Lois de comportement pour le calcul de structures sous

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Loisdecomportementpourlecalculdestructuressouschargementcyclique:choixetinfluencesurlesréponses

asymptotiques

E.Charkaluk

LaboratoiredeMécaniquedesSolides,UMRCNRS7649EcolePolytechnique,Palaiseau

RésuméOnaborde ici lamodélisationducomportementélasto(visco)plastiquedematériauxenvuedeladéterminationdesréponsesasymptotiquesdestructuressoumisesàdeschargementscycliques. On insiste sur les concepts d’écrouissage, sur les effets liés à la structure(contraintesrésiduelles,écrouissagestructurel)etsurl’influencedecesdifférentsaspectssurles réponses asymptotiques. Même si le cadre est très général, tous ces aspects ont étéprincipalementdéveloppéspourlesmatériauxmétalliques.

Motsclés:écrouissage;adaptation;contraintesrésiduelles;structures1.IntroductionLaplupartdescritèresd’amorçageenfatigue,qu’ilssoientassociésàdelafatigueàgrandsoufaiblesnombres de cycles, supposent une réponse dite «stabilisée» de la structure, c’est à dire uneadaptation élastique ou une accommodation plastique, et c’est cette réponse qui est ensuiteanalysée [MOR 05, SOC 99]. De plus, il est bien connu qu’en fatigue, la présence de contraintesrésiduelles,héritéesleplussouventduprocédédefabrication,affecteconsidérablementlesduréesdevie.Ainsi,quecesoitpourladéterminationdeceschampsdecontraintesrésiduellesoupourladétermination des réponses asymptotiques, le dimensionnement de structures, a minimamétalliques, sous chargements cycliques fait généralement appel à une modélisationélasto(visco)plastiqueducomportementdumatériau.Onseplacedoncicidanslecadrerestreintdesmatériauxmétalliquesquiagénéralementdictélesmodèlesetconceptsdiscutés,maiscesdernierspeuventcependantsouventêtregénéralisésàd’autresclassesdematériaux.Danscecadre,si lesnotionsdecritèresetsurfacesdeplasticitésontdéjàtrèsanciennes(voir[LUB08] pour un large survol de la plasticité), les principaux travaux s'intéressant à la modélisationélastoviscoplastique du comportement des matériaux sous chargement cyclique ont réellementdébuté avec l'essor des industries nucléaire et aéronautique. On retiendra les travaux de Prager[PRA58], Armstrong et Frederick [ARM66], Lemaitre et Chaboche [résumés dans LEM85] sur lamodélisation de l'écrouissage, de Lemaitre [LEM71], Chaboche [CHA77], Cailletaud [CAI79],Sehitoglu[SEH89] sur les lois viscoplastiques à écrouissage cinématique et isotrope ou encore deCailletaud [CAI95] sur la généralisation de ces lois avec plusieurs potentiels de dissipation. D’unemanièregénérale,onpeutseréféreràLemaitreetChaboche[LEM85],Françoisetal.[FRA94]ainsiqu'àBessonetal.[BES01]pouruneprésentationgénéraleducadredemodélisation.

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2.Modélisationducomportementélasto(visco)plastique

2.1 CadregénéralDanstoutcequisuit,lecadregénéraldelaviscoplasticitéestretenu,laplasticitéenconstituantuncas limite. La modélisation du comportement élastoviscoplastique des matériaux suppose derépondre à deux questions[SUQ 04] : quand a lieu l’écoulement viscoplastique et comments’effectue-t-il?Laréponseà lapremièrequestionest liéeà lanotiondesurfaceseuil (oufonction,surfacedecharge,généralementnotée f )etlaseconderéponseestliée,poursimplifier,àlanotionde loi d’écrouissage faisant intervenir les déformations viscoplastiques. On a généralementl’habitudedes’appuyersurdescomportementscaractériséspardesloisnefaisantintervenirqu’uneseuledéformationviscoplastique[LEM85],maiscelan’estenrienrestrictif.L'écrouissage,quant à lui, est généralementdécomposéenunepart isotrope,qui correspondà lavariationdelatailledelasurfaceseuilaprèsdéformationetquiestunscalairesouventnoté R ,etenunepartcinématique,quicorrespondaudéplacementducentredelasurfaceseuildansl'espacedescontraintesetquiestuntenseursouventnoté X .Cecadrepermetalorsdeprendreencompte,

entreautresetplusoumoinsbien,leseffetsderochet[CHA91,OHN93]ouencoredevieillissementliés à des changementsmicrostructuraux [CAI79,NIC99, SMI99] par l'ajout de variables internes.Une synthèse très complète a été réalisée par Chaboche [CHA08]. L'ensemble des travauxprécédemmentcitésamontréque,danslecasgénéral,unereprésentationsuffisammentcomplèteducomportementplastiqueouviscoplastiquedenombreuxmatériauxmétalliquesfaisaitappelàunécrouissageisotropeetàunouplusieursécrouissagescinématiques,tousnonlinéaires.Nous nous plaçons cependant ici dans un cadre plus simple en découplant les modèles decomportementdeceuxassociésauxchangementsmicrostructuraux,à l’endommagement,etenneconsidérant pas explicitement les couplages physicochimiques (oxydation par exemple). Le cadreretenu,sousl’hypothèsedespetitesperturbations,correspondalorsauxhypothèsessuivantes.Letenseurdesdéformationstotalessedécomposedemanièreadditiveentroisparties:

ε = ε e +ε an +ε th [1]

où ε e , ε an , ε th sont respectivement les tenseurs de déformation élastique, anélastique et

thermique.La fonction de charge f choisie pour décrire la frontière du domaine élastique correspond ici aucritèredevonMises:

f = J2 A( )− R [2]

où J2 A( ) = 32A : A et A = dev σ( )− X . X est ici considéré purement déviatorique car la

déformationplastiqueestsupposées’effectuersanschangementdevolume.Danslecasdesmatériauxstandardsgénéralisés[HAL75],onpeutmontrerquelesloisd’écoulementanélastiques !ε an respectent alors la règle de normalité qui s’écrit sous la forme d'un scalaire, le

multiplicateurviscoplastique !λ ,portéparunedirectionnormaleàlasurfacedechargedansl’espacedesdéviateurs:

!ε an =!λAA

[3]

Dans le cas desMSG, cette relation découle de la définition de la surface de charge et la loi est diteassociée.Cetterelationestgénéraliséedanslecasdesmodèlesnonassociés.

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2.2 Modélisationdel’écrouissage

2.2.1Elastoplasticité

Ainsi,sousceshypothèses,unmodèledésormaisclassiquedeplasticitéàécrouissagescinématiqueetisotropenonlinéaires[LEM85]estdéfiniparleséquationssuivantes:

R = R0 + g p( )

!X = 23C !α avec !α = !ε an −

32γCX !p

⎧

⎨⎪

⎩⎪

[4]

oùC etγ sontlesparamètresliésàl’écrouissage,R0 estlalimited’élasticitéinitiale, g p( ) estune

fonction non linéaire de la déformation plastique cumulée définie par p = 23!ε an : !ε an

0

t

∫ dt et le

multiplicateur anélastique !λ est déterminé par la condition de cohérence vérifiée à tout instant,!f = 0 .Cemodèleestaujourd’huitrèslargementutilisédanslecalculdestructure,saprésencedanslaplupartdescodesdecalculparélémentsfinisenexpliqueenpartie lesuccès.Onpeuttoutefoisnoter son incapacité à représenter correctement les effets de rochet, c’est à dire de déformationprogressive de la structure.On pourra se reporter pour cela à [POR 00] qui fait une comparaisonintéressanted’uncertainnombredeloisd’écrouissageutiliséesdanscecasprécisetmontre,danslecas d’essaismultiaxiaux, l’influence considérable de la loi d’écrouissage sur les vitesses de rochetsimulées,comparéesauxrésultatsexpérimentaux.Cetyped’essai,nontrivial,peutdoncêtretoutàfaitpertinentetdiscriminantdanslechoixd’uneloid’écrouissage.2.2.2Elastoviscoplasticité

Demême,unmodèlesimpledeviscoplasticitéàécrouissagecinématiquelinéaireetàviscositénonlinéairedutypeNorton-Hoffseradéfiniparlegrouped’équationssuivant:

R = R0!X =C !ε an

!λ = 32

J2 A( )− RK

n

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

[5]

où K et n sont les paramètres liés à la viscosité et − sont les crochets de Mc Caulay qui

indiquent que u = u si u > 0 , sinon 0. Ces modèles de plasticité et de viscoplasticité sont

largementdiscutésdans[LEM85,BES01]etconstituentdespremièresétapesdanslamodélisationd’uncomportementanélastique.Ainsi,lecomportementdépendantounondemanièreévidentedela température et de la vitesse, des modèles élastoplastiques ou élastoviscoplastiques serontretenus.Parexemple,danslecasdelafatiguethermiqueàgrandnombredecyclesdestructuresenacier304soumisesàdestempératuresmaximalesinférieuresà300°C,unmodèleplastiquesemblesuffisantenvuede leurdimensionnement [AMI05]. Ilenestdemêmepourdes freinagesà faibleénergie sur des disques de freins en fonte [NGU02] qui entraînent des températures maximalesinférieures à 400°C. En revanche, dès que la température maximale devient très importante(moteurs automobiles, turbines terrestres ou aéronautiques, …), une modélisation viscoplastiques’imposeafindepouvoirprendreencompte,entreautres,leseffetsdelavitessededéformationoudu temps (fluage, relaxation) et, selon la complexité des comportements rencontrés, un modèle

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relativement simple comme celui présenté auparavant, associant viscosité non linéaire du typeNortonetécrouissagecinématiquelinéaire,peutêtresuffisant[CHA02].Cependant,untelmodèlepossède quelques limites liées, entre autres, à la modélisation de la viscosité ne permettant pastoujoursdereprésentercorrectementà lafois l’influencedelavitessededéformationet l’effetdutemps (fluage, relaxation).Danscecas, cesontgénéralement les loisd’écrouissageou lepotentielvisqueuxquisontenrichisdeplusieursmanièresdifférentes:- combinaisondeplusieursécrouissagescinématiques,- introduction de termes de restauration dans la loi d’écrouissage [BUC04]. Les lois

d’écrouissageutiliséesicisontalors:

R = R0 +Q 1− exp(−bp)( )

!X = 23C !α avec !α = !ε an −

32γCX !p− X

XJ2 (X)M

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟m

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

[13.7]

où M et m sont deux paramètres de restauration dépendant du matériau et de latempérature.

- définitiond’unnouveaupotentielvisqueux[SZM07],inspiréde[DYS98,CHA01]conduisantàl’écrituresuivantedumultiplicateuranélastique

!λ = !ε0 1+J2 A( )− R

H

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟sinh

J2 A( )− RK

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ [13.8]

où !ε0 ,H etK sonttroisparamètresdépendantdumatériauetdelatempérature.

Ces deux derniers exemples permettent de représenter le comportement viscoplastique dans unelarge gamme de sollicitations isothermes ou anisothermes, comme en témoignent la Figure 1,extraite de [BUC04]. On pourra se reporter à [CHA 09] pour plus d’éléments sur le calcul et ledimensionnementenfatiguethermique.

Figure 1. Comparaison entre modèle et résultats expérimentaux dans le cas d’essaisthermomécaniqueshors-phase(àgauche)eten-phase(àdroite)entre250°Cet850°CpourunacierF17TNb[BUC04].

2.3 Implémentationnumériqueetidentificationdesparamètres

Afind’implémenterdetelsmodèlesdecomportementdansuncodedecalculparélémentsfinis,unschéma implicite utilisant la technique du retour radial, proposée initialement par [NGU77] etdétailléedans[SIM98],peutêtreutilisé(voirdétailsdans[CON04a]).Ceschémapermetd'obteniruneconvergence rapideetune réponsemécanique inconditionnellementstable.D’autres schémassontprésentésdans[BES01].Ladernièreétapeavantdepouvoirréaliseruncalculdestructureestl’identificationdesparamètresconstitutifsdesmodèlesetce,éventuellement, sur toute lagammede température d’utilisation. Classiquement, cette identification est réalisée à partir d’essais

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uniaxiaux isothermes en minimisant une fonctionnelle coût [CON 04b], norme représentant un«écart»entrecourbesexpérimentalesetcourbessimulées,etce,enutilisantdifférentestechniquesd'optimisation comme des méthodes de gradient ou des algorithmes évolutionnaires [CON04b,AND07].

Figure2.ValléedeminimadelafonctioncoûtmontrantlecouplageentrelesparamètresvisqueuxKet m d’un modèle viscoplastique à écrouissage cinématique linéaire identifié pour un alliaged’aluminiumA356[CON04b].Cependant, comme le montre la Figure 2, les lois d’écrouissages viscoplastiques généralementchoisies et les techniques d’identification retenues conduisent non seulement et de manièreévidenteàlanonunicitédelasolution,maissurtoutàl’existencedevalléesdeminima.Unemanièreoriginale d’aborder cette question est alors de tenter d’identifier dans le comportementelastoviscoplastiqueretenu,ladissipationintrinsèqueetlapartd’énergiestockéedansl’écrouissagevia l’étudedescouplages thermomécaniquesdans le cadrede laThermodynamiquedesProcessusIrreverssibles[GER73].Uncertainnombredetravauxmontrealorsquelamesuredesvariationsdetempératuresouschargementscycliquesliéesauxcouplagesthermoplastiquespeutêtretoutàfaitdiscriminante[HAK05,VIN08].

Figure 3. Réponses asymptotiques obtenues sur un collecteur d’échappement sous chargementthermomécaniquecyclique[SZM07].

3.Calculsdestructure

3.1 Réponsesasymptotiques

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Commecelaaétésoulignédansl’introduction,onpeutrappelericiquel’approcheproposéeconsisteàdéterminerlaréponsemécaniquestabiliséedelastructure.C'estellequivaservirensuiteàdéfinirladuréedevieàl’aidededifférentscritèresd’amorçagedefissuresenfatigue.Onrappellequelesdifférentes réponses asymptotiques d’une structure sont l’adaptation élastique, l’accommodation(visco)plastiqueetlerochetetlacomplexitéd’unestructure(géométrie,chargement,etsurtoutloid’écrouissage retenue) peut entrainer localement des réponses très différentes (voir figure 3,extraitede[SZM07]).

3.2 CalculsdirectsAinsi,mêmesiellessontutiliséesici, lesméthodesincrémentalesclassiquesnesontpasforcémentles plus performantespour déterminer cette réponsepuisqu'elles nécessitent le calcul de tous lescyclesintermédiairesavantd'atteindrelecyclestabilisé.Unepremièresolutionconsisteàeffectuerdes«sautsdecycles» (cyclesskip) [NIC02].Desméthodesalternativespermettantdedéterminerdirectement cette réponse stabilisée peuvent également être envisagées, sous des hypothèsesrelativementrestrictivespourcertaines[ZAR90],ounon[MAI02,NGU02].Uneétudecomparativedediversesméthodesdecalcul,simplifiéesounon,aétéréaliséeparAmiableetal.[AMI05]etplusrécemmentpar[BAU16]quimontreenparticulierlapertinencedesméthodesdirectes.

Figure 4.Comparaisonentre calculs cycliquesdirects (DCA) et incrémentaux (INC)dans le casd’unchargementéquibiaxialsuruneéprouvetteplane[BAU16].

4.ConclusionCecoursabordel’élastoviscoplasticitésousl’angleducalculdestructures.Onretiendraqueleschoixqui sont faits quant aux lois d’écoulements viscoplastiques et aux lois d’écrouissage ont uneinfluence très importante sur les réponses asymptotiques des structures (adaptation,accommodation, rochet). Il est donc primordial de disposer d’essais de validation discriminants(multiaxiauxparexemple)et/oud’uncadredemodélisationplusrichecommelaTPIassociéeàdesmesures thermomécaniques. Des stratégies numériques alternatives aux calculs incrémentauxpeuventégalementêtremisesenœuvreafindedéterminerplusrapidement,voiredirectement,lesréponses asymptotiques des structures. C’est alors ces réponses qui seront analysées en vue dudimensionnementenfatigue.

RemerciementsAndrei Constantinescu, Habibou Maïtournam et Ky Dang Van pour les discussions toujourspassionnantessur lesconceptsd’adaptationetd’accommodationetLucRémypournos fructueuxéchangesdans le cadred’uncoursde fatigue thermique [CHA09]dontunepartiedece coursestextraite.

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Références

[AMI05] Amiable, S. «Prédiction de durée de vie de structures sous chargement de fatiguethermique»,Thèsedel'UniversitédeVersailles,Spécialité:Mécanique,2005.[AND07]Andrade-Campos,A.,Thuillier,S.,Pilvin,P.etTeixeira-Dias,F.,«Onthedeterminationofmaterial parameters for internal variable thermoelastic–viscoplastic constitutive models», Int. J.Plast.,vol.23,no.8,p.1349-1379,2007.[ARM66] Armstrong, P. J. et Frederick, C. O., «A mathematical representation of the multiaxialbaushingereffect»,BerkeleyNuclearLaboratories,1966.[BAU16]Baudoin,P.,Magisano,D.,Constantinescu,A.,Charkaluk,E.«Acriticalassessmentofthedirectcyclicmethodforfatiguedesign»,submitted,2016.[BES01] Besson, J., Cailletaud, G., Chaboche, J. L. et Forest, S., «Mécanique non linéaire desmatériaux»,Hermès,2001.[BUC04] Bucher, L., «Etude de l’endommagement en fatigue thermique des aciers inoxydablesF17TNB et R20-12 pour application automobile», Thèse de l’Ecole desMines de Paris, Spécialité:Mécanique,2004.[CAI79] Cailletaud, G., «Modélisationmécanique d'instabilitésmicrostructurales en viscoplasticitécycliqueàtempératurevariable»,Thèsedel’UniversitéParisVI,Spécialité:Mécanique,1979.[CAI95] Cailletaud, G. et Sa, K. «Study of platic/viscoplastic models with various inelasticmechanisms»,Int.J.Plast.,vol.11,p.991-1005,1995.[CHA77] Chaboche, J.L. «Viscoplastic constitutive equations for the description of cyclic andanisotropicbehaviourofmetals»,Bull.Acad.PolonaiseSci.,vol.25,n.1,p.33-42,1977.[CHA91]Chaboche,J.L.,«Onsomemodificationsofkinematichardeningtoimprovethedescriptionofratchetingeffects»,Int.J.Plast.,vol.7,p.661-678,1991.[CHA01] Chaboche, J. L. et Gallerneau, F., «An overview of the damage approach to durabilitymodelingatelevatedtemperature»,Fat.Fract.Engng.Mater.Struct.,vol.24,p.405-417,2001.[CHA02] Charkaluk, E., Bignonnet, A., Constantinescu, A. et Dang Van, K., «Fatigue design ofstructuresunderthermomechanicalloadings»,Fat.Fract.Engng.Mat.Struct.,vol.25,p.1199-1206,2002.[CHA08]Chaboche,J.L.,«Areviewofsomeplasticityandviscoplasticityconstitutivetheories»,Int.J.Plast.,vol.24,p.1642–1693,2008.[CHA09]Charkaluk,E.,Rémy,L.,«Lafatiguedesmatériauxetdesstructures-volume4,chapitreLafatiguethermique»,pages301–370.Hermes-Lavoisier,2009.[CON04a] Constantinescu, A., Charkaluk, E., Lederer, G. et Verger, L., «A computationalthermomechanicalfatiguedesignmethod:applicationtoexhaustmanifolds»,Int.J.Fat.,vol.26,p.805-818,2004.[CON04b] Constantinescu, A. et Dang Van, K., «A global computational approach in engineeringproblems-Identificationoffatigue»,Lecturenotes10,IPPTPANandCoEAMASpub.,2004.[DYS98] Dyson, B.F. et McLean, M., «Microstructural evolution and its effects on the creepperformance of high temperature alloys», In:Microstructural stability of creep resistant alloys forhightemperatureplantapplications,Strang,A.,Caxley,J.etGreenwood,G.W.,Inst.Mater.,London,p.371-392,1998.[FRA94] Francois,D., Pineau,A. et Zaoui,A., «Comportementmécaniquedesmatériaux - vol II»,Hermès,1994.[GER 73] Germain, P., «Cours de mécanique des milieux continus, tome 1 : théorie générale »,Masson,1973.

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[HAK 08] Hakansson, P., Wallin, M., Ristinmaa, M., «Comparison of isotropic hardening andkinematichardeninginthermoplasticity»,Int.J.Plast.,vol.21,p.1435-1460,2005.[HAL75]Halphen,B.etNguyen,Q.S.,«Surlesmatériauxstandardsgénéralisés»,J.Mécanique,vol.14,p.39-63,1975.[LEM71]Lemaitre,J.,«Sur ladeterminationdes loisdecomportementdesmatériauxelasto-visco-plastiques»,PublicationONERAN°135,1971.[LEM85]Lemaitre,J.etChaboche,J.L.,«Mécaniquedesmatériauxsolides»,Dunod,Paris,1985.[LUB08]Lubliner,J.,«Plasticitytheory»,Dover,2008.[MAI02]Maïtournam,H.,Pommier,B.etThomas,J..J.,«Déterminationdelaréponseasymptotiqued'unestructureanélastiquesouschargementthermomécaniquecyclique»,C.R.Mécanique,vol.330,p.703-708,2002.[MOR05]Morel,F.,Henaff,G.,«Fatiguedesstructures»,Ellipses,2005.[NGU77]Nguyen,Q.S.,«Ontheelasticplasticinitial-valueproblemanditsnumericalintegration»,Int.J.Num.Meth.Engng.,vol.11,p.817-832,1977.[NGU02] Nguyen-Tajan T.M.L., «Modélisation thermomécanique des disques de frein par uneapprocheeulérienne»,Thèsedel’EcolePolytechnique,Spécialité:Mécanique,2002.[NIC99] Nicouleau-Bourles, E., «Etude expérimentale et numérique du vieillissement d'un alliaged'aluminium.Applicationauxculassesautomobiles»,Thèsedel’EcoledesMinesdeParis,Spécialité:Mécanique,1999.[NIC02] Nicouleau, E., Feyel, F., Quilici, S. et Cailletaud, G., «Structural calculation and lifetimeprediction in thermomechanical fatigueofenginecomponents», In:L.RemyandJ.Petit,Editor(s),European Structural Integrity Society, Elsevier, Volume 29, Temperature-fatigue Interaction,InternationalConferenceonTemperature-FatigueInteraction,NinthInternationalSpringMeeting,p.331-340,2002.[OHN93]Ohno,N.etWang,J.D.,«Kinematichardeningruleswithcriticalstateofdynamicrecovery,Part I: formulation and basics features for ratcheting behaviour», Int. J. Plast., vol. 9, p. 375-390,1993.[POR00]Portier,L.Calloch,S.Marquis,D.,Geyer,P.,«Ratchettingundertension-torsion loadings:experimentsandmodelling»,Int.J.Plast.,vol.16,p.303-335,2000.[PRA58]Prager,W.,«Problèmesdeplasticitéthéorique»,Dunod,Paris,1958.[SEH89] Sehitoglu, H., «Changes in state variables at elevated temperatures», J. Eng. Mater.Technol.,Trans.ASME,vol.111,p.192-203,1989.[SIM98]Simo,J.C.etHughes,T.J.R.,«Computationalinelasticity»,Springer-Verlag,1998.[SMI99] Smith, T.,Maier,H.J., Sehitoglu,H., Fleury, E. etAllison, J., «Modellinghigh-temperaturestress-strainbehaviorofcastaluminumalloys»,Met.Mat.Trans.,vol.30A,p.133-146,1999.[SOC99]Socie,D.,Marquis,G.,«Multiaxialfatigue»,SAEInternational,1999.[SUQ04]Suquet,P.,«Ruptureetplasticité»,coursdel’EcolePolytechnique,2004[SZM 07] Szmytka, F., «Nouveaux modèles de comportement élasto-viscoplastique pour desmatériaux métalliques. Application au dimensionnement de structures automobiles », Thèse del’EcolePolytechnique,Spécialité:Mécanique,2004[VIN 08] Vincent, L., «On the ability of some cyclic plasticity models to predict the evolution ofstoredenergyinatype304Lstainlesssteelsubmittedtohighcyclefatigue»,Eur.J.Mech./A,vol.27,p.161-180,2008.[ZAR90]Zarka,J.,Frelat,J.,Inglebert,G.etKasmai-Navidi,P.,«Anewapproachininelasticanalysisofstructures»,EcolePolytechnique,1990.