version microscopique des équations de propagation:

groupe. de vitesse phase de vitesse

)2

sin(2

)2

(sin4))cos(1(2

.

)2.(

22

)(

11

..

dq

dv

qv

qdm

Kqd

m

K

qd

m

Kqd

m

K

euu

uuuKum

g

tqndin

nnnn

~ cT.q

d2

diamant CFC

T+L L O

3

2

3~)(D

g

Cas (bien connu) d’un cristal:

Résolution des équations discrétisées par transformée de Fourier:

Milieu dispersif à l’échelle de l’atome: c().

Modes acoustiques et optiques si plusieurs atomes par maille.

Densité d’états: g()

reflète les caractéristiques locales de l’empilement, des interactions…

Onde longitudinale

Onde transverse

Mode acoustique

Mode optique

Milieu dispersif:

I. Introduction: la propagation du son dans l’air.

II. Propagation du son dans les solides.

Loi de comportement.

Ex1. Tables d’harmonie.

Ex2. Ondes de surface dans une dune de sable.

III. Propagation du son dans un milieu désordonné.

Diffusion et atténuation.

Ex3. Matériaux amorphes.

Ex4. Effet de l’endommagement d’un verre.

Exemples de « matériaux désordonnés »:

Verres métalliques, Vitreloy

Verres minéraux, à base de silice

Image par microscopie électronique à transmission de l’empilement atomique dans un nanocristal de silicium et de sa surface amorphe (échelle: 3 milliardièmes de mètre).

PCML –université Lyon I

Empilement désordonné de billes de taille millimétrique.

O. Pouliquen (1997)

Mousse de savon 2DO.Debrégeas et J.-M. di Meglio (2001)

Verre modèle, de type Lennard-Jones

C1 ~ 2 1 C2 ~ 2 2 C3 ~ 2 (+

Modules d’élasticité:

Verre modèle de LJ N=216 225 L=483

Matériaux inhomogènes:alternance de zones rigides et souples.anisotropie locale.

Propagation du son?

4 régimes possibles:

- Propagation cohérente (direction et phase)

<< l

Longueur d’onde libre parcours moyen - Low scattering (diffusion Rayleigh)

- Strong scattering

- Localisation ~ l (critère de Ioffe-Regel)

Ex3:Modes propres de vibration d’un matériau amorphe

à basse température.

ex. silice SiO2 T<Tg

Résultats expérimentaux:

Densité « anormale » de modes de vibration à basse :Pic Boson

Raman Specra of a-SiO2 by C. Masciovecchio et al.(1999)

)(

)()(2

Dg

gg

Capacité calorifique:

dTCQ v .Très élevée avecun excès à basse température: Emmagasiner del’énergie thermiquesans élévationde T.

Conductivité thermique:

dxdTdSdtdu /./

Très faible conductivitéthermique, avec un plateau à basse T:

Isolants thermiques.

Flux d’énergie Gradient de Températurecr

ista

l

amor

phe

Résultats numériques: Fréquences propres de vibration

sur un verre modèle (Lennard-Jones).A. Tanguy et coll. Phys. Rev. B (2002), J.P. Wittmer et coll. Europhys. Lett. (2002), A. Tanguy et coll. App. Surf. Sc. (2004)

F. Léonforte et coll. Phys. Rev. B (2004), F. Léonforte et coll. Phys. Rev. B (2005), F. Léonforte et coll. Phys. Rev. Lett. (2006).

LJ, 3D

Fréquences propres obtenues pardiagonalisation de la matrice dynamique.

Fréquences propres, modes transverses:

longueur d’onde caractéristique, T

2/1222 )/( lmnL Longueur d’onde

Convergence progressive vers le milieu continu, à grande longueur d’onde

Relation de dispersion et densité de modesG. Monaco and S. Mossa (2008)

Milieu dispersif à des échelles beaucoup plus grandes

que la distance interatomique.Pic Boson.

Modes propres de vibration à différentes fréquences:

mode p=231, >>PBmode p=11, <<PB

Ondes planes progressives. Bruit?

Evolution des modes propres à plus hautes fréquences:Amplitude du bruit

(comparaison avec la diffusion Rayleigh)

Le Pic Boson se situe à la limite du régime de diffusion Rayleigh.

Rayleigh scattering

saturation2

théo

Diffusion Rayleigh: calcul perturbatif.

2

22

2

2

.

oùd'

))(:(..)(...

:fperturbati calcul

avec ),,(

avec ),,(

avec ),,(

))(:),,((

auu

ugradCdivuuCu

zyx

uuuuzyxu

CCCCzyxC

fugradugradzyxCdivrt

u

o

oooo

oo

oo

oo

t

Exemple de localisation à basse fréquence:Effet de l’endommagement d’un verre.

Ex4:

Loi de comportement élasto-plastique

Modes de vibration,à proximité d’un réarrangement irréversible?

Fréquences propres:

Localisation d’un mode:Réarrangement plastique:

Localisation de vibrationsbasse fréquencesur les zones de très faiblemodule de cisaillement,

juste avant un réarrangement plastique.

module de cisaillement local

Tanguy,Tsamados(2007,2008)Lemaître (2004)

Nature Physics 4, 711 (2008)

Modes basse fréquence localisésDéplacements irréversiblesP.Harrowell (2008)

Conclusion:Des exemples de propagation du son dans les matériaux

Milieux continus: choix de la loi de comportementEx1: milieu anisotrope, richesse des résonances.Ex2: milieu non-linéaire, ondes de surface.

Milieux discrets: dispersion, diffusion, localisationEx3: low et strong scattering dans un matériau amorphe.Ex4: localisation à basse fréquence, près de l’endommagement.

Pic Boson

« Le bruit est un son confus »Dictionnaire de la Langue Française