1

Le théorème de Pythagore

savoir faire et applications

Bruno DELACOTE

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2

Conseils et méthode de travailUne feuille s’ouvre sur une série d’exercices :

A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.

Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement

Prépare l’exercice avant de visionner la solution.Vérifie (sans tricher !)

Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.

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3

Som

mai

reEnoncé du Théorème de PYTHAGORE.

Calcul de l ’hypoténuse d ’un triangle rectangle.

Calcul d ’un petit côté d ’un triangle rectangle.

De nouveaux nombres : les racines carrées.

Montrer qu’un triangle n'est pas rectangle.

Théorème réciproque : montrer qu’un triangle est rectangle.

Les applications et exercices.

4

•Si les mesures de deux côtés d ’un triangle rectangle sont connues, le théorème de Pythagore permet de calculer la mesure du troisième côté.•Dans un triangle, si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée alors le triangle n'est pas rectangle.

Enoncé du théorème de Pythagore :

Si un triangle est rectangle

Cet énoncé indique clairement que l ’hypoténuse est le côté le plus long. C’est aussi le côté opposé à l ’angle droit.

UTILISATIONS

b

c

a

alors la somme des carrés des mesures des deux petits côtés est égal au carré de la mesure de l ’hypoténuse.

b² + c² = a²

5

AB

C

Dans le triangle ABC rectangle en Ala relation de Pythagore s ’écrit :

BC² = AC² + AB²

N M

P

Ecris la relation de Pythagore dans le triangle MNP

PM² = PN² + NM²

6

On peut résoudre un premier type de problème :

Calculer la mesure de l ’hypoténuse d ’un triangle rectangle dont on connaît les

mesures des deux petits côtés.

A B

C

3 cm

4 cm

Le Triangle ABC est rectangle en A, la relation de Pythagore s ’écrit :

BC² = AC² + AB²

BC² = 4² + 3² On substitue puis

on calculeBC² = 16 + 9BC² = 25

BC = 5cm

7

On peut résoudre un deuxième type de problème :

Calculer la mesure d ’un petit côté du triangle rectangle dont on connaît les mesures de l ’hypoténuse et de l'autre

petit côté.

A B

C

5 cm

13 cm

Le Triangle ABC est rectangle en A, la relation de Pythagore s ’écrit :

BC² = AC² + AB²

13² = AC² + 5²

On substituepuis

on calcule

169 = AC² + 25169 - 25 = AC²144 = AC²AC = 12 cm

8

Nous avons besoin de nouveaux nombres !

NM

PPM² = PN² + NM²

NM

PPM² = PN² + NM²

2 cm

3 cm

3 cm

2 cm

Dans les deux cas suivants, la relation de Pythagore s ’écrit

PM² = 2² + 3²PM² = 13

Et la calculatrice donne une valeur proche de 3,6 cm

3² = 2² + NM²9 = 4 + NM²5 = NM²

Et la calculatrice donne une valeur proche de 2,2 cm.

ATTENTION

13PM

5NM

est le seul nombre positif dont le carré est égal à a !

aa 0 si

9

A B

C

7 cm

13 cm

15 cm

Exemple de rédaction

Le côté le plus long du triangle ABC est BC = 15 cm.

Je compare

BC² = 15²BC² = 225

AC² + AB² = 7² + 13²AC² + AB² = 49 +169AC² + AB² = 218

Si le triangle était rectangle en A, on aurait AC² + AB² = BC² d'après le

théorème de Pythagore. Or ce n'est pas le casdonc le triangle n'est pas rectangle.

Ce triangle est-il rectangle ?

10

Quelques applications du théorème directQuelques applications du théorème direct

Chaque ligne correspond à un triangle rectangle en A. Calcule la mesure manquante

AB en cm AC en cm BC en cmtriangle N°1 12 5triangle N°2 18 30triangle N°3 52 65triangle N°4 3,6 6,1triangle N°5 0,4 0,9

13

39

24

9,425,24 98,097,0

A B

C

11

Si les trois mesures des côtés d ’un triangle sont connues, le théorème réciproque du théorème de Pythagore permet

de démontrer que le triangle est rectangle.

Enoncé du théorème réciproque de Pythagore :

Dans un triangle, si le carré de la mesure du côté le plus long est égal à la somme des carrés des mesures des

deux petits côtés alors le triangle est rectangle.

12

A B

C

6 cm

8 cm

10 cm

Exemple de rédaction

Le côté le plus long du triangle ABC est BC = 10 cm.

Je compare

BC² = 10²BC² = 100

AC² + AB² = 8² + 6²AC² + AB² = 64 + 36AC² + AB² = 100

D’après le théorème réciproque de Pythagore ce triangle est rectangle en A.

Ce triangle est-il rectangle ?

13

Quelques applications du théorème et de sa réciproque.Quelques applications du théorème et de sa réciproque.

Chaque ligne correspond à un triangle.Ce triangle est-il rectangle ?

AB en cm AC en cm BC en cmtriangle N°1 12 5 11triangle N°2 24 18 30triangle N°3 83 52 65triangle N°4 35,6 32 15,6triangle N°5 0,4 0,9 0,8

?

NON

OUI

OUI

NON

NON

1) Chercher le côté le plus long.2) Le carré du coté le plus long est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ?

14

Sommaire

Enoncé exercice 1 : le triangle est-il rectangle ?

Enoncé exercice 3 : dans une sphère.

Enoncé exercice 2 : une équation est nécessaire.

Enoncé exercice 4 : dans une pyramide.

Enoncé exercice 5 : dans un cube.

Des problèmes pour réfléchir

15

M H N

P

10cm 8cm

12cm

Le triangle MNP est-il rectangle ?

Il faudrait calculer MP ou MP² pour comparer MP² + NP² avec MN².Utilise le théorème (direct) de Pythagore pour calculer PH² puis PM².Tu pourras chercher une valeur approchée de PH et MP pour vérifier ton travail et ton dessin. Mais attention : l'égalité de Pythagore doit être exactement vérifiée. L'emploi de valeurs approchées ne prouvera rien puisque deux nombres presque égaux peuvent être différents !

16

M H N

P

10cm8cm

12cmLe triangle MNP est-il rectangle ?

Dans le triangle PNH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :PN² = NH² + HP²12² = 8² + HP²144 = 64 + HP²80 = HP²

Dans le triangle PMH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :PM² = MH² + HP²PM² =10² + 80PM² = 100 + 80PM² = 180

Dans le triangle MNP, le côté le plus long est MN,

Je compareMN² = 18² MP² + PN² = 180 + 12²MN² = 324 MP² + PN² = 180 + 144

MP² + PN² = 324

Donc d ’après le théorème réciproque de Pythagore MNP est rectangle en P.

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Un poteau électrique de 7,5 m de haut s ’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce

poteau s’est-il brisé ?

1,5 m

Appelons x la hauteur cherchée.

x

Si on suppose que le sol est horizontal et le poteau vertical alors le triangle ABC est rectangle en A.

A

B

C

BC s’exprime en fonction de x

BC = 7,5 - x Et l’égalité de Pythagore s’écrit

BC² = AC² + AB²(7,5 - x) ² = 1,5² + x²

Je ne sais plus développer

suite

18

1,5 m

x

A

B

C

BC² = AC² + AB²(7,5 - x) ² = 1,5² + x²

Le poteau s’est brisé à 3,6 m de haut.

Je ne sais plus résoudre cette

équation !

-15 x = - 54x =-54 / (-15)x = 3,6

(7,5 - x )(7,5 - x) = 2,25 + x²56,25 - 7,5 x - 7,5 x + x² = 2,25 + x²

19

Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.

OB

C

A

Utilise le texte pourdéterminer les valeurs de OA, AC et OC.

Il faut réaliser un croquis

20

Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.

OB

C

A

30cm

10cm

5 cm

Il reste à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OBC.

OB² = OC² + CB²15² = 5² + OC²225 = 25 + OC²200 = OC²OC = 200

Le diamètre cherché est proche de 28,3 cm.

21

S

A

BC

D

SABCD est une Pyramide régulière de base carrée.

SA = AB = BC = CD = AD = 50 cmOn demande de calculer la hauteur

puis le volume en litres de cette pyramide.

I

Voir une construction de la pyramide.

Voir la solution guidée.

22

S

A

BC

D

I

Trace la base ABCD :en réalité c'est un carré, mais en perspective il faut dessiner un parallélogramme.

Trace le centre I du parallélogramme.

Trace une hauteur IS.

Trace les arêtes.

Tu peux réaliser plusieurs dessins en faisant varier - l'angle BÂD - la longueur SI.

Compare ces différents croquis !

Tracé de la pyramide régulière.

23

S

A

BC

D

I

ABCD est un carré !Calcule AC puis AI.

ABC est un triangle rectangle et isocèle en B, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :AC² = AB² + BC²AC² = 50 ² + 50²AC² = 5000

cm71,705000AC

Donc cm36,3550002

1AI

50 cm

24

S

A

BC

D

I

50 cm

ABCD est un carré contenu dans un plan horizontal et SI est une droite verticale, donc :

SIB est un triangle rectangle en I, et l ’égalité de Pythagore s ’écrit :SB² = SI² + IB²

)²50002

1(²SI50²

Les diagonales d ’un carré sont isométriques et ont même milieu, donc AI = IB.

²SI4

5000-2500

cm3,431875SI

Finalement SIAB²3

1V 1875²50

3

1V

litres.3636084 3 cmV

25

S

A

BC

D

I

4 cm

Construire une pyramide régulière de base carrée 4 cm et de hauteur 5 cm !

5 cm

Indications :Calculer AI puis SA.

Il faudra prendre SA proche de 4,65cm

26

On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm.

A B

C

Le triangle ABC est (isocèle et ) rectangle en B, la relation de Pythagore s ’écrit :AC² = AB² + BC².... 50AC

D

Le triangle ACD est rectangle en C, la relation de Pythagore s’écrit :AD² = AC² + CD².....

cm7,875AD

27

Le balancier de l’horloge

L ’oiseau, la souris et les deux chatsactivités de synthèse : voir dans l’espace, théorèmes de Pyhagore,

Thalès, trigonométrie….

28

Le balancier de cette horloge intrigue le jeune Guillaume. Quelle longueur mesure cet objet ?Soudain guillaume a une idée, il marque un point A au bas du balancier et constate que ce point A se déplace sur un arc de cercle.

A

Il mesure l'amplitude des courses verticale puis horizontale de ce point. Il trouve respectivement 2cm et 12cm.Il construit un croquis et constate qu'il suffit de résoudre une petite équation...

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x

A

6cm

2cm

BA'

OA partir de la position

médiane OA

Le balancier se déplace vers une position extrême OA'

l'énoncé donne les indications suivantes

Ce qui fait apparaître un triangle rectangle OA'B dont

les dimensions sont...12cm

30

x

A

6cm

2cm

BA'

O

x - 2

x

D'après l'égalité de PythagoreOA'² = OB² + A'B²x² = (x-2)² + 6²x² = (x - 2)(x - 2) + 36x² = x² -2x - 2x + 4 + 360 = -4x + 40x =10

Le balancier mesure 10 cm

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Dans l'angle d'un entrepôt de forme parallélépipédique, deux chats observent un oiseau et une souris qui ont pris position sur un reposoir près du plafond proche de l'angle opposé.

- Ne t'en fait pas, dit l'oiseau à la souris, cet entrepôt mesure 30 mètres de long, 15 mètres de large et 6 mètres de haut. Le théorème de Pythagore permet de calculer la distance qui nous sépare des mathoux.

- Je sais, répond la souris, ils n'escaladent pas aussi facilement les murs que moi. De plus le théorème Thalès permet de trouver la longueur du plus court chemin qu'ils auraient à parcourir pour nous attraper.

Les chats trouvent ces proies bien savantes et se méfient, contentons-nous de nos croquettes se disent-ils en quittant les

lieux.

32

15m

30m

6m

33

15m

30m

6m

Calcule la distance qui sépare les chats de la souris et de l'oiseau

C

A B

S

34

15m

30m

6m

C

A B

S

Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagoreau triangle ABC Rectangle en A.

mBC 54,331125²15²30

mSB 07,341161²61125

Puis au triangle SBC rectangle en C.

35

15m

30m

6m

Il faut maintenant déterminer le plus court chemin que peuvent emprunter les chats. (Ils ne volent pas mais peuvent

escalader les murs)

36

Parmi les multiples chemins possibles lequel est le plus court ?Pour étudier ce problème, tu peux réaliser le patron du solide au 1/200.

Les dimensions réduites sont alors

Longueur

Largeur

Hauteur

15cm

7,5cm

3cm

Marque les positions des chats et de la souris (ou de l'oiseau)déplie ton patron.

37Chats

Oiseau et souris

C

S

O

ABM

N

Tu vois apparaître deux chemins en "ligne droite"

38

C

S

B

N

30m 6m

15m

Le théorème de Pythagore permet de calculer SC

mSC 391521²15²36

Et le théorème de Thalès permet de calculer AN

36

30

15

BN Donc BN = 12,5m

39C

AB

M

Le théorème de Pythagore permet de calculer OC

mOC 62,361341²21²30

Et le théorème de Thalès permet de

calculer BM

21

6

30

BM

Donc

O

30m

6m15

m

mBM

BM

57,87

6021

306

C'est le

plus court c

hemin

pour un an

imal

qui ne v

ole pas

!

40

Épilogue : calculer les angles indiqués sur le dessin

15m

30m

6m

M

C

B

O

A

A l'aide du cosinus et des travaux précédentson trouve

10ˆOCB

35ˆˆ90 OMBMCA

41

(3x - 2) x (4x-3)

Tu dois penser

= 3x x 4x + 3x x (-3) + (-2 ) x 4x + (-2) x (-3)

Pour écrire directement (sans écrire ce que tu penses)

(3x - 2)(4x-3) = 12x²

Et calculer mentalement 3x x 4x ; 3x x (-3) ; (- 2) x 4x ; (-2) x (-3)

Pour développer un produit du type (3x - 2)(4x-3)

= 12x² - 17 x +6

12x² -8x-9x +6

- 9x - 8 x + 6

Vous pourrez bientôt télécharger la présentation calclit.zip et recréer manuellement le lien vers cette page.

42

5x - 3 = 2 - 4x 5x -3 + 3 + 4x = 2 - 4x + 3 + 4x

9x = 55x - 3 = 2 - 4x

Réduis l'équation pour obtenir une forme simple du type

5x + 4x = 2 + 3

9x = 5

+4x +3 +4x+3 donc

En divisant par 99

5x

Pense ou

écris

Vous pourrez bientôt télécharger la présentation équa.zip et recréer manuellement le lien vers cette page.

43

MH

N

P

10cm 8cm

12cmLe triangle MNP est-il rectangle ?

Un poteau électrique de 7,5 m de haut s’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau s’est-il brisé ?

1,5 m

Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.

SABCD est une Pyramide régulière de base carrée.SA = AB = BC = CD = AD = 50 cmOn demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide.

On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm.

S

A

BC

D

I