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L’acquisition de l’arithmétique
Pr. Michel FayolUniversité Blaise Pascal & CNRS
Michel.fayol@srvpsy.univ-bpclermont.fr
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1. Les nouveau-nés ont-ils desconnaissances numériques?
Une question difficileL’éventualité de deux systèmes de
traitement des quantités
3
Plusieurs questions…
• Les nouveau-nés peuvent-ils discriminer entrequantités? Si oui à quelles conditions?
• Les nouveau-nés comprennent-ils que ladifférence entre quantités correspond aux relationsplus/moins de …?
• Les nouveau-nés sont-ils en mesure decomprendre à quoi correspondent les ajouts etdiminutions de quantités?
5
Une première série d’expériencesStarkey & Cooper, 1980; Antell & Keating, 1983; Strauss & Curtis, 1981
Paradigme d’habituationHabituation Déshabituation
Antell & Keating, 1983
6
Une première série d’expériencesStarkey & Cooper, 1980; Antell & Keating, 1983; Strauss & Curtis, 1981
• Bébés de 2 jours peuvent discriminer entre 2 et 3(et inversement) mais pas entre 4 et 6 (ou 6 et 4)(Antell & Keating, 1983);
• Enfants de 10-12 mois peuvent discriminer entre 2et 3 mais non entre 4 et 5 (Strauss & Curtis, 1981);
• S’étend aux situations se déroulant dans le temps(poupées qui sautent, etc..);
• Visuel ou amodal?
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Discriminer entre grandesquantités?
Xu & Spelke,2000Bébés de 6 moishabitués soit à 8soit à 16 et testéssoit avec 8 soitavec 16.Bébés distinguententre 8 et 16 ouentre 16 et 32 (Xu,2000) mais pasentre 8 et 12 nientre 16 et 24.
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Petites et grandes quantitésMêmes mécanismes?
Les résultats suggèrent l’existence de deuxmécanismes :
1) le premier dédié aux petites quantités(1, 2 et 3) et très précis;
2) l’autre utilisé avec les grandes quantitésmais de manière imprécise : le rapport desquantités doit être de l’ordre de un à deux chezles plus jeunes (6 mois) et évoluerait de deux àtrois vers 9 mois;
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A-t-on vraiment affaire à destraitements numériques?
• La plupart des premières recherchesutilisent des stimuli qui confondent lanumérosité des collections et la surface, levolume, la brillance, etc.;
• Confusion possible entre numérosité etquantités continues (longueur, intensité..);
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Dissocier numérosité etdimensions continues
• Une série d’expériences (Feigenson et al.,2002; Mix et al., 2002) montre que, lorsque lesdimensions continues sont contrôlées, l’effetde la numérosité ne s’observe plus. Ainsi, lesbébés réagissent à un changement de surfacelorsque le nombre est maintenu constant, maispas à un changement de numérosité quand lasurface reste constante;
• Jusqu’à 3 ans, les enfants restent très sensiblesaux variables perceptives (Rousselle et al.,2004)
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Pour conclure• Les nouveau-nés sont en mesure de discriminer des
«!grandes!» collections (> 5) différant sur la seulenumérosité lorsque le rapport est de un à deux; cesperformances sont explicables à partir d’unmécanisme perceptif analogique reposant sur letraitement des quantités continues;
• Relativement aux petites collections (< 4), il n’estpas acquis que les discriminations reposentinitialement sur la numérosité; toutefois, la précisiondes discriminations nécessite qu’intervienne unmécanisme qui pourrait être général.
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Comprendre les relations entrequantités
• Feigenson, Carey & Hauser (2002) utilisent unetâche de choix de récipient opaque dans lequeldes éléments sont placés sous le contrôle visueldes enfants (paradigme de recherche manuelle oude choix de récipient);
• Dès 10-12 mois, les enfants choisissent la boîtequi comporte le plus de biscuits (1 vs 2 : 13enfants sur 16 ; 2 vs 3 ; 13 enfants sur 16 ; maispas 3 vs 4, ni 2 vs 4 ou 3 vs 6); ils choisissent enfonction de la quantité globale et non du nombre;
16
Comprendre les relations entrequantités
• A partir de 10-12 mois, peut être avant, les enfants sonten mesure de choisir la plus grande (petite?) de deuxquantités;
• Ils le font en s’appuyant sur la quantité totale plus quesur le nombre;
• Ce qui suggère qu’ils se réfèrent à une représentationanalogique possiblement continue;
• Toutefois, avec les petites quantités, ils peuvent utiliserun autre type de représentation reposant sur un modèlemental et sur la correspondance terme à terme
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1.3. Comprendre les transformations :ajouter et soustraire
Des résultats souvent discutables etdifficiles à interpréter
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Enlever et ajouter
• Les données rapportées par Wynn (1992) suggèrent queles nouveau-nés sont en mesure de comprendre lesrésultats des opérations d’ajout et de retrait sur depetites quantités (1, 2 et 3);
• Mais…• Wakeley et al. (2000) ne répliquent pas les résultats de
Wynn; avec 3 -2 = 1 ou 2;• Vilette (1998, 2002) trouve que les enfants de 2 ans et
demi se comportent au hasard dans les situationsadditives et soustractives impliquant 2 ou 3;
• Donc, des résultats fragiles
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1.4. Pour conclure• Les nouveau-nés et les bébés sont en mesure de
discriminer 1 de 2, 2 de 3, peut-être à partir desdimensions associées ou d’un modèle mental; c’estsans doute encore ainsi qu’ils réalisent les résultats desajouts et retraits;
• Ils réussissent à discriminer les grandes quantités et àpercevoir les ajouts et retraits lorsque le rapport estgrand et, là encore, sans doute à partir des dimensionsassociées;
• La saisie de relations plus grand plus petit semblerelativement tardive (10-12 mois).
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Un exemple de situation
Déterminez le nombre d’éléments dechacune des collections présentées.
Prêt?
28
Subitizing et comptage
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
1 2 3 4 5
Erreurs
Le dénombrement rapide fait apparaître une discontinuité après 3Pavese & Ulmita, 1998; Fisher, 1992
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Subitizing et comptage
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
1 2 3 4 5
Erreurs
Le dénombrement rapide fait apparaître une discontinuité après 3Pavese & Ulmita, 1998; Fisher, 1992
Subitizing
30
Subitizing et comptage
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
1 2 3 4 5
Erreurs
Le dénombrement rapide fait apparaître une discontinuité après 3Pavese & Ulmita, 1998; Fisher, 1992
Subitizing
Comptage
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Subitizing et comptage• S’agit-il de deux processus différents, et donc
dissociables? (Piazza, 2004);• Subitizing : estimation rapide et précise de
petites quantités (1 à 3 voire 4); en un coupd’œil (focus attentionnel);
• Dénombrement : opération complexeimpliquant le langage et la mise encorrespondance terme à terme de mots etd’entités dénombrées;
Pas de dissociations claires, pas de sites différenciés en imagerie
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Les difficultés d’acquisition de lareprésentation verbale
Les enfants de 2 1/2 réussissent le choix de «!un!» contre uneautre quantité. Il leur faut un an de plus pour réussir deuxcontre trois ou quatre (Wynn, 1992)
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De la représentation analogique à lareprésentation verbale
•L’acquisition des premiers nombres devraitêtre facile et rapide;•Deux problèmes :
–Codage verbal de la quantité par l’ordre :Apprendre à évoquer la quantité à partir de lasuccession des mots de nombres;–Catégorisation : Indépendance de lacardinalité dénommée par rapport auxcaractéristiques perceptuelles des collections(Mix, 1999; Rousselle et al., 2004; Barth et al., 2005);
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Caractéristiques de la représentationverbale
• Pas présente partout: Piraha (Gordon, 2004) et Munduruku(Pica et al., 2004); un, deux, trois?
• Lexique : un, deux, six, douze, vingt, cent, mille• Bases: dix, vingt, soixante• Combinatoire: -> syntaxe traduisant des
combinaisons «!Additives!» (trente six) ou«!Multiplicatives!» (quatre vingt ; trois cents)
• Problèmes de régularité : mémorisation du lexique ;acquisition et mise en œuvre de la syntaxe
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Caractéristiques de la représentation verbaleComparaison anglais, chinois, français
Français Anglais Chinois
123
10111213
20212223
un, unedeuxtrois
dixonze
douzetreize
vingtvingt et unvingt-deuxvingt-trois
onetwothree
teneleventwelvethirteen
twentytwenty-onetwenty-twotwenty-three
yier
san
shishi yishi er
shi san
er shier shi yier shi er
er shi san
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Impact des caractéristiques verbalessur l’acquisition de la numération verbale
Comparaison anglais chinois
0102030405060708090
100
3 ans 4 ans 5 ans
USAChine
39
Variations d’empan mémoriel enfonction de la langue
050
100150200250300350400
Ch An Ga
Duréems/item
• Ch =chinois: An = anglais; Ga = gallois
0123456789
10
Ch An Ga
Empan
Vitesse d’énonciation Empan de chiffresAnderson, J.R., 1994
40
La représentation verbale
• Son acquisition présente des difficultésspécifiques, dépendantes descaractéristiques du système verbal;
• Elle présente également des effets indirects,en relation avec la mémoire à court termeou la mémoire de travail;
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2.2.2. La complexité dudénombrement
Mettre en relation une dimensionverbale et une dimension motrice et
les coordonner
42
Les principes et le resteSiegler & Shrager, 1984
• Une partie de habiletés de dénombrement pourraittenir à des prédispositions, peut-être avec unecomposante innée, mais..;
• Une autre partie serait liée à un apprentissagesocial dépendant vraisemblablement del’observation d’autrui;
• Le non rejet des procédures de comptage nonusuelles paraît dépendre du niveau des habiletésnumériques (LeFevre et al., 2006);
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Le dénombrement• Apprentissage implicite. Sur bases innées?• Mise en œuvre d’une procédure respectant des principes :
performance toujours inférieure et au plus égale à la compétence
Compétence très précoce Performance
AttentionMémoire de TravailEtc..
Théorie desprincipes enpremier
Cf Descœudres 1921)
45
Le dénombrement– Stricte correspondance terme à terme entre
désignation des éléments et items servant à lesdésigner;
– Ordre stable des éléments servant à désigner;– Dernier élément fournit la cardinalité;
apprentissage explicite? Spécifiquementnumérique (Wynn, 1990)
– Abstraction: aucun impact de l’homogénéitéou de l’hétérogénéité;
– Non pertinence de l’ordre du traitement;clairement culturel (Siegler & Shrager, 1984) ;apprentissage explicite?.
46
Les principes et le resteSiegler & Shrager, 1984
0102030405060708090
100
3 ans 4 ans 5 ans
Mot oubliéObjet oubliéMot en tropDouble compt.Standard
Pourcentages de rejets des procédures ne respectant pas les principes
47
Les principes et le resteSiegler & Shrager, 1984
0
10
20
30
40
50
60
70
3 ans 4 ans 5 ans
Dir. InverseNon adjacentsDébut milieuDouble pointage
Pourcentages de rejets de procédures ne violant pas les principesmais ne correspondant pas aux pratiques usuelles.
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Plusieurs hypothèses
• Mémoire externe;• Facilitateurs de manipulation des quantités;• Premières représentations discrètes et
abstraites?– L’abstraction;– La discrétisation;– La manipulation;
50
Impact des représentationsdiscrètes utilisant les doigts?
Fayol et al., 1998; Marinthe et al., 2001; Noël, 2005;
Performances arithmétiquesà t puis t + 1 puis t + 3
Niveau deDéveloppementCopie dessins; PM 47
Performances perceptivo-tactilesGnosie digitaleDiscrimination digitale
Scores perceptivo-tactiles prédisent mieux que scores de développementles performances arithmétiques à t (5 ans), t+1 (6ans ) et même 8 ans.
52
La représentation indo-arabe
• Base 10;• Lexique restreint : 0 à 9;• Notation positionnelle de la puissance;• Dissociable de la représentation verbale et de la
représentation analogique;• Chez l’adulte, active directement (sans transiter
par la représentation verbale) la représentationanalogique (effets de distance, de taille, etc)
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Représentation verbale et représentationindo-arabe
REPRÉSENTATION VERBALE
REPRÉSENTATIONINDO-ARABE
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Impact de la représentationverbale sur le transcodage
• Erreurs initiales de transcodage;• Comparaison Wallon/Français :Ecriture
sous dictée en Deuxième primaire(Quatre vingt deux -> 4202 OU 802;Soixante douze -> 6012; Quatre vingtdix sept -> 42017 (Seron & Fayol, 1994);
• Erreurs de même type chez des patients;
55
Impact de la représentation verbalesur la représentation arabe
0,040,884,443,964,13Un par un
4,833,580,570,390,38Canonique
CoréeJaponSuèdeFranceUSAScore/5
Miura et al., 1993
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La représentation indo-arabe
• Elle est à la fois très facile et économique (10chiffres) et difficile du fait de la notationpositionnelle;
• Son apprentissage (explicite) à partir de l’oralcontribue vraisemblablement à induire l’apparitionde certaines erreurs;
• Possibilité de transcodage asémantique(Barrouillet et al., 2004; Jarlegan et al., 1996)
59
Les tout-débutsStarkey & Gelman, 1982 ; Hughes,1981, 1986
• Hughes : enfants de 3 à 5 ans voient des cubes (1à 8) déposés dans une boîte opaque, ils lesdénombrent. Puis l’E ajoute ou retire un ouplusieurs cubes;
• Jusqu’à 4 ans 1/2, réussite avec les petits nombres(<3) mais échec au-delà;
• Réussite avec les petits nombres associée àl’utilisation des doigts pour représenter lescollections;
60
Les tout-débutsStarkey & Gelman, 1982 ; Hughes,1981, 1986
6%20%28%Grands nombres > 3
15%56%83%Petits nombres < 3
Présentationformelle
Boîteévoquée
Boîteréelle
fermée
Jusque vers 5 ans, réussite lorsque les quantités sont associables àdes représentations spatio-temporelles.Peut-on parler de compétence arithmétique? (voir Jordan, etc…)
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La résolution des opérationsTrouver le résultat de transformations
• Plusieurs procédures:– Dénombrer tous les objets (3 pommes et 4
pommes) : les regrouper et les dénombrer;– Dénombrer la première collection (un, deux,
trois), puis poursuivre le dénombrement (quatre,cinq, six, sept);
– Utiliser les doigts: premier niveau d’abstraction;soit pour dénombrer soit pour ne pas oublier;
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Trouver le résultat de transformations
• Plusieurs procédures (suite):– Objets eux-mêmes;– Substituts analogiques des objets (doigts);– Compter mentalement, en commençant par le
premier fourni (3) puis en commençant par le plusgrand (4) (min m,n) découverte de la commutativité;
– Retrouver directement dans sa mémoire verbale lerésultat d’une association (3 et 4 -> 7);
– Décomposer le problème à résoudre, utiliser des«!ancrages!»: 4+8 -> 4 + 6 + 2
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Distribution des stratégiesSiegler & Shrager, 1984
66%4 sec64%Remémoration
54%9 sec8%Comptage verbal
89%6,6 sec13%Doigts : mémoire externe
87%14 sec15%Comptage des doigts :lever des doigts et lesdénombrer
%correct
DuréeFréquence
64
Résolution des opérations : évolutionAdditions (Siegler, 1987)
.05.00.11.40.45CE1
.08.01.09.38.44CP
.30.22.02.30.16GSM
AutresToutcompter
Décomposer
Min m,nRemémoration
45 additions : (4 à 17) + (1 à 10); somme de 5 à 23
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Résolution des opérationsAdditions
• Au début, résolution en actions, sur des objets puis sur desreprésentations analogiques (doigts, mais aussi autrematériel) (Fayol et al., 1998; Marinthe et al., 2000);
• Résolution par comptage verbal (Camos et al., 1999, 2001):asymétrie des opérandes puis commutation possible;dépendance du verbal;
• Mémorisation d’associations entre opérandes et résultats :gain en vitesse et en attention; certains ne parviennent pas àcette mémorisation; pourquoi? Dépendance par rapport aulangage? (Thévenot et al., 2001)
• Hiérarchie indicative du niveau de «!maturitéarithmétique!»;
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Le passage à l’opérationBryant et al., 1999
• Le cas de la compréhension de l’inversion:les enfants comprennent-ils que si 8 + 4 =12 alors 12 – 8 = 4?
• Si oui, cette compréhension est-elleindépendante des quantités manipulées?
• Enfants de 5-6ans doivent résoudre desproblèmes a + b – b comparés à a + a – b)(e.g., 14 + 7 – 7 comparé à 9 + 9 – 4);
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Le passage à l’opérationBryant et al., 1999
• Présentation– 1) avec du matériel concret (cubes emboîtables)
avec lesquels on ajoute (x) à une première quantitédes cubes (a) et on enlève ensuite soit les mêmes xsoit le même nombre de x mais différemmentsitué (on contraste identité vs non identité pour nepas la confondre avec l’équivalence desquantités)!;
– 2) en condition invisible où les mêmes gestes sonteffectués mais sans matériel!;
– 3) en condition word problems (histoire racontée);– 4) en condition nombres abstraits.
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Le passage à l’opérationBryant et al., 1999
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Concret Invisible Formel
InversionContrôle
5 ans
Max. = 3
70
Le passage à l’opérationBryant et al., 1999
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Concret Invisible Formel
InverseContrôle
6 ans
Max. = 3
71
Le passage à l’opérationBryant et al., 1999
• Dès 5 ans, les enfants comprennent et sont enmesure d’utiliser le principe d’inversion, et celamême s’ils sont dans l’incapacité de l’exprimer
• La corrélation entre les performances à larésolution des problèmes contrôle et à celle desproblèmes avec inversion est faible. La résolutiondes additions et des soustractions apparaîtrelativement indépendante de la compréhension duprincipe de l’inversion.
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Le passage à l’opérationBryant et al., 1999; Vilette, 2002
• C’est vers 5 ans que s’effectuerait le passage d’untraitement en action des transformations à untraitement symbolique des opérations;
• On ne pourrait parler d’opération arithmétique quevers 5-6 ans, pour l’addition comme pour lasoustraction;
• Problème des relations entre connaissancesconceptuelles et connaissances procédurales(Alibali et al.)
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Vers la récupération
• La récupération en mémoire s’installeprogressivement, sur les petites additionsd’abord puis sur les moyennes puis sur lesgrandes (Lemaire et al., 1994);
• Certains individus ne parviennentapparemment pas à mémoriser lesassociations entre opérandes et somme;pourquoi?
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Références
• Références:• Fayol, M. (1990) L’enfant et le nombre.
Delachaux & Niestlé;• Pesenti & Seron (2004). La cognition numérique.
Paris : Lavoisier• Bideaud & Lehalle (2002). Le développement des
activités numériques chez l’enfant. Paris :Lavoisier
• Pesenti & Seron (2000). Neuropsychologie destroubles du calcul et du traitement des nombres.Marseille: SOLAL
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Références (suite)• Fayol, M., Perros, H. et Seron, X (2004). Les
représentations numériques: caractéristiques, troubles etdéveloppement. In M-N. Metz-Lutz et al. (Eds),Développement cognitif et troubles des apprentissages.Marseille: SOLAL)
• Fayol, M. (2005) Les petits asiatiques comptent-ils mieux?Cerveau et Psycho, n° 9;
• Fayol, M. (2004). Compter sur les doigts. La Recherche,octobre
• Van Hout et al. (2002). Les dyscalculies. Paris: Masson
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