View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC
représentation à la cathédrale de
Chartres
Vu par Raphael
Le théorème de Pythagore
à chaque fois que vous voyez ce pictogramme Vous devez tout recopier sur le cahier de leçon.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
■ vocabulaire ■ démonstration
■ exemples :
■ réciproque
ex 1 ex 2 ex 3
■ exemples r : ex 1r ex 2r ex 3r
Sommaire :
Le théorème de Pythagore
exo 1 ■ exercices : exo 2
■ énoncé du théorème
■ leçon à recopier : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Vocabulaire
À connaître par cœur.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
A
C
B
Vocabulaire
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
[BC] est l’ du triangle ABC
hypoténuse
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Démonstration
Une des démonstrations du théorème de Pythagore.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
On a quatre triangles rectangles identiques a
b c a
b c a
b c a
b c
Démonstration
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
On dispose les quatre triangles rectangles
dans un carré
a
b c
a
b
c
a
b
c
a
b c
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
On obtient un nouveau carré
JOLI
a
b c
a
b
c
a
b
c
a
b c
J
O
L
I
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
C’est un quadrilatère ayant 4 côtés de même mesure et qui possède un angle droit. Les 2 angles colorés sont complémentaires leur somme vaut 90° or 180°- 90° = 90°
En effet, JOLI est un carré car :
a
b c
a
b
c
a
b
c
a
b c
J
O
L
I
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
a
b c
a
b
c
a
b
c
a
b c
J
O
L
I
L ’aire de JOLI est :
c²
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
dans le même carré d ’une autre façon .
On dispose ensuite les quatre triangles rectangles
a
b
a
b
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
a
b
a
b
On obtient deux nouveaux carrés :
JADE
J A
D OCRE E O
C R Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
a
b
a
b
J A
D E O
C R
L ’aire de OCRE est :
a²
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
a
b
a
b
J A
D E O
C R
L ’aire de JADE est :
b²
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
c
J
O
L
I a
b
a
b
J A
D E O
C R
L ’aire de JOLI est égale à la somme des aires de OCRE et de JADE
c² a²
b² +
a
b c
a
b
c
a
b
c
a
b c
a
b
a
b
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
c2 = a2 + b2
Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de :
théorème de Pythagore
a
b c
On peut donc écrire pour le triangle
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Le théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés .
hypoténuse Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Énoncé du théorème
À connaître par cœur.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Le théorème de Pythagore un autre énoncé
A
C
B
Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²
! Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Exemple n°1
Calculer la longueur de l’hypoténuse
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC
B
A C 3
4 1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)
BC² = 16 + 9 (on calcule)
BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
1) On fait un dessin 2)
BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)
BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC
B
A C 3
4
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Exemple n°2
Calculer la longueur de l’hypoténuse
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
DEF est un triangle rectangle en D tel que : DE = 5 cm et DF = 6 cm. Calculer EF
E
D F 5
6
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
1) On fait un dessin 2) On applique le théorème de Pythagore : On sait que DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres)
EF² = 25 + 36 (on calcule) EF² = 5² + 6²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
EF 7,8 cm (7,8 > 6, [EF] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable) ~ ~
EF² = 61 (on écrit la valeur exacte de BC) EF = 61 (61 est le carré du nombre qui s’écrit 61 7,8) ~ ~
DEF est un triangle rectangle en D tel que : DE = 5 cm et DF = 6 cm. Calculer EF
E
D F 5
6
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Exercice n°1
À faire sur le cahier d’exercice.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC
Correction Pour s’auto-corriger cliquer sur :
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Exemple n°3
Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
GHI est un triangle rectangle en I tel que : GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH
G
I H 2 3
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
On applique le théorème de Pythagore : On sait que GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres)
1) On fait un dessin 2)
9 = 4 + IH² (on transforme l’égalité pour isoler IH²) 3² = 2² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
IH 2,2 cm (2,2 < 3, [IH] est l’un des côtés de l’angle droit, il est donc plus petit que l’hypoténuse, le résultat est vraisemblable)
~ ~
IH² = 9 - 4 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 et 4 ) IH² = 5 IH = 5 (5 est le carré du nombre qui s’écrit 5 2,2) ~ ~
GHI est un triangle rectangle en I tel que : GI = 2cm et GH = 3cm. Calculer IH
G
I H 2 3
Page suivante
Exercice n°2
À faire sur le cahier d’exercice.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Correction Pour s’auto-corriger cliquer sur :
Ex 2 : STU est un triangle rectangle en T tel que : ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
à suivre …
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Réciproque du théorème
À connaître par cœur.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
La réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
un autre énoncé
Si, dans un triangle ABC on a : BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.
! à la présentation des calculs
La réciproque du théorème de Pythagore
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Exemple n°1
Calculer la longueur de l’hypoténuse
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: c’est [AB] 2) On calcule le carré de la longueur de [AB]
3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
4) On constate l’égalité :
5) On cite la propriété appliquée pour conclure :
AB² = 75² = 5 625
BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625
AB² = BC² + AC²
D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Exemple n°2
Calculer la longueur de l’hypoténuse
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Le triangle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un triangle rectangle ?
1) On repère le côté le plus long: c’est [EF] 2) On calcule le carré de la longueur de [EF]
3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
4) On constate qu’il n’y a pas égalité :
5) On peut affirmer que :
EF² = 15² = 225
DE² + DF² = 11² + 9² = 121 + 81 = 202
EF² = DE² + DF²
le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
Exemple n°3
Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante
2) On repère le côté le plus long: c’est [EL] 3) On calcule le carré de la longueur de [EL]
4) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
5) On constate l’égalité :
EL² = 8,5² = 72,25
SE² + SL² = 4² + 7,5² = 16 + 56,25 = 72,25
EL² = SE² + SL²
4cm 8,5cm
7,5cm S
O L E
A-t-on (SE) (SL) ? ┴
1) On précise le triangle dans lequel on travaille : Dans le triangle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5.
6) On cite la propriété appliquée pour conclure : d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle SEL est rectangle en S, alors (SE) (SL) . ┴ Page suivante
fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet
On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC²
Ex 2 : ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC A
B C 8
6
AC² = 64 + 36 AC² = 8² + 6²
AC² = 100 AC = 100 AC = 10 cm
Correction
Retour
On applique le théorème de Pythagore : On sait que STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU²
36 = 25 + TU² 6² = 5² + TU²
TU 3,3 cm ~ ~
TU² = 36 - 25
Ex 2 : STU est un triangle rectangle en T tel que : ST = 5cm et SU = 6cm. Calculer TU
S
T U 5 6
TU² = 11 TU = 11
Correction
Retour
Fin
… / … Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet
Le théorème de Pythagore un autre énoncé
A
C
B
Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²
! Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.
On applique le théorème de Pythagore : On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)
BC² = 16 + 9 (on calcule)
BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
1) On fait un dessin
2)
BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)
BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC
B
A C 3
4
Exercice : Dans le cahier d’exo … ABC est un triangle rectangle en B tel que : AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AC :
Page suivante
un autre énoncé
Si, dans un triangle ABC on a : BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.
! à la présentation des calculs
La réciproque du théorème de Pythagore
Exemple : Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ? 1) On repère le côté le plus long: c’est [AB] 2) On calcule le carré de la longueur de [AB]
3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
4) On constate l’égalité :
5) On cite la propriété appliquée pour conclure :
AB² = 75² = 5 625
BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625
AB² = BC² + AC²
D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.
Recommended