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LES CONIQUES
Cours 25
Le nom conique vient du fait qu’elle peuvent être vue comme des coupes d’un cône par un plan.
Une parabole est l’ensemble des points dont la distance à une droite est la même que la distance à un point
donné.Pour trouver l’équation de la parabole, on doit choisir un repère.
Les paraboles
Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances entre ce point et deux autre est
constante. Pour trouver l’équation de l’ellipse, on doit choisir un repère.
posons
et
Pythagore
posons
et
Les ellipses
Les hyperboles
?
?
?
Rappel de la complétion de carré.
Exemple:
?
?
?
Donne l’information sur le type de conique
Or la forme générale d’une équation du deuxième degré est plutôt comme suit.
Un terme qu’on ne retrouve pas dans les trois cas qu’on vient de voir!
Existerait-il d’autre formes que les coniques représentés par les équations de degré deux?
Définition:
Une forme quadratique est un polynôme dont tous ses monômes ont un degré total de 2.
Exemple:
Remarque:
La forme générale d’une forme quadratique
à deux variables est:
Qu’on peut modéliser à l’aide de matrice
Le terme
n’apparaissait pas dans les équations des coniques qu’on a trouvées due à notre choix de repère.
Essayons de voir si on pourrait trouver un changement de repère, ou si on veux un changement de variable qui
fera disparaitre le terme en xy.
Changement de base (variable)
Considérons la forme quadratique
Et faisons le changement de variable
D’où la matricereprésente la conique dans le nouveau repère.
Mais la conique, elle, n’a pas changé!
Exemple:
Considérons la conique ou, si on préfère,
On a donc que comme changement de variable.
et appliquons lui le changement de variable obtenue en faisant une rotation de .
La conique est
Est symétrique. Est diagonale.
Multiplier à gauche fait des opérations ligne.
Multiplier à droite fait des opérations colonnes.
Donc si Ellipse
Hyperbole
Parabole
ou l’ensemble vide
C’est une ellipse!
C’est une hyperbole!
C’est une parabole!
L’idée de diagonaliser un matrice de cette façon
s’avère très utile dans la recherche des maximums et minimums de fonction à plusieurs variable.
etminimum
maximum
Test de la dérivée seconde
QuickTime™ et undécompresseur Animation
sont requis pour visionner cette image.
Si on veut faire l’inverse maintenant.
C’est à dire, on veux trouver l’équation d’un conique qui n’est pas centré et dont la axes de
symétrie ne sont pas x et y
L’idée est de partir d’une des trois formes
Ensuite on tourne et on translate.
Parabole
Ellipse
Hyperbole
On fait le changement de variable (ou de repère)
Rotation Translation
Devoir: feuille
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