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AVERTISSEMENT
Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci implique une obligation de citation et de référencement lors de l’utilisation de ce document. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite encourt une poursuite pénale. Contact : ddoc-theses-contact@univ-lorraine.fr
LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4 Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10 http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm
INSTITUT SUPERIEUR DE GENIE MECANIOUEET PRODUCTIOUE
'r.f{ESEPrêsentée ù
U N IVE RS ITE D E METZ
PAR
Zoubir BELHOUCHET
'.,,
P'our I 'obtention du grade de :DOCTEUR dE I 'UNIVERSITÉ dE METZ
SPECIATITE . Mécanique
OPTION : Génie Civi l
COMPORTEMENT ET STABILITE DES COQUES CYLINDRIQUtrS
SOUS CHARGES DE TYPE "SILO".. ETUDE ANALYTIQUE ET NUMERIQUE ''
soutenue le zr Septembre r9g8 devani la commission composée de:
J-F. Jullien Professeur à l'I.N.s.A de Lyon. (URGC). RapporteurG. Dhatt Professeur à I'I.N.S.A de Rouen. RapporteurM. Potier-Ferry Professeur à l'Université de Metz. (LPMM). ExarninateurJ-C. Roth Professeur à I'Université cle Metz. (LPivIivI). Directeur cle thèseA. Khelil Maître de conférences UHP Nancyl - IUT NB. Co-Directeur de thèseJ. M. Rotter Professeur à I'Université de Edinburgh. ExaminateurF. Mohri Maître de conférences UHP Nancyl - IUT NB. Examinateur
Laboratoire de physique et rnécani<1ue des matériaux U.R.A. C.N.R.S L2L5.
Université de Metz, i le du Saulcy,57045 ce<Iex O1
BIBLIOTHEUUT WIVERSITAIRE_ -vErz
N' inv. ^3%tG?s
Cotes/S u*/rt
Loc hancrt^T;c-
Le trauail d,e recherche présenté d,ans ce mémoire a été réalisé a'u Laboratoire d,e
Physique et Mécanique des Matériaux (L.P.M.M) d,eI'Uniuersité de Metz sous la d,irection
du Professeur Jean-Claude Roth.
Tout d,'abord, je tiens à eaprimer toute ma gratitude au Professeur J-C. Rotlt pour
m,'aaoir accue'illi au sein d,e son équipe et surtout pour m'auoir initié au traaa'il d,e reclt erche.
J'adresse également rnes rernerciements au Maître de Conférence Abdelouahab Khetit
d,e I'[Iniaersité de Henri Poincaré, Nancy 1 pour l'intérêt qu'il a porté au présent traaail
et la précieuse o,ide à l 'éIaboration de cette thèse.
Par ailleu,rs, je tiens aiuement à rernercier les Professeurs Jean-François Julien de
I'I.N.S.A de Lyon et Gouri Dh,att de I'I.N.S.A d,e Rouen pour aaoir accepté Ia charge d,e
rapporter ce traaail d,e thèse. Ma grand,e reconnaissace 0,u professeur M. Potier-Ferrey
d'aaoir accepté d'être président de ce jury.
Je remercie égalernent J. Michael Rotter Professeur de I'Uniaersi,té de Ed,inburgh et
Faudil Mohri Maître de Conférence de l'Uniuersité de Henri Poincaré, Nancy 1 d'auoir
bien aoulu examiner cette thèse et je suis h,eureux d'auoir I'honneur de les cornpter parrni
les rnernbres d,u jurg.
Toute rnon arnitié aa à mes arnis et collègues du L.P.M.M. pour leur soutien permanant.
Enfin, je tiens à eaprirner rna plus profonde gratitud,e à ma farnille qui rn'a toujours
soutenu et encouragé.
Le traaail de la présente th,èse se résume en ileuæ parties. La première concerne I'étuileanalgti,que et numéri,que ilu comportement ile la coque cyli,nilrique sousmi,se a d,es chargessgmétri,ques combinées (pression hori,zontale et frottement en paroi,s) type si,lo Unenouaelle rnéthode analyti,que décri,uant le comportement élasti,que linéaire d,e la coque estd,éaeloppé à parti,r iles équations il'équi,li,bre. Nous aaons ai,nsi obtenu \es fonctions d,e d,is-tributi,on des solli,citati,ons et d,es iléplacements iles parois de Ia coque. La modéIisationile la structure par élé,ment fini en uti,Iisant le logiciel Abuqus nolrs a permis iJe ualid,erles enpressi,ons obtenues. Les comparaisons ont montré une bonne concordance entre lesrésultats des si,mulations numériques et ceua obtenus analytiquement par notre approche.
L'analgse ilu cornportement de Ia coque sous charges non uniformes complète cettepartie. L'effet ile ces charges, ilues à la aidange ercentrée des silos se trail,ui,t par ilesmoments de fl,eri,on très i,mportants.
La deuni,ème parti,e est consacrée à I'analyse ilu aoi,lernent iles coques cyli,ndriques im-parfai,tes. Une étude pararnétrique a été effectué,e à I'aiile du programme Abaqus pouriléterminer l'i,nfl,uence relatiue ile chaque paramètre ( épaisseur ile Ia coque, ri,gid,i,té d,esraiili,sseurs ... ) affectant la rési,stance ile Ia coque. Sur la base d,es résultats obtenus,une rnéthod,e semi,-analytique ile calcul ile Ia résistance ultime au uoilem,ent de la coque aété établi,e pour une coque rai,ilie et, isotrope. Les ili,fférentes conpara'i,sons établies entreIes résultats, iles forrnules de la littérature, d,e I'Eurocode 3 et, il,e notre approche, aaecles résultats numéri,ques montrent Ia ualid,ité ile la méthode proposée. Cependant, cettecontribution presnente une améIiorati,on des formules actuelles donneés par I'8C3.Mots clés:Stabilité des coques cyli,nilriques, éléments fi,nis, formulations d,es coques, charges typeusilo', imperfections géométri,ques, calcul non-linéai,re, effet de mentbrane, effet ile fleæion.
Thi,s work can be surnmarized, i,n two parts. The first one ileal with a theoretical anilnumeri,cal stuili,e of the behaai,or of cyli,ndrical shell submissi,ae to combi,ned symmetricalloaili,ng (hori,zontal pressure and, wall friction) silo type. A new analgti,cal methoil, d,éscri,bedthe li,near elasti,c behauior of sh,ell is ileaeloped, by the equili,brium equations. In th.is wagwe haue get the fonction of stress d,i,stri,bution anil displacement of shell slei,n. Structuremoileling by fi,ni,te element usi,ng Abaqus software ue ûre permi,t to aaliil,ate the erpress'ionsobtai,neil. The comparaison haue shows a gooil concorilance between results of nurneri,calsi,mi,Iuti,on anil those obtaineil with our analytical approch.
The analysis of shell behaaior subjecteil to unsymmettri,cal laoding cornplete these part.The effect of these load ilues te eccentric d,ischarge of the silo it self trunslateil by a muchi,mportant ed fl,eæi,o n mo ments.
The second part concerns the warping analysi,s of imperfect cgli,nilricals shells. AbaqusprogranL was used again i,n stuily of th,e influence of the parameters ( shell thi,knesse, sti,ffnerstiffness ...) affecting shell strength. About basis results obtaineil, a neu) semi-analyticalrnethoil is ileaelopeil for calculati,on of the ultimate stress resistance of the sti,ffened anili,sotropi,c shells. The di,fferents comparaisons made between the results, of literature for-mulas, of ECS and, of our appraoch, with the nurnerical results, show a aali,dity of thesuggest methoil. Eoweaer, this contri,bution present a i,mproui,ng for present formulas giuenby EC?.Key words:Cylinilri,cal shells stabili,ty, finite element rnethoil, shells formulati,on, si,Io loailing type,gemetri,c imperfecti,on, nonlinear corryutation, membrane effec't, fl,eni,on effect,.
SOMMAIRE
INTRODUCTIONGENERALE. . . . . . . . . . . .1
CHAPITR^E I: GENERALITES SUR LES SILOS CYLINDRIQUES ET
ANALYSE THEORIQUE DE LA STABILITE
1.1. LES SILOS CYLINDRTQUES
(CONCEPTrON, CHARGES ET CAUSES DES STNTSTRES) . . . . . . . 4
1 .1 .1 . In t roduc t ion . . . . . . . .4
I.1.2. Florme et dispositif des silos cylindriques . . . . .5
I.I.2.L Les défauts deformes "imperfections géométriques" . ........6
L.1.2.2 Les contraintes résiduelles l iées àla construction ......6
1.1.3. Charges âgissants sur les parois des silos cylindriques ... .. ... ..6
1 .1 .3 .1 Charges se lon lanoûne NF P22-630 . . . . . . . . . . . .7
1 , .L .3 .2Chargesse lon l 'Eurocode1 . . . . . . . . .9
L.7.4. Charges climatique et sismique .... ...11
1.1.5. Causes des sinistres . .. . ".72
THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES CYLINDRIQUES
ET EQUATIONS GENERALES . . . . 13
L .2 . I . I n t r oduc t i on . . " " ' 13
7.2.2. Equations d'équilibre et de stabilité des coques cylindriques - . . ... .. 13
I.2.2.7 Equations de la stabilité non-linéaire ' ' ' ' 74
7.2.2.2 Equations de Ia stabil i té t inéaire .. . ' . " " ' 19
L.2.3. Charges critiques de flambage des coques cylindriques. ' ' " ' " '22
1.2.3.7 Flambement d'un cylindre sous pression axiale ' ' ' ' ' ' '23
1.2.3.2 Flambement d'un cylindre simplement maintenu
à ses deux extrémités et comprimé axialement ' ' " ' ' ' 23
7.2.4. Prise en compte des imperfections géométriques init iales .. . . . . -. . . . .24
1.2.5. La méthode énergétique et le critère de stabilité " " ' " '25
I.2.6. Traitement du problème non-linéaire " " " '27
7.2.7. Conclus ion "" " " 28
CHAPITRE II: CO]VIPORTE]VIENT DES COQUES CYLINDRIQUES SOUS
CHARGES DE TYPE ''SILO'' EN ELASTICITE LINEAIRE
2.1. Introduction
2.2. Lpproche analytique du calcul des coques cylindriques
sous charges axisymétriques de type "silo"
2.2.I. Formulation du Problème
2.2.2. Résolution analytique
2.2.3. Résultats de I'analyse analytique . '
2.3. Approche numérique du calcul des coques cylindriques
sous charges de type "silo"
2.3.7. Cas de charges axisymétriques .
2.3.2. comparaison des résultats analytique et numérique .. ....38
2.3.3. Interprétation des résultats analytique et numérique " " ' 41
2.4. Lnùyse numérique du comportement des coques cylindriques
L.2 .
29
30
30
32
34
36
37
sous charges dissymétriques 41
2.4.1. Analyse 1.
" v idangeexcentrée se lonles résul ta is de labase de Char t res " . . . . . . . .42
2.4.1.L Résul ta ts del 'analyse 1 . . . . .44
2.4.t.2lnterprétation des résultats de l 'analyse 1 .. . . . .58
2.4.2. Analyse 2.
" v i dangeexcen t rée se lon lano rme NF P22-630 " . . . . . . . . . . 60
2 .4 .2 .1Résu l ta t s de l ' ana l yse 2 . . . . . 61
2.4.2.2 lnterprétat ion des résul ta ts de I 'analyse? . . . . . .65
2.4.3. Analyse 3.
" Remplissage centré selon les résultats de la base de Chartres .. . 66
2.4.3.L Résul ta ts de I 'analyse 3 . . . . .66
2.4.4. Analyse 4.
t ' Rempl issage excentré se lon l 'Eurocode 1 " . . . . . . . . .68
2 .4 .4 .1Résu l ta t s de I ' ana l yse 4 . . . . . 69
2.4.4.2 lnterprétat ion des résui ta ts del 'analyse3 et 4 . . . . . . .70
2 .5 . Conc lus ion . , . . . . 73
CHAPITRE III: VOILEIVIENT DES COQUES CYLINDRIQUES SOUS
CHARGES DE TYPE SILO ET ETABLISEIVIENT D'UNE
FORMULE ANALYTIQUE
3.1. Introduction . . .74
3.2. Flambage des coques cylindriques sous compression axiaJe . . . . ..75
3.2.7. Analyse analytique de la stabilité des coques cylindriques
se lon T imoshenko e t Gere . . . . . . . 76
3.2.2. Analyse numérique de la stabilité des coques cylindriques
sous compression axiale (calcul linéaire) . ... .79
3.2.3. Comparaison des résultats numérique et analytique
deT imoshenko . . . . . . 81
3.3. Analyse numérique de la stabilité des coques cylindriques
sous compression a-xiale (calcul non-linéaire) .. .....83
3.3.1. Prise en compte des imperfections géométriques .. . . . . . . . .83
3.3.2. Etapes de création de la surface imparfaite .. . . . . . . . . . . . . 84
3.3.3. Résultats numériques de I'analyse non-linéaire . ... . 85
3.4. Analyse de Ia stabilité des coques cylindriques raidies et non-raidies
sous charges de type "Silo" (calcul non-linéaire) . . . ... .. .87
3.4.1. Rappel de la solution analyt ique selon i 'Eurocode 3 ... . . . . . . . . . 87
3.4.2. Etude paramétrique par voie numérique (coque raidie et non-raidie) . .90
3.4.2.L Charges appliquées ... .91
3.4.2.2 Choix du mail lage et des condit ions aux l imites . . . . . . . . . . . .92
3.4.3. Résultats de I'analyse analytique de I'Eurocode 3 . ... . . .. 93
3.4.4. Résultats numériques de l'étude paramétrique . . . .. 98
3.4.4.L Effets des différents paramètres . . .109
3.5. Etablissement d'une formule semi-analytique pour le calcul
des contraintes crit iques ... . . . . 109
3.6. Comparaison des résultats et validation de I'approche analytique ....I27
CONCLUSION GENERALE. . , , , , . I 27
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES . . . . . . 134
Annexe 1. Solution analytique de l'équation différentielle du quatrième ordre... 134
Ar'nexe 2. Résultats numériques du deuxième cas de vida.nge excentrée .. L37
Arrexe 3. Présentation de la.cellule "Cl' en vraie grandeure de Chartres . . . . . . .146
Annexe 4. Exemple de vériûcation de la résistance d'une coque cylindrique
raidie verticalement, soumise à des charges de type silo . . . . ...L47
II\TRODUCTIO I\ GENERALE
L'analyse des structures étudie I'organisation, le fonctionnement, la stabilité et la
résistance des constructions. Plus particulièrement, elle'examine I'agencement d.es divers
composants, étudie le jeu des forces, l'équilibre et la déformation des constructions et
détermine ies formes et dimensions à donner aux éléments structuraux pour assurer
la rigidité et la stabilité d'ensemble, compte tenu d'un degré de sécurité convenable.
L'amélioration de la qualité des produits sidérurgiques, plats et longs conduit à l'utilisation
d'éléments particulièrement légers. Les structures à parois minces de type coque employées,
en génie civil, dans l'aérospatiale et dans I'aéronautique, sont en général intensivemeni rai-
dies [5][a6][57][62]... Ce qui a permis aux chercheurs de simplifier le problème traité en
supposant que les raidisseurs sont tartinés, c'est -à dire que leurs propriétés sont réparties
sur la totalité de la surfacel et en menant alors des analyses sur une coque orthotrope
équivalente. Les résultats obtenus par de telles analyses sont en accord avec les résultats
expérimentaux. L'interêt de I'utilisation de ces coques raidies s'est étendu ensuite vers
d'autres types de constructions, telles que les constructions marines et certaines structures
du génie civil, dont les silos, auxquelles nous nous intérressons principalement.
Les silos sont des ouvrages de stokage de matière, présentant un domaine d'application
très vaste. Le calcul de ces structures, est lié au mode d'action des charges agissant sur
les parois cylindriques. De nombreuses éiudes ont été consacrées à la détermination des
actions provoquées par ces matières contre la paroi cylindrique. Une bibliographie im-
portante sur ces études est disponible dans les articles et les livres (voir par exempie
[10][32][45][50]). Par contre peu de recherches ont été réalisées, concernant Ie comporte-
ment et I'instabilité de ces constructions vis-à-vis de la nature réelle des charges sollici-
tant la structure. Ces phénomènes doivent être contrôlés pour assurer la frabilité de ces
Intoduction générale
constructions. Les quelques études théoriques et expérimentales effectuées sur le com-
portement des coques cylindriques raidies et non raidies ne traitent que des cas de charges
simples. Compte tenu de la complexité des équations d'équilibre, et pour simplifier les
calculs, certains auteurs ne considèrent pas les actions simultanées de la pression interne
et du frottement latéral de la matière ensilée contre la paroi.
Un autre problème particulier concerne le comportement de la structure durant la vidange
excentrée se rajoute. Cette dernière présente beaucoup d'avantages, dans I'exploitation des
silos par rapport à la vidange centrée, mais, elle donne naissance à des pressions quelcon-
ques, non-uniformes, sur toute ia hauteur. Les seules résuliats expérimentaux disponibles
sont les mesures expérimentales de la base de Chartres [3a]. L'étude du comportement
et de la stabilité de la structure dans ce cas de charges non uniformes changent, et les
équations seront plus compliquées à résoudre.
Les objectifs de ce travail de recherche se résument en deux parties. La première
consiste à présenter une approche analytique et numérique concernant le comportement des
coques cylindriques parfaites, en élasticité linéaire, sous charges de type "silo" (actions de
frottement et pression horizontale). La deuxième partie, est consacré à l'étude du voilement
des coques raidies et non raidies, tout en tenant compte des défauts géométriques.
Nous avons établi, dans le premier chapitre, une revue bibliographique concernant,
d'nne part, les charges de type "silo" données par les règlements actuels 124)1451, et d'autre
part les formulations mathématiques sur la stabilité linéaire et non linéaire des coques
cylindriques.
I,e deuxième chapitre est consacré aux comportement élastique linéaire, des coques
cylindriques parfaites et non-raidies, sous I'effet d'actions de type "silo". Nous présentons
une approche analytique qui permet dtanalyser ce comportemeni, sous lteffet d'actions
axisymétriques. Une analyse numérique (en utilisant Abaqus) complète cette étude afin
d'aborder l'effet de la non-uniformité des pressions (effet membranaire et de flexion) sur Ie
comportement.
Intoduction générale
Dans le troisième chapitre nous présentons une étude du voilement cles coques cylin-
driques raidies et non-raidies sous charges a.xisymétriques. Cette étude est réalisée en trois
étapes présentant successivement :
1- le voiiement des coques cylindriques parfaites sous compression axiale;
2- une étude paramétrique par voie numérique (calcut non-linéaire), permettant
d''analyser i'influence et i'importance des caractéristiques géométriques d.e la structure
et des actions sur la contrainte criiique du voilement.
3- l'établissement d'une formule semi-analytique originale pour le caicul de cette con-
trainte, concernarrt les coques cylindriques imparfaites raid.ies verticalement, tout en tenant
compte des charges réelles existantes en pratique.
Plusieurs comparaisons montrent la validité de cette formule ainsi que son efficacité
dans Ie dimensionnement des coques cylindriques sous charges uniformes d.e type ,,silo".
Chapitre I
GE}IERALITES SUR LES SILOS CYLI}TDRIQUES
ET AI\IALYSE THEORIQUE DE LA STABILITE
r..1. LES SrLOS CYLTNDRTQUES
(CONCEPTION,CHARGES ET CAUSES DES SINISTRES)
L.1.1. In t roduct ion
On désigne par "SILO", tout accumulateur de matière, constitué d'une paroi à
génératrices verticales, terminé inférieurement par des parois inclinées ou par un fond
plat horizontal fig(1. 1).
Les silos en général sont installés en batterie avec r:n certain nombre de cellules de sections
variées, juxtaposées de grande hauteur, terminées à leur base pa,r des trémies de vidange
de forme conique, et fermées à leur partie supérieure par une calotte ou par un plancher
sur lequel sont installés les appareils de remplissage des cellules.
Les cellules de section circulaire sont quelque fois liées entre elles de façon à créer d'autres
cellules dites t' intercalaires " ou " as de carreautt pour une meilleure utilisation de ltespace
disponible.
Les dimensions courantes d'une cellule cylindrique, métallique sont de I'ordre de 4 à 8
mètres de diamètre environ, et de hauteur pouvant atteindre 20 à 30 mètres.
Cha.pi.tre I Généralités sur les silos cyli,ndriques et analyse théorirltte de la stabilité.
Calotte
Raidisseurannulaire Cellule
CeintureRaidisseurvertical
Trémie
Fig (1.1)
L.7.2. Forlne et disposit i f des si los cyl indriques [31][42][51][56]
De nombreuses dispositions d'installation existent, parmis lesquelles on distingue:
- le cas de cellules reposant sur un certain nombre de poieaux, habituellement de 4 à
6. Le périmètre cle base clu cylinclre ( liaison virole - trémie ' poteau ) est donc renforcé
obligatoirement par une ceinture.
- le cas de cellules posées directement sur le sol par I'interrnédiaire d'une infrastructure
annulaire qui assure le répartition de la charge sur le sol'
Les silos soni également munis d'un orifice de vid.ange, excentré au lieu d'une trémie conique
cenirée pour les raisons suivantes:
- la vid.ange excerrtrée est plus rapide que la vidange cenbrée (vérifiée expérirnen'talement
[51 ] ) .
Ch,apitre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse théorique d,e la stabili,té.
- Pour certaines positions du matériel de manutention, la vidange excentrée s'avère plus
convenable.
Enfin, les parois des silos sont généralement réalisées :
- soit avec une tôle d'acier ondulée, raidie ( ou non ) par des montants verticaux.
- soit avec une tôle d'acier lisse, raidie ( ou non ) p* des raidisseurs annulaires et des
éléments verticaux.
7.L.2.L Les défauts de formes 66imperfections géométriquest' [47]
A la construction, la paroi d'un silo n'est jamais parfaite. I1 y a toujours des défauts,
tant dans la direction radiale que dans Ia rectitude des génératrices. Ces irrégulariiés
initiales dans la forme de la coque cylindrique ont une certaine influence sur la stabilité;
elles diminuent sa résistance au flambement.
1,.L.2.2 Les contraintes résiduelles l iées à la construction
Dans une coque raidie où les raidisseurs sont fi.xés sur la tôle par soudure, il se crée à
I'entoure de chaque soudure, dès son refroidissement, un champ de contraintes résiduelles
dans la tôle et dans les raidisseurs.
1.1.3. Charges agissants sur les parois des silos cylindriques
La figure (1.2) présente les forces qui entrent en jeu dans une cellule de silo. Ces
forces comprennent:
* Une pression horizontale P"(z) sur les parois verticales;
+ Une pression verticale Pr(") agissant sur les parois de la cellule;
* Une pression tangentielle verticale /(z) due aux frottements sur les parois.
La détermination des pressions exercées par les matières ensilées sur les parois d'un silo est
complexe. Ceci est lié aux, caractéristiques physiques, aux valeurs des angles de frottement
interne des matières ensilées, du type de parois utilisées et des dimensions de la cellule.
Parallèlement, de nombreuses études théoriques et expérimentales ont été menées pour
définir les sollicitations sur les parois et diverses hypothèses ont été avancées afin de simpli-
Chapitre I Généralités sur les silos cylind,rr,ques et analyse théorique de la stabzlité.
fier le problème. Parmi toutes ces études se trouvent les travaux de Janssen-Koenen (1895)
[32], Reimbert ( depuis 1943) [49][50][52], Caquot (1957) [15] et les études présentées par
ie groupe de normalisation P22-630 [45].
Nous n'avons pas l'intention d'entrer dans les détails du développement des équations qui
donnent les charges selon les différents auteurs, car, cela uous éloigne de notre domaine de
travail concernant le calcul de structure.
En revanche, dans la modélisation d.e la coque, nous utilisons les charges données par la
norrne NF P22-630 [45] et I'Eurocode 1 [2a].
Géometrie
@
corps de la cellule
Fis (1.2)
1.1.3.1 Charges selon la norme NF P22-630 [45]
(i) Pression verticale:
[ ï ] . ,
| -,;1| +llf+r{l
K/hessions
rht o - - -
^l-r
plan moyende remplissage
z
référence pour lecalcul de la cellule
P,(") :1Zs$(z); (1 -1 )
Chapi,tre I Générali,tés sur les silos cylindriques et analgse théorique de la stabilité.
(1 -2 )
où:
6
?p
C
À
T h
A
L
Poids volumique
Angle de frottement de la matière ensilée contre la paroi;
Angle de frottement interne de la matière ensilée;
cceffi.cient de frottement contre la paroi F: tan$: f (z)lp^Q);
Ccefrcient de rugosité de la paroi;
Rapport des charges horizontales verticales À : p"(z)lp";
: Rayon hydraulique r1r: AIL;
Aire de Ia section droite de la cellule;
Périmètre de la section droite de Ia cellule.ttr" et "v" représentent respectivement l'état de remplissage et l'état de vidange.
ô ( , ) : 1 - exp ( - : ) (1 - B )\ zo,/
" z" est la côte de profondeur, ayant pour origine le plan moyen de remplissage.
L'angle B est déduit de la formule suivante:
cos2B -sin2(6,,,) t cos(6,,,)1f sinz(g,,,) - sin2(6,.,,)
1 1 - 4 \sin(p.,r)
Où les signes à adopter sont :
le f pour le remplissage et le - pour la vidange àvêc pa: 0.85g,.
( i i) Pression horizontale:
P"( t ) : ÀP"(z) (1 -5 )
(iii) Action de frottement:
f ( r ) : pP"(z) (1 -6 )
Chapitre I Généralités sur les silos cylinilriques et analyse théorique de la stabilité. I
( i i i i ) 'Somme des actions de frottement
1 zF(z ) : l f ( z )dz : . y . rh lz -zs .QQ) l (1 -7 )
Jo
Les critères de classifi.cation des modes de vidange sont déterminés en fonction du rapport
(cellule pleine) :I
, h o - h tf :T
Ori :
h, : est la hauteur de la zone "morte"'
h1 : est Ia hauteur de Ia trémie;
h" : est Ia hauteur de la partie cylindrique.
k < 3 on adopte les formules de la vidange en masse.
* a f a 3 on adopte les formules de la vidange mixte.
k > 3 on adopte les formules de la vidange en cb.eminée.
Dans le cas de vidange on utilise les formules de base (paragraph 1.1.3.1) avec les
paramètres go et 6, et avec Ie paramètre ) modifié selon :
^: \M; Vidange en masse
. (2À'"Àr)À - ;ffi; Vidange mixte
\ A a t A r )
. l : ,-(1À'À1). : vidange en cheminée" - (3À, *À , " ) '
où:À. et À, sont calculés à partir de laformute (1-2) avec les paramètres respectifs (gr,6,) et
( ? " , 6 " )
L.L.3.2 Charges selon I 'Eurocode L lza)
Selon I'Eurocodel, et dans le cas de remplissage centré les formules donnant les
pressions dans les silos n'ont pas changé, à I'exception des valeurs de À et du ccefficient de
frottement p,. Le tableau ci dessous résume certaines valeurs caractéristiques À, pl adoptées
par I'Eurocode 1.
Chapitre I Généralités sur les silos cglind,riques et analyse théorique d,e Ia stabilité. 10
Matière d'ensilage (r)kN/m3 À ) I t t CoBté 8.5 0.55 0.35 1.35
Ciment 16.0 0.5 0.4 L.40Clinker de ciment 18.0 0.45 0.45 1.40
Farine 7.0 0.40 0.3 1.45Mal's d . c 0.50 0.3 1.40Sable 16 0.45 0.4 1.40Sucre 9.5 0.50 0.45 1.40
tableau (1-1) Paramètres caractéristiques de certaines matières ensilées
Par contre en vidange centrée les pressions changent et deviennent :
P. . , ( t ) : Cn.P"(z) (1 -8 )
f " ( r ) : Ct . f Q) (1-e)
Cn el C1 sont des ccefficients d'augmentation des charges do''r'és par:
Cn:Co; C l : I .1
Les valeurs de Co sont données dans le tableau (1-1).
La figure (1.3) représente la variations des actions, dite type "silo" en fonction de la hauteur
selon les norines pour une cellule cylindrique de quatorze mètres de hauteur, quatre mètres
de diamètre et quatre millimètres d'épaisseur (la cellule C).
+ prsi6 horiænrale (Ræplissa6c)-o- liDû@dl(K@Ptste)-{F- grsim horiæ[Éle
(vidaoge æ mæe)<l-- Ëoaoæt (vidate a Easse)
. Ùfarika æiléo (8Il)
I Cbargæ selon la N F W4n
Ch,apitre I Généralités sur les silos cylind,rigues et analyse théori,que de la stabilité. 11
l2
r0
8
6
4
0
o
t0
I
6
1
- 0 . 1 8 1 2 l . 3 m 2 4 â ! 20 5 1 0 1 5 û 2 5
Pressions [kNrho2]ke.ssions [kNrTnf]
Fig (1.3) Pression h,orizontale et action d,e frottement d,ans Ia cellule "C"
selon la norme NF P22-630 et l'Eurocod,el (oidange et' remplissage centré)
L.L.4. Charges cl imatique et sismique
On disiingue deux grands groupes:
- Le premier est celui des silos isolés ayant une seule cellule cylindrique' potrr lesquels
on peut obtenir facilement la répartition des actions du vent en appliquant les règles N.V
65 [43];
- Le deuxième est celui d.es silos à deux ou plusieurs cellules juxtaposées, dans ce cas la
direction du vent et I'espacement entre les cylindres jouent un rôle important. 11 n'existe
pas, à l'heure actuelle de règles pouvarlt donner directement la répartition des actions du
vent sur ce type de silo.
La stabilité de ia coque doit être vérifiée dans les deux cas suivants:
- Le cas où la charge du vent agit en même temps et dans le même sens que la charge
due à la vidange excentrée;
- Le cas où la charge d,u vent agit seule sur le cylindre vide. En effet, la charge du vent
+ græion hciænnle (Roplisge)-O- Éo6@n! (Rofiplbûego)
-+l- pruion horiæntale (vidæge)
{}- &oaoot (vidæge)
.lt"tU" *ife" (BLÉ)
. Chrgæ selm lBreodo I
Chapitre I Générq'Iités sur les silos cylind,rigues et analyse théorique de la. stabitité. 12
peut provoquer un claquage généraiisé de ia paroi [42]. Les raidisseurs annulaires doiventpouvoir I'empêcher.
On distingue également :
- La pression exercée par une cellule intercal.aire si de telles cellules existent;
- La sollicitation d'origine thermique, au cas où le p'roduit ensilé a une température
différente de la température ambiante (Clinker);
- La sollicitation d'origine sismique, si les silos sont construits sur des sites exposés à ce
phénomène.
1.1.5. Causes des sinistres
Dans les documents 118][42], des exemples de sinistres intervenus sur des silos
métalliques, ont été présentés. Les causes sont diverses, on distingue deu,x groupes princi-
parl\:
- Les désordres dus à une mauvaise détermination des pressions des matières d'ensilage
sur les parois, ou à une sous-estimation des charges du vent;
- Les désordres dus à un mauvais dimensionnement ou à des erreurs de conception. Faute
d'une méthode ou de formule appropriée pour le calcul de la stabilité des silos, on emploie
des formules basées sur des hypothèses différentes de ce qui se passe réellement dans les
silos.
En effet les formules développées dans la litterature pour les cylindres non raidis ([20][22])
et les cylindres raidis [29] considèrent une charge axiale constante et ne prennenr pas en
compte directement la variation des actions (pressions horizontales et action de frottement)
en fonction de la profondeur. Le cas de la distribution non uniforme des pressions en
vidange excentrée n'est pas traité entièrement
Chapi,tre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse théorique de la stabilité. 13
1.2. THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES CYLINDRIQUES
ET EQUATIONS GENERALES
L.z.L. fn t roduct ion
Lorsqu'un chargement appliqué a pour effet de vaincre " ia rigidité de forme " d'une
structure, celle-ci ne résiste plus que par sa rigidité de fléxion. C'est ie cadre de la théorie
des coques flexibles ou encore des coques souples. En général, on observe de grands
déplacements qui peuvent apparaitre brusquement. C'est le voilement (on dit parfoit
flambage). Le changement de la configuration de la structure peut être graduel, dans ce
cas le point de flambage réel est plutôt arbitraire. Cependant, dans la majorité des cas
(définis par différents types de structures ou différents cas de charges), ce point est net et
facile à identifier.
Après flambage, la résistance de Ia structure peut d.iminuer. Ce phénomène d.épend du cas
de charge appliqué, du type et de la géométrie de la structure, des niveaux de contraintes
atteints, etc...
Pour les parois minces, il est devenu impératif de prendre en compte ce phénomène dans
le dimensionnement et la vérification des structures. Un cadre simplifié d'étude de la
stabilité des structures à été proposé par Euler pour des colonnes. C'est I'extension aux
coques minces de cette même démarche que nous abordons dans ce chapitre.
L.2.2. Equations d'équil ibre et de stabil i té des coques cyl indriques
Une coque est un solide qui occupe dans ltespace un volume compris entre deux sur-
faces telles que leur distance soit petite devant les autres dimensions. Cette caractéristique
géométrique permet des simplifications dans les modèles tridimentiorrnels. On peut les
obtenir de différentes manières (hypothèses a priori ou développements asymptotiques).
Mais dans chaque cas , nous sommes conduits aux relations cinématiques de Kirchhoff-
Love [41]. Elles expriment que la normale matérielle à la surface moyenne de la coque ne
subit pas de dilatation et reste, en tant que normale matérielle, orthogonale à la surface
moyenne déformée. En effet, ces conditions impliquent que chaque tranche tranwersale
de matière, se comporte commme un solide rigide, son mouvement étant décrit par un
torseur. On peut ainsi décrire toute la cinématique du milieu tridimentionnel à partir de
grandeurs définies sur la surface moyenne de la coque. En I'occurence, le mouvement se
déduit d'un champ de translations et de rotations. Evidemment, ces hypothèses ne sont
pas toujours compatibles avec les lois de comportement du milieu et on ne devra retenir
Chapitre I Généralités sur les silos cylind,riques et analgse th,éorigue d,e Io, stabilité. L4
(parmi ces relations de comportement), que celles qui sont en accord avec les équations
d'équilibre. Dans la pratique, le modèle de Kirchhoff-Love [37][41] est relativement délicat
à mettre en æuvre. On préfère souvent faire appel à des versions simplifi.ées qui diffèrent
entre elles sur la façon dont la courbure est prise en compte (modète de Koiter [Sf]' ae
Novozhilov et Donnel [2f], etc...). Dans tous les cas, l'équilibre de la coque est régi par
deux phénomènes:
- l'effet de flexion
- l'effet de membrane
Le premier se manifeste dans un mouvement de rotation de la surface moyenne, tandis que
Ie second fait intervenir les déformations propres de cette surface.
Les équations des coques cylindriques que nous présentons dans ce chapitre sont basées sur
la théorie et les simplifications de'Donnell [21]. Elles sont relativement peu compliquées;
elles donnent cependant des résultats très satisfaisants surtout lorsqu'elles sont employées
dans les problèmes de flambement des panneaux cylindriques relativement plats ou des
cylindres peu profonds (quasi- shallow shells). Pour cette raison, on trouve les équations
de Donnell à la base de la plupart des analyses de stabilité publiées.
Les équations non linéaires d'équiiibre de la coque cylindrique peuvent être obtenues soit :
- directement par la sommation des forces et des moments agissant sur un élément de la
coque cylindrique dans une configuration déformée.
- en déveioppant les équations pour ies coques de forme générale et en déduisant les
équations d'équilibre pour une coque cylindrique comme un cas particulier.
L.2.2.L Equations de la stabilité non-linéaire [6][13][14][36]
La figure(1-4) représente un élément de coque cylindrique en configuration déformée'
Soit AP" f incrément de la force axiale par unité de surface et P, Ia force radiale par
unité de surface. Ecrivons les équations d'équilibre statique des forces et des moments
agissants sur cet élément. En écrivant successivement que la somme des composantes des
forces dans chacune des directions x, y et z est nulle, et en utilisant les hypothèses de
Donnell (cytindre peut profond, le matériau est homogène et isotrope), nous aboutissons
aux équations suiva,ntes :
Chapitre I Généralités sur les silos cylind,riques et analyse théorique de Ia stabilité.
Suivant z on a:
N" , " *Nu" , r *APr :g
Qu,u : Mr ,oo - Mrv , " v '
qÉAQv/a/ dY
N"rrâN'y'ôy dy-311fr616na*ravl
av
NrrâNyô dv
(1 - 10)
(1 - 11 )
..4*aQ,n"a, dz'ùv[àz+
AftrAwD') d'
N
Nz"tôN/dz dz' \ "
Z1II
,1I
Fis (1.1)
Chapi.tre I Générali'tés sur les silos cylind,riques et analyse théorique ile la stabilité. 16
Suivant y on a:
Suivant x on a:
No ,o * N "s , r : 0
Q"," : M", " " - Myr ,n, ,
(1 - 12)
(1 - 13)
Q " , , * Qo,o * i * * Nr tn , " , * Nr , "u ,z * Now, rs * Nr , rw,y
- P r * N r y u ) , " g * N y " , " I ! , y * N y r u , y " { N n r t a , " a L P " w , r : 0 ( 1 - 1 4 )
avec :
ô( )_,,. a( )_,a" -= ( ),,i fr:{ ),t
En introduisant les équations (1-10) et (1-12) dans l'équation (1-14) on oboutit à l'équation
suivante:
Q" , " * Qn ,o * i " ,
* N "n ) , " r * Nyw,ys* Nryw, "s * Ns "w , ' s r : P , (1 - 15 )
Par ailleurs, les intensités des forces et des moments sont liés aux contraintes internes par
les relations suivantes :
N" : I l r",( t
* î) d,a : c(e"*ues)i Ny -- I :ro, (r . î)dft : c(es + ue,)
!,{,! : Ny": Iu ,
r,o(r + l)a"
Chapitre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse th,éorique de Ia stabilité. 17
11[ "e
: ,"n (t + i)"a,
- 1 ï / f . \ r t / - .0 \ ,Q, : | . r ,n ( t+ : )dr ; Qy: l_ r r "u l t+=)dxJ - i
- \ r / J -2
c21 Tzst...etc. étant les valeurs des contraintes à un poirtt quelconque dans l'épaisseur de
la coque ( à une distance x de ia surface moyenne).
Parmis certains hypothèses de Donnell, le rapport i p"nt être négiigé devant l'unité. Et
dans ce cas l'équation (1-15) s'écrit sous la forme suivante :
/ t \M" , " r - 2Mrs , r s * Mn , r r l N2u ) , zza2Nrnw , "n *No ( ; * . , 00 ) : r , ( 1 - 16 )
Les relations entre les d.éformations e; de la coque et les efforts N, par unité d.e longueur
ainsi que les relations entre les courbures K; de la coque et les moments IVI; par unité de
longueur sont données par les relations suivantes:
1 i-Mor :
| ,{ - z
N" : C ( t , + r€y ) ;
Ns : C(e,1- ue") j1 - r t
I t
1V z! : U--7ry iz
M":D(K, *uKu)
Mc:D(Ku*uK, )1 - r t
1vI" ! : Oï*"n
n:ffi-,,1
K" : -11) ,zz
Kv: -u ,ua
l { "v
: -u,29
l a r È \
( l - r r j
(1 - 18)
Où C et D sont réspectivement la rigidité membranaire et la rigidité de flexion données
par les expression suivantes:
C_
Les déformations e; et les courbures K; en un point de la coque sont défi.nies en fonction
des déplacements u, v et w à partir des relations de Donnell [21] :
(L - , ' )
1e " : ' I l , z + : r ( r , " )2 ;
w1Ey : u,s - 1 L,
)(*,ù', ;
' Y r g : U , U - U , z t U r z U r g I
Chapitre I Généralités sur les si,Ios cylinilriques et analyse th,éorique de lo, stabilité. 18
L'introduction des expressions des moments équation (1-17) et les expressions de courbures
équation (1-18) dans l'équation (1-16) donne l'équation suivante:
-D(w,""" " ] -2w,zzsy t r , rnr r ) | N2to,zz !2N2yu,zu * Nn( l - . , r r ) (1 - 19)
En résumé, on a donc les trois équations d'équilibre suivântes :
N r , " *No " , r *AP" :g
No,o r N"s, " : o(1 - 20)
*P r :0
Les termes Nr, N, ei N", qui figurent dans les équations d'équilibre ci-dessus sont des
fonctions inconnues de z et d.e y. Ils représentent à la fois les forces membranaires variables
qui sont dues à I'extension de la surface moyenne, produite par la déflexion et les forces
dues aux charges appliquées.
Nous avons ainsi obtenu trois équations pour quatre inconnues. Il nous faut encore une
quatrième équation qui fait intervenir la déformation du système, autrement dit, l'équation
de compatibilité de déformations.
L'introduction des relations (1-17) et (1-18) dans les équations d'équiiibre (1-20) conduit
aux équations d'équilibre développées suivantes :
DVaw - l*,t,""
a 2N,rw,,o * Nu (l - ,,no)
! -u . I+u ( 7 -u z \ , ( t+u \ AP", t , zz*Tu ,u r * -T r , " r * r t s , r ( . , r ' t , . ,n , -
; )1 . ,n \ , . , ru
)+ i :0
(1 - 21a)
! -u l *u / | -u z \ ( [ l u \o ,uu i - - fu , " r *
Tu , "s I r , s ( r , r , * 7 . , " " - ; ) *w , , \ . ,
t , r , )
:U
(1 - 21b). | / u \ / 1 \ l
DYau - " lu , , ( . , " , *uu,ss* i )
* (u, r*u, , ( ! - u)w, ,u)+ ( r , r , I u , , ,zz. ; ) l
(u,, -î) . \ @?"*,uzy)- (+ .ry) @?,+,.?,) * p.:0 (1 - 21c)
Ainsi, nous avons trois équations couplées avec trois inconnues u, v et w. Elles sont
suffisantes pour analyser le comportement au flambage et au post-flambage de la coque
cylindrique.
Chapitre I Généralités sur les silos cyli,ndriques et analgse théori,que de Ia stabilité. 19
Dans le cas où la compression æciale appliquée est constante le long du cylindre "L,P, :
0". il est possible dans ce cas d'introduire une fonction d'Airy F et d'obtenir ainsi deu-x
équations au lieu de trois avec deux inconnues F et w :
f ,^. -
* lr .r7)),zz -2l,zy' tD,,y 1F,""( l - ,ur) l * a : o
I " ( r : , , - ' t . ,zzu, ! ! ' - t , , " , ) :YaFLa fonction d'Airy est supposée satisfaire les relations suivante:
(r - 22)
N,: ( t l2)F,ur ; Ne : (t l2)F,,"; t{"u : -(tlz)F,,s
Les équations (1-22) sont appelées "les équations de Karman-Donnell".
Remarques:
- Contrairement à ce que I'on observe dans l'étude des plaques et des poutres, même
la branche fondamentale de pré-É,ambage est non-linéaire, pour une coque cylindrique-
Cela vient du fait que, même si le cylindre est parfait, les déformations de pré-flambage
entrainent des rotations des éléments structuraux;
- La solution d.es équations différentielles non - linéaires de l'équilibre donne les
branches d'équilibre primaire et secondaire. Les branches d'équilibre montrent directe-
ment I'existence du point de bifurcation et la valeur de la charge correspondante;
- On ne peut cependant d.éterminer le point de bifurcation que par la résolution des
équations différentielles linéaires que nous alions établir dans le paragraphe suivant.
L.2.2.2 Equations de la stabilité linéaire
La charge correspondante au point de bifurcation pour la coque cylindrique soumise
à une compression a-xiale et une pression latérale conservative est déterminée à partir
des équations qui sont présentées par la suite. Ces équations sont obtenues à partir des
équations non - linéaires (1-20) par l'application de Ia méthode dite de l'équilibre adjacent.
Cette méthode est basée sur le fait qu'au point critique, il existe pour la même charge,
d.es configurations d'équilibre infiniment voisines à l'état fondarnental. On donne aussi aux
variables de déplacement un petit incrémént :
u :uo+u t
u :uo *u t
w :wo*w t
(1 - 23)
Chapitre I Généralités sur les silos cylind,riques et analyse théorique de Ia stabilité. 20
(uo, ,o et urs) représentent les composarrtes du champ cle déplacement correspond.ant à la
configuration fondamentale d'équilibre et (u, u et w) une configuration adjacente d'équilibre
pour la même valeur de la charge appliquée;
(ur, ,, et u1) sont les composantes du vecteur représentant les petits incréments. Les
contrainter (If", l/, "t
/f"r) des équations (1-20) prennent la forme suivante :
N,-1r , "+Af f ,r t ry- l r r r+aN,
Nr! : Nroro + ANrs
(1 -14 ) l\ - - - )
ff"', Nro et Nroro correspondent aux déplacements u9, ue et ?r.rs I
Altrr, A.f[, et 6Nzu correspondent aux incréments ur, er et tl1.
En désignant par N"r, Ny, et.f[,,r, les termes de A.lf,, AN, et 6Nzu qui sont linéaires
€n u1, u1 et w1 et en considérant les équations (1-17), les coniraintes généralisées N", Ny
et Nrn peuvent se mettre sous les'formes suivantes :
N, : c ([u," + ]{r,,)') t ulu,u - Y + f;fr,r>'l)
Itrv : c (lu,o - i + |{.,r)') * vlu," + }rr,,l'l)
N,u : c | { rg * t ) ,2 * w, ,w,y)
(1 - 25)
En introduisant les équations (1-23) et (7-21dans les équations nonlinéaires (1-20), tous
les termes €o us, uot 1!0 et P disparaissent parce eu€ us, 1)0, 'tlo décrivent la configuration
d'équilibre. Et si en plus, nous négligeons les termes d'ordre quadratiques et ceu,x d'ordre
supérieurs €rr u1 , uLt lDL du fait qu'ils sont très petits nous arrivons aux équations de
stabilité suivantes :
N " r , , * N g " r , , : 0
N a r , s * N r u r , r : 0
DYawl -(
I (N"owt,r , * N"rwo,r") l2(N"yow1,ry I Nryrwo,"y) | Nnout l ,yy*
(
*.( l*-0,r,) ):o
(1 - 26)
Chapitre I Généralités sur les silos cvlinil,riques et analvse théorique d'e Ia stabilité. 2I
Les équations de stabilité (1-26) permettent de déierminer la charge critique pour un com-
portement linéaire (fig.t" 1.4b) ou non-linéaire (figure 1.4a) avant flambage. Cependant, la
présence des rotations de pré - fla,mbage dans ces équations de stabi[té introduit une com-
plication substantielle dans les calculs. Heureusement, dans un grand nombre de problèmes
d'instabilités (flambage des coques minces parfaites), f influence de ces rotations est petite
et négligeable.
(a) (b)
Fig (t./)
Lorsqu'on néglige les rotations r.!s,2,u.rs,, de pré-flambage les équations (1-26) deviennent :
f N"' ' * Ns"'Y
| /rr r,y I N"sr,"
| ,o*-, - (" , ,r , ," , *2N,uour,,s* r [g,our,y, * l"r ,)
-0
: Q
-0(t - 27)
Les équations (1-27) sont les équations de stabilité dans iesquelles la non-linéarité de pré-
flambage est négligée (voir figure 1.4b).
Les équations (t-27) sous forme de déplacements en utilisant les reiations cinématiques
sont données par : .
(1 tDYawl -
7 ( r ' ,0 -Y +
7-u L+u u ^ur,"" *
Tur,ou +
Tut,ry -
iu7,z : u
L -u \+u 1 ^ut ,yy *
n-ut ;z * -Tut,"y -
iuL,z : u
\ , ̂ ',ur,r) - (N"our, ," + 2N rsotrr ,rs * Nnowl,nn) : 0
( 1 - 2 8 )
Chapitre I Généralités sur les silos cylindriques et analgse théorique de la stabilité. 22
Ces équations peuvent être découplées d'aprés les hypothèses de Donnell. On obtient après
a.rrarrgement les trois équations découplées de stabilité de Donnell suivantes :
u 1 - o-r ' lDl ,zzz - iat ,OO
r : V -Ul
2+u : l' f t t ,""y * i t t , ron:
Vnut (1 - 29)
DV8w1- V4 (Nrowt , r , | 2Nrrowl , ry * Nyowr,3,y) * EJrr , r " " "
: 0I
En posant N"so :0, on peut utiliser ces équations pour calculer la charge critique d'un
cylindre soumis à une compression axiale et une pression latérale.
En posant N"so : 0 et .lfro : 0, on a le cas d'un cylindre soumis à une compression axiale.
Puisque f influence des rotations d'avant-flambage est négligée dans ces dernières équations,
les cæffi.cients (Nro, trg,o et Nroo)'sont gouvernés par les équations linéaires d'équilibre
suivantes :
(1 - 30)
Le système d'équations de stabilité possède une solution non triviale seulement pour cer-
taines vaJeurs de charges appliquées. Ces charges représentent les valeurs caractéristiques
du système, et à chacune correspond un point de bifurcation.. La charge critique correspond
aJors à la plus petite de ces valeurs.
L.2.3. Charges critiques de flambage des coques cylindriques [19]
Ce paragraphe, résume la formulation des charges critiques "Q"" d" flambage des
coques cylindriques. elle est valable uniquement pour les deux modèles suivants :
Modèle 1. Epaisseur très faible devant les rayons de courbure, (les effets de rotation autour
de la normal à la surface moyenne de la coque sont négligés).
Modèle 2. Epaisseur très très faible devant les rayons de courbure. Les déplacements
tangents de la surface moyenne étant eux-mêmes négligeables devant les rayons de courbure
de la surface moyenne, comparés au gradient de la flèche. Ce modèle est adapté atr.\ coques
dites peu profondes, c'est-à-dire ressemblant à une plaque. Plusieurs auteurs ont proposé
ce type de modèles, parmi lesquels Novozhilov et Donnell.
( N"o,' * Nu"o * AP' : g
{ ffro,y * rf"so : o
t1I DV*tor -
;*u" * P,: g
Chapitre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse théorique de Ia stabilité. 23
f.Z.g.f Flambement dtun cylindre sous pression axiale
En utilisant les notations de la figure (1.6) nous obtenons : (da,ns le cadre des modèles
te t2 )
(i) Cas des culindres encasfuét lzbteê
-e"1#^('.+) ,n ( aru" \2Jo , \ ( d f1 ) ' /rw (1 - 31)
(1 - 32)
(1 - 33)
Fis (1.6)
où:^ 72(7 - u2\
a_ :È :
En choisissant u, - 1 - cos(z'(l lzil) on déduit:
-e"1ffi('.#)(ii) Cas des cyli'ndres encastrés-encastrés
Avec u" - 1 - cos(2r(|lH), la charge critique sera :
-e"1ffi('.#)+ (1 -34)1.Z,B,Z Flambement dtun cylindre simplement maintenu à ses deux extrémités
et comprimé axialement
12
T
Chapi,tre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse théorique ile la stabilité. 24
t u plrrs petite charge critique dans ce cas est donnée par I'expression suivante :
E*tffi
(1 - 35)
Q" est un effort résultant exercé sur ies couronnes aux extrémités du cylindre dont
l'épaisseur est t. La contrainte critique associée est donc:
0 c : (1 - 36)
! .2.4. Prise en compte des imperfections géométriques init iales[4][30][47].
Il existe un désaccord important entre la valeur de la charge critique classique "P"1"
et la charge critique expérimentale "P"r', figure (1.7). Or, ni la prise en compte des
déformations de pré-flambage, ni I'influence des conditions aux limites ne peuvent seules
donner une interprétation satisfaisante de i'écart entre I'expérience et la théorie classique.
En faite, ce sont les imperfections géométriques initiales de la coque qui sont principalement
à l'origine de cet écart. Il est nécessaire de les prendre en compte [6][36].
ô
Fis (1.7)
Les équations de Karma4:fonnell (L.22) ne sont applicables qu'aux cylindres parfaits.
Pour tenir compte des imperfections intiaJes dans ces équations, quelques modifications
sont à faire :
- le déplacement latéral est composé d'une flèche réelle "ur" produite par la charge ap-
pliquée, et une distorsion intia.le n111 t1<1'correspondant aux imperfections géométriques
initiales.
ET
Ch,api,tre I Généralités sur les silos cylind,riques et analgse th'éoriqu" d, Io:tùj!ilé' . ë
- ies premiers termes qui représentent les forces de cisaillement dans la première équation
(1.22) dépend.ant seulement de la courbure produite par la flexion, ne subissent aucune
influence d.e cette distorsion. Par contre, on d.oit remplacer "u)" par pat "r'D *w * " dans
les autres termes de l'équation"
Les équations d.e Karman-Donnell ainsi modifrées seront les équations différentielles gou-
vernantes pour l,étude de la stabilité des coques cylindriques initialement imparfaites, et
se mettent sous la forme suivante :
0 (1 -37)
v4F
1.2.5. La méthode énergétique et le critère de stabil ité [19][40][64]
Les équations d'équilibre et de stabilité développées dans les paragraphes précédents'
peuvent aussi s'obtenir en analysant l'énergie potentielle du système'
Pour une coque cylind.rique, l'énergie potentieile totale fI est la somme de son énergie de
déformation u et de l'énergie potentielle o des charges extérieures appliquées'
I I : [ /+O (1 -38)
L'énergie d.e déformation u d'un milieu continu et isotrope est donnée par la relation :
u: , | | | @,e; +orer - ro)e" +râ 'Y,sar* tv ,+r ; "Y; )dædvdz (1 -3e)
En négligeant les termes d,e cisaillement et de contrainte normale, conformément aux hy-
pothèses ad,optées d.ans la théorie des coquesl et en introduisant les relations constitutives
(1-17) dans l'équation précédante on obtient:
Yaw - L, l r ,no{r , , , * 7n*, , r ) - 2,
-*l',,"(l * ',r . .
n l@,r,
* w*,"v)2 - ('"" + ror*",)(uau * w*ro) -
F,,
, 9 !
, ( ' , ro + -* , rv) l
* . * ,no ) ] * *
''(w,", * .*,"")fIT
u:* | | I ( ,r '*, ; '+2ve"en +|t; , ' )a,aua" (1 - 40)
Chapitre I Généra|ités sur les silos cylinilriques et analgse th.éorique de la stabilité. 26
où:
( e ' -e ' *xK"I, , i -e r *æKu)I lâ : ^l'Y | 2xK 'n
e; : Déformation d'un point de la surface moyenne;
e; et 7, : représentent respectivement la déformation normaLe et de cisaillement d'un
point se trouvant à la distance "æ" de la surface moyenne de la coque.
En introduisant ces relations dans I'équation (1-40) et en faisant I'intégration sur "o" qui
varie de -t à t, on trouve i'expression suivante :
U:U* lUo r 1 - 41 \
(r,n: i Il (r, * e? +z,e,e" **r?") a,a"
u, : + | | @? + K? + 2uK,K,+ 2(1 - u)K!") dædz
U* el, U6 Représentent respectivement l'énergie de déformation membranaire et de flexion.
L'énergie potentieiie des cha,rges appliquées est l'opposée du travail fournis par ces charges
lorsque la structure se déforme :
n : - ll Uu + Pw) d.ad,z (1 - D.\
\ - ' - J
Où / et P sont respectivement les composantes axiale et latérale agissant sur la surface
d'un élément coque.
u, ur sont les déplacements d'un point de la surface moyenne de la coque.
La substitution des expressions de I'énergie de déformation [/ et de l'énergie potentielle Q
dans (1-38) donne une expression de la forme suivante :
n-- [[FsdÆd,zJ J
En utilisant le principe de I'énergie stationnaire [6II = 0] (l'integrant Fs doit satisfaire les
équations d'Euler de calcul des variations [19][16][40]). En introduisant les relations (l-22)
nous retrouvons les mêmes équations d'équilibre (1-25).
chapitre I Générali,tés sur les si,los culznd,rtgues et ano'Iuse th'éoriuue de la stabilité' 27
La variation seconde de fI s'obtient , en ajoutant un incrément virtuel de déplacement
(ur,ur,u.r1) sur la configuration d'équiiibre fondamental de (us' ?0' tl,o)'
Donc :
înn : Z I I I (,t, * e2n, + 2e"1esr +|4n,) o'ooo"
. i l l
(N,or?,"* Nuou?,v *2N"row1|'uL,s) dtda
. "U I I ('?,', * w?,vc | 2uwv"'w7'!a *2(1 - v)(wl',,u) dxds (1 - 43)
Les rotations d'avant-flambage uss et ?o6, sont négligées dans la relation précédante'
Les équations d,Euler avec coûIme intégrant, celui de I'équation (1-43) conduisent aux
mêmes équations (i-32) déjà trouvées en appiiquant le principe de l'équilibre adjacent'
L.2.6. TYaitement du problème non-linéaire
L,analyse non-Iinéaire est nécessaire dans les situations suivantes :
1- Pour déterminer la branche d'équilibre secondaire. En effet, la théorie linéarisée de la
stabilité (paragrap h L.2.4.) est limitée à la détermination du point de bifurcation' Mais elle
ne donne aucun renseignements sur la forme de Ia branche secondaire' or, la connaissance
d.e cette branche est importante pour mieux comprendre le comportement de ia structure'
c,est-à-dire de savoir si la structure aprés bifurcation sera stabie ( avec une résistance
croissante ) ou instable'
2- Pour tenir compte des déformations non-linéaires d'avant-flarnbage et des imperfections
initiales, et de déterminer la charge critique avec exactitude'
3- Pour tenir compte du comportement non-linéaire des matériaux'
La solution analytique exacte d.es équations non-linéaires (L-27) pour Ie cylindre parfait
ou (1-37) pour Ie cylind.re imparfait n'existe pas. oo est généralement anrené à résoudre
leproblèmepardesméthodesapproximativesetnumériques.
Les méthodes généralement utilisées d.ans la résoiution de ces problèmes sont les suivantes
- lesméthodesdedéveloppementenser ie(Ri tzouGalerk in) ;
- la méthode des différences finies;
Chapitre I Généralités sur les silos cyli,ndriques et analyse tltéorique de Ia stabilité. 28
- la méthode des intégrations numériquesl
- la méthode des éléments ffnis.
Toutes ces méthodes d'analyse numérique réduisent le problème non-linéaire à un problème
de résolution d'un système d'équations algébrique linéaire pour chaque cas de chargement.
Le système d'équations est alors résolu par I'une des méthodes incrémentales ou itératives.
L.2.7 Conclusion
Dans la première partie de ce chapitre on a présenté les charges de type "silo" agissant
sur les parois cylindiques données par les norrnes, NF P22-630 et I'EC1. Nous avons montré
ainsi que les pressions alciales et latérales, s'exerçant sur un silo cylindrique sont répa.rties
de façon non uniforme le long du cylindre et le long du périmètre.
Dans la deuxième partie on a pr-ésênté les principales équations de la stabitité linéaire et
non-linéaire. Ce sont les équations de la stabilité de Donnellf2l], eui se résument par:
- les équations de stabilité dans lesquelles les termes de rotations d'avant-flambage sont
retenusl équations ( 1-26);
- les équations de stabilité dans lesquelles de tels termes omis sont données sous trois
formes équivalentes; équations (1-27), (1-28) et (1-29).
Le système des équations algébriques obtenu a été résolu numériquement. Cependant
aucune des études publiées n'a abouti à une solution analytique explicite à usage pratique
pour le dimensionnement du cylindre raidie. Toute fois on peut citer l'étude de Shang,
Marulic et Sturm[26] qui reste valable uniquement pour des cylindres raidis verticalement,
soumis à une compression axiale constante.
La suite de ce travail concerne l'étude anaiytique et numérique du comportement des
coques cylindriques non raidies d'une part et l'analyse de la résistance au voilement des
coques raidies et non raidies dtautre part.
Chapitre II
COMPORTEME}TT DES COQUES CYLil\DRIQUES
SOUS CHARGES DE TYPE SILO
E}T ELASTICITE LI}IEAIRE
2.1. Introduction
Cette partie a pour objectif d'étudier le comportement de ia structure des silos
6{lalliques cylindriques sous I'effet de la matière ensilée. On s'intéresse plus parii-
culièrement à la distribution des contraintes, des moments, des déformations et des
déplacements le long d.es parois d'une cellule à section droite circulaire. Dans la première
partie, nous proposons une solution originale analytique de ce problème en élasticité
linéaire, dans le cas de charges axisymétriques correspondant aux pressions de la matière
ensilée sur les parois du silo en pha.se de remplissage ou de vidange centrée. Dans Ie cas
de ]a vid"..ge excentrée, les poussées des grains sur les parois du silo sont dissymétriques.
L'influence de cette distribution non-uniforme, sur le comportement de la structure est
abordée numériquement (en utilisant Abaqus) dans la deuxième partie.
Chapitre II Comportement d,es coques c\lind,riques sous charges d,e type silo en E.L. 30
2.2. y'rpproche analytique du calcul des coques cylindriques
sous charges axisymétriques de type 66silott
L'analyse des coques cylindriques minces en élasticité linéaire soumises aux cas de
charges de type silo est complexe. Pour résoudre analytiquement le problème, plusieurs
hypothèses sont à formuler sur la théorie des coques et sur les charges à considérer.
Les hypothèses ad.optées dans ia formulation sont les hypothèses de Kirchhoff-Love. Les
relations entre cléformations €;i de la coque et les efforts Ni par unité de longueur d'une
part et entre les courbures Ki et les moments Mi par unité de surface d'autre part sont
données par les équations (1-17) chapitrel paragraph (I.2.2.1).
Les charges à considérer dans cette analyse sont axisymétriques et correspondent aux
pressions de Ia matière ensilée sur les parois des silos à la fin du remplissage. Ces pressions
sont calculées selon la norme NF P22-630 et l'Eurocode 1.
2.2.L, Formulation du Problème
Considérons figure (2.1), un silo métallique cylindrique à fond piat de diamètre "(D :
2rrr, de hauteur "H" et d'épaisseur "t". On I'assimile à un cylindre à base circulaire;
soumis à des charges de tYPe silo.
Ces charges sont les contraintes de frottement " f
(") et les pressions horizontales P"(z) de
la matière ensilée agissant sur ia paroi. Elies sont données selon la norrne française P22-630
ou I'Eurocode 1 par les expressions suivantes :
P.(r) : Cs {1 - exp l -Cr(H - t ) l } ; TQ) : C, { t - exp l-C"(H - ") l }
Ori C1, Cz et Ce sont des constantes définies par :
C 1 : y h ; Cz: .t 'frn
u 3 : -I,r
Àp, .t
T h
Les valeurs de 7, À et p sont données par la norme NF P22-630 [45]
Chapitre II ComTtortement d,es coqaes cglindriquæ so'us charges de type silo en E.L. 31
Le principe d.es puissa.nces virtuelles da.ns ce cas de charges (charges a>cisymétriques) s'ecrit:
( rH fHlvu,, I fQ)u,(z)d,z- l N,(z)u,(z)d'z
I to ro to
r , r t 12 1H (2 -1 )
I vu,, I e.ç"1u,dz-- l Noldz--, I luI"u,, ,"(z)dz(
- ' Jo Jo
- r t z Jo
Les équations variationnelles (2-1) conduisent alors après intégration par partie, aux
équations d'équilibre suivantes :
I ltr "' '
: f (z)I t 1 2
1 -;", - -r2N1",," -- P'(z)
I IvI"(H): M,,"(H) : 0
(2 -2 )
Mzy+AMzylùù
NI"+àNI"D" ù
Mp€Myy'ôdy
Fi,g (2.1) ModéIisation d,e la coque cylinilri'que
Cha,p,itre II Comportement iles coques c\lind.riques sous clr'arges de type silo en E.L. 32
Par ailleurs les relations de comportement sont :
Les composantes du champ de déplacements U, et [J" ne dépendent que de la variable z
définissant la côte par rapport à la base du cylindre'
En introduisant les expressions (2-3) dans (2-2), on obtient :
N":3(u,,"-,+)Ns:3é+,u",")
NI"--{ -*r , , " " ,
(# ++onu,) = *lr,u).'+]
(2 -3 )
(2 -4 )
(2 -5 )
(2 -6 )
L,expressi on (2.4) représente l'équation différentielle gouvernante du comportemeni des
coques cylindriques sous charges de type silo.
Or) a et D sont des constantes définies par :
n:ffi (rigidité
2.2.2. Résolution analYtique
flexionnelle); *^ - 3#
(# ++onu,) : ee)
L'équation (2-4) peut se mettre sous la forme suivante:
où:QQ): ll'"u'."+l
La solution générale de I'expression (2-6), est de la forme suivante (voir annexe 1):
u,(,): "*p(#ll;.<ft) - B.'"(Ë)] +exv(ffi11t *"r-A) - D"r"fffi))r:r:"rr,
Chapitre II Comporternent iles coques cylind,riquæ sous charges de type silo en E.L. 83
o(z\ : @v \ / 4 a a
Les constantes A, B, C, et D peuvent alors être déterminées à l'aide des conditions auxlimites en z : 0 (encastrement) et z:H (bord libre). Da.ns notre cas, on suppose poursimplifier les calculs que :
nuQot
Ce qui signifie que frH est trés Bræd, alors exp
ftH tend vers I'infini. Les termes ayantune ercponentielle positive dans Ur(z) sont alors nuls de façon à satisfaire la condition dubord libre.
A et B sont données par les expressions suivantes:
{ e: ffif,", * uc1)[exp(-c2H) - 1]
I B- -A-ff i t ,c,*uc1)lrrrt"*oec,H)] (2-8)
Ce qui conduit aux expressions du moment méridien et de la contrainte orthoradiale enintroduisant I'expressio n (2-7) dans (2-3) :
M'("): ,, !!.= ,,' \ ) ( L -u2 ) (Draa )
Avec :
lo,,u.*n(#) (e,s"fft) - B *Uær)* "(,)] e -s)
s(z) : - lnt, * uC1)exp[C2(z- fr)]
ffy : -* (?) * u.N,(z) (2 - 10)
Chapitre II Comportement d,es coques cglindriquæ sous ch'arges d,e type silo en E.L. 34
2.2.g'. Résultats de l'analyse analytique
Les résultats analytiques exploitent une application numérique aux coques cylin-
d.riques soumises à des charges de type silo, qui sont définis par la norme NF P22-630
et l,Eurocod.e 1. Ces cha.rges correspond,ent aux pressions horizontales et aux actions de
frottement. EIIes sont représentées dans ies tableaux (2-1) et (2-2) pour un siio de quatorze
mètres de hauteur, de huit mètres de diarnètre et une épaisseur de quatre millimètres (la
cellule "C")
Hauteurlm P,(z)-NF /(z)-NF P"(z)-EC.L f (z)-EC.10.000 22.L52 11.543 25.770 L4.812
L.250 20.918 11.068 24.638 14.314
2.188 19.892 10.365 23.663 i3.867
3.r25 18.773 9.7818 22.563 13.346
4.063 L7.549 9.7447 2r.323 L2.739
5.000 16.214 8.4484 19.925 12.031
6.250 14.239 7.4L96 17.780 10.900
7.187 L2.599 6.5651 15.932 9.8873
8.125 10.807 5.6309 13.845 d. i u+D
9.063 8.8484 4.6106 11.492 7.3250
10.00 6.7122 3.4975 8.8422 5.7L79
11.250 3.5530 1.8514 4.7740 3.1510
L2.50 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
tableau (P-1) pre.ssion horizontale et actions d'e frottement lkN I m2l
ile la matière ensilée (BIé) ilans la cellule "c' selon les normes "cas de Remplissage centré"
Ilauteur[m P"(z)-NF /(z)-NF P"(z)-EC.t f (z)-EC.r
0.000 26.109 L2.494 34.785 16.293
r.250 24.4L6 rr.779 33.258 75.745
2.188 23.377 11.187 31.941 r5.254
3.r25 22.033 10.543 30.457 14.681
4.063 20.568 9.8424 28.783 14.013
5.000 18.976 9.0806 26.896 13.234
6.250 L6.632 7.9590 24.00r 11.991
7.187 1,4.694 7.0315 21.505 10.876
8.r25 12.583 6.0213 18.689 9.5749
9.063 10.286 4.922L 15.513 8.0575
10.00 7.7894 3.7275 11.936 6.2897
11.250 4.1135 1.9684 6.4443 3.4661
12.50 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
tableau (2-2) pression horizontale et actions d'e frotternent lkNlrnzl
d,e Ia matière ensilée (BIé) d,ans la cellule "c' selon les normes "cas de uid'ange centrée"
Chapitre II Comportement des coquæ cylinilriques sous ch,arges de type silo en E.L. 35
Les figures (2.2), (2.3) et (2.4) représentent respectivement la variation des fonctions (
U,("), M,(r) et N, ) le long des génératrices du silo.
2 4 6 8 1 0 1 2
Déplacement radial (mm)
Fi,g (2.2) Déplacernent radial
'oI12l' l'oI'I'I4 l
I^ lz l
,fI
- 7 L- 0
k
c)
.É
Èr()
ff!
ac)=€
H
k
C)
t4
t2
l0
8
6
4
2
0
I
6
4
a
0
-2_rL-20 -10 0 10 20 30 ,10 50
Moment méridien (N.m)
-4 -20 0 20 40 60 80
Moment méridien (N.m)
t 2 3 4 5 6Dépl acement radial (rnm)
--- Analpiçe (remplissage)+ Ànrlrrfimre /widanoc cenltÉe
*cÏ l ;elon la l
Fig (2.3) Moment membro,naireméridien
Chapitre II Comporternent des coques cylind,riques sous ch,arges d'e tvpe silo en E.L. 36
t4
t2
l0
eE. 9 6(€
4
2
0
-z
l 4
1 t
10
6 t
k
doH
4
t
0
-) t_
i0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0Containte orthoradiale (MPa)
0 1 0 2 0 3 0 ÆContrainte orthoradiale (MPa) ''
Fi g ( 2. /) C ontraint e rn emb ranaire o rth oradial e
2.3. Approche numérique du calcul des coques cylindriques
sous charges de tYPe (6silott
Dans cette section, et dans un premier temps, on utilise I'approche numérique pour
valider ]e modèle analytique proposé. Ensuite, dans le pragraphe (2.4.) en examine
numériquement I'effet des charges dissymétriques sur le comportement des parois cylin-
driques.
Cinq cas de charges non uniformes, correspondants au-x pressions horizontales et aux ac-
tions de frottement dans la cellule "C" (annexe 3), seront analysés :
- les deux premiers cas de charges(*), représentent Ia vidange excentrée selon les mesures
expérimentales de la base de Chartres;
- le troisième-représente la vidange excentrée selon la norme NF P22-630;
- le quatrième représente e remplissage centré selon les mesures expérimentales de la base
expérimentale de Chartres.
- Ie dernier cas représente le remplissage centré selon I'Eurocode 7 1241, avec la prise en
compte du "PATCH LOAD";
(*) L" deuxième cas sera représenté dans I'annexe 2-
Chapitre II Cornportement des coques cylindriques sous charges de type silo en E.L. 37
Tous nos calculs numériques sont effectués à I'aide du logiciel Abaqus (version 5.5 et
5.6) sous la licence académique de Hibbit, Karsson et Sorensen,Tns., en considérant le
comportement élastique linéaire de la coque.
2.3.L. Cas de charges axisymétriques
Notre étude porte sur un cylindre à fond plat ( sans trémie ) de 14 métres de hau-
teur, de 8 mètres de diamètre. Le rapport hauteur/diamètre est d'envion I.7 assure un
comportement avec effet de silo. On considère généralement que cet effet peut être pris en
compte à partir d'un rapport égai à (0.8) (Norme P22-630). Le silo est construit en tôles
lisses d'une épaisseur de 3.5mm.
Les caractéristiques m{snniques des tôles sont le module d'Young E :2.te5MPa et le
ccefficient de Poisson u :0.3.
Compte tenu de la symétrie des actions et de la géometrie du silo considéré, nous avons
considéré que le quart de Ia structure. Le maillage est effectué aux moyens d'éléments
coques à huit nceuds(*), voir figure ci-dessous.
Mai,llage ilu quart d,e la coque cglinilrique (éléments coques S8R5)
(*) Les éléments coques à huit næud (SSR5) donnent un meilleur résultat par rapport aux
éléments à quatres nceuds (S4R5).
Ch,apitre II Cornporternent des coques cylinilriquæ sous charges d'e type silo en E.L. 38
2.3.2. Comparaison des résultats analytique et numérique
Le programme Abaqus noun a fournis les déformations, les déplacements et les rota-
tions sur tous les nceuds, les contraintes et les moments de flexion au milieu des éléments.
Les principaux résultats comparés aux résultats analytiques, sont représentés sur les figures
(2.5) et (2.6).
(i\ Cas d,e Remplissage
v
h
lra)Jct
t 2 3 4 5Déplacement radial (mm)
Fig (2.5a) Euolutiondu
Déplacement radial (mm)
déplacement rnd,ial le long d,es génératrices
tr
É
EH
g
- 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0
Moment méridien (N.m)
-20 0 20 4a 60
Moment méridien (N.m)
Fig (2.5b) Euolution ilu ntoment membranaire méridi,en Ie long des génératrices
Chapitre II Comportement d,es coques cglinilriques sous ch,arges ile type silo en E.L. 39
fi
c)
<É
Fig (2.5c) Eaolution de la contrainte mernbranaire orth,oradiale Ie long des génératrices
(ii\Cas d,e aidanoe centrée
t 2 3 4 5 6 7 - 0 2 4 6 8 1 0 1 2
Déplacement radial (rnm) Déplacement radial (mm)
Fig (2.6a) Eaolution iJu d,éplacement rad,ial le long des génératrices
IGt
|<
g=G'
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
Contrainte orthoradiale (IMPa)
l4
1 2
l0
É 6
h
9 6
2
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0ConE âinte orthoradiale (MPa)
t 2 3 4 5 6
Déplacement radial (rnm)
Ch,apitre II Comporternent d,es coques cylind,riques sous ch'arges d'e type silo en E.L. 40
8
-r- Abaqus-+-Analytique
\f
r . j-
r seloni-lEcl
-'40 -20 o 20 ,{o 60 80Moment méridien (N.m)
Fi,g (2.6b) Eaotution d,u rrLoment n'ternbranaire rnéri,dien Ie long des génératri'ces
o
L
(l)
d
t4
t2
l0
8
I4
t2
l0
E
6
4
F
c)
ti
(l)
4
,
0
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0Contr'âinte orthoradiale (MPa)
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0
Fig (2.6c) Eaolution de Ia contrainte mernbranaire orthorad'iale le long des gé'nératrices
-20 -10 0 l0 20 30 ,10
Moment méridien (N.m)
Contrainte orthoradiale (MPa)
Ch'apitre II Cornportement d,es coques cglindriques sous ch,arges ile type silo en E.L. 4l
2.3.3. Interprétation des résultats analytique et numérique
De cette étude comparative on remarque que :
- la coque se comporte essentiellement coûrme une membrane dans notre cas à partir
des figures (2.3), (2.5b) et (2.6b);
- il nty a donc qutune flexion concentrée au voisinage de I'encastrementl
- la contrainte membranaire orthoradiale est maximale,à une cote légèrement supérieure
à celle de l'encastrement. Elle permet le dimensionnement de l'épaisseur de la tôle à Ia
traction, figures (2.4), (2.5c) et (2.6c);
- l'amplitude du déplacement radial de I'ordre de six à onze millimètres est situé
également dans Ia partie basse du silo, figures (2.2), (2.5a) et (2.6a).
Les figures (2.5) et (2.6), montrent une bonne concordance entre les résultats analytiques
et numériques en élasticité linéaire dans le cas de charges axisymétriques. L'erreur entre
les résultats analytiques et numériques est inférieure à 10%. Cette observation montre la
validité de l'approche analytique et prouve que, les charges ont bien été décrites dans notre
étude numérique. Par ailleurs les hypothèses adoptées dans la partie théorique sont bienjustifiées.
Nous pouvons donc poursuivre notre analyse numérique en considérant des cas de charges
quelconques, à savoir des pressions horizontales non-uniformes décrivant la vidange ex-
centrée.
2.4. Analyse numériques du comportement des coques cylindriques
sous charges dissymétriques
La distribution des pressions dans les silos peut varier considérablement dans les
deux plans vertical et horizontal. Les réglements actuels tels que la NF P22-630 ou l'EC1
donnent peu d'informations sur la manière de considérer la variation des pressions dans le
dimensionnement. Après illustration des types de pressions non-uniformes qu'on rencontre
dans les silos, on vérifiera si les perturbations liées à Ia non-uniformités des pressions
horizontales et des actions de frottement sont suffisamment importantes pour la prise en
compte dans le dimensionnement.
Une attention particulière doit être portée sur le fait que la distribution des pressions sur les
parois d'un silo cylindrique est rarement uniforme autour du périmètre pour un niveau de
charges donné. Il y a plusieurs causes qui provoquent cette non-uniformité parmi lesquelles
on peut citer :
Chapitre II Comportement des coques cylindriquæ sous charges de type silo en E.L. 42
) Ia ai,dange eacentréei
- I'ensoleillement;
- Ia aiilange séquentielle;
- Ia ui,ilange et Ie remplissage continu;
- Ie aentl
- le séisrne;
- Ie remPli'ssage excentré.
2.4.L. ANALYSE 1 (vidange excentrée selon les résultats de ia base de Chartres) [3a]
Notre première analyse porte sur un cylindre à fond plat de 14 mètres de hauteur, de
g mètres de dia,mètre et d'épaisseur variable de 2 à 3.5 mitlimètres. Le silo est considéré
encastré à la base et libre à son bord supérieur'
La structure a perdue sa symétrie suite à la non-uniformité des pressions' nous considérons
donc la structure entière dans ce cas voir figure ci-dessous.
Autrement dit :
- Le long de Ia circonférence' on dispose 32 éléments;
- Le long des génératrices et sur une hauteur de 2.5m, nous avons adopté 10 éléments soit
une hauteur d.e 0.2bm par élément, et 14 éléments sur le reste de la hauteur (soit 0'714m
environ par élément).
Les caractéristiques nlsnniques d.e la tôle sont ie module d'Young fi : 2'1e5MPa et Le
cceffi.cient de Poisson u :0.3.
Maillage ile Io' coque cyli'ndrique entière (éléménts S8R5)
Chapitre II Cornportement d'es coques cylindriques sous charges de type silo en E.L. 48
Les charges adoptées dans cette analyse sont les résultats expérimentaux de la base deChartres. L'ouverture de la zone de répartition des charges est supposée de 45 degrés. Cesrésultats sont représentés sur la figure (2.8).
F t
É 6
oâ 6
2 0 l ' o g t 6 0
Pr6iGtkNb'zl
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É 6
Ë 3 0 . } t 1 0
Prryim [ktl/mz]
-h@io! hdiatslo
.------Fdlmd
'Gédræie 3
' MstièF @ilé.
PrsioBr.ûhl
Fig (2.8) pression horizontale et action de frottement selon
Ia base de Chartres pour les quatres génératrices
û ? s 3 0
Præim [kN/mz]
/a
l,æ*l1..-.--.nuæ"r I-
. Géaéatica I
I lr{atiùe æiléa'BLE-
I*ll - - - - - -Prurænr I
I Gésémtrice 2
. Matière @ilée'BLE-
;FQ^*"*
ch,api,tre II Comportement iles coques cylind'riquet::ut clt'arges ile type silo en E'L'
2.4.L.L Résultats de ltanalYse 1
?s0
200
2 uioJ
E roo
Esl 50
0
-50
300
z@
l@
0
-100
5 t 0Circonférence [ml
Fig (2.9a) Variation d,e l'effort tad'i'al
Circonférence [n]
Fig (2.9b) Variati'on d,e l'effort circonférenciel
Circonférence [n]
Fig (2.9c) Variation de l'effort atial
2t
a
t,g
.9o
.9
zJ
€
-200
Chapitre II Cornportement iles coques cylinilriquæ sous charges de type silo en E.L. 45
o
s
o
9 ^q t r
4 2
o
o
Circonférence [m]
Fig (2.10a) Variation d,u moment nembranaire méridien
O ^
a4d 9E E: pq EF FÈ'Ë
100
50
0
-50
-1m
80
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4
20
0
-m
4
{)
Circonférence [m]
Fig (2.10b) Variation ilu moment membranaire circonférenciel
O ^. 5 ɀ -F 4q oO EE O
: l : l6 tE'6Èe
Fis (2.10c)
5 r 0 r 5
Circonférence [m]
Variation d,u moment membranaire
z0
de ci,saillernent
Ch.apitre II ComPortement des coques cylind,riques sous ch'arges d'e type si,Io en E.L. 46
o.b€^EÆ5>
É vF t oÉ Éo . :
F A
q ^. : sE >È v
6 . 9
o ! )É )!)
EE
Fig (2.1la) Variation ile IaCirconférence [m]
co ntraint e mernbranaire rnéri, d,i enn e
Circonférence [n]
Fig (2.1lb) variation ile la contrai,nte rnembranaire ci'rconférencielle
EO
@
q
zo
l0 15 'at
Circonférence [m]
d,e Ia contrainte mernbranaire d'e cisaillement
o.bîE>2 v
o o
o 9. : t5 qE oC E
Fig (2.11c) Variatzon
Chapitre II Comportement des coques cylind,riquæ sous ch'arges d'e type si,lo en E.L- 47
o
o
o
o
0.æoE
0.u16
0.o04
0.æ@,
{.qxz
4.0004
{.0006
{.0005
{.ær
o 5 chconférence [m]
Fig (2.12a) variati,on de la d,éfonnation nrembranaire méridienne
o
oIoÈp
oo
c:
Ë
o 5 tu ch"oofé'"*u 1-1
Fig (Z.1Lb) Variation ile la déformation membranaire circonférencielle
o 5 'u cir"ooféo*" 1t1
Fig (2.12c) Variation ile la d,éforrnation membranaire d'e ci,saillernent
Cltapitre II Cornportement des coques cylindriques sous charges d,e type silo en E.L.
oao
ëÊae É: i to
q
p
100
0
-50
-l0o I0
--e-niva0375m ---r-nivau32l4n -o-dvau6.07lm ---+-niva735?m ---+-nivau ll.43m
i
iiÂ
/,\l=ù
FE=l tA
E- V w V V\lt
V/V
5 10 cit"oofé*o"" 1-1
É
Fig (2.13a) Variati,on ilu déplacernent circonférenciel
F
o
oo
1æ
50
0
-50
-100
q
o
oa
5 I 0 1 5 ? 9
Circonférence [m]
Fig (2.19b) Variation du iléplacement radial
5 l 0 1 5 j
Circonférence [m]
Fig (2.13c) Variation ilu déplacement aûal
+uivau03?5m *aieu32l4m +nivau6.0?lm +nivau7857m --r-dvaull.43o
A.14
Jà\-n A. ,t,\Y
\ v\7 Y& v
Chapitre II Comportement iles coques cylind,riques sous charges de type silo en E.L. 49
d)
4
Ezoa6 o
2 -zo
4
50
Circonférence [m]
Fig (2.14a) comparaison des moments au ni,ueau de 1.25m
2æ
160
80
0
€0
10 15Circonférence [m]
Fig (2.Ub) comparaison des nronrents au niaeau d,e 9.211m
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5
Circonférence [m]
Fig (2.14c) comparaison iles rnoments o,u niùel,u de 7.857m
z
300
2æ
q l æ'z
Ë oÉ -t*
-2û
-3æ
chapitre II Comportement iles coques cylind,riques sous charges d,e type silo en E.L.
80
60
,10
€g 2 0
c r aË 'd
E"o4
4
€00
Fig (2.15a)
Circonférence [m]
comparaison d'es contraintes au ni,aeau
25
de 1.25m
25
d,e 9.21/1m
150
100
50
0
-50
-100
0
Fi,s (2.15b)
Ëo
Circonférence [m]
comparaison d'es contraintes au ni'aeau
2æ
150
^ l0o
a
. F v
R -50
- læ
-150
Circonférence [m]
Fig (2.15c) comparo,ison d,es contra,intes au niaeau de 7'857m
Ch'apitre II Comportement d,es coques cylind,riquæ sous charges d,e type silo en E.L. b1
Circonférence [m]
Fig (2.16a) comparaison iles d,éformations au niueau de 1.25m
Circonf&ence [m]
Fig (2.16b) comparaison iles déformations au niaeau d,e 3.21/m
Circonférence [m]
Fig (2.16c) comparaison iles déforrnations au niaeau d,e 7.857rn
offi
û(pl
5 oo@d
E O
{.@2
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om
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ç ow,
x̂ 4cf,t2
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-a.m
.{lm4
{.@6
Ch.apitre II CornPortement des coques cglinilriques sous charges d'e tYPe si,lo en E.L. 52
L2
t0
8
6
4
)
0 -250 -2@ -150 -100 -50
Moment membranaire méridien (N'm)
Fig (2.17a) Euolution d,u moment rnembranaire méridien le long d'es génératrices
t2
l0
E
6
4
2
0-50 0
Moment membranaire circonférenciel (N'm)
i lumomentmernbranai ' rec i rconférencie l le longdesgénérat r ices
k
c)
H
())
Fis (2.17b) Eaolution
Ch,apitre II Cornportement des coques cglindriques sous charges d,e type silo en E.L. 53
-s-G. | +G.2 -.-G.3 -+G.4
L2
l0
8
6
4
2
00 50 100
Contrainte membranaire méridienne (MPa)
Fig (2.15a) Eaolution de Ia contrainte mernbranaire méridi,enne le long des génératrices
t 2
t0
8
6
4
2
0
|r
c)
f{
o
Fig (2.18b) Euolution d,e la contrainte membranaire circonférencielle Ie long des génératrices
Ch,apitre II Cornporternent iles coques cylind,riquæ sous ch'arges de tgpe silo en E-L- 54
lz
l0
E
6
4
,
00 4 B t ' z
Déplacement circonférenciel (mm)
Fig (2.19a) Euolution d,u d,éplacement circonférenciel Ie long d,es génératrices
t2
10
8
6
4
2
0
^
r{o
6l
kao-d
H
Fig (2.1gbi) Eaolution d,u iléplacenent rad,ialle long iles génératrices
Chapitre II Com,portement d,es coques cylindriquæ solrs charges d,e type si,Io en E,L.
k
c)=
12
l0
8
6
4
2
020 40
Moment (N.m)
Fi,g (2.20a) Cornytaraison d,es moments le long de Ia génératri,ce 1
-Momentcirconférenciel -......Ms6sntméridien
t2
l0
E
6
4
)
0-100
Moment [N.m]
Ha()d
Ii
I
Fig (2.20b) Comparaison iles rnom,ents le long d'e Ia génératrice I
Chapitre II Comportement d,es coques cylindriquet to* charges de tgpe silo en E'L' 56
^
k
g.€
t 2
10
8
6
4
t
00
Contrainte QIPa)
100
I
Fig (2.21a) ComParaison des contraintes Ie long de Ia génératrice 1
1 2
10
8
6
2
0
^
k
.9d
Conrrainte (MPa)
Fig (2.21b) Cornpara'i,son d'es contraintes Ie long de la génératrice 3
Chapitre II Comportement des coques cylind,riquæ sous charges de type silo en E.L. 57
Configuration d,éform,ée de Ia coque cylind,rique (niaeau 0.375m)
Configuration déformée ile la coque cylind,rique (niaeau 1.25rn)
Configurati,on déformée d,e Ia coque cylindrique (niueau 9.211m)
Configuration iléformé,e ile la coque cylind,rique (niueau 5.178m)
Chapitre II Comportement d,es coques cylindriques sous charges iJe type silo en E.L. 58
Configuration déform,ée de la coque cylindrique (niueau 6.071m')
configuration déformée de Ia coque cylindrique (niueau 7.857rn)
configuration déformée d,e Ia coque cylindrique (niueau 11.13m)
2.4.l.2Interprétation des résultats de l'analyse 1
Nous constatons à partir des courbes des figures (2.13b) et (2.19b) que I'amplitude
du d.éplacement radial est plus importante dans la pariie supérieure du cylindre. Son
Configuration défonnée ile Ia coque cglindrique (niuea'u 9.375m)
Chapitre II Cornportement d,es coques cElind,riquu sous charges d,e type silo en E.L. bg
*plitrrd" maximale est de l'ord.re de g cm qui représente presque Ie centième de la hauteur.
Ce déplacement est responsable du voiiement des parois.
La même remarque est observée sur les moments de flexions ( moment membranaire
méridien ), d'après les figures (2.10a), (2.I4), (2.I7a) et (2.20). Le maximum est de I'ordre
de 350 N.m se situe au-delà du milieu du cylindre.
I1 en résulte des représentations précédentes, que la flexion n'est plus localisée seulement
en partie basse comme I'indique le résultat de I'analyse avec des charges axisymétriques
du paragraphe (2.3.).
Le calcul du rapport des sollicitations membranaires méridiennes (de flexion) / sollicita-
tions membranaires circonférencielies à différent niveau du cylindre suivant les génératrices
est résumé dans le tableau (2.3)
Nous constatons que les efforts membranaires circonférenciels sont plus élevés par rapport
aux efforts membranaires de flexion sur toute la hauteur du silo. Le rapport de ces efforts
est de 0.821 au niveau 3.274m;
Nous constatons également que les moments et ies contraintes membranaires cir-
conférencielles sont prédominantes jusqu'à la côte 3.274 mètres, mais, au-delà les moments
et les contraintes méridiennes (de flexion) induites par les charges sont plus importantsl
Les sollicitations membranaires méridiennes (moments et contraintes) sont pratiquement
trois fois plus grand que les sollicitations membranaires circonférencieiles à la côte de 3.214
mètres.
I1 est donc essentiel de tenir compte de cette flexion, par la prise en compte de la non-
uniformité des pressions horizontales dans ie dimensionnement des silos.
tableau (2-9) Rapport des sollicitations, Mérid,iennes / Circonférencielles
le long iles génératrices
Niweau [m] 0.375 3.2r4 6.071 7.857 11.43Effort méridien ftN] 35 115 s7 L07 220
Effort circonférenciel ftN] 750 140 s70 400 390
Rapport des effort 0.0466 0.821 o.262 o.2675 0.564Mornent méridien [N.:n] 13 250 s80 385 L70
Moment circonférenciel [N.m] t4 75 L20 135 60
Rapport des moments 0.928 3.33 3.166 2.85 2.833Contrainte méridienne [MPr] 13 150 2LO 160 r47
Contrainte circonférencielle [MPa] 125 45 95 95 80
Rapport des contraintes 0.104 3.33 2.21 1.684 1.8375
Chapitre II Comportement d,es coques cylind'riquessous clrarges d,e tgpe silo en E.L. 60
2.4.2. Analyse 2 "vid.ange excentrée selon la norme NF P22-630" [45]
Ceite analyse porte sur le même silo que l'analyse 1, on considère les actions calculées
selon la norme française P22-630 en phase de vidange excentrée.
Formulation des clLarqes
Lors d.e la vida,nge excentrée, une pression horizontale non-uniforme, plus ou moins
irrégulière, s'exerce sur Ie pourtour de la paroi de la cellule, cette pression est donnée
par I'expression suivante :
Pn.r,"( t) : C "Po,r(z)
(2 - 1 i )
C, dépend de l'excentricité de I'orifice de vidange ainsi que du rayon de la cellule' 11 est
donné par la relation suivante
Ce: rnax(O.g + 0.a(;1) (2 - L2)
où:
( -
e : est ltexcentrement de I'orifice de vidange
r : est le rayon de la cellule
Pn,o("): est Ia pression horizontale à la vidange'
Les autres efforts (pression verticale, action de frottement, et sollune des actions de frot-
tement) restent inchangés par rapport à la vidange centrée (voir chapitre I paragraph
1 .1 .3 .1 ) .
La répartition de la pression horizontale selon'la norme française conceroant la vidange
excentrée est représentée sur la figure (''")'rr*
0sPb,
(qum)
9r
''xïd;'
Fis (2.22) Répartition
selon la NF P22'630
en uidange excentrée
Chapitre II Comporternent des coques cylindriquæ sous charges ile type silo en E.L. 61
2.4.2.L Resultats de l,analyse 2
to l5
. Cimnfémcc [m]
Fig (2.23) Variati,on d,es iléplacernents le long d,e la circonférence
o
geoeo=o
o
É 2t s
€ E6 9t r 9: )!l
: 9
È';
I
â 2o dt r o: . :o 9
t0 lJ
Circonférence [m]l0 t5
Circonféræce [m]
Fig (2.2/) Variation d,es moments le long ile la circonférence
l0 15
Circonfércocc [m]
Fig (2.25) Variation d,es contraintes Ie long ile la circonférence
P ^
€ ÊË ë4 sEE!E. 58
ËEc:'6
to
0
.t0
-æ.3{t
4
o l
I"o l
I
.30 |
* [t5
Circonférence [m]
Circonfémæ [rn]
Chapitre II Cornporternent iles coques cglind,riques sous charges d,e type silo en E.L.
l 2
l0
8
d c
4
a
l 2
E
d 6
,
I lc qutrt
r (qtrycrûre de l0o)
5 1 0 1 5 2 0 2 5 æ
Déplacement radial [mn]
t le qurt
. (owstne de 10P)
40 -2o 0 æ '10 60
Moment membrranaireméridien [N.m]
t les trois quads
4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 2 4
Déplacement radial [mm]
* 16 trois qutrts
-20 0 20 40
Moment membranaireméridien [N.ml
Fig (2.26) Eaolution ilu déplacement rad,ial Ie long d,es génératrices
1 '
l 0
8
6 6
4
1 a
10
E
d 6
!
a
0
Fig (2.27) Eaolution iLu moment rnembranaire méridi'en le long des génératrices
Chapitre II Comportement des coques cylintlri,ques sous charges de tApe silo en E.L. OB
8
d e
'le qust
r (owerare de l0o)
-lJo -t@ -50 0 50 læ 150 26Moment membranairecirconférenciel [N.m]
* le quart
* (ouverture de 10")
{ O € 0 - { O - æ 0 æ 4 0
Contrainte membranaireméridie,nne [MPa]
l 0
I
t
g 6
F
4
I l€s kois quans
4 0 iO 80 l2O 160 200
Moment membranairecirconférenciel [N.m]
* les t$is quarts
{o 40 -20 0 20
Contrainte membranaireméridienne [MPa]
0 t --120 {0
Fi'g (2.28) Eaolution du moment rnembranaire circonférenciel Ie long d,es gé,né,ratrices
E
H
A 6=€
8
H=g 8
0 E-80
Fig (2.29) Euolution ile Ia contrai,nte rLembranaire mérid,i,enne le long iles génératrices
Chapitre II ComPortement descoques cglindriquæ sous ch,arges de type silo en E.L.
* le çart
r,(ouverture de 10o)
'-20 o 20 4 60 t0 100 r20
Contrainte membranairecirconférencielle [MPa]
Fig (2.30) Euolution d,e Ia contrainte membranai're
* les trois quarts
- 2 0 0 2 0 4 0 @ 8 0 1 @
Conirainte membranairecirconférencielle [MPa]
circonférencielle le long d,es génératrices
l2
10
8
6 6
t
o
a
0
4{'
æ
20
l0
0
.10
.20
.æ
4{'
Chconfércnce [m]
Fig (2.31) Compataison iles iléplacements niaeau 0'375rn
25î)
200
I tso
5 too
50
0
Fis (2.32)
5 1 0 r 5 2 0 2 5Chconférence [m]
Comparaison d,es rnornents ni'aeau 0'375m
Ioo
Chapitre II Comportement d,es coques cylind,riquæ sous ch,arges de type silo en E.L. 6b
Chconférence [m]
Fig (2.33) Comparaison des contraintes niaeau 0.375m
2.4.2.2Interprétation des résultats de lranalyse 2
Nous constatons à partir des courbes des figures (2.23) (2.26) et (2.31) que I'amplitudedu déplacement rad.iai est plus importante dans la partie inférieure du cylindre. Sonamplitude maximale est de I'ordre de 3.8 cm. Ce déplacement est responsable du voilement
des parois.
La même remarque est observée sur les moments de flexions ( moment méridien ), d'aprèsles figures (2.24) (2.27) et (2.32). Le ma-ximum est de l'ordre de 75 N.m se situe au niveaude la base du cylindre.
On remarque également que le rapport sollicitations membranaires, circonférencielles/ sol-
licitations méridiennes au niveau de la base est de deux à quatre fois plus grand, ce qui
prouve que la flexion n'est pas importante, et qu'il faut tenir compte seulement de l'effet
membra.naire de la coque cylindrique pour Ie dimension.rement.
11 en résulte des représentations précédentes, que la flexion est toujours localisée en partie
basse courme I'indique le résultat de I'analyse avec des charges axisymétriques paragraphe
(2.3.1). Sauf que les amplitudes des sollicitations ainsi que des déplacements sont plus
élevées.
En comparant les résultats (sollicitations) de I'analyse I et I'analyse II, on trouve que
les charges proposées par la NF P22-630 ignorent des su4>ressions, qui se developpent
au delà de la mi-hauteur de la structure. Ces surpressions donnent naissance à des con-
traintes membranaires de flexion plus importantes que les contraintes membranaires cir-
conférencielles.
chapi,tre II Comportement d,es coques cglind,riques sous ch'arges de type silo en E'L' 66
2.4.3. Analyse 3 "remplissage centré selon les résultats de la base de chartres" [34]
Dans cette section, on applique sur la même structure les charges représentant Ie
remplissage centré selon les mesures expérimentales de la base de chartres (figure 2'34)'
Fig (2.3|) Pressions en phase d,e remplissage centré dans la cellule ,,C,,
selon Ia base de Chartres
2.4.3.L Résultats de ltanalYse 3
8
9 6
1
' III
" I0o.mr o.dE 0.@3 0.m4 o.ffi
D€placene,nt circonféreaciel [mm]
o, c4 0.6 0.8 I
Déplacement radial [mm]
Fig (2.95) Eaotution d'es d,éplacements Ie long des génératrices
Chapitre II Comporternent iles coques cylindriquæ sous charges d,e type silo en E.L. 67
E
9 c
Fig (2.36) Eaolution des mornents le long d,es génératrices
-10 0 10 20
Moment membranaireméridien [N.m]
4 .30 -20 -10 0 l0 20
Contrainte membranaireméridierrne MPal
ko
E
a 6
-10 0 lO ZO æ ,10 50
Contrainte membnnairecirconférencielle [MPa]
I
Fig (2.37) Eaolution iles contraintes le long des génératrices
Chapitre JI Comportement iles coques cylindriques sous ch'arges ile tupe silo en E.L. 68
2.4.4. Analyse 4 "remplissage excentré selon l'Eurocode I" l24l
Dans ce paxagraphe on examine I'effet des charges adoptées par I'Eurocodel sur Ie
comportement d.e la structure "silo" avec Ia prise en compte de la surpression appellée
"Patch Load".
Forrnulation des ch'arges
La pression horizontale ainsi que les actions de frottemeni sont données par les équations
(i-S) et (i-9), chapitre I.
Le patch load P, est donné Par:
Pp :0 '20Pnt; 0:114e; fd . (2 - 13)
Ori :
e; et d," représentent respectivement I'excentricité de l'orifi'ce et le diamètre de la cellule.
Cette surpression Po se développe.â one certaine hauteur ,S (voir figure ci-dessous) donnée
Dal :
S :0 .2d ' "
* Matière ensilée (BLÉ)
' P-o(z) (nnPlissago uæntr6)avec la prise eB comPte du
'Pâtsh I-oad"
Side elevation
5 1 0 u t 2 0 2 5
Pressions tkN/m'?l
ka
= o
H
0 r0
Pressions en phase d,e remplissage eûcentré dans la cellule nC" selon l'EC1'
Chapitre II Comporternent d,es coques cylinilriques sous charges ile type silo en E.L. 69
2.4.4.LRésultats de ltanalyse 4
6)
8
Êo
€ 6
, rûf 1 tt? rJ tù7 z tù7 zJ to.? 3 10? 3J ltr4 to.t
déplacement circonférenciel [m]
Fig (2.38) Eaolution d,es déplacements
0,t 0.2 0.3 0.4 05 0.6 0.7
déplacement radial [mm]
Ie long des génératrices
4 - 4 0 4 8 1 2
moment membranairecirconférenciel [N.m]
- æ 0 æ , 1 0
moment membranaireméridien [N.m]
I
Fig (2.99) Eaolution iles moments Ie long iles génératrices
Chapitre II Cornportement des coques cylind,riquet try charges de type silo en E'L' 70
, 6rl
d
contsainte membranairecirconf&encielle [MPa]
.24 .16 -t 0 E 16
contrainte membranaireméridienne [MPa]
Fig (2./t0) Euolution des contraintes le long d,es génératrices
2.4,4.2Interprétation des résultats de ltanalyse 3 et 4
Les figures (2.35) et (2.38) montrent que I'amplitude du déplacement radial est plus
importante dans Ia pariie inférieure du cylindre'
La même remarque est observée sur les moments d.e flexions ( moment méridien ), d'après
Ies figures (2.36) et (2.39). Le maximum est au niveau de ia base du cylindre'
on remarque également (figures (2.37) et (2.40)) que les contraintes membranaires sont
plus importantes que les contraintes d.e flexion. La coque résiste uniquement par sa forme'
La flexion est toujours localisée en partie basse'
Fi,g (2.11) configuration iléformée il,e Ia coque cylindri'que sous ch.arges axissymétriques
(ùi,d,ange ou remplissage centré selon l'Eurocod,e l paragraphe [2.3'1' (i) et (ii)])
r0 20 30
Chapi'tre II Comportemen't, iles coques cylinilriquæ sous ch,arges ile type silo en E.L. 7!
Fig (2./2) Configuration iléforrnée d,e Ia coque cylind,rique sous charges non-uniforrnes
(aidange excentreé selon les résultats d,e la base de Chartres paragraphe t2.4.Il)
Fig (2.49) Conf'guration déformée d,e Ia coque cylind,rique sous ch,arges non-uniformes
(aid,ange eacentrée selon ta NF P22-690 paragraphe [2.4.2])
Chapitre II Cornportement d,es coques cylinilriques sous charges ile tgpe silo en E'L' 72
Fig (2.40 configuration iLéformée ile la coque cylind'rique sous charges atisymétriques
(remplissage centré selon les résultats ile Ia base d,e chartres paragraphe [2'4'9])
Fig (2.15) configuration d,éforrnée de la coque cylind'rique sous ch'arges non-u'niformes
(rentplissage eacentré selon I',Eurocod,el auec Ia prise en contpte d'u "patch load"' paragraph'" [2'/''4'])
Chapitre II Comportement d,es coques cylindriquæ sous clrarges de type silo en E.L. Tg
2.5 Conclusion
Au vu des résultats des a,nalyses numériques présentés dans les paragraphes (2.3)
ef (2.4), nous pouvons conclure que la non-uniformité des pressions horizontales est un
phénomène préjudiciable pour la stabilité des silos cylindriques. La conséquence sur Ia
distribution des sollicitations dans les parois est nette. L'évolution du moment de flexion
suivant la génératrice est totalement quelconque, et le maximum se situe au-delà de la
mi-hauteur du silo. Contrairement à l'étude faite précédemment dans ie cas de pressions
horizontales uniformes autour de I'a>re vertical, paragraphe (2.3.1.), la flexion n'est plus
localisée à la base encastrée et devient prépondérante.
En observa,nt aussi l'évolution du déplacement radial, on constate une répartition qui n'est
plus semblable à celle que nous avons observé dans le cas des pressions uniformes autour
de l'axe vertical, I'amplitude maximale se situe en partie supérieure du silo.
Les résultats numériques obtenus montrent que cette non-uniformité entraîne des con-
traintes membranaires de flexion beaucoup plus importantes que les contraintes rn€rn:
branaires circonférencielles dans certaines sections du cylindre. Dans ce cas, le moment de
flexion est un facteur important da.ns le dimensionnement des silos dans le cas des charges
dissymétriques (non-uniformes) le long du périmètre.
Chapitre III
VOILEMEI\TT DES COQUES CYLINDRIQUES
SOUS CHARGES DE TYPE SILO ET
ETAB LISEVIEI\T D'U}[E FORVIULE A}TALYTIQUE
3.1. Introduction
La coque cylindrique sans ou avec raidisseurs est souvent choisie dans la conception
des structures de nombreux composants industriels: des éIéments de construction nucléaire,
des ouwages de génie civil, tels que les silos, etc...
Le dimensionnement de cette coque est basé sur sa résistance au phénomène de voilement,
qui peut causer la ruine de celle-ci bien avant I'atteinte de la limite élastique du matériau
la constituant.
Les solutions proposées dans la littérature pour la stabilité des coques concernant des
conditions simples de ùargement (compression axiale constante par exempie), sont bien
éloignées du cas de silo. Notre étude consiste donc a a,r:.éliorer l'état actuel des connais-
sances du voilement des silos cylindriques imparfaits, raidis ou non longitudinalement, à
fonds plats. Nous proposons une approche analytique pour le calcul des contraintes ultimes
de résistance de la structure du silo. Cette approche est basée sur une étude paramétrique
par voie numérique (Abaqus).
Chapitre III uoilernent iles coquæ cylinilriques sous charges ile type si'Io'
Comme nous ne disposons pa"s de résultats dans la littérature qui tiennent compte de ce
type de charges (charges de type silo), nous avons choisi de faire d'abord un calcul simple
sur une coque soumise à une compression axiale uniforme, deja traitée analytiquement par
Timoshenko et Gere.
3.2. Flarnbage des coques cylindriques sous compression axiale
Dans cette étude, on se refère à I'exemple déjà traité par Timoshenko et Gere [63].
I1 s'agit d'une coque cylindrique parfaite, longue, mince et simplement appuyée, soumise
à une compression axiaJe uniforme (fis*" 3.1). Elle est suffisamment mince pour que le
voilement puisse se produire bien avant la limite élastique. Le matériau de Ia coque est
homogène et isotroPe.
Cette étude présente un double objectif permettant :
1. de montrer la technique utilisée par Abaqus pour résoudre les problèmes de la stabilité
des structures métailiques. En général l'étude de la stabilité se fait en deux étapes :
- analyse aux valeurs propres pour estimer les charges critiques et les modes critiques
associés;
- analyse non-linéaire en utilisant la méihode incrémentale de Riks ou celle de
Newton-Raphson qui permettent d'étudier Ia sensibilité de Ia structure aux imperfections
géométriques.
2. de valider Ies résuitats analytiques en les comparant avec des résultats numériques'
Cet exemple (exemple de Timoshenko et Gere) est étudié pour définir la meilleure stratégie
pour aborder Ie flambage des coques cylindriques sous charges de type silo'
, D
Fi,g (3.1) Coque cyli,nd,ique en cornpression axiale
Chapitre III aoilement d,es coqaes cylinilriquæ sous charges de type silo.
3.2.L. Analyse analytique de la stabilité des coques cylindriques
selon Timoshenko et Gere
En utilisant les mêmes notations de la figure (2.1) chapitre II. Les équations
d'équilibre de fla.rnfage sous compression a><iale constante sont données par les expres-
sions suivantes :
76
' ***:oîNy + ,?N"n * ,w_0 ' ! +AI / I , ' _0 fu1, _nA0
- , A"
-T r - ! \ z - - A ,
- l $ j ; : -
- * ô , . , n , azNI , +02Ms, *ô ,Mn _02M"s _rr i \ " U7* iYa*-6"2 ô200' æ- af f i
:0
(3-1)
Ces équations peuvent être écrites sous formes de déplacements u, v et w tout en utilisant
Ies notations suivantes :*O': T'F
ô -N,(L - u2)
ET
t+uAt :
Az :
2
L-u
#.,o,#-,,y+',ffi:oo,fur* + "+,* +'# -'# . "l# - # * 2r Az#l -'r# : o
,ô2us ôu 0u w | ô3u , ô3u "ô4w tw1-ra aF *' a" + G -
; -
" læ*r(2 -,)æ +r" al * æl
-zo, o!^'-'*' ar'af io _,
- TNTT^:TSoit :
Chapitre III uoilement d,es coques cylind,riquæ sous chotrges d'e type silo' 77
( " : As in(na) cos À
{ , - Bcos(na)s inÀ
[ , - Cs in(na)s inÀ
En substituant cette solution dans (3-2) on obtient le système suivant :
t . ô _ e(À2+Azn2)*BnAù'*Cu\ :o
\ AnAlÀ+ B (A2^2 +n2 +2aA\2 + an2 - s 'Ô) +C ln* an(nz + À2) ] :0
I auÀ* Bn{t+o1r2 +(2-")^ ' ] } +c l t - ^ 'Ô* a( \2 +n2)2f :0
En posant le d.éterminant du système d'équations égal àzéro on obtieni I'expression de { :
'Â : ! -N ' ( l -u2 )'sEt
Où E et ^9 sont donnés par les expressions suivantes:
R : (1 - r ' ) ^u +* { ( r '+ ) ' )n - (2+u) (3 -u ) \anz +2À4(1 -
" ) - ) ' 2na(7 +u)
t '+ (^2n2(3 + u) + nu - zn\)
)
,s - À2{t"' * À') + Lr^' 1- trn2)ft + a(nz+ À')'l + i$' + Aznz)ln' + (L - ")^'l
, ' r ' I-TI
Dans le cas d.es coques cylindriques longues et minces { est donnée sous la forme:
( t -u2 ) \4 +a { (n4 -nz1z +^z lna - (n+u)n4 + (3 iu )n2 l
La solution générale du système d'équation (3-2) est de la forme suivante :
ô : ^zn2(n2 * L)
sous compression axiale uniforme; estLa contrainte critique méridienne
I'expression suivante :
(3 -3 )
donnée par
I
L )
n6
+ÀrI@
2t2 t) Tw
r -u2 ) \a+o{ (nn-nl( n+v)na+(3+ " ) " ' l \ëa
(3-4)ocr --
Chapitre III aoilement iles coques cylindriques sous charges de type silo.
L'analyse analytique de Timoshenko et Gere montre l'existance de "n" ond.es uniformesautour du périmètre et "m" demi-ondes le long des génératrices. Ils ont d.éterminé lescontraintes critiques en fonction de la combinaison des ondes circonférencielles et longitu-dinales. Le mode de flambement qui fournit la plus petite contrainte critique sera considérécomme le premier mode de fla,rnbement pour la coque. Les résultats de leur analyse quimontre l'évaluation de cette contrainte en fonction de "n" èt "m" sont représentés sur lesfigr:res (3.2a) et (3.2b).
78
1.2 to6
I lod
-€- - n=2- - -61- - -n=3-* -n=4--o-n=5
*-n=6----rn=7_+_ n=g---r- n=9---{-n=10
E
- - - . . - -6r ' - - - '- - - - N - - -
- & - - - ' -Ë- - v - - - - -= -9 -^
l0'
rd
rd
rd
0
8
6
2
d
ëq)
cr
koq)
clk
()
À=mn r /H
Fig (3.2a) Euolution d,e la contrainte critique aæiale en fonction d,e ),
n (nomb,re d ondes circonférencielles)
Fig (3.2b) Eaoluti,on ihe Ia contrainte critique axiale en fonction de n
travers ces résultats, on constate que la plus petite contrainte critique correspond
€
ë()=
h()a)
d
A
chapitre III aoilernent iles coques cglindriques sous charges d'e type silo'
mod.e défini par ,,n :2" et t'7y1 :1", ce qui signifie, deux ondes autour du périmètre et
une d.emi-onde le long de la génératrice du cylindre'
Le mode ,rr7 -- 0" et "rn: 1", correspond. au flambement du cylindre coÛlme le flambement
Eulerien d'un tube cylindrique. Pour des faibles valeurs de "771"' ,les contraintes critiques
évoluent trés rapid.ement a,vec "n". Par contre, pour des fortes valeurs de "?2" et "rn" '
elles ne sont pas trés grandes par rapport à la plus petite contrainte, et ne varient pas
sensiblement d'un mode à I'autre'
3.2.2. Analyse numérique de la stabilité des coques cylindriques
sous compression axiale (calcul linéaire)
L,analyse aux valeurs propres de flambement est exécutée par le code d'éléments finis
(Abaqus) selon le schéma suivant :
- stockage de Ia matrice de régidité à l'étape correspondant à la phase initiale de charge-
ment sur la structurel
- application d.'une petite perturbation de charge active'
une fois que Ia matrice de contraintes initiaies due à la charge active est calculée, le calcul
des valeurs propres est alors exécuté pour déterrriner le facteur de charge pour lequel
l'instabilité est atteinte.
pendant le calcul de la matrice des contraintes initiales, Ies bords verticaux conservent les
conditions de symétrie, car Ie pré flambement que provoque cette contrainte est symétrique'
Ceci s'effectue par I'intermédiaire de I'instruction "BOUNDARY"' Enfin' les conditions
associées aux charges d.ites "VMS" sont appliquées sur ces bords par le biais du mot
clé ,,BouNDARy,LoAD CASE:2". si cette d.euxième condition n'est pas explicite, il
considère la même condition dans les deux cas'
(i) choix du maillage et des conditions aux limites de la coque cylindrique
Le ccoix du maiilage est trés important dans ce type d'analyse' Pour ce problème
particulier, Ie mode de flambement présente "n" ondes circonférencielles et "rn" demi-
ondes longitudinales. Le problème est d.onc de déterminer les valeurs de "n'" et "rn" pour
lesquelles on a la contrainte critique 6inirnale'
Le maillage est effectué au moyen d'éIéments coque à huit nceuds, ies dimensions des
éléments peuvent être appréciées sur la figure (3'3)' plus précisément :
- suivant la direction circonférencielle, on subdivise le segment en huit;
79
Chapi,tre III uoilernent iles coques cylindliquæ solrs charges ile type silo. 80
- suivant la génératice,24 rangées ont été adoptées.
Fig (9.3) Maihage d,e Ia coque cyli,nilrique pour l'analyse de Ia stabilité
Compte tenu de la symétrie du problème nous avons considéré que le quart du cylindre
dat's Ia direction circonférencielle (f,) et la moitié du cylindre suivant la génératrice. Avec
cette approche, il est nécessaire de mener plusieurs analyses, en utilisant différentes valeurs
de "@" et les conditions de symétrie ou d'anti-symétrie dans le plan moyen suivant que le
nombre d'ondes longitudinales est pair ou impaire.
Dans ce cas précis, nous avons fait variet "ot)) entre (i) "t
(#), "orr"spondant
à "n :2"
e t " n :10 " .
Bord (1)
Ce bord qui sert du point d'application de la charge est simplement appuyé.
Bord (2)
Les conditions de symétrie pour les charges correspondent:
- aux déplacements radia.l et axial libres;
- au déplacement circonférenciel nul;
- aux rotations nulles autour de ce bord.
Les conditions d'anti-symétrie sont utilisées pour le flambement, ce qui se traduit par :
Chapitre III uoi,lement des coques cylinilriquæ solrs charges de type silo.
- des déplacements circonférenciel et axial nuls;
- des rotations non nulles.
Bord (3)
Les conditions appliquées sur ce bord sont des conditions de symétrie ou d'anti-symétrie
selon Ia parité du nombre de demi-ondes longitudinales.
Bord (a)
Les conditions de symétrie sont appliquées sur ce bord pour les cha,rges ei le flambement.
3.2.3. Comparaison des résultats numérique et analytique de Timoshenko
Dans cette section on établit une comparaison entre les résultats déja obtenus par
Timoshenko et Gere et les résultats numériques, afin de valider le calcul au voilement des
coques sous compression axiale constante sur toute la hauteur. On utilise pour cela trois
coques d'une hauteur de 12.5 mèlres, d'un rayon de 2 à 4 mètres et d'une épaisseur qui
varie de 4 à 8 millimètres.
La figure (3.4) montre les contraintes critiques obtenues numériquement et les courbes
analytiques de Timoshenko et Gere. Les résultats obtenus avec les éléments coques à huit
nceuds valident les résultats analytiques, I'erreur est de huit à neuf pour cent, ce qui prouve
que le maillage de la coque cylindrique et les conditions d'appuis ont été bien définies ainsi
que les charges (compression axiale constante). Ceci nous permet de poursuivre notre
étude à savoir le voilement des coques cylindriques imparfaites, raidies et non-raidies, sous
charges de type silo.
. . . . . . . 4 ù q q B
t Rayodc la oço 2oèm
. Epaiscu 6 millioètos
' llaeû l2J eètct
tEs2"lc5 MPa
' Næhr doda longiodbalcs
81
a
o
E.B
o
F
rX
dtE
Alpha
Fig (3./a) contraintes critiques rnérid'iennes pour r :2m
Chapitre III uoilernent d,es coques cyli,nilriquæ solls charges de type silo. 82
ÆEo)
'5
oa
Â
ËIo
o
É
It4
176
l6t
ld,
t4
-Toebclto ...--.. Abe@
t:ti
I Rayo dc la coqæ 3 dm
'&airsæ6-;lli*ùË
'llôlæq l2J dtsË
t E=21o5 MPs
r NoEbE doldcr loEgiEdi@l€J 1
d4 d6
_ liEdh6k^ Ab.qL,
' Rayo d. la coqû.4 Eèfts
t Epais6 millidras
'!ls@q 12J drçg
. Eg2lc5 MPa
t Noke dodc loqiodiaahs I
tl4 da dro rA2 dt4 ''16 d7t tZtAlpb.
136
I B
dl2 dl4 in' dt8 tæ
Alpha
Fig (3./b) contrt,intes critiques mérid,iennes pour r : Brn
, t I
"l"f"f"f:iI"I
o
oc
5o
tm
l l 2
lol
96
EE
a
l!
Eo
qo
Én
-Timobcoko .....-.Ab.qu
I Rsyoq do la coqÛc 4 mèæs
'llamu 12J oèæs
'&21o5 MPa
l(m
rlt
Fig (3.,4c) contraintes critiques mériiliennes pour r : nt
Fig (3.0 Comparaisons nurnérique et analytique d,es contraintes critiques nérid,iennes
Chapitre III aoi,Iement iles coques cyli,ndriques sous charges il,e type silo.
Fig (5.5) Configuration d,éforrnée ile la coque cylind'ri,que parfai,te sous conLpresion axiale
3.3. Analyse numérique de la stabilité des coques cylindriques
sous compression axiale (calcul non-iinéaire)
3.3.1. Prise en compte des imperfections géométriques
Au moment d.u dimensionnement d'une structure, la forme et l'amplitude réelles des
imperfections ne peuvent être connues. Elles seront connues seulement lorsque la structure
elle-même est réalisée. Pour faire le calcul, il faut cependant considérer une forme et
une valeur pout ces imperfections. La forme des imperfections que nous considérons est
identique à celle du premier mode de flambement'
Selon l,Eurocod.e 3 [23], les a,mplitudes Ws,, de I'imperfection sont mesurées entre une tige
droite (fig.3.6a) et un gabarit circulaire (fig.3.6c), disposé en un point quelconque entre
cordons de soudure respectivement d'une quelconque génératrice et d'un quelconque cercle
directeur' La longeur de la tige et du gabarit est /' : 4tFrt' Mais sans dépasser 95%
de la d.istance entre soud.ure circulaire ou entre soudure sur méridien. C 'est une tige de
longueur Ir:25t que I'on doit utiliser pour les soudures circulaires (fig.3.6b).
L'a^mplitu de Wst des imperfections maximales tolérées sur la génératrice et sur le cercle
directeur est définie comme suit:
83
wor, -0.01/, à 0.02/, soit lTor : fiot e fitt
Chapitre III aoilernent des coques cylindriquæ sous charges de type silo. 84
ï
TW-"LWi fL rtr-(a)
T[ **
M+(b) (c)
Fig (3.6) Lirnitation des imperfections d,es coques cylindriques.
3.3.2. Etapes de création de la surface imparfaite [1]
En utilisant les notations de ia fi.gure (3.7), la création de Ia surface imparfaite se fait
selon les étapes suivantes :
Fis (3.7)
a- On lit les valeurs des déplacements unitaires du mode de Euler pour tous Ac; et Ay;;
b- On lit les coordonnées de tous les points du cylindre initial (parfait) n; et gi;
c- En fonction de ot et !;, on calcul I'angle d pour chaque point avec : tan?; - l;
d- En fonction de Azl et Âgr; on calcul I'angle,6 pottt chaque point avec : t*fu: #;
t-c)f
t t l
. NH
l c
LIJ
v
Chapi,tre III aoilement des coques cylinilriques 3ou8 charges d,e type silo.
e- On calcu l la résul tante d.es déplacements : D; - 1 f f i ;
f- On calcul le déplacement radial Dr; en projetant D sur le rayon : Dri : D;cos(0; - 0;);
g- On cherche le point "j" où il y a ie plus grand déplacement radial Dr;; et on calcul "1"
te lquerq-f f i ;
Wstc représente la valeur maximale des imperfections tolérées.
i- On multiplie tous les déplacements du mode de Euler à tous les points par "4", on
obtient ainsi les valeurs des imperfections pour tous les points de Ia surface de la coque
cylindrique;
j- On ajoute les valeurs des imperfections obtenues aux coordonnées des points de la surface
parfaite, on trouve ainsi les nouvelles coordonnées des points de la surface imparfaite.
3.3.3 Résultats numériques de ltanalyse non-linéaire
Le modè|e est traité par la méthode incrémentale, en utilisant la méthode de Riks.
Le maillage ainsi que les conditions aux limites utilisées sont celles du calcul précédant
paragraphe (3.2.2).
Une imperfection de la forme du premier mode obtenue au niveau du calcul linéaire est
considérée comme étant Ia plus critique.
Les amplitudes maximales des imperfections géométriques utilisées sont celle définies par
I'Eurocode 3 [23].
L'analyse non-linéaire est exécutée en utilisant la procédure " *STATIC,RIKS"'
La figure (3.8) présente le déplacement axial du næud en fonction du paramètre de la charge
appliquée ,,À". Elle montre que les imperfections influent directement sur la diminution
de 1a charge critique de la coque. Nous constatons que pour une valeur d'imperfection de
I'ordre de 0.008 la charge critique est réduite d'environ 15%.
La variation de la contrainte critique méridienne en fonction du rapport rayon/épaisseur'
pour des coques parfaites et imparfaites est représentée également sur la figure (3.8). Nous
constatons que les contraintes critiques de la coque cylindrique imparfaite sont plus faibles.
85
Chapitre III uoilem,ent d,es coques cglindriques sous charges d,e tgpe si,Io. 86
("
d
À. . 6
sll
9 u
Fig (3.8a) Contrainte et charge critique pour r :2m
o 5 l o 1 5 û é r 3 5 4
Dépl8eæûtuiÂl lml
0 t l o 1 5 æ É m 3 t 4
DéPlaæænrdiâl lffiI
;-.... -.-... --. "
'Rsyod.hcoqr4[ùF
- Coqoo.-- . . .Coqt
t f o t S û Ë p
Déplaæntuiallml
& m 1 9 0 4 9 f r
û
o € n 5 9 @ 6 9 7 @ 19
l58 0 6
s€ o eI.2
@
&
€I
s3
.9
Fig (3.8b) Contrainte et ch,arge cri'tique pour r :3m
î æ=Eo' = @
. q 6
-- --- crq|F pâ.ÉÀib
t Rryù do Lc.q& 4 dtÉ
m fi 7@ 0 ru r@
rll
Fig (3.8c) Contrainte et charge critique pour r : 4nt,
Fi,g (3,5) Infl,uence iles imperfecti,ons sur la charge etla contrainte ile fl,ambage
. RÂyd do Ia €qe 2 ûè@
/t/il t :
{i:
Chapitre III aoilement des coques cylindriquæ sous ch.arges de type si,lo.
3.4. Analyse de la stabilité des coques cylindriques raidies et non-raidies
sous charges de type 36silo" (calcul non-linéaire)
Dans la première partie de ce paragraphe on présente l'étude analytique du voilement
des coques cylindriques imparfaites sous charges de type "silo". La solution' pour le calcul
des contraintes critiques méridiennes dans les silos est donnée par I'EC3.
Dans la d.euxième partie on présente notre approche a.nalytique, pour le caJcul et la
vérification de la résistance des silos cylindriques imparfaits raidis longitudinalements,
à partir d'une étude paramétrique numérique bien approfondie.
3.4.1 Rappel de la solution analyt ique selon ltEurocode 3 [23]
(i) Cas des coques cvlindriques imparfaites non-raidies
C o ntrainte ultime m éri ili enne
c zrd, : o zrk ' ^ , rns : 7 .7 (3 - 5)"Yn3
Ot) 7-r est un cæffcient de sécurité.
L'équation (3-5) représente la formule gouvernante du voilement des coques cylindriques
imparfaites sous charges de type silo. Cette solution est adoptée par l'Eurocode 3 pour la
vérification au voilement des silos cylindriques.
o z r k : K " f y , k (3-6)
d ,
K" :1 s i À ' < Ào
K":1 - 0.6 i | ' ; I ' l s i Ào < À" < Àp- LÀo * Ào l
K, :3 s i À 'àÀp^ z
^,: , l#i Ào :o'2; \p: ' f f i
fu,k : est la limite élastique du matériau;
Chapitre III aoilement des coques cylinilriques sous charges ile type silo.
o"r. est la contrainte critique méridienne sous compression axiale constantel donnée parItexpression suivante :
Et
ozrc :0.605.8.1 pour / : 0.3r
o est le cæfficient de voilement sous charges de type silci (coque sous pression interne etcompression axiale variable le long des génératrices); donné par I'expression :
88
ot : o to+ (1 - oo) | - u" , = lLæ +PJ (3 -7 )
(3 -8 )
(3-e)
Ori :
P"(r) est la valeur minimale locale de la pression interne.
@s est le cæfficient de voilement lié à la compression axiale donné par I'expression :
0.62ao=
L + L.sû (ry)''nntl: est un cæffi.cient qui tient compte de la non-uniformité des pressions donné par :
,b:#; J:0.2b
t ; , (1 -ôr)h:0.5V; ; b2: \ f -L ; tb t :0 .4
(ffi) représente le rapport des actions de frottement à deux niveaux différents et voisinsl
tlt6 esl un cæffi.cient de réduction effective d'imperfection liée à la flexion globale de lastructure.
Wsk esl' l'arnplitude maximale des imperfections géométriques tolérées; donnée par :
t -o rr"
+11Wo* -
â{ î ; Q : est la qualité du matériau
Ch,apitre III uoilement des coques cylind.riques sous charges de tUPe silo. 89
(ii)Cas des coques cvlindriques raidies imparfaites
La contrainte critique méridienne de résistance seion les normes est donnée par la relation
suiva,nte :
o zrd. : @o"''P (3 - 10)7m3
Le cæfficient de voilement a est de la forme suivante :
Ia-0.65 si ffr0.,I
Io:oo si ff.o.ou etf coo
La contrairrLe o"r,, est donnée par I'expression suivante :
- !_== - A tzAzs-Atsâzz À-= L A tzAts -Ar r4 'zs 4 -
acr,p:minimum de -- f f i ;Tn$-r
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Chapitre III aoilernent iles coques cylinilriques sous charges ile type silo.
où:e", f
" et r4." sont les caractéristiques géométriques de la section transversale d.u raidisseur;
6 est la largeur du panneau cylindrique;
ô" est la largeur effi.cace du panneau cylindrique, comprise entre 6 et 1.9t
t" est l'épaisseur fictive donnée pa,r la relation :
fEvi l
"n" et "rn" sont respectivement le nombre d'ondes circonférencielles et longitudinales.
La formule simplifiée de la contrainte critique méridienne ocr,pt que peut supporter unecoque cylindrique impanaite sous les actions de type silo est donnée par I'expression suiv-ante :
1 2 8 1 " " 1 E to"r,p: ff i*
aoth6"zl;
Pour z :0 .3
dcr,p: ffi*o.6o5asû18!
(g - 13)
Isef est la rigidité efficace (coque-raidisseur), calculée en tenant compte d'une largeurparticipante "b"" de la coque.
thr: L dans le cas où le raidisseur est situé à I'intérieur de la coque.
, r r{st: - dans le cas où le raidisseur est situé à I'exterieur de la coque.L+#
3.4.2. Etude paramétrique par voie numérique (coques raidies et non raidies)
Cette étude paramétrique pennet de tester I'influence de plusieurs facteurs inter-vena,nt dans la résistance de la co{ue.
Les paramètres suivants sont analysés:
(1) Epaisseur de Ia coque cylinilrique, "t'
(2) Section des raiilisseu,rs, nAr'
(3 - 12)
90
ts:t*+ '
Chapitre III aoilement des coques cylindriquæ sous charges de type si,Io. 91
(3) Rigidité efi,cace, ul,"1"
(/1) Rayon d,e Ia coque cylinilri'que, (î"
(5) Largeur du panneau cylind,rique, "b"
(6) Nombre d,e raiiliæeu,r, 'h""
(7) La pression horizontale "Pn(z)"
(S) Le rapport, '1lt'
(9) Le rapytort, '%ltÇt"
Les dimensions des cylindres étudiés sont définis dans Ie tableau (3-1) suivant:
C aractéristiques Epaisseur [mm Rayon [m] Eauteur fm
Valeur minimale 4 4 r4
Valeur rrùoyenne 6 6 r 4
Valeur maaimale I 6 14
tableau (3-l) Dimension des d.i,fférents cylindres à étudier
Les panneaux cylindriques considérés sont larges, comme ceux étudiés par Syngellakis [65]
et par Watker [66]. La largeur est choisie de façon à casser I'ordre de la répartition des
ondes circonférencielles du cylindre raidi.
Pour cette étude les raid.isseurs adoptés sont des profi.lés à section en T avec des sections
trarrsversales variant de 24 à 48 arf . Notons que pour une étude paramétrique, il suffi't de
faire varier la valeur concernée sans que les valeurs choisies correspondent nécessairement
à rp profilé laminé.
3.4.2.L Charges appliquées
Contrairement à toutes les études publiées précédemment sur les cyiindres raidis et
non raid.is, nos cylindres sont soumis au type de charges réelies agissant sur les parois du
silo.
La détermination de la répartition des charges est faite suivant l'Eurocode 1. Rappelons
que les charges d'ensillages (pression horizontale et somme des actions de frottement)
Chapitre III aoilement des coques cylindriquæ sous charges de type silo.
dépendent :
(1) du iliamètre de Ia ceIIuIe;
(2) de la profond,eu,r "2";
(3) des propriétés de la matière ensilée;
(il d" la ragosité des parois;
(5) de I'état de ûdange ou ile rernplissage.
3.4.2.2 Choix du maillage et des conditions aux limites
(i) Flambage linéaire
Après l'étude de la convergence, nous avons constaté que le maillage effectué au moyen
d'éléments coques à huit nceuds donne des résultats satisfaisants. Grâce à la symétrie du
problème, un quart de la structure est considéré dans la présente étude. La discrétisation
est réalisée à l'aide d'un maillage exigeant 2904 degré de liberté.
Les conditions aux limites considérées au niveau des bords de la struciure (fig 3.3) sont:
le bord inférieur (1) du panneau est encastré, on a donc pour chaque point de ce bord :
U " :Uy :U r -0 r : 0y :0 " -0
Les bords verticaux (2) et (4) sont soumis à des condiiions de symétrie ou d'anti-symétrie.
Au niveau du bord (3) nous avons bloqué tous les déplacements et les rotations sauf Ie
déplacement suivant I'a-xe du cylindre, pour simuler la présence d'un raidisseur de renfort
à ce niveau.
(ii) Flambage non-linéaire
Le maillage est réalisé à partir du maillage précédent, en tenant compte des imper-
fections géométriques tolérées données par I'Eurocode 3. Le calcui pas- à pas est effectué
avec pilotage paf, le déplacement vertical du næud situé au milieu du bord supérieur du
p?.nneau.
A chaque phase d'accroissement de déplacement, la position d'équilibre de la structure est
recherchée pax un processuri itératif suivant la méthode incrémentale de Riks.
92
Chapitre III aoilement d,es coques cyli,nilriques sous charges ile t'ype silo.
3.4.3. Résultats de ltanalyse analytique de ltEurocode 3
Dans le paragraphe précédant (3.4.1.) nous avonsi présenté la formule gouvernante
du voilement d,es coques cylindriques imparfaites sous charges de type silo, données par
I'Egrocode 3. Cette formule d,épend et dans les deux cas (coque raidie et non raidie ) de
plusieurs paramètres :
- ca,ractéristiques géométriques de la coque cylindrique et des raidisseursl
- amplitudes d'imperfections géométriques tolérées;
- les charges de type silo (pression horizontale et somme des actions de frottement).
Da,ns cette section nous présentons les résultas analytiques liés à la solution donnée par
I'Eurocode 3. L'évolution du ccefficient de voilement et de la contrainte ultime méridienne
sont représentés sur les figures (3.9) à (3.16) Les charges considérées correspondant
aux états d.e remplissage ou de vidange centrée selon I'Eurocode 1. Sont données par les
expressions suivantes :
P.(r): Cs [1 - exP{-c2@ -')} l ;
(i) Cas des coques imparfaites non-raidies
Ct l t - exp{ -C2(H - z ) } ldz
Ëparsseur -t lmml ilt
Fig (S.g) Eaolution ilu cæfficient ile aoilement en fonction d,e I'épaisseur (t) et d,u rapport (rft)
93
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-E- Coquede4mè:tresde-r- Coquede6mètcsde+- Coque de 8 mètr€s de
Epaisseur "t" [mm]
Chapi,tre III aoilement des coques cglindriquæ sous cltarges d,e type silo. 94
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Fig (3,10) Eaolution de Ia contrainte critique en fonction
d,e l'épai,sseur (t) et du rapport (rlt)
(ii) Cas des coques raidies imparfaites
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Fig (3.11) Maillage ile Ia coque cyli,nilrique raidie
Cltapitre III aoilement des coques cylindriques sous charges de type silo. 95
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4 4 5 5 1 5 6 6 J 7 7 5
Epaissew "t" [run]
Fig (g.12) Euolution d,e Ia contrainte critique en fonction d'e I'épaisseur (t) pour ns:4
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Epaissar"t" [mm]
Fi,g (3.13) Eaoluti,on d,e Ia contrainte lritique en foncti,on d,u rapport (blrFî) pour n" = |
Chapitre III uoilement des coques cylindriquæ sous cltarges de type silo. 96
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Epaisseur"t" [m]
Fig (3.14) Eaolution d,e Ia contrainte critique en fonction d,e l'épaisseur (t) pour n" : tg
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Fig (3.15) Eaolution d,e la contrainte critique en foncti,on du rapport h oou, ns :16
Chapitre III aoilement des coques cglind,riques 8ou3 charges ile type silo. 97
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Seaion du raidisseur [cm2l
(a) Contrainte cri t ique d'e aoilement pour ns:4,, t :4mrn'
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t 2 x 2Seaion du raidisseur [co']
(b) Contrainte critique d'e aoilement pour ns - L2, t: 4mm
si r- ar.if**r' t",rft
(c) Cont'raint'e critique de aoilement pour ns - 16, t:4mm
Fig (9.16) Eaolution d'e Ia contrainte critique en fonction
il'e Ia section iles rai'd'i'sseurs A,
220
N
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160
t40
Chapitre III uoilement d,es coques cylindriques sous charges d.e type si,lo.
3.4.4 Résultats numériques de ltétude paramétrique
L'évolution de la contrainte critique méridienne est représentée en fonction :- de l'épaisseur t figures (3.17) (3.19) et (8.20);- du rappofi rft, figures (3.18) (3.21) et (8.22);- du rappo* bltfrt figures (3.23) et @.2\;- de la section des raidisseurs A, figure (3.25); ,- du nombre de raidisseurs n" figure (3.26);- de la rigidité efficace /".1 figures (3.27) et (3.2S).
(i) Cas des coques imparfaites non-raidies
41 5 s'5 h"i.."l,, to,-l "t
7 7's t
Fig (3.17) Eaolution d,e la contrainte critique en fonction de I'épaisseur (t)
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Fig (3.18) Euolution d,e la contrainte critique en fonction du rapport (rlt)
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Ch,apitre III aoilernent d,es coques cylindriques sous charges ile type silo. 99
(ii) Cas des coques raidies imparfaites
5.5 6 6.5 7 7.5 t
Epaisseur't" [rnrr]
(a) Contrainte critique pour fls: 4, A, :24crn2
-.+-- Coque de4 nètræ+ Coque de 6 nè'tres-- o-- - Coque de 8 mètrEs
,...::::t'*"'-"
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. . . . . . .-- i-"" " '?"'4 4 - 5 5 5 . 5 6 ô 5 7 7 . 5 8
Epaisseur "t" [mm]
Contrainte critique pour ns - 12, A" :24c'm2
*-- Coque de I Bet* A" ai"rettil+ Coque de 6 ne"o C" ai"re"{.- o-- - Coque de 8 Eèù€3 d€ diarnètr{
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Epaisseu't" [rorn]
(c) Contrainte critique pour Ds :16, A" :24cm2
Fig (3.19) Euolution ile la contrainte critique en fonction d,e l'épaisseur (t)
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Chapitre III aoilement des coques cylinilriques sous ch,arges ile tgpe silo. 100
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(b) Contrainte critique pour ns : L2, Ar: 48cm2
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Fi.g (3.20) Euolution ile Ia
Epaisseur "t" [mm]
critique I,our ns - 16, Ar: 48crn2
contrainte critique en fonction ile I'épaisseur (t)
chapitre III aoilentent d,es coques cglinilriques sous clLarges ile type silo' 101
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(b) Contrainte cri,ti'que pour tus : 12, A" :24crn2
(c) Contrainte crilique pour rùs: 16, A'--24crn2
Fi,g (3.21) Eaolution d,e la contrainte critique en fonction d'u rapport ('lt)
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(a) Contrainte critique pour rrs:4, Ar: 48crn2
300 4æ 500 00 7æ 800 900 l0ætft
(b) Contrainte critique pour fl" : 12, A, : 48qn2
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(c) Contrainte critique ?our n" :16, Ar:48crn2
Fig (3.22) Eaolution ile Ia contrainte critique en fonction d,u rapport (r/t)
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chapitre III uoilement des cogues cglindriquæ sous charges ile type silo. 103
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(a) Contrainte critique pour ns : 4t A, :24crn2
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Fig (9.23) Euolution d.e Ia contrainte cri,tique en fonction ilu rapport (ul'Ft)
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Chapitre III uoilement d,es coqaes cglind,ri,ques sous charges d,e type silo. 104
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(c) Contrainte critique pour ??, : 16, Ar:48crn2
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Ch,apitre III aoilem,ent iles coques cylindriques sous charges ile type silo. 105
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(c) Contrainte critique pour r :4rn, t -- 4mm
Fig (3.25) Eaolution d,e la contrainte critique en foncti'on
de Ia section des raid,isseurs "4""
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Chapitre III loilement d,es coques cglind,riques sous ch.arges d,e type silo. 106
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(b) Contrainte critique pour Ar:36,
(c) Contra'rrrr, ,:;i:'#:;5nr, ,': u**Fig (3.26) Eaolution d,e Ia contrai,nte critique en fonction
ilu nombre ile raidisseu,r 'hr'
Chapitre III aoilement des coques cylind,riques sous charges d'e type silo' 107
Rigidiré effætive'IseI' [n'l
Fig (3.27) Euolution d,e Ia contrainte Ûi'tiqli'e en fonction
d,e Ia rigid'ité effectiue d,es raid'isseurs "Ir"1n pour As -- 36crn2
Fig (3.25a) Eaolution de Ia contrainte critique en fonction
d,e la rigid'ité effectiue d'es raiilisseurc "1""1" pour A, : 48crn2
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Rigidiré efrætive "Is€f [mI
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Chapitre III uoilenent iles coques cylind,ri,quæ sous charges de type silo. 108
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Fig (9.29) Eaolution d,u pararnètre d,e ch,arge "À' en fonctiondu dé,placement axial pour les sections: A" :24crn2, A, = 36cm2 et A, : 48crn2
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Fig (3.30) Eaolution d,u paramètre de charge "À" en fonctiondu d,éplacement arial pour un numbre ile raidisseu,rs ns:4t Ds: 12 et ns : 16
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Déplammtaxial [m]
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Chapi,tre III aoilement des coques cylindriquæ sous charges ile type silo.
3.4.4.L Effets des différents paramètres
a-Effet de I'épaisseur de la Paroi
L'épaisseur d.e la tôle a un effet primordial sur la contrainte critique. L'amplitude
des ond.es de flarnbement est trés grand,e, lorsque l'épaisseur est petite. Les figures (3.17),
(g.1g) et (3.20) représentent l'évolution de la contrainte critique méridienne en fonction
d,e ce paramètre. On remarque son importancel la contrainte ultime est presque Ie double
Iorsque on double l'épaisseur de la tôle.
b-Effet du ra]ton de la coque
Ltinfluence du rayon est nette sur Ia contrainte et sur la charge que peut supporter
la coque cylindrique figures (3.17) à (3.30). Quand on double le diamètre de la coque, la
contrainte ultime diminue presque de moitié.
A valeur égale de I'inertie efficace "1""f", le raidisseur qui a une aire de section plus
grande assure une résistance plus grande au flambement du cylindre figures (3.25) et (3'29)'
L'influence de "A"" ne dépasse pas les 40%.
Les figures (3.26) et (3.30) montrent que la contrainte ainsi que la charge de ruine des
différents cylindres étud,iés croît avec le nombre de raidisseurs. Le cylindre le plus résistant
est celui qui correspond à ]a coque cylindrique avec l-6 raidisseurs.
e-Effet de la pression interne t'P-"
La pression interne a un effet stabilisateur pour la coque en compression. Elle a
tendance à corriger les défauts liés aux imperfections géométriques (figure 3'28b).
B.b. Etablissernent d,une formule semi-analytique pour le calcul des contnaintes
critiques
Le développement de cette formule est basé sur I'effet et I'importance de chaque
paramètre étudié précéd.emment. Pour l'établir plusieurs hypothèses essentielles sont
adoptées :
Hypothèses :
(1) La coque cylindrique ainsi que les raidisseurs sont des éléments minces.
(2) Les raidisseurs sont considérés comme des pièces rigides (c.à.d. qui sont indéformables
dans le plan de la section transversale).
109
d-
Chapitre III uoilement d,es coques cylinilriquæ sous ch,arges d,e type silo. 110
(3) La déformation par distorsion de la surface moyenne (section transversale du raidis-
seur) est nulle (c.à.d. que I'a,ngle formé par les lignes de coordonnées z: constante, reste
droit aprés déformation).
( ) Les hypothèses de Donnel [21] sont toujours applicables.
(5) On suppose que la pression horizontale P.(z) ainsi qu'une partie des actions de
frottement cumulées F(z) sont reprises par la coque cylir.drique. Le reste de la contrainte
de frottement est repris par les raidisseurs.
(6) La force latérale tra.nsférée de la coque cylindrique au raidisseur se fait par un cisaille-
ment caractérisé par un angle de distorsioî "'y^".
(7) Les contraintes dans les raidisseurs varient linéairement suivant la longueur.
(8) La loi du comportement est élastique et linéaire.
(9) Pas d.e risque de fla-bem"rrt'u.r niveau des raidisseurs.
L'hypothèse (6) découle de I'analyse du comportement d'une coque raidie verticalement,
soumise à une compression axiale qui varie linéairement sur toute la hauteur (figure 3.31a).
Cette analyse montre bien que le tra.nsfert des efforts, à la jonction âme-raidisseur-coque
se fait par cisaillement direct.
oaÈ
-9 -8 .n .lt -lo .t 0 I l0Cotnirodridi* BNÉfl
-tæ .l@ {t o { .æ
Cærnhæmbmeùo [tt{lb1
qa .224 :88 ./22 -Zzt -Zp .219 -zrE
Cominc è cislfcd [klfrhrl
Fig (3.31a) Comportement ile Ia coquerai,ilie sous cornpression atiale
Chapitre III uoilement d,es coques cylind,riques sous charges ile type silo. 111
Fig (5.3lb) Configuration défonné d,e Ia coque raidi,e sous con'Lpression ariale
Considérons une coque cylindrique (figure 3.32) soumise à une compression axiale. la coque
est supposée encastrée à la base, et raidie verticalement'
Soient :
- H"la longueur du raidisseurl
- A"la section du raidisseurl
- 2H" la hauteur de la coque;
- b Ia largeur du panneau cylindrique.
Le chargement considéré va entrainer une contrainte verticale constante de compression
,ro",,, qui provoquera un raccourcissement "6"oqu"" de la coque cylindrique et t'6"tt du
raidisseur.
En se basant sur les hypothèses citées précédemment, on peut estimer la valeur moyenne
de la force reprise par le raidisseur, calculée suivant les étapes suivantes :
(i) valeur moyenne de la force reprise par le raidisseur
Le transfert des efforts par cisaillement direct, à la jonction âme-raidisseur-coque se traduit
par l'équation suivante :
(3 - 14)
où:,rA, est la section qui participe au cisaillement, elle est donnée par I'expression suivante :
^F*7 : J p l t : T
A : 2.H,t
Chapitre III aoilement d,es coques cylind.riques sous cltarges ile type silo. 7L2
L'effort repris par le raidisseur sera donc :
Avec :
F* :2G1*H" t
(o "H "l
E) - (F*H,l EA")
(3 - 15)
(3 - 16)
(3 - 1e)
(3 - 17)
( i i) Calcul de la contrainte ult ime de compression dans la coque cyl indrique
En accord avec le modèle (figure 3.32),la déformation axiale diminue dans la direction
verticale du bord supérieur du raidisseur jusqu'à la base. L'augmentation totale moyenne
de la déformation, est calculée à mis-hauteur du raidisseur donnée par I'expression suivante
F*:o,A"llffi.rl
Ae:7-(y-#",)
Ae^o,:T-, (#, -t"."")
6" Fro ^ F*.e?H": EA*; a2e":
f f i =+
,,€^o.:rli _+(* _ *)]
(3 - 18)
( â2, , \
\#.") représente la déformation dûe à la rotation du raidisseur vis-à-vis de
I'excentrement e, des charges appliquées.
ôw 6" 02ua,
: H,; d*
: a"
En utilisant I'hypothèse(7); que la variation des contraintes est linéaire sur toute la hauteur,
la déformation relative maximale (coque-raidisseur) s'écrit :
Or:
Chapitre III aoilernent des coques cylinilriques sous charges d,e type silo. 113
(3 - 20)
L'introduction de l'équation (3-17) dans (3-20) nous permet d'écrire la relation suivante:
Ao*o,:r lo"- F*(* - *) ]
Lo,n.. - 2o,[' - ({' - #\, {ffi-'})]
t O z
!ll IIDi+'(c'que,
(3 - 21)
Raidisseur vertical
F*,A\t
ô qcoque;
Fig (3.32) ModèIe d,e calcul d,e la distribution des contraintes
Finalement, I'expression de la contrainte critique d'une coque cylindrique, parfaite raidie
verticalement soumise à une compression axiale, variable linéairement le long de ia hauteur
s'écrit:
6z*t,c.R.p: oz * , 'o*o,: oztr,, lr- (tt #\ {ff i* r})] rr - rrr
Chapitre III uoilement des coques cylinilriques sous cltarges d,e type silo. L74
En relplaçarrt "or" par son expression (3-4), donnée par Timoshenko drns le cas d,'une
coque de hauteut 2H, et pour un nombre d'ondes circonférencielles supérieur à un "(n >
L)", on obtient I'expression suivante:
n2 (n2 + I )(3 - 23)
Remarque: Le minimum de "o rrd,c.R.p)' correspond à n -- 2 et rn : 1.
Une solution semblable a été developpée par J.C.Shang [26], pour le calcul de cette con-
trainte critique représentée par I'expression suivante:
Formulation de la solution selon Shang [26]
K1K2r2Ec c r :
L2(7 - r')(+)'
ozr i l ,c .Rp:Min imumd'e{- , * [ t - ' ( { t ,#} t {#,ur . t } ) ] .
(t-,') (w)'t--L .ffi)\
Kt:1.3 + 0.24!rt
Kz:1 -1.75f(509-7) l 'o , r ,7<500; Kz:1 pour z>500- L krt I
I,arl :
{bts lLz(I - "r)}: I0.9I"lbt3 si u :0.3
La figure (3.33) représente la comparaison des contrajntes critiques, dans le cas d'une
coque cylindrique parfaite raidie verticalement. Les raidisseurs sont des poutrelles à section
transversale en T. L'ensemble (coque-raidisseur) est soumis à une coinpression axiale qui
varie linéairement sur toute la hautèur.
La comparaison entre nos résultats et ceux donnés par Shang, montre que notre solution est
plus proche des résultats numériques avec un écart de 13%. Ce qui justifie nos hypothèses
et permet ainsi la poursuite de cette étude.
Chapitre III uoilement des coques cglindri'quæ sous charges de type silo' 115
l60
S l5o
; r,{,a6
'Ë Booo
.S r2o
5 rro
lqt
l f f i lo I 'Rayondelacoque2mèE€sf -o-- euaris I ts."tionautaaiseurAs=zo2 ./l - - t - ; ; & q r " | ' N o t u t " a " n i d i s o r n s = 4 , / . 2-
//a'
(a) Euoluti'on
EPaisseur [rnm]
ile Ia contrainte cri,tique en fonction ile I'épaisseur
o
oo
6
o
t@
t50
lro
130
lm
l l0
+ Raym rle la coque 2 mères' Secrion du raidisseur As = 24ct't Nomb,re de raidisseur !3 = 4
\
lû)
550 @ 650
(b) Eaolution d,e la contrai'nte critique
?æ 750b / t
en fonction du raPPort bft
t60
E rro
î tooâ.F ræoae wI'
.$ rro
læ
\
' RÂyû de la coque 2 BèÈ€sr Secrim tlu rafttisseur As = 24d zt Nonhe dÊ raidisseur ns = 4
(c) Euotution ile Ia contrai,nte ffitique en fonction du rapport bltfrî
Fig (3.33) ComParaisond,es contraintes critiques (Shang, Abaqus et Analytique)
Chapi'tre III uoiletnent des coques cylindriques sous charges ile type silo. 116
Pour tenir compte des imperfections géométriques initiales, ainsi de la non-uniformité dela somme des actions de frottemenl "F(z)" agissants sur les parois de la coque cylindrique,
on propose une épaisseur fictive (compte tenu de son influence sur I'augmentation ou la
diminution de la contrainte de flambage). Elle est donnée par I'expression suivante:
Tf":r*W (3 - 24)
où:Wok: est I'amplitude des imperfections géométriques tolérées donnée par I'Eurocode3.
{ : est un cceffi.cient qui tient compte de la non-uniformité de l'effort axial (somme des
actions de frottement dans la cellule), calculé graphiquement, en se basant sur l'évolution
de la contrainte critique méridien+e (coque raidie parfaite et imparfaite) en fonction de la
racine du rapport (rlt), figure (3.34).
À partir de I'analyse graphique, figure (3.34), I'expression de r/ est de la forme suivante :
7 p 1 - 0 . 1 0 5 5
tb :7 .9341- l' \ t /1000 (3 - 25)Pour 250<1<- t -
Æ=o
k0c)
t!
o
I t0
170
160
t5{,
140
l30
1m
110
lq)
* Equation (3-23)* (Analytique IT=t+(W0k/b)l)
\.V *Coçeimparfaite* Chargement ayial variable\..\ . iiiiofitîqù" rrE<wôrrutr I
\ .t R a y o n & l a c o q u e 2 m è t r € E ' \ . . -
* Section du raidisselr As = 24cm2 ' . .*_.-t Nonbre de raidisseur ns = 4 ' . \ - - . . \_
215 22
r/(rn)
(a) Euoluti,on ile la contrainte criti,que méri,d,ienne pour r :2m
Ch,apitre III aoilernent des coques cylindriques sous charges d,e type silo. I17
ag
o2
oo
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U
l æ
tæ
l t0
lm
90
t0
* Equation (3-23)* (Analytique [T=t+(w0k/b)I)
\â * Coque impadaite
\ \r l*9.,1e*d.:**-t:\- * ( Numériçe ç1=t+(W0klb)l )
\ .t Rayon de la coque 3 mères
'\ ..
\
t Section du raidisseu As = 2zkm2 ' \\
* Nontre ae raiaisseur os = 4 ' E\ -
1a a1
./(rlt)
(b) Euotution de la contrainte critique méridienne pour r :3m
* Equation (3-23)* (Airalytique f[=t+(W0k/b)l)
-...>{ i ff:ËH'"fl*'iu?ryq,e\.- \ * (NuËériçetT=t+(w0Vb)l )' \ .
tRayodelacoque4mères -É-
t Section du nidisseur As = 2,lcm- \ - . -I Nonbrc de raidisssrr ns = 4 É- - - . . . . - - - . -
a r a
.ittltl
(c) Euolution iles contrai'ntes critiques mérid'ienne pour r : 4m
Fig (3.3/) Eaolution d'e la contrainte critique mérid'i'enne
(l
o(t
oo
fit
96
88
t0
g
56
en foncti,on de
Chapitre III aoilement des coques cylindriquæ sous ch.arges ile type silo. 118
En iotroduisant I'équation (3-24)dans (3-23) tout en remplaçant '1" par "Ty"" on abouti
à I'expression de la contrainte critique méridienne de résistance de la coque imparfaite sous
compression a>ciale variable sur toute la hauteur.
o zriI,c.R.I : Minimum de
(r-, ' ) (æ)'(3 - 26)
n2 (n2 + t )
Le mode de fl.ambage de la coque cylindrique dans notre cas dépend de Ia pression interne.
11 est donc essentiel de tenir compte de son influence, pour aborder le complément de la
contrainte critique méridienn e (o r,ra,c. n. t).
Afin de trouver le lien entre les contraintes sous compression axiale variable sur toute
la hauteur et les contraintes sous charges combinées (compression plus pression interne).
Nous avons opté pour l'évaluation numérique de cette contrainte pour le cas de charges
combinées en fonction de la résistance de la coque cylindrique soumise à une pression
interne.
Le rapport des contraintes correspondant aux deux analyses numérique et analytique (fig-
ures (3.36) et (3.37)) nous a permis de formuler le complément de (o,,4,ç.n.r) équation
(3-26) comme suite:
[aP^ : -1 .083. ' " ( ; ) -0 '067 (3 - 27)
( ,"
1) (
(T t " )21212
( r '+ IrL) '
- 1
fnt f
æ
n (t+W),1ffi-r1
charges combinéesFig (3.35) Configuration iléforrnée ile Ia coque cylinilrique raiilie sous
Chapitre III uoilement des coques cylindriques souE charges de type silo. 119
lE0
læ
À 1 6 0
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F= 7 0oa
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'Raya da laoquc2mèlræ\ rNobrcdonidiwrs4
\ . Soti* ao onbscq AF24 cE:
\\ Equatior(l2o
'.. \\V
o . \'1
\ Coqæutsôcgæ\ \ MDEë
o . \' .v\t\
\\ \
' t a
tt2 t2 vLa
h.(r^)
I Rayo de la coquc 3 mètsetNcmbrcde nidissgns4'seaiodunidis A-Aæ2
Equrio (126)
\Coqrcruchcgæ. c@DE€
t Raym de la coque 4 mètrsrNmbcdemidiwns4
I Særiæ <hr nidisq As24 oz
Fqutio(}'2O
\ Coqwrughugær CûÉbE6
16 lE 20 z2 21 26
Pn*(rô
ll.2 a lLa
Pn*(r^)
u t l 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 l E 1 9
pn*(r^)16 l7 18 l9
pn*(r^)
16 lE 20 2. 24 26
Pn*(rlt)
Fig (3.36) Eaoluti,on iles contraintes cri,tiques méridiennes
en fonction d,u proiluit P" - (i) pour n": {
\
Raym de la coque 2 mètre**t"ro.;6;*roJSeaim du nidisw AF48@2
Equation(12Q
o
'1 \ Coqucrucharsæ
\ \ cqæs
t Ravo de la cæue 3 mèEer Ndmbre de nidÎssu nF4t Sætion du midisw As4 o2
ù fruatio(3-26)
Coque rcu chrge. c@DEees
' Rayon de la coqre 4 mètræ' Nmbre de midissur as=4. Særim 6umidiw As=48 q2
1 \ Equari@(!26)
\
\ Coque su charger @bE€6
:
Chapitre III aoi,Iernent iles coques cylindriquæ sous charges d,e type silo. L20
r Rayo de Ia ouo 2 mètræI NdnbrÊ de nidrw Fl6i Sestim du nidiw As24 q2
Eqqatim(3-2O
c.
q \ Crquruchargæ
\ \ æEDB6
'o
190
t80
,I! 170
I 160'ÉE rsog
Et .n- tlo
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^ t28
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160
150
140
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læ
7 2 8 lt3 t2 tLg
Rt*(rlt)
'Rayæ do h coquc 4 mètrerNmbro dc nidisqæ16rSærio ùrakliwAs24d
Equatio (3-2i)
\Coqusorschagær cmDEa
1 6 1 8 2 0 2 2 ? , 2 6
Er*(rlt)
72 8 r3 9.6 ll.2 t2 na
Pn*(r/t)
14 15 16 t? t8 19
pn*(r/016 l7 l8 19
h*(r^)
rrt lE 20 z2 24 26pn*(r^)
Fig (3.3'l) Eaoluti,on iles contraintes criti,ques m,éridiennes
en fonction d,u prod,uit Pn * (t) pou, ns : L6
' Rayon dc la qæ 2 mètsær Ndntre dc nidisæ æ16I Sætio du nidiscur As4&m2
\ Equtioa(12O
\ \ CoquesôEcbtrtæ
\ \ g I 9
t Rayo de la coque 3 mètres' Nmbre de aidisw æ16. SætiodunidisurAs24o2
ô Equati<ia (3-2O
Coqæsosôagæ. CmDm€
i Rayo de la coquo 3 uètreI Nmbre de midiw æ16r Sætion du nidiw AsJ8 m2
è Equatim (126)
\Coque rcw chage, c@oEees
t Raym de la coqæ 4 mètræ'Nmbrc de nidisw asl6r Sætio du nidiw f,5d8 cn2
Equtio (126)
\ Coque su charges. @mæ
Clua,pitre III aoilernent d'es "oqu"t "Vlind'iqutt
tou" 'ht T2I
L'expressiea d{ffnitive de la contrainte ultime méridienne que peut supporter une coque
cyiindrique, imparfaite, raidie verticalement soumise à des charges de type silo est :
Pour les coques imparfaites non-raid.ies cette contrainte se simplifie et se met sous la forme
suivante:
-1.088.P, (;)-"") (3 - 2e)
8.6. Comparaison des résultats et validation de ltapproche analytique
Nous avons présenté sur les figures (3.38) à (3.42) une comparaison des résultats
numériques et réglementaires. Au sein d.e cette compa^raison le choix des paramètres est
le même que celui de l'étud.e para^rrétrique paragraphe (3'a'2')' Mis à part que nous-nous
sommes limités d.ans la présentation à la coque cylindrique de quatre mètres dg diemètre'
Elle présente une grande résistance au voilement par rapport aux coques de six et huit
mètres de diamètre.
ces comparaisons montrent une bonne concordance entre nos résultats et les résultats
numériques (Abaqus). Par contre la formule de I'EC3 surestime certaines valeurs de Ia
contrainte critique. Cette différence s'accentue pour des épaisseurs de quatre à sept mil-
Iimètres, par conséquent le choix de l'épaisseur fictive ad'optée par la norme n'enveloppe
pas tous les cas possibie d'épaisseurs rencontrées dans la pratique'
cette solution sera ainsi proposée au comité de rédaction de la norme EC3' partie sIlos'
Ir-28
\ 2
r(3
- 1
tnTf r
ffi
+1)
(t - r")t t : , 2I m ; r r 1\ 2 H " J
- 1
tn711
ffi
IIt -
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, , (n,
1 2)
T(n
;L )
H( r '+
Chapitre III aailement des coques cyli,nilriquæ sous ch,arges de type silo. L22
+Erocode3--- Abaqns-..o-.- Eqruiion(129)
Coque de 4 mètrcs de dianètre
4 4 5 5 5 J 6 6 J 7 7 5 8
Epaisseur [mm]
(a) Eaoluti,on d,e Ia contrainte critique en fonction de l'épaisseur t
300 350 400 .t50 5fr1
rlt
(b) Euolution ile Ia contrainte critique en fonction ilu rapport rf t
F;g (3.38) Comparaison nurnérique et réglementaire des contraintes
critiques m ériili,ennes ( co que non-raidie )
c)
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250
+Eurocode3<' - Abaqus. - -o- -. EquaTon (3-29)
t Cooue de 4 mèrre de
\.-r.-,*,*..*-
-.*.*,_.*Ë.È:
Ch.apitre III aoi,Iement d,es coques cylindriques sous ch'arges d'e tgpe silo' 123
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(a) Euolution de la contrai,nte critique en fonction de I'épaisseur t
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âE' ''Ë à rtooc 110'E rm
5eo
+Eurocode3<. - Abaqus- -.o-'- Equation (328)
rlt
(b) Eaotution d,e la contrainte critique en fonction du rapport rf t
\ - e
-\\ '..+Abaqusa.- f,quâf,qq-. -o-' ' Eurocode3
. Coque de 4 mèbes de diaûèt(et Secdon du raidisseur As=2'lcmzt Nombre de raidisseurrs=4
2 6 2 A 4 . nb/ftt
(c) Eaolution ile la contrainte critique en fonction ilu rapport UltFrt
Fig (9.39) Comparaison nurnérique et réglernentaire iles contraintes
critiques mériiliennes (coque raid'ie) pour A, :24crn2, tus : 4
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Epaisseur [mm]
Chapitre III aoilernent iles coques cylindriquæ sous charges de type silo. 124
+Euroc<lde3<-. Abaq8-- -o- -- Equatio (3-2E)
r Coque de4 mèE€s de diamètret Section du raidisseur As=48cm2t Noobre èraidissurr=4
4s t t'rpui.r.L rro,i'
7 75 8
(a) Euolution ile Ia contrainte critique en fonction d.e I'épaisseur t
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Ë.FÊ ào
Ê,
(b) Euolution de Ia contrainte criti,que en fonction d,u rapport r f t
+Eurocode3<- - Abaqus. - -.- -- Equation (128)
'\l----"'S.-
-\'
\ - .
- - - - * - t
-t-*'a.. .--.--------..
. Coque de 4 mètres de disEèbe ':aa'\
. -rsectiooduraidisseurAs=48cnf, """'\.-.Nombrederaidbseurns4
,
- ':\"....-,...-
rft
+.- l=ffiv:::.\ l.--"-.-Equation(3-28)\) . , \ )
" \ . . . . \...\.....- ^_.\-
t Coque & 4 EèûEs & dianète ' *'\".
_. Section du raldbseur As=4Ecnf
' '\-.--.-' Nombre de raidbseur ns=4 Êi :..--
r7o
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6.!l
4b/vil
(c) Eaotution d,e la contrainte critique en fonction ilu rapport bltfrt
Fig (3.40) Comparaison numérique et réglementaire iles contraintes
criti,ques rnéri,diennes (coque raid,ie) pour As - 48crn2, fls : 4
Chapitre III aoilernent des coques cglind'riquæ sous charges ile type silo. t25
+Er.nocode3 | -4..'- - -4buq,o | -1. r ' - /
1..-.-". . . .2 '
. d . "
_ . t /
- j - '
-- - '.': : ' t Coque de 4 mèEes de diamètre
-..-'::'y t SectionduraidisseurAs=2rkm2
-..::? t Nombre de raidisseur m=16
Epaisseur [mm]4 5 5 5 5 6 6 J 1 7 5 8
(a) Eaolution de la contrainte cri'tique en fonction d,e l'épaisseur t
lE0
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l @
150
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n0
l@
o
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âE'.âÀoq)
o
o
o'trat r r
âE''ËE '€ rzoE rroE6 1oo
+ Eurocode3<-. Abaqus- - -o - -. Equation (3-28)
i Section du raidiss.to 65=?Acm't Nombre & nidisseu ns;16
tlt250
(b) Euolution d,e la contrainte criti"que en fonction du rapport rf t
_ . . , \ . . .
r Coque de 4 Eètres ds dianètre ' ' -
\:r Section du raidisseur As=24cnft Nombre de raidisseur ns=16
:'.)*'*.
* . .
+Eurocode3<.. Abaqus-. -c- -. Equation (3-2E)
(c) Euolution ile Ia contra'inte critique en fonction du rapport bltÇi
Fig (s.41) comparaison nurnélique et réglertento,ire des contraintes
critiques méridiennes (coque raidie) pour As:24cm2 , ns : 16
170
t @
r50
l,l0
1 æ
lm
1 1 0
t00
o
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o
âE: 2 àoo
B
oo
71b/vil
Chapitre III uoilement d,es coques cylindriques so,tr.s charges de type silo. L26
o
q)
ro
âE.Ëëoo
U4
(a) Euolution il,e Ia
rpars"or lmmjr 7 7s 8
contrainte criti,que en fonction de l'épaisseur t
(b) Euolution d,e la contrainte critique en fonction du rapport r f t
* Coqæ de 4 mètes de dianèùe. Section ôr raidisseurAs4Ecmr Nmbre de raldisseur ns=16.
7 73, t EJbFvn
(c) Eaolution d,e Ia contrainte critique en fonction ilu rapport b/t6t
Fig (3.42) Comparaison numéri,que et réglementaire des contraintes
critiques mériiliennes (coque raidi,e) pour As:48cm2, n" : 16
tE0
r70
t60
150
140
t æ
120
u0
O
o
I
âE.Ëëoo
o()
Conclusion générale 727
CONCLUSION GENERALE
L'objectif de ce travail est d'une part, I'analyse de I'effet de I'uniformité et de la
non-uniformité des pressions horizontales dues à la matière ensilée sur le comportement
d'une coque cylindrique parfaite non-raidie en élasticité linéaire, et d'autre part, l'étude
de la résistance au voilement des,coques cylindriques raidies verticaLement, sous charges
axisymétriques (pressions exercées par la matière ensilée dans le cas d'un remplissage ou
d'une vidange centrée).
L'étude analytique menée dans la première partie montre la distribution des sol[citations
dans les parois de la coque pour le cas de charge axisymétrique. Les résultats analytiques
de notre approche montrent une bonne concordance avec les résultats numériques obtenus
en utilisant Abaqus.
Cette analyse de comportement est complétée par l'étude de l'effet des charges non uni-
formes sur la distribution des coatraintes. Nous avons ainsi modélisé la structure dans
Abaqus en considérant d'une part les charges préconisées par I'Eurocode L et d'autre part
les pressions données par la base de Chartres. Les résultats obteuues montrent une flexion
importante des parois, localisée à un niveau donné du silo. Par conséquent le comporte-
ment membranaire évoqué dans le cas de charges axisymétriques n'est pas représentatif de
la situation réelle du silo.
Dans la deuxième partie concernant le voilement, nous avons choisi les actions préconisées
Conclusion générale L28
une étude paramétrique par voie numérique sur Abaqus. Les résultats de cette étude,
sont utilisées pour établir une formule semi-analytique de calcul de la contrainte ultime
résistante au voilement des coques raidies et non raidies longitudinalement. Elle fait in-
tervenir toutes les caractéristiques géométriques qui participent au niveau de la rigidité
d.e I'ensemble (coque-raidisseur), parmis lesquelles figure une épaisseur fictive qui prend
compte, l,amplitud.es des imperfections géométriques d'un" part, et la variation d'es actions
de frottement (frottement de la matière contre la paroi) sur toute la hauteur de la coque
d'autre part. La variation de la pression interne, suivant les formules générales des normes
est bien évidemment intégrée dans nos calculs.
La formule analytique que nous avons ainsi établi, peut être utilisée dans le calcul à l'état
limite d.e la stabilité d.es silos cylindriques raidis verticalement, encastrés à Ia base et
chargés symétriquement. Cette formule a I'avantage de tenir compte de la nature réelle
des charges agissant sur les parois de la structure'
En perspectives, nous envisageons un grand développement de cette formule, et
I,extension de son champ d'application aux silos reposant sur des poteaux, des silos avec
trémies, des silos soumis à des charges dissymétriques (vidange excentrée par exemple) et
des silos raid,is dans les deux sens avec la prise en compte des contraintes résiduelles.
Bibliograpltie L29
BIBLIORAPHIE
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Annexes 734
Annexe 1
Solution analytique de l'équation différentielle du quatrième ordre
[équation (2-6) Chapitre II]
On va chercher la solution de I'expression (2-6) on utilisant les étapes suivantes :
L'équation (2-6) est de la forme suivante:
(#++onv,): *l'".."+]où:
P"( r ) - Cs{1 -exp l -Cz(H - " ) ) } ; fQ) :C t {1 -exp l -C2(H - " ) l }
On pose :
1| , t : Ul?11," : 'L t r2 i luz,z - - Ug; 'L t rB,z: '1 t r4 i ' t l4 ,z : OtL ' l . lL + QQ)
QQ): *l'"ur-'+]On peut écrire cette dernière expression sous la forme suivante :
^ / " t \ / 0 100 \ / " r \ /0 \
*l::l :[ 3 3âîl[;: )*a("){3)\u4 / \ -aa o o o / \ " ; / \ r /
On pose :
,:Gl)
Anneaes 135
Donc :
AUA"
: AU + QQ)B
où:
A_ til; B_
On résoud d'abord. le système homogène # - AU qttt a coûlme solution :
U(z) - Us ù'exP(Az)
( Ut( r ) : ( I /o) r exP À12
^ ) Ut(") : (%), exp ),22-
) Ut(r) : (%)r exp À32
I Unç21 : (Uo)+exp ),az
Où À1, À2, )e etÀa sont les valeurs propres du vecteur A'
On va faire varier Us :
(j,i fi)
du duoI
: ffeænAz + UoAexp Az : AU + QQ)B
Aprés integration de cette expression Us ce met sous la forme suivante:
uo(") : B I
Q|).exp(-A.z)itz t c
D'ori la solution :
fu"(") : B
J A@.exp(-A(/ - z))dIf c. exp(A.z)
( U"r(") : c.ex ' \ t .z
. I U,zQ): c 'exPÀz'z=
\ u"r(") : c.eæp\z-z
lv"n(r) : I; Q@. exp(-Àa( I - z))dI I c'exp )'a'z
Anneaes 136
Àprés integration par partie d.e la dernière équation, en tenant compte des conditions
anx limites en z:0 (encastrement) et en z:H (bord libre) c.à.d.:
u,(o):w:oLa solution générale de I'expression (2-6) s'écrit sous la forme suivante :
u,(,) : .*p(#, lo *uft) - B "t"r#)] + # lr,u, . +]Les constantes A et B sont données par les expressions suivantes:
r1
) A:
4'11o'+Qct * vc1)lexP(-c2H) - 1l
l ' l
I r: -A- #1,t,*uc)1t,fi"*ec,H)]
Anneaes
Annexe 2
Résultats numériques du deuxième cas de vidange excentrée
paragraPhe 2.4 ChaPitre II
Dans cette annexe nous présentons les résultats numériques donnés par "Abaqus".
Ces résultats représentent les sollicitations liées à des charges dissymétriques. Ces charges
sont adoptées selon les résultats expérimentaux de la base de Chartres [34], elles sont
représentées sur la figure ci-dessous.
- È!rsi6
. " . " 'PFbt i l
. G{oédriæ 2
. ldatièæ silés -BLE'
r o r 3 0 € J 0
Pesios Br.[Én1
Z D É S
PeiætrNbI
137
c
€ 6
I
- l
o
6 6
. . - - - - -Proæog
t G€ûéralriæ I
. Matièrc æiléc ?LE-
t
6
e 6
-h8i6
-.-- . -- Froe@d
'G#EÈi@3
' MstièF æiléo
t o m ? o { o 5 o 6 0 æ
-Pr@id h
.. . ---- fusæd
t G&émtriæ4
t Marike æilée TLE"
kessio [kNrTn'l
l o É û ? l
Pssimt&NÉ41
pressi,on horizontale et acti,on d,e frottement selon les résultats expéri'mentn,uî
de la base ile Chartres ilans la cellule oC"
Annexes 138
2ld
3E
€tIJ
2fi
2æ
150
l0o
o 5 tocir"oof&*". 1.1tt
20
Fig (2.1) Variation d,e I'effort rnembranaire mériil,ien
zJ
oao
!!)
p
o
t
E00
rl00
0
-400
400
Fis (2.2)
5 lo cin"oof&.o." 1r1tt
Vari ati o n il e I' e ff o rt m emb r an ai,r e ci'r co nf ér en ci el
no
150
2 rooJ
€ s o, ô 0
-50
-t 00
-150
o 5 to*o**."r.rtt
F;g (2.9) Vari,ati,on ile I'effort mentbranaire de
20
cisaillement
Annexes 139
P
Ë îË à
Ë.8q Ë3 E
no
.|00
0
-1 00
-200
160
120
80
40
-40
40
-120
0 5 1 0 1 5 2 0Circonf&ence [m]
Fig (2.il Variation d,u rnoment rnernbranaire méridien
O ^
€ aE Z
6 9E EË Pa o6 e> '6
O ^
9 ZÈ v
E gE 9
E t gE ' 6È €
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5Circonférence [m]
Fig (2.5) Variation du rùonlent Tùernbr0'n0,i're circonférenciel
30
2A
t 0
0
-10
-æ
-30
Circonfâence [m]
Vo,rio,tion d,u moment membro'naire de cisaillementFis (2.6)
Annetes 140
a
q dt! ê.
E>8 o
o o
.ËFEgÉ E
Ltt0
100
50
0
-50
-100
-150
Fis (2.7)
5 1 0 1 5 2 0Circonférence [m]
Variati,on de Ia contrainte rnembranaire méridienne
80
60
Q
20
0
-20
4
{0
40
Ckconférence [n]
Fig (2.5) Variation d,e Ia contrainte membranaire circonférencielle
60
Q
m
0
ao
40
Cilconf&ence [m]
Fig (2.9) Variation d,e la contrainte membranaire de cisaillernent
.9a€ G
5 :H v
o eÉ IE g.EEE 6q oo . b
C ) o
o- = 6
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E 8o 9'Ë.95 0
5€
Anneaes 141
0.001
â s o.ooosq Éq q
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E o.oæ+ErE E o.oo.lz* ' âÈ 3 oË !
Èâ {.ooo2
{.0004
4.m06
o.001to 15
Circonférence [m]
0.0015
0.001
0.0005
{.0005
4.00.|
4.d)15 o' 5 1 0
Circonf&ence [m]
Fi,g (2.11) variation ile Ia d,éfornation rnembranaire circonférencielle
Fig (2.10) variation de la d,éfonnation mernbranaire méridienne
0 5 I u
Circonf&ence [m]
Fig (2.12) Variation d,e ta d,éformation rnembranaire d'e cisaillement
Annexes r42
o0o
:{l
Io
o
oI
B
60
æ
20
0
-æ
-4
60
3
I
0
-l
-2
:l
F
oa
I
Circonférence [n]
Fi,g (2.13) Variation du déplacenent circonférenciel
Circonférence [n]
Fig (2.1il Variation d,u d,éplacement rad,ial
Circonf&eoce [n]
Fig (2.15) Variation d,u iléplacement aaial
€x
o
oa6
8'
-+niva0Sn #niva3m -#uivauTm --Fuivæulljm
A\1-\ H li \ n"
A, À# NIAw\\ qV gt N# Y\y\
J\.rl V
\tl \l
\}8
Annetes L43
z
o
150
1q)
0
-50
-1æ
u* o'Circonférence [m]
Fig (2.16) Comparaison des rnornents 0,u niuel,u ile 0.5m
2&
160
8 8 0zd
f co-1 60
-2N
0
Fis (2.17)
5 1 0 1 5 ? o
Circonférence [m]
Comparaison iles mornents au niueau de
25
7rn
24
160
q 8 0zË 0
j -æ
-ldr
-240
0 5 1 0 1 5 â J 2 5
Circonférence [m]
Fig (2.15) Comparai,son iles mornents au ni,ueau de 11.5m
Anneaes 744
&)
@
4d
Ë, 20
oË 0€6 -20
4
{0
€00 5 1 0 1 5 2 0 2 5
Circonf&ence lmlFig (2.19) Cornparaison iles contraintes au niaeau d,e 0.5m
150
læ
50
0
-50
- lm
-lto à
Circonférence [m]Fig (2.20) Comparaison d,es contraintes au niueau de
Chconf&ence [m]Fig (2.21) Cornpariason iles contrai,ntes au ni,aeau ile 11.5m
25
7m
læ
â 5 0
=îE O
Q -50
-læ
Anneaes 745
Chconférence [m]Fig (2.22) Cornparaison des déform,o,tions 0,u niueau ile 0.5m
0.ær2
0.ææ
0.0æ4
0
{.0æ4
{.0æ8
4.0012
0.æl
0.0005
0
4.0005
0.001
I o.m5
ù)1 0H
4.0m5
4.æl 0L
Ckconf&ence [m]Fig (2.29) Cornparaison iles d,éfonnations 0,u niaeau de 7m
4.æ1 oL
Chconférence [m]
Fig (2.21) Comparaison iles d,éfonno,tions au niaeau d,e 11.5m
Annexes
Annexe 3 Présentation de la cellule 66Ct' en vraie grandeure de Chartres.
REPERAGE DES GÉNÉRATzuCES
L46
crixÉnhrnrcr r crlÉnhrrucez
10t65
8580
62gl
Jl48_--4W
28@
l7l6
8580
6Tn
51,18_--M
28æ
l7t6
ld66
8:t80
6Érl
5148--M
aû
t7t6tn
GEI{ERATRICE 3 GÉNÉRATRICE4
Anneaes L47
Annexe 4
Exemple de véritcation de la résistance dtune coque cylindrique
raidie verticalement, soumise à des charges de type 66silot'
Les caractéristiques géométriques ainsi que les conditions d'appuis de la coque cylin-
drique considérées dans cet exemtile sont les suivantes :
Haateur de Ia coque;2Hs = 14 m
Diamètre de Ia cellule; D = I m
Epaissew de la coqae ; t = 4 mm
Nornbre de raidisseur ; ns = 16
Section dzs raidisseur.i ,'A.t = 13.02c#
Rigidité des raidissews ,'13 = 83 5cm4
Conditions d'appuis :
Base encastrée-bord supérieur libre.
Cha,rses considérées :
Les charges (pression horizontale et action de frottement de la matière ensilée) agissant
sgr la paroi d.e la coque cylindrique sont données par la norme NF P22-630 et I'Eurocode
L. Elle sont regroupées da,ns le tableau 41.
Les raidisseurs considérés sont des demi-poutrelles HEB-100.
Le toit et d.tautres équipement annexes ne sont pas pris en compte dans cet exemple.( * )
( * )
Annetes 148
.hlauteurlm P,(z)-Nl f '(z)-NF P"(z)-EC.L F(z)-EC.10.000 22.t52 M.477 25.770 48.9241.250 20.918 36.585 24.638 40.2432.188 19.892 31.098 23.663 34.2083.125 L8.773 26.006 22.563 28.6064.063 17.549 2L.3L2 21.323 23.4435.000 16.2t4 77.042 19.925 18.746
tableau (4-1) pression'h,orizontale.(fkNlm2l).et somrne des actions d,e frottement (kNlml)
ile Ia mati,ère ensi,lée (BIé) selon les nortnes oCas d,e Remplissage centré".
Conditions de résistance
,r: P 1 ozrd.,c.R.r
Où " o"r4,c.R.I" est donnée par P.*Or.r.ron suivante :
( ,æ\ -n n^z A- (t + 4+)Czrd ' ,C.R. I :Min imumd'e{_r .oas.r" . ( ; ) - , . , " ,+ry*
t \ t / , \ /3( t - " " )
F" lMPal b[m Wor lmm ,b 71" lmm re f f .Ç.R.r lMPatr.t2 L.57 7.9r 0.94 / . d 48.2677.78 L.57 7.9L 0.94 7.8 48.2656.50 r.57 7.9L 0.94 7.8 48.2575.33 I . D { 7.91 0.94 7.8 48.2534.26 L.57 7.9t 0.94 7.8 48.2483.01 t .57 7.9L 0.94 7.8 48.24r
tableau (l-2)
Le tableau (42) montre que les contraintes sont largement vérifi.ées.
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