LES CONIQUES

Cours 25

Le nom conique vient du fait qu’elle peuvent être vue comme des coupes d’un cône par un plan.

Une parabole est l’ensemble des points dont la distance à une droite est la même que la distance à un point

donné.Pour trouver l’équation de la parabole, on doit choisir un repère.

Les paraboles

Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances entre ce point et deux autre est

constante. Pour trouver l’équation de l’ellipse, on doit choisir un repère.

posons

et

Pythagore

posons

et

Les ellipses

Les hyperboles

?

?

?

Rappel de la complétion de carré.

Exemple:

?

?

?

Donne l’information sur le type de conique

Or la forme générale d’une équation du deuxième degré est plutôt comme suit.

Un terme qu’on ne retrouve pas dans les trois cas qu’on vient de voir!

Existerait-il d’autre formes que les coniques représentés par les équations de degré deux?

Définition:

Une forme quadratique est un polynôme dont tous ses monômes ont un degré total de 2.

Exemple:

Remarque:

La forme générale d’une forme quadratique

à deux variables est:

Qu’on peut modéliser à l’aide de matrice

Le terme

n’apparaissait pas dans les équations des coniques qu’on a trouvées due à notre choix de repère.

Essayons de voir si on pourrait trouver un changement de repère, ou si on veux un changement de variable qui

fera disparaitre le terme en xy.

Changement de base (variable)

Considérons la forme quadratique

Et faisons le changement de variable

D’où la matricereprésente la conique dans le nouveau repère.

Mais la conique, elle, n’a pas changé!

Exemple:

Considérons la conique ou, si on préfère,

On a donc que comme changement de variable.

et appliquons lui le changement de variable obtenue en faisant une rotation de .

La conique est

Est symétrique. Est diagonale.

Multiplier à gauche fait des opérations ligne.

Multiplier à droite fait des opérations colonnes.

Donc si Ellipse

Hyperbole

Parabole

ou l’ensemble vide

C’est une ellipse!

C’est une hyperbole!

C’est une parabole!

L’idée de diagonaliser un matrice de cette façon

s’avère très utile dans la recherche des maximums et minimums de fonction à plusieurs variable.

etminimum

maximum

Test de la dérivée seconde

QuickTime™ et undécompresseur Animation

sont requis pour visionner cette image.

Si on veut faire l’inverse maintenant.

C’est à dire, on veux trouver l’équation d’un conique qui n’est pas centré et dont la axes de

symétrie ne sont pas x et y

L’idée est de partir d’une des trois formes

Ensuite on tourne et on translate.

Parabole

Ellipse

Hyperbole

On fait le changement de variable (ou de repère)

Rotation Translation

Devoir: feuille