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Lycee Thiers MPSI

RÉVISIONS DE MATHÉMATIQUES POUR LA RENTRÉE 2012

L’objectif de ce travail de vacances est de vous permettre d’aborder au mieux votre année de MPSI. Il s’agit,autour de thèmes précis, évitant ainsi toute dispersion inutile, d’effectuer un travail profond, de consolider desconnaissances de Première et Terminale et de vous maintenir en "éveil mathématique".

Ce travail n’a de sens que si vous le faites en allant au fond des choses, aussi bien pour le cours que pourles exercices : ne laissez rien vous échapper, notez soigneusement les questions qui restent en suspens pour larentrée ...

Il ne s’agit pas d’expédier le tout en une journée ! Au contraire : prenez le temps de la réflexion. Nous voussuggérons, après une petite coupure bien méritée, d’alterner le repos et les loisirs avec les révisions, c’est decette façon que vous préparerez le mieux la rentrée.

La première partie est un résumé de quelques notions de cours de Terminale qu’il est indispensable de maîtriserà la rentrée. La deuxième partie est une série d’exercices obligatoires en rapport avec ces notions.

Un corrigé sera mis en ligne sur le site du Lycée Thiers à compter du 1er août. Attention, utilisez-le correctement !

î Une interrogation écrite commune aux trois MPSI permettra de faire un bilan de ces révisions. Elle aura lieudès la rentrée des classes.

M. Clary, M. Dakhli, M. Adad, professeurs de mathématiques de MPSI

Quelques primitives usuelles

Dans le tableau ci-dessous, on désigne par I un intervalle de R et par F une primitive particulière de lafonction f sur l’intervalle I. Les autres primitives s’en déduisent en ajoutant une constante arbitraire.

f (x) F (x) Condition

xn xn+1

n + 1I = R et n ∈N

xn xn+1

n + 1I ⊂ R? et n entier négatif, n , −1

1x

ln |x| I ⊂ R?

ln (x) x ln (x) − x I ⊂ ]0,+∞[

ex ex I = R

sin (x) − cos (x) I = R

cos (x) sin (x) I = R

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Trigonométrie

Pour les fonctions cos et sin, les propriétés de continuité, dérivabilité, variations, parité / imparité,périodicité, etc... doivent être connues. En outre :

(1) Formule fondamentale de la trigonométrie circulaire :

∀x ∈ R, cos2(x) + sin2(x) = 1.Quelle est la signification géométrique de cette formule ?

(2) La fonction cos est 2π-périodique, paire, et pour tout x ∈ R :

cos (π+ x) = − cos(x); cos (π− x) = − cos(x); cos(π2+ x

)= − sin(x); cos

(π2− x

)= sin(x)

(3) La fonction sin est 2π-périodique, impaire, et pour tout x ∈ R :

sin (π+ x) = − sin(x); sin (π− x) = sin(x); sin(π2+ x

)= cos(x); sin

(π2− x

)= cos(x)

Sauriez-vous illustrer les formules des points (2) et (3) à l’aide du cercle trigonométrique ?

(4) Cas d’égalité du cosinus et du sinus :

cos(a) = cos(b)⇐⇒

a ≡ b mod 2π

oua ≡ −b mod 2π

sin(a) = sin(b)⇐⇒

a ≡ b mod 2π

oua ≡ π− b mod 2π

Ces propriétés sont notamment utiles pour résoudre certaines équations (cf. par exemplel’exercice n° 3).La notation a ≡ b mod 2π signifie qu’il existe un entier k tel que a− b = 2kπ.Sauriez-vous interpréter ces propriétés à l’aide du cercle trigonométrique ?

(5) Formules d’addition. Elles sont à savoir par cœur :

(a) cos (a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)

(b) sin (a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

(c) cos (a− b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

(d) sin (a− b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)

Sauriez-vous déduire (c) et (d) de (a) et (b) ?

(6) Les formules suivantes sont à connaître :

(a) Formules de duplication :

cos (2a) = cos2(a) − sin2(a) = 2 cos2(a) − 1 = 1− 2 sin2(a)

sin (2a) = 2 sin(a) cos(a)

(b) Formules de linéarisation :

cos2(a) =12(cos (2a) + 1) ; sin2(a) =

12(1− cos (2a))

Sauriez-vous les déduire de ce qui précède ?

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(7) Formules de transformation de produit en somme. Elles sont, tout comme les précédentes, àconnaître par cœur :

(a) cos (a) cos (b) =12(cos (a + b) + cos (a− b))

(b) sin (a) sin (b) =12(cos (a− b) − cos (a + b))

(c) sin (a) cos (b) =12(sin (a + b) + sin (a− b))

Sauriez-vous établir ces formules ?

(8) Enfin, pour tout (x, y) ∈ R2 tel que x2 + y2 = 1, il existe un réel α (est-il unique ?) tel que : x = cos(α)y = sin(α)

Comment interpréter graphiquement cette propriété ?

(9) Les fonctions cos et sin sont dérivables sur R et :

cos′ = − sin; sin′ = cos

(10) Deux limites remarquables :

sin (x)x

−→x→0

1;cos (x) − 1

x2 −→x→0−

12

Sauriez-vous les démontrer ?

Nombres complexes

(1) Si z = x + iy est un nombre complexe sous forme algébrique (x, y sont réels), on appelleconjugué de z le nombre complexe x− iy ; il est noté z.

(2) Etant donné un nombre complexe z, zz est un réel positif et on appelle module de z le réelpositif :

| z |=√

zz

(3) Pour θ ∈ R, on note eiθ le nombre complexe cos(θ) + i sin(θ).

(a) eiθ est un nombre complexe de module 1.

(b) ei0 = 1

(c) Pour θ ∈ R :

eiθ = cos(θ) − i sin(θ) =1

eiθ

(d) Pour tous θ,θ′ ∈ R :eiθ eiθ′ = ei(θ+θ′)

Sauriez-vous justifier chacune des quatre affirmations ci-dessus ?

(4) Pour tout θ ∈ R on a les formules d’Euler :

cos(θ) =12

(eiθ + e−iθ

)sin(θ) =

12i

(eiθ− e−iθ

)Sauriez-vous les établir ?

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Formules diverses

(1) Pour (n, p) ∈N2 et 0 6 p 6 n, on note : np

= n!p! (n− p)!

,

que l’on lit “p parmi n”. Une ancienne notation (désormais inutilisée) : Cpn.

(2) Soit (n, p) ∈N2 tel que p 6 n.

(a)

np

= nn− p

.

(b) Si de plus 1 6 p 6 n− 1,

np

= n− 1p

+ n− 1p− 1

.

(c) Les + utilisées : n0

= nn

= 1 ;

n1

= nn− 1

= n

n2

= nn− 2

= n (n− 1)2

(3) Formule du binôme de Newton . Soient a, b ∈ C et n ∈N :

(a + b)n =

n0

an +

n1

an−1b + . . .+

nk

an−kbk + . . .+

nn

bn

(4) Soient a, b ∈ C et n ∈N :

an− bn = (a− b)

(an−1 + an−2b + . . .+ abn−2 + bn−1

)(5) Si a est un nombre complexe différent de 1 et n un entier naturel, alors :

1 + a + . . .+ an =1− an+1

1− a

(6) Si n est un entier naturel non nul, alors :

1 + 2 + . . .+ n =n (n + 1)

2

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EXERCICES OBLIGATOIRES

Quelques recommandations :

(1) Ne vous servez pas de votre calculette ni d’un quelconque formulaire lors de la phase de recherche desexercices.

(2) Utilisez éventuellement votre calculette comme outil de contrôle, à l’issue de phase de recherche, aprèsavoir vérifié et re-vérifié vos calculs à la main.

(3) Rédigez avec soin, en essayant d’être à la fois concis et précis.

(4) En cas de blocage, passez à une autre question puis reprenez un peu plus tard l’exercice récalcitrant ...Le cerveau travaille bien souvent en arrière-plan.

Exercice 1. Expliciter, en détaillant au maximum :

cos(π8

), cos

(3π8

), cos

(5π8

), cos

(7π8

), cos

(9π8

), sin

(π8

)Exercice 2. Calculer de deux façons le cosinus et le sinus de

π12

:

(1) avec une formule d’addition, en remarquant queπ12

=π3−π4

,

(2) avec une formule de duplication, en remarquant queπ6= 2×

π12

.

Calculer alors cos(5π

12

)puis cos

(π24

).

Exercice 3. Résoudre dans R chacune des cinq équations suivantes :

sin (3x) =12

; cos (2x) = −√

32

; sin (x) = sin(π4− 3x

)cos (2x) = cos

(π5+ x

); sin2 (x) =

1

2√

3cos (x)

Reprendre ensuite les trois premières équations en les résolvant cette fois dans [0, 2π] .

Exercice 4. Voici encore quelques formules de trigonométrie à connaître ! On les appelle “formulesde transformation de sommes en produits”. Sauriez-vous les établir ?

(1) sin(p) + sin(q) = 2 sin(p + q

2

)cos

(p− q2

)(2) sin(p) − sin(q) = 2 cos

(p + q2

)sin

(p− q2

)(3) cos(p) + cos(q) = 2 cos

(p + q2

)cos

(p− q2

)(4) cos(p) − cos(q) = −2 sin

(p + q2

)sin

(p− q2

)Exercice 5. Etudier, pour x ∈ [0, 2π] , le signe de chacune des expressions suivantes :

f1 (x) = sin (x) + sin (2x)

f2 (x) = cos (x) − cos (3x)

f3 (x) = sin (x) +12

sin (3x)

Pour f1 et f2, on pourra utiliser l’exercice précédent. Pour f3, on pourra transformer l’expression enun polynôme en sin (x) .

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Exercice 6. Etudier et représenter graphiquement sur [0, 2π] les fonctions g1 et g2 définies par :

g1 (x) = sin (x) +13

sin (3x)

g2 (x) =sin (x)

2 + cos (x)Montrer que leurs graphes sont tous deux symétriques par rapport au point de coordonnées (π, 0) .

Exercice 7. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur R par :

f1 (x) = sin (3x) ; f2 (x) = cos2 (3x)

f3 (x) = x3 sin (x) ; f4 (x) =sin (x)

3 + cos2 (2x)

f5 (x) =√

3 + sin2 (x) ; f6 (x) = sin2(x2

)Exercice 8. Déterminer les sept limites suivantes :

limx→0

sin (2x)3x

; limx→0

ln (1− x)x

; limx→0

sin (2x)ln (1 + x)

; limx→+∞

sin (2x)ln (1 + x)

limx→−1+

sin (2x)ln (1 + x)

; limx→π

sin (2x)sin (3x)

; limx→+∞

x sin(1x

)Exercice 9. Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :

A =5− 3i1 + i

, B = (2− i)3 , C =

(−

12+ i√

32

)12

, D =1

32(1 + i)12 , z =

A + BC + D

Exercice 10. Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :

u =√

3− i; v = (1 + i)12 ; w =(1 + i

√

3)7

Exercice 11. On définit les nombres réels A et B par les égalités :

A = cos(π7

)+ cos

(3π7

)+ cos

(5π7

)B = sin

(π7

)+ sin

(3π7

)+ sin

(5π7

)(1) En considérant au préalable le nombre complexe A + iB, calculer explicitement A.

(2) Retrouver le résultat précédemment obtenu en étudiant 2A sin(π7

).

Exercice 12. Etablir les deux formules suivantes (qui sont fondamentales et à connaître par cœur.) :

Pour tout n ∈N et tout q ∈ C− {1} :n∑

k=0

qk =1− qn+1

1− q

Pour tout n ∈N? :n∑

k=1

k =n (n + 1)

2

Exercice 13. Prouver, pour tout n ∈N?, chacune des formules :n∑

k=1

k2 =n (n + 1) (2n + 1)

6;

n∑k=1

k3 =n2 (n + 1)2

4

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Exercice 14.

(1) Etablir la “formule de Moivre” :

pour tout θ ∈ R et tout n ∈N,(eiθ

)n= einθ

(2) Application :

(a) Exprimer cos (3θ) en fonction de cos (θ) .

(b) Exprimer sin (3θ) en fonction de sin (θ) .

(c) Exprimer cos (4θ) en fonction de cos (θ) .

(d) Exprimer sin (4θ) en fonction de sin (θ) et de cos (θ) .

(e) Retrouver directement les formules obtenues aux points (a), (b), (c) et (d) à l’aide desformules d’addition.

Exercice 15. Calculer toutes les primitives de chacune des fonctions suivantes, définies par :

v1 (x) = sin (3x) ; v2 (x) = cos2 (3x)

v3 (x) = x3 sin (x) ; v4 (x) = sin (x) cos4 (x)

v5 (x) =sin (x)

cos2 (x); v6 (x) =

sin (x)cos (x)

sur]−π2

,π2

[

T�h�a�t'�� A�l�l, F�o�l�k�� !