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Mathématiques et signal
François Goudail (“signaux certains”)
Equipe pédagogique :
Travaux dirigés + TPJulien DespresVincent Lienhard
Clemence Briosne-Fréjaville
Luis Trigo
Matthieu Boffety (“variables aléatoires”)
Qu’est-ce qu’un signal ?C’est un grandeur physique qui varie dans le temps ou dans l’espace.
I. Introduction : qu’est-ce qu’un signal
Cette variation transporte une information
Intensité de la lumière réfléchie par la scène
Distribution de température
Electrocardiogramme
• Variation dans le temps
• Variation dans l’espace :
Grandeur physique ?
Qu’est-ce que le traitement du signal ?
Extraire l’information transportée par le signal
Exemple : Le radar Signal émis(modulé par une « porteuse »)
Signal reçu (atténuation en 1/d4)
Estimation de la distance :
t0
Traitement du signal
te
d= c (te-t0) / 2
d
I. Introduction : qu’est-ce qu’un signal
Articulation avec les autres cours
• En physique : la notion de bruit est essentielle.
• Signaux certains
Variables aléatoires : Matthieu Boffety
Ex : radar
(ou déterministes) ?
Le signal reçu par un radar est imprédictible : il ne peut pas être représenté par une fonction déterministe. On doit utiliser le concept de variable / fonction aléatoire.
Signaux représentés par une fonction « déterministe » du type )(tft
CR→→
I. Introduction : qu’est-ce qu’un signal
2° semestre : Traitement du signalComment extraire l’information d’un signal ?
Nouveaux concepts pour représenter et analyser les signaux
• Notions d’analyse fonctionnelle• Nouvelle définition de l’intégration, espaces fonctionnels
• Espaces de Hilbert : représentation des signaux à énergie finie
• Transformée de Fourier !
• Opérations sur les signaux : convolution, corrélation
Objectifs du cours de signaux certains
• Dans de nombreux cas, la notion de fonction n’est pas adaptée pour représenter un signal (ou, plus généralement, une grandeur physique)
Ex : signaux discontinus, échantillonnés, à énergie infinie.
Théorie des distributions
• Signaux échantillonnés (à temps / espace discret)
I. Introduction : qu’est-ce qu’un signal
Calendrier du cours
• Le domaine couvert par le cours de signaux certains est immense !
Quelques remarques
• Certaines notions (analyse fonctionnelle, …) seront à peine abordées. L’objectif est de vous montrer qu’elles existent, et donner des pistes pour ceux qui voudront, ou devront aller plus loin.
Les mathématiques ne sont pas seulement un outil. C’est le langage de la physique.
Ce langage, vous l’avez déjà beaucoup étudié. Il vous reste simplement à compléter votre vocabulaire !
• D’autres sont des concepts indispensables à l’ingénieur : transformée de Fourier, convolution, distributions, …
I. Introduction : qu’est-ce qu’un signal
Plan du cours
I. Introduction : qu’est ce qu’un signal ?
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
III. La transformée de Fourier des fonctions
IV. Convolution et corrélation
V. Distributions
VI. Signaux échantillonnés
VII. Transformée de Fourier discrète, éléments d’analyse spectrale
I. Introduction : qu’est-ce qu’un signal
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.1. Intégration
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.3. Espaces fonctionnels
II.2. Propriétés de l’intégrale de Lebesgue
II.4. Espaces de Hilbert et bases de fonctions
II.1 IntégrationII.1.1 Introduction : Qu’est-ce qu’une intégrale ?
C’est une application qui à une fonction associe un nombre. On appelle cela une fonctionnelle.
• Intégrale de Riemann :
[ ]0xx
xxbxxa
ni1i
1iiin1
→−
∈<<<<
+∞→+
+,, ξ
( ) ( )( )∑∫=
++∞→−=
n
1ii1iin
b
a
xxfdxxf ξlim
• Autre approche de l’intégration : Au lieu de découper l’axe des x en tranches, on découpe l’axe des y.
avec
Il faut que la fonction f(x) soit suffisamment régulière (nombre fini de discontinuités)
( ) ( )∫ ∑=
+∞→=
n
iiin
Edxxf1
lim µϕ
xi xi+1ξi
ϕi
ϕi+1
ϕ1...
Ei
Il faut définir la « mesure » de l’ensemble Ei des valeurs de x
correspondant à ϕi < f(x) < ϕi+1
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.1 IntégrationII.1.2 Mesure
Il faut définir la « mesure » d’une partie d’un ensemble.
II.1.2.a Tribu :
Soit Ω un ensemble et F une famille de parties de Ω. F est une tribu si :
a) F est non vide
c) Quel que soit ,ensemble dénombrable d’éléments de F,
b) Si P est un élément de F, son complémentaire aussi
NiiP ∈FP
1ii ∈
+∞
=
II.1.2.b Tribu de Borel:
Considérons l’ensemble des intervalles de R du type ] [ Raa ∈∞− ,,
La tribu de Borel est la tribu engendrée par cet ensemble, c’est-à-dire, la plus petite tribu contenant cet ensemble
La tribu de Borel contient tous les intervalles ouverts et fermés, ainsi que tous les éléments de R. Tout sous-ensemble de R d’usage courant appartient donc à cette tribu.
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
b) La mesure d’une réunion dénombrable de parties disjointes est la somme des mesures de chacune des parties .
II.1 IntégrationII.1.2.c Mesure :
Soit Ω un ensemble muni d’une tribu B. On appelle mesure µ sur la tribu B toute application faisant correspondre à chaque élément P de B un scalaire, réel ou complexe, noté µ(P), telle que
( )∑+∞
=
+∞
=
=
1ii
1ii PP µµ
Exemple : Mesure de Lebesgue sur R
Considérons la tribu borélienne. On définit la mesure de Lebesgue de l’intervalle ]a,b[ par : ] [( ) abba −=,µ
- Tout élément isolé est de mesure nulle.
On remarque que :
a) La mesure de l’ensemble vide est nulle : ( ) 0=∅µ
,,,,,, jiPPP ji21ii ≠∅=∩∀ ∞=
- Cette mesure est invariante par translation. On montre que c’est la seule.
- Tout ensemble dénombrable d’éléments de R est de mesure nulle. Rx ∈
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.1 IntégrationII.1.3 L’intégrale de Lebesgue
La notion de mesure va nous permettre de donner une nouvelle définition de l’intégrale d’une fonction.
II.1.3.a Fonction mesurable :Soit Ω un ensemble muni d’une tribu B, et Ω‘ un autre ensemble muni d’une tribu B’.
est dite mesurable si l’image réciproque de toute partie P’ de B’ est une partie P de B.
( ) BPfPBP 1 ∈=∈∀ − ',''L’application f(x) :
)('xfx →
→ ΩΩ
Image réciproque de P’
'PNB : toutes les fonctions qu’on rencontre en physique sont mesurables.
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
( )'Pf 1−
II.1 IntégrationII.1.3.b Intégrale :
• Fonction étagée : fonction prenant un nombre fini de valeurs distinctes positives.
( )∑=
=n
1iEi xCxf
iϕ)(
Nous allons définir l’intégrale d’une fonction mesurable, en commençant par les fonctions pour lesquelles c’est facile. On en déduira l’intégrale d’une fonction quelconque par passage à la limite.
( ) ∈
=sinon0
Exsi1xC i
Eiavec
Fonction caractéristique de Ei
L’intégrale d’une fonction étagée est définie par:
( )∑∫=
=n
1iii Edf µϕµ
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
iϕ
iE
II.1 IntégrationII.1.3.b Intégrale :
• Fonction étagée : fonction prenant un nombre fini de valeurs distinctes positives.
( )∑=
=n
1iEi xCxf
iϕ)(
Nous allons définir l’intégrale d’une fonction mesurable, en commençant par les fonctions pour lesquelles c’est facile. On en déduira l’intégrale d’une fonction quelconque par passage à la limite.
( ) ∈
=sinon0
Exsi1xC i
Eiavec
Fonction caractéristique de Ei
L’intégrale d’une fonction étagée est définie par:
( )∑∫=
=n
1iii Edf µϕµ
• Fonction mesurable réelle positive :On peut montrer que toute fonction de ce type est la limite d’une suite croissante de fonctions étagées. On définit son intégrale par :
∫∫ = µΦµ ddf sup Borne supérieure des intégrales de l’ensemble des fonctions étagées Φ telles que f0 ≤≤Φ
Φ (x)
f (x)
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.1 Intégration• Fonction réelle quelconque
On la décompose en partie réelle et imaginaire :
−+ −= fff 0fet0f ≥≥ −+avec
Son intégrale est définie par : ∫∫∫ −+ −= µµµ dfdfdf
• Fonction à valeurs complexes :
ir fiff += ∫∫∫ +=⇒ µµµ dfidfdf ir
• Fonction sommable : on dit qu’une fonction f(x) est sommable (ou intégrable) si
(a) f(x) est mesurable (b) est fini. ∫ µdf
• NB 1 : Cette définition de l’intégrale est relative à une mesure. Si la mesure utilisée est celle de Lebesgue, on parle d’intégrale de Lebesgue.
• NB 2 : Cette définition permet de définir l’intégration sur des espaces « amorphes »
On la décompose en partie positive et négative :
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.1 Intégration• On a défini un nouveau type d’intégrale. Problème : elle est définie par une limite. Comment la calculer ?
Pas de panique !
• Relations entre l’intégrale de Riemann et celle de Lebesgue1. Toute fonction f(x) bornée, nulle en dehors d’un intervalle [a,b], est intégrable au sens de Lebesgue. Si, de plus, son intégrale de Riemann existe, les deux intégrales sont égales.
2. Toute fonction f(x) non négative, intégrable au sens de Riemann, est intégrable au sens de Lebesgue et les deux intégrales sont égales.
3. Un fonction intégrable au sens de Lebesgue peut ne pas l’être au sens de Riemann.
L’intégrale de Lebesgue est une généralisation de l’intégrale de Riemann
• Exemples.
Pour qu’une fonction soit sommable (au sens de Lebesgue), il faut que l’intégrale de son module existe : pas d’intégrales « semi-convergentes ».
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.2 Propriétés de l’intégrale de Lebesgue
• Propriété 1 : linéaritéSoient f et g deux fonctions sommables et λ un scalaire, réel ou complexe.
L’ensemble des fonctions sommables forme un espace vectoriel, appelé L1.
Alors les fonctions f+g et λf sont sommables, et on a :
( ) ∫∫∫ +=+ µµµ dgdfdgf ∫∫ = µλµλ dfdfet
L’intégrale de Lebesgue est une fonctionnelle (ou forme) linéaire sur L1
• Propriété 2 : Soit f une fonction mesurable non négative. Pour que , il faut et il suffit que f(x) soit nulle presque partout.
0dxf =∫Sauf sur un ensemble de mesure nulle.
Corollaire : Si f et g sont presque partout égales, et si f est sommable, alors g est sommable et ∫∫ = dxgdxf
On définit la relation d’équivalence : partoutpresquegfgf =⇔ℜ
L’ensemble des classes d’équivalence définies par cette relation forme l’espace vectoriel L1.
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
(b) est différentiable pour presque tout x
• Propriété 3 : Pour qu’une fonction f soit sommable, il faut et il suffit que |f| le soit. On a : ∫∫ ≤ dxfdxf
• Propriété 4 : Théorème de la convergence dominéeSoit fn une suite de fonctions convergeant simplement, presque partout vers f. S’il existe une fonction g sommable telle que )()(, xgxfn n ≤∀
Alors f est sommable et on a : ∫∫ =+∞→
dxfdxfnnlim
• Propriété 5 : Dérivation sous le signe somme.(a) est sommable
),( yxfy →
Soit la fonction
Si :∫= dxyxfyF ),()(
(c) Il existe une fonction sommable g(x) telle que
),(, yxfxIy →∈∀
)(),(, xgyxyfIy ≤
∂∂
∈∀
Cette formule permet d’intervertir la limite et l’intégrale.
Alors F(y) est différentiable sur l’intervalle I et on a : ∫ ∂∂
= dxyxyfyF ),()('
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.2 Propriétés de l’intégrale de Lebesgue
Un espace fonctionnel est un ensemble Ω de fonctions. On le supposera muni d’une structure d’espace vectoriel (e.v.).
• Norme : Application possédant les propriétés suivantes:ff
R→→ +Ω
(a) 0f0f =⇔= (b) ffC λλλ =∈∀ ,
(c) gfgfgf +≤+∈∀ ,, Ω Inégalité triangulaire
• Ex. : Peut-on définir une norme sur L1 ? ∫= dxff
-> Cette application ne vérifie pas la propriété (a) sur L1
-> En revanche, elle la vérifie si on considère les classes d’équivalences de fonctions égales presque partout ! Cet ensemble sera appelé L1. -> L1 est un espace vectoriel normé.
On montre également que L1 est un e.v. complet (toute suite de Cauchy converge). C’est un espace de Banach
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.3 Espaces fonctionnels
Qu’est ce qui manque à un espace normé, et que possèdent les espaces euclidiens classiques ? Un produit scalaire !
II.4.1 Produit scalaire
Intérêt ? Notion d’orthogonalité : projection, de base orthogonale, …
Ex. : espace euclidien (Cn) : ( ) ∑=
=n
1iii vuvu *, Φ
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.4 Espaces de Hilbert
⇒∈ nCvu ,
NB 1 : On utilisera la notation suivante : yxyx =),(Φ-> notation utilisée en mécanique quantique.
NB 2 : xxx
R→→ +ΩL’application définit une norme:
NB 4 : Un espace vectoriel complet muni d’un produit scalaire est appeléespace de Hilbert
xxx 2 =
NB 3 : Deux éléments x et y de Ω sont orthogonaux si : 0yx =
Comment définir un produit scalaire sur un espace de fonctions ?
II.4.2 Espace des fonctions de carré sommable
Def. : On appelle L2(I) l’espace des classes d’équivalence de fonctions presque partout égales dont le module carré est sommable sur l’intervalle I de R.
Espace des fonctions de carré sommable, ou fonctions d’énergie finie.
∫Idxxf 2)( existe
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.4 Espaces de Hilbert
Definition : Comme L1, L2 est un espace vectoriel normé complet. On peut le munir du produit scalaire suivant :
L’espace des fonctions de carré sommable est un espace de Hilbert. Il possède donc des propriétés « géométriques » analogues à celles des espaces euclidiens.
( ) ,, ILgf 2∈∀ ∫=I
dxxgxfgf )()(*
II.4.3 Propriétés d’un espace de Hilbert
II.4.3.a Inégalité de Cauchy-Schwarz :
(a) ,, Hyx ∈∀ 222yxyx ≤
(b) Cette inégalité devient une égalité si et seulement si : xyC λλ =∈∃ ,
Cette relation est très utilisée en traitement du signal.
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
I.4 Espaces de Hilbert
• Définition : Un espace de Hilbert H est dit séparable si tout élément de H peut s’écrire comme une somme pondérée dénombrable (éventuellement infinie) de vecteurs de base.
• Propriété : L2 (I) est un espace de Hilbert séparable.
II.4.3.b Bases d’un espace de Hilbert :
Espace euclidien : base orthonormale
∑=
=n
1iiiex
λ xeii .:aOn =λ
ijjin1ii eee δ==
.,,...,
,nCx∈∀
• NB : La suite de fonctions : i
n
1iin efef ∑
=
=
converge en moyenne quadratique vers f : 0ffnn +∞→→−
C’est dans ce sens qu’on pourra écrire : i
1ii efef ∑
+∞
=
= Le produit scalaire est appelé coordonnée de f dans la base
feii =λ Niie ∈
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.4 Espaces de Hilbert
• Théorème de Parseval :
∑+∞
=
=1i
2i
2 fef La norme (énergie) d’une fonction est la somme des carrés de ses coordonnées dans une base orthonormale.
Plus généralement : i1i
ii1i
i geefgfHgf µλ∑∑+∞
=
+∞
=
==∈∀ *,,
II.4.4 Séries de Fourier
Soit f(t) une fonction périodique. Appartient-elle à L2 ? Si on se restreint à une période, elle peut appartenir à L2 (]-T/2,T/2[).
• Le système est une base orthonormale de L2(]-T/2,T/2[).
=
Tnti
Tten π2exp1)(
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.4 Espaces de Hilbert
La série de Fourier d’une fonction périodique est l’ensemble des coordonnées d’une période de la fonction dans la base de Fourier.
= ∑
+∞
∞− Tntic
Ttf n π2exp1)( ∫
−
−==
2/
2/
2exp)(1 T
Tnn dt
Tntitf
Tfec πavec
• Th. de Parseval : ∑∫+∞
∞−−
== 2n
2T
2T
2 ctfE/
/
)(
• Cas d’une fonction réelle : Si f(t) est réelle, on peut montrer que
+
+= ∑∑
+∞
=
+∞
= Tnt2b
Tnt2aatf
1nn
1nn0 ππ sincos)(
dtTnt2tf
T2b
dtTnt2tf
T2a
dttfT1a
2T
2Tn
2T
2Tn
2T
2T0
∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
/
/
/
/
/
/
sin)(
cos)(
)(
π
πavec
Série de Fourier : signal rectangulaire
temps
f13f1/3
b1 b3
n
1/2
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
Somme des harmoniques 1 et 3
temps5f1/5
b1 b3
n
1/2
b5
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
Somme des harmoniques 1, 3 et 5
temps
7f1/7
b1 b3
n
1/2
b5 b7
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
Somme des harmoniques 1, 3 , 5 et 7
temps
Etc.b1 b3
n
1/2
b5 b7
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
Somme des harmoniques 1 à 21
temps
Problème pour approximer les zones où le signal varie brutalement (discontinuités).
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
0.18
1Phénomène de Gibbs
Série de Fourier : signal triangulaire
temps
f1
a1 a3
n
1/2
3f1/9
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
Somme des harmoniques 1 et 3
temps5f1/25
a1 a3
n
1/2
a5
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.4.5 Autres bases de L2
• Polynômes de Legendre : base de L2 (]-1,1[)
( )[ ]n2nnn 1x
dxd
n221nte −
+=
!/)(
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.4 Espaces de Hilbert
( ) ...,1322
5)(,23)(,
21)( 2
210 −=== xtextete
en(t) : polynôme d’ordre n
II.4.5 Autres bases de L2
• Polynômes de Legendre : base de L2 (]-1,1[)
Polynôme d’Hermite• Fonctions d’Hermite : base de L2 (R)
[ ]2ttHte 2nn /exp)()( −= où ( ) [ ] [ ] 2
n2
n
n
n tdtdt
n2
1tH −−
= expexp!
)(π
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
II.4 Espaces de Hilbert
Polynômes d’Hermite Fonctions d’Hermite
( )[ ]n2nnn 1x
dxd
n221nte −
+=
!/)(
Modes d’un laserFonctions d’Hermite 1D
Fonction d’Hermite 2D
2
22
wyx
nm
nmmn
ew
2yHw
2xH
yexeyxE)(
)()(),(+
−
=
=
Modes transversaux d’un laser (profil du faisceau)
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
=> base de L2 (R2)
2mn yxE ),(
III. La transformée de Fourier des fonctions
III.1. Définition et inversion
III.3. TF de fonctions classiques
III.2. Propriétés de la TF
III.4. TF des fonctions à deux dimensions
III. La transformée de Fourier des fonctions
III.1 Définition et inversionIII.1.1 DéfinitionQuand elle existe, la transformée de Fourier (TF) d’une fonction f(x) est définie par :
III. La transformée de Fourier des fonctions
[ ]∫+∞
∞−
−= dxxi2xff πνν exp)()(~
La TF est une transformation fonctionnelle: elle associe à une fonction f(x) une autre fonction.
)()(~)(~)( xfFfoufxfF
=→ νν
• Toute fonction f(x) sommable (i.e., appartenant à L1) possède une transformée de Fourier. • Cette TF est :
• Propriétés :
- Bornée- Continue - Tend vers 0 lorsque
On notera cette transformation de la manière suivante :
En revanche, elle n’est pas forcément sommable !∞→ν
Si les fonctions sont toutes deux sommables, on peut définir la transformée de Fourier inverse :
III.1 Définition et inversionIII. La transformée de Fourier des fonctions
III.1.2 Inversion
[ ]∫+∞
∞−
= νπνν dxi2fxf exp)(~)(
)(~et)( νfxf
La condition de validité de cette relation est très restrictive. Elle suppose en particulier que soient continues ! )(~et)( νfxf
NB : Il est intéressant de noter que lorsque la formule d’inversion est valide :
)( xf −[ ][ ]=)(xfFF
III. La transformée de Fourier des fonctions
• Fonction rectangle (ou fonction « porte ») : −∈
=sinon
]/,/[si)(
2121x01
xΠ
( )νπν
πνΠ sincsin)(~ ==v
• est elle sommable ? )(~ vΠ Non ( Π(x) n’est pas continue)
Premier zéro:ν =1
III.1 Définition et inversion : Exemple
Attention ! est à valeurs complexes, même si f(x) est à valeurs réelles.
III.1 Définition et inversionIII. La transformée de Fourier des fonctions
• Signification « physique » de la formule d’inversion:
Décomposition spectrale de la fonction f(x) sous la forme d’une somme continue de sinusoïdes complexes (appelées composantes spectrales).
[ ]∫+∞
∞−
= νπνν dxi2fxf exp)(~)(
)()(~)(~ vieff ϕνν =
Amplitude des sinusoïdes
)(~ νf
( )[ ]∫+∞
∞−
+= ννϕπνν dx2ifxf )(exp)(~)(
:)(~ νf
:)(νϕ Déphasage entre les sinusoïdes
• Si est réelle :
III.2 Propriétés de la TF
• Propriété 1 : Linéarité.
III. La transformée de Fourier des fonctions
[ ] )(~)(~)()( νµνλµλ gfxgxfF +=+
Puisque l’intégration est une opération linéaire, la TF l’est aussi.
[ ] )(~)( ** ν−= fxfF
• Propriété 2 : Parité On a : [ ] )(~)( ν−=− fxfF
Exemples: )(xf )(~ νf
La TF conserve la parité
• Propriété 3 : Conjugaison On a :
possède la symétrie hermitienne-> partie réelle paire et partie imaginaire impaire
• Si est réelle et paire : )(xf )(~ νf est réelle
III. La transformée de Fourier des fonctions
• Propriété 4 : Translation
[ ] )(~)( νπν feaxfF ai2−=−
[ ] )(~)( 0xi2 fxfeF 0 νννπ −=
Translater f(x) revient à « moduler » sa TF.
Moduler f(x) revient à translater sa TF.
• Propriété 5 : Modulation
III.2 Propriétés de la TF
( )[ ]
=
af
aaxfF ν~1
• Propriété 6 : Dilatation / rétrécissement
Dilater f(x) revient à « rétrécir » sa TF. et vice-versa.
III. La transformée de Fourier des fonctions
• Propriété 7 : TF de la dérivée
[ ] )(~)(' vfvi2xfF π=
III.2 Propriétés de la TF
Si f(x) est sommable, continue et dérivable, et si f’(x) est sommable,
Si f(x) admet des dérivées sommables jusqu’à l’ordre p : [ ] ( ) )(~2)()( vfvixfF pp π=
Majoration : dxexfvfv vxipp ππ 2)( )()(~2 −∫= dxxf p∫≤ )()(
A l’infini, se comporte comme un infiniment petit d’ordre au moins. )(~ vf pv −
Plus est dérivable, plus décroît rapidement. )(~ vf)(xf
Application : gff =+α'' ( ) ( ) ( )ννανπ gf4 22 ~~=+−⇒
La TF transforme les équations différentielles linéaires en équations algébriques.
III. La transformée de Fourier des fonctions
• Propriété 8 : Dérivée de la TF
( ) ( ) [ ])('~~xfxi2Fvf
dvfd π
ν−==
III.2 Propriétés de la TF
Si la fonction x f(x) est sommable,
Plus généralement, si est sommable, alors est p fois dérivable:
Plus décroît rapidement, plus est dérivable)(~ vf)(xf
Application : Calcul des moments -
)(xfx p )(~ vf
( ) ( ) dxxfxvf ppp ∫≤⇒ )(2~ )( π[ ]( )
( )vfi
xfxF pp
p )(~21)(π−
=
∫= dxxfxm pp )( ( )
( )0~21 )( p
p fiπ−
=
• p=0 : ( )∫ = 0fdxxf ~)( « valeur moyenne » de f(x) (« composante continue »)
• p=1 : ( )∫ −= 0'~2/1)( fidxxfx π Centre de gravité, moyenne d’une V.A.
• p=2 : ( )∫ −= 0f41dxxfx 22 ''~/)( π Moment d’inertie, variance d’une V.A.
III. La transformée de Fourier des fonctionsIII.2 Propriétés de la TF
Si f(x) et g(x) appartiennent à L2, alors :
Dans L2, la TF conserve le produit scalaire !
ννν dgfdxxgxf )(~)(~)()( ** ∫∫ =
• Propriété 9 : Formule de Parseval
• Elle conserve donc aussi la norme : νν dfdxxf22
∫∫ = )(~)(
La TF est une isométrie dans L2
C’est l’équivalent d’une « rotation » dans un espace fonctionnel.
Energie
• est appelé densité spectrale d’énergie2
f )(~ ν
Toute fonction de L2 possède une TF, cette transformation est inversible.
III. La transformée de Fourier des fonctions
• Fonction exponentielle :
III.3 TF de fonctions classiques
[ ]axxHxf /exp)()( −= +∞∈
=sinon
[,[si)(
0x01
xH
Distribution de Heavisideνπ ai21avf
+=)(~
0a >
f(x) à valeurs réelles, mais sa TF est à valeurs complexes
( ) ( )2
2
2 a21a2i
a21a
νπνπ
νπ +−
+=
et de symétrie hermitienne
paire impaire
III. La transformée de Fourier des fonctions
• Fonction exponentielle :
III.3 TF de fonctions classiques
[ ]axxHxf /exp)()( −= +∞∈
=sinon
[,[si)(
0x01
xH
Distribution de Heavisideνπ aiavf
21)(~
+=
0a >
• Fonction exponentielle symétrique (Laplacienne):
( ) ( )2
2
2 212
21 νπνπ
νπ aai
aa
+−
+=
paire impaire
[ ]axxf −= exp)(
( )2a21a2vf
νπ+=)(~
f(x) paire à valeurs réelles => sa TF est à valeurs réelles
f(x) à valeurs réelles, mais sa TF est à valeurs complexes et de symétrie hermitienne
• En physique : « Lorentzienne » • En probabilités : « loi de Cauchy »
III. La transformée de Fourier des fonctions
• Gaussienne :
III.3 TF de fonctions classiques
[ ] [ ]22 fxxf νπνπ −=→−= exp)(~exp)(
( )
−= 2
2
2x
21xf
σσπexp
On montre que :La TF d’une gaussienne est une gaussienne.
( ) [ ]2222f νσπν −=⇒ exp~
• Fonction lorentzienne :( ) 22
21
211)(
xxf
+=
γγ
π
[ ]νγπ−= exp)(~ vf γ : largeur à mi-hauteur = FWHM (Full Width at Half Maximum)
III. La transformée de Fourier des fonctionsIII.3 TF de fonctions classiques
-> n’existent pas au sens des fonctions ! (fonctions non sommables)
• TF de cos (2πνt) et sin (2πνt) ?
-> existent au sens des distributions.
-> La liste des TF des fonctions usuelles sera complétée par celle des distributions usuelles dans la seconde partie du cours.
• Conclusion : Dans la pratique, pour calculer une TF:
- de manière analytique : on utilise des tables de TF usuelles
- de manière numérique : signaux limités, discrets et à valeurs discrètes => TF discrète (voir fin du cours)
III. La transformée de Fourier des fonctions
Application de la TF 1D : relation d’incertitude2g )(~ ν
• En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans L2, on montre facilement que :
• On définit :
• On définit le signal normalisé:
Etalement temporel
( ) dttgtt2
∫=
2tg )(
( ) ∫= dttftftg 2)()(
=⇒ ∫ dttg 2)(
( ) νννν dg2
∫= ~
( ) ( ) dttgtt222
t ∫ −=σ ( ) ( ) ννννσν dg222 ∫ −= ~
Etalement spectral
Fréquence moyenne
πσσ ν 4
1≥t
et
et
1Temps moyen
t νtσ νσ
III. La transformée de Fourier des fonctions
Application de la TF 1D : relation d’incertitude
tσ νσ
• Quelles sont les fonctions pour lesquelles l’égalité est atteinte ?
• Donc :
Quels que soient t0 et σ !=> Les gaussiennes: ( ) ( )
−−= 2
20
2tt
21tf
σσπexp
Un signal bien localisé en temps est étendu spectralement
Un signal bien localisé en fréquence est étendu temporellement
πσσ ν 4
1≥t
2g )(~ ν2tg )(
III. La transformée de Fourier des fonctions
• On peut définir la TF d’une fonction à deux dimensions :
III.4 TF de fonctions à deux dimensions
( )[ ]∫∫ +−= dydxyxi2yxff νµπνµ exp),(),(~ ( )[ ] νµνµπνµ ddyxi2fyxf ∫∫ += exp),(~),(
Sous réserve d’existence
=> Notion très importante en traitement d’images !
• Plus généralement, on peut définir la TF d’une fonction à ndimensions :
[ ]∫ −=nR
xdxi2xff .exp)()(~ νπν [ ]∫=nR
dxi2fxf ννπν .exp)(~)(
sont des vecteurs à n dimensions. ν etx
III.4.1 Définition
III. La transformée de Fourier des fonctions
III.4.2 Fonctions séparables :
III.4 TF de fonctions à deux dimensions
)()(),( ywxuyxf =
La TF d’une fonction séparable est une fonction séparable.
)(~)(~),(~ νµνµ wuf =⇒
Exemple :
−×−∈
=sinon
]21,21[]21,21[),(si01
),(yx
yxfFonction « porte » en 2D :
( ) ( )yxyxf ΠΠ=),( ( ) ( )νµνµ sincsinc),(~=⇒ f
=
by
axyxf ΠΠ),( ( ) ( )νµνµ baabf sincsinc),(~
=⇒
• Exemples:a=b a->2a
III. La transformée de Fourier des fonctions
=
by
axyxf ΠΠ),(
( )( )ν
µνµ
baabf
sincsinc),(~
=
• Exemples:a=b a=2b
=
by
axyxf ΠΠ),(
III. La transformée de Fourier des fonctions
( )( )ν
µνµ
baabf
sincsinc),(~
=
III. La transformée de Fourier des fonctions
III.4.2 Fonctions radiales :
III.4 TF de fonctions à deux dimensions
)(xf
La TF d’une fonction radiale est une fonction radiale.
est une fonction radiale si : ( ) ( )rFxFxf ==)(
2Rx ∈
Alors, on montre que : ( ) ( )ρGvGvf ==)(~
Si ( ) ( ) ( )∫+∞
=0
0 22 drrJrFrG ρππρ ( ) ∫ −=π
θ θπ2
0
iu0 deuJ2 cos
Exemple : Fonction « disque »
( ) ( ) ( )ρπρππρππρ
22222~ 1
1
00
JdrrJrD == ∫
Fonction de Bessel de 1° espèce et d’ordre 0
Fonction de Bessel de 1°espèce et d’ordre 1
ρ =1.22
Fonctions de Bessel de 1° espèceIII. La transformée de Fourier des fonctions
( )νD~
( )rD
III. La transformée de Fourier des fonctions
Transformée de Fourier de la fonction « disque »
( )νf~
( )rf
III. La transformée de Fourier des fonctions
Effet de la rotation d’une fonction
• L’image f(x,y) dans l’espace direct est une somme de sinusoïdes complexes, où chaque « fréquence spatiale » (µ,ν) est pondérée par la transformée de Fourier .
∫∫ += νµυµ νµπ ddefyxf yxi2 )(),(~),(
µ=0.1, ν=0
),(~ υµf
µ=0, ν=0.1 µ=0.1, ν=0.1
TF inverse
y
x
µ=0.02, ν=0.02
III. La transformée de Fourier des fonctions
Application : TF d’une image
Image f(x,y)
),(),(~),(~ υµϕυµυµ ieff =
),(~ υµf ),( υµϕ
Amplitude des sinusoïdes
Phase des sinusoïdes
III. La transformée de Fourier des fonctions
Application : TF d’une image
),(~ υµif
),( υµϕi
),( yxfi
[ ]),(),(~ υµϕυµ 2i1
1 efTF −Image 1 Image 2
III. La transformée de Fourier des fonctions
Application : TF d’une image
[ ]),(),(~ υµϕυµ 1i2
1 efTF −
• La phase de la TF contient l’informationsur les positions relatives des objets dans l’image.
[ ]),(),(~ υµϕυµ 2i1
1 efTF −
[ ]),(),(~ υµϕυµ 1i2
1 efTF −• Le module de la TF correspond à la l’amplitude de chaque composante spectrale
III. La transformée de Fourier des fonctions
Application : TF d’une image
),(~ υµf
),( υµϕ
),( yxf
Image 1
III. La transformée de Fourier des fonctions
Application : TF d’une image
[ ]),(1 υµϕieTF −
Plan du coursIV. Convolution et corrélation
I. Introduction : qu’est ce qu’un signal ?
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
III. La transformée de Fourier des fonctions
IV. Convolution et corrélation
V. Distributions
VI. Signaux échantillonnés
VII. Transformée de Fourier discrète, éléments d’analyse spectrale
IV.1 ConvolutionIV.1.1 Filtres linéaires
En physique, un système est une « boîte noire » qui transforme un signal d’entrée e(t) en un signal de sortie s(t).
( )teSystème
S ( )ts
• Un système est linéaire si :
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]teSteSteteS 2121 µλµλ +=+
• Un système est continu si :
[ ] ( )[ ]teSteSte nnnnn +∞→+∞→=∀ lim)(lim,)(suitela
IV. Convolution et corrélation
( )[ ]teS=
• Un système est invariant par translation si :
( ) ( ) ( )0
S
0
Sttsttetste −→−⇒→)(
On appelle filtre linéaire un système linéaire, continu, inv. par translation.
IV.1 Convolution
• Si S est un filtre linéaire, il existe une fonction h(t) telle que :
( ) ( ) ( )dtteths −= ∫ ττ
Un filtre linéaire est défini par la fonction h(t) , qui est appelée réponse impulsionnelle (ou percussionnelle) du filtre
• D’une manière générale, le produit de convolution entre deux fonctions f(t) et g(t) est défini par:
[ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ* Attention ! Le résultat est une fonction de τ.
IV. Convolution et corrélation
f(t)f(t)
-> Convolution : Intégrale de recouvrement entre la fonction f(t) et la fonction g(t) « retournée » et translatée de τ.
g(t) g(-t) [ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ*
τ2τ1 τ3
IV.1.2 Propriétés de la convolution
• La convolution est distributivepar rapport à l’addition :
• La convolution est commutative :
IV. Convolution et corrélation
[ ] 2121 gfgfggf *** +=+
fggf ** =
• Comment ça marche ?
IV.1 Convolution
[ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ*
IV.1.3 Convolution et TF
• Le produit de convolution de deux fonctions est une fonction. Quelle est sa TF ?
• On montre facilement que :
IV. Convolution et corrélation
[ ]( ) ( ) ( )νν gftgfF ~~* →
La TF transforme un produit de convolution en produit de fonctions !
IV.1 Convolution
• Soit un filtre linéaire dont l’action sur le signal d’entrée est :
Supposons que le signal d’entrée soit une fonction rectangle de largeur T :
IV. Convolution et corrélation
Réponse impulsionnelle et réponse en fréquence d’un filtre linéaire
Donc lorsque ,
IV.1 Convolution
( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )dttethdttethehs −=−== ∫∫ ττττ *
( ) ( )TtT1te /Π= ( ) ( )∫
+
−
=⇒2T
2T
dtthT1s
/
/
τ
τ
τ ( ) ( )ττ hs →0T →
h(t) représente donc la réponse du filtre à une « impulsion »
( ) ( ) ( )ννν ehs ~~~ =• Dans l’espace de Fourier, on a :
est appelée réponse en fréquence du filtre. ( )νh~
Un filtre linéaire est donc défini, de manière équivalente, par sa réponse impulsionnelle ou par sa réponse en fréquence.
IV. Convolution et corrélationIV.1 Convolution
Exemple 1 :
Filtre g(t)
[f*g](t)f(t)
[ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ*
• Pour les filtres agissant sur des signaux temporel, « l’effet ne peut pas précéder la cause. »
IV. Convolution et corrélation
Filtre causal
IV.1 Convolution
( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞
∞−
+∞
∞−−=−== dttethdttethehs ττττ *
s(τ) ne peut dépendre que de e(t) pour t < τ
• Pour cela, quelle est la condition que doit vérifier h(t) ?
( ) 0,0 <= tth Filtre causal
• NB : si la variable est spatiale (traitement d’image, électromagnétisme, …), le filtre n’a aucun raison d’être causal.
IV.2 CorrélationIV.2.1 Définition et propriétés
• Soit deux fonctions f(t) et g(t) appartenant à L2(C). On définit leur coefficient de corrélation par :
IV. Convolution et corrélation
ggff
gffg =ρ
=> Mesure la « ressemblance » entre deux signaux 1fg ≤ρ
• Notons une version de g(t) translatée de -τ.( ) ( )ττ += tgtg
On définit la fonction d’intercorrélation: ( ) ( ) dttgtfgf ττ += ∫ *
( ) [ ]( )ττ gfC fg ⊗=
=> Mesure la « ressemblance » entre deux signaux à une translation près.
• NB1: l’opération de corrélation est aussi notée:
• NB2: La corrélation n’est pas commutative: ( ) ( )ττ −= *fggf CC
IV. Convolution et corrélation
• On peut aussi définir la fonction d’autocorrélation:
( ) [ ]( ) ( ) ( ) dttftfffC ff τττ +=⊗= ∫ *
• NB: On peut montrer que :
• ( ) ( )ττ ffff C0C ≥∀ ,
( ) ( )ττ −= *ffff CC•
C’est la corrélation de f(t) avec elle-même.
)(tf )(τffC
IV.2 Corrélation
IV.2.2 Corrélation et TF
IV. Convolution et corrélationIV.2 Corrélation
• En utilisant la relation de Parseval, il est facile de montrer :
[ ]( ) ( ) ( )νν gftgfF ~~*→⊗
La TF transforme un produit de corrélation en produit de fonctions
• Cas particulier : Fonction d’autocorrélation
( ) [ ]( ) ( ) 2~ νftfftCF
ff →⊗=
La TF de la fonction d’autocorrélation est la densité spectrale d’énergie.
IV. Convolution et corrélationIV.2 Corrélation
a. Reconnaissance d’un signal :
Problème : reconnaître le signal f(t)
Parmi les signaux gi(t):On utilise la fonction d’intercorrélation normalisée:
( ) [ ]( )2
i2
ii
gf
gf ττρ ⊗=
IV.2.3 Exemples d’application
IV. Convolution et corrélationIV.2 Corrélation
Problème : reconnaître le signal f(t)
( ) [ ]( )2
i2
ii
gf
gf ττρ *=
Si on avait utilisé la convolution normaliséeParmi les signaux gi(t):
a. Reconnaissance d’un signal :
IV.2.3 Exemples d’application
IV.2.3 Exemples d’application
IV. Convolution et corrélationIV.2 Corrélation
b. Mesure de retard :
• r(t) : gaussienne
• Intercorrélation:
0t
estimation de t0 = position du maximum de [ ]( )tsr ⊗
IV.2.3 Exemples d’application
IV. Convolution et corrélationIV.2 Corrélation
b. Mesure de retard :
• Impulsion incidente (« chirp »)
• Signal bruité
IV.2.3 Exemples d’application
IV. Convolution et corrélationIV.2 Corrélation
b. Mesure de retard :
• Impulsion incidente (« chirp »)
0t
• Intercorrélation:estimation de t0 = position du maximum [ ]( )tsr ⊗
• Soit f(x,y) et g(x,y) des fonctions à deux variables :
IV. Convolution et corrélation
Exemple 3 : convolution d’images :
IV.1 Convolution
[ ]( ) ( ) ( ) dxdyyxgyxfgf −−= ∫ ητητ ,,,*
[ ] ( ) ( )νµνµ ,~,~* gfgfTF =
Un système d’imagerie optique est un filtre linéaire.
Tache d’Airyh(x,y)
Image d’un point : Image d’une scène :
• « Image idéale » :
• Image mesurée par le système optique :
[ ]( )yxfhyxg ,*),( =
),( yxf
Image “floue”
*g(x,y)f(x,y) h(x,y)
Tache d’Airy
IV. Convolution et corrélationIV.1 Convolution
[ ]( )yxfhyxg ,*),( =
f(x,y)
h(x,y)
Noyau gaussienLargeur ~ 2 pixels
Noyau gaussienLargeur ~ 2 pixels
[ ]( )yxfh ,*
h(x,y)
Noyau gaussienLargeur ~ 4 pixels
h(x,y)
[ ]( )yxfh ,*
On double la largeur du noyau de convolution
Plan du cours
I. Introduction : qu’est ce qu’un signal ?
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
III. La transformée de Fourier des fonctions
IV. Convolution et corrélation
V. Distributions
VI. Signaux échantillonnés
VII. Transformée de Fourier discrète, éléments d’analyse spectrale
V. Distributions
Bibliographie
N. Boccara, Intégration, Ellipses et Distributions, Ellipses
F. Roddier, Distributions et transformation de Fourier, McGraw Hill
« L’inventeur » de la théorie des distributions, grand classique !
Simples, nombreux exemples physiques
R. Petit, L’outil mathématique pour la physique, Dunod
Niveau mathématique plus élevé, démonstrations
L. Schwartz , Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann
Document téléchargeable sur Libres Savoirs : L. Schwartz« Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et
applications mathématiques et physiques » - 1945
V. Distributions
« Trouver une théorie qui rendait toutes les fonctions indéfiniment dérivables et permettait la dérivation terme à terme des séries convergentes, c’était exactement le genre de recherche qui me convenait : théorie cohérente, mais restant près des réalités et des applications. »
V. Distributions
Laurent Schwartz
V.2 DéfinitionV.2.1 Espace vectoriel D:
• L’ensemble D n’est pas vide !
<
−
≥=
11
1exp
10)(
2 xsix
xsixξ
• Pour Ω, on choisit l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support borné.
RxCx ∈∈ ,)(ϕ
+1 -1
)(xξ
• Définition : une fonctionnelle T est une application d’un ensemble de fonctions Ω sur R ou C. ( ) ϕϕ
Ω
,Tx
CT
→
Cet ensemble forme un espace vectoriel appelé D.
V. Distributions
V.2 Définition
• Notion de convergence dans D:
On dit qu’une suite de fonctions converge dans Dvers la fonction ϕ lorsque k tend vers l’infini si
V.2.1 Espace vectoriel D:
- Les supports des ϕk(x) sont contenus dans un même ensemble borné indépendant de k
On peut montrer que dans ces conditions, ϕ(x) appartient à D.
),...,,(, +∞=∈ 21kDkϕ
• Ex: Soit ϕ(x) une fonction de D.
( ) →
=
kx
k1xk ϕϕ
( ) ( ) →= xk1xk ϕϕ 0
0 mais pas dans D, car le support s’étend indéfiniment.
dans D
- Les dérivées de chaque ordre des ϕk(x) convergent uniformément vers les dérivées correspondantes de ϕ (x)
V. Distributions
V.2 Définition
• Définition : On appelle distribution toute fonctionnelle linéaire et continue sur l’espace D
V.2.2 Les distributions
• Linéarité: ( ) 22112211 ,,, ϕλϕλϕλϕλ TTT +=+
• Continuité: Si ϕk converge dans D vers ϕ (au sens défini plus haut), la suite converge au sens usuel vers .
kT ϕ,ϕ,T
• Propriété : Les distributions forment un espace vectoriel D’, appelé dual topologique de D.
• NB : Soit Ω un espace fonctionnel topologiqueSon dual Ω* est l’ensemble des fonctionnelles linéaires définies sur Ω.Son dual topologique Ω’ est l’ensemble des fonctionnelles linéaires continues sur Ω.
Th. : Soient Ω1 et Ω2 deux espaces fonctionnels et Ω’1 et Ω’2 leurs duals. Alors:
⇒⊂ 21 ΩΩ1Ω2Ω
'1Ω'2Ω
'' 12 ΩΩ ⊂
V. Distributions
V.2 Définition
• On appelle fonction localement sommable une fonction sommable sur tout intervalle borné.
Une distribution associée à une fonction localement sommable est appelée distribution régulière
V.2.3 distributions régulières
• On peut associer à toute fonction localement sommable une distribution:
∫= dxxxfTf )()(, ϕϕ )(),(, xxfouf ϕϕOn note aussi parfois (improprement)
Tf : Distribution associée à f
• En utilisant les propriétés de l’intégrale de Lebesgue, on montre que:
Deux fonctions localement sommables f et g définissent la même distribution si est seulement si elles sont presque partout égales.
Les distributions sont donc une extension des classes de fonctions localement sommables presque partout égales.
V. Distributions
∑+∞
−∞=
=n
n)(, ϕϕ
V.2 Définition
Les distributions qui ne sont pas associées à des fonctions localement sommables sont appelées distributions singulières.
V.2.4 distributions singulières
• Ex.1 : la distribution de Dirac: )(, 0ϕϕδ =
-> on vérifie facilement que c’est une fonctionnelle linéaire et continue.
• Ex.2 : distribution de Dirac au point a: )(, aa ϕϕδ =
• Ex.3 : Peigne de Dirac : ∑+∞
−∞=
=n
nδ
• Autres exemples : ,)(, )( aT kϕϕ =
x1vp Etc …
?)(, aT 2ϕϕ = Ce n’est pas une fonctionnelle linéaire !
V. Distributions
V.2 Définition
• Représentation « graphique » de la distribution de Dirac
V.2.4 distributions singulières
a0
δ+1
0
δb+b aδ
• C’est une représentation symbolique (mais très utile !)
=
=sinon
0xsi)(
01
xf
• NB : en physique, la distribution de Dirac est la représentation mathématique adéquate d’une distribution ponctuelle de charge, de masse, …
Si on vient « mesurer » la charge placée en a avec une fonction test ϕ, on obtient
aqδ)(xϕ
)(, aqq a ϕϕδ =
• Attention ! Ne pas confondre δ avec la fonction:
Question : quelle est la distribution régulière associée à f ?
0 +1 +2 +3-1-2-3
… …
V. Distributions
• NB: Convergence au sens des distributions convergence de la suite
V.2.5 Convergence des distributions
• Définition : Soit Tk (k=1,2,…) une suite de distributions. On dit que Tkconverge vers T si:
ϕ,kT
ϕϕϕ ,,lim, TTD kk=∈∀
+∞→
• Corollaire :. Séries de distributions
• Ex: Convergence vers la distribution de Dirac
Soit f(x) telle que 1dxxf =∫+∞
∞−
)(
Alors la suite de distributions régulières )(kxfk converge vers δ
L’expression TT1k
k =∑+∞
=
signifie: ϕϕϕϕ ,,lim,lim, TTTDn
1kkn
n
1kkn
==∈∀ ∑∑=
+∞→=
+∞→
V.2 DéfinitionV. Distributions
V.3 PropriétésObjectif : définir des opérations sur les distributions généralisant les
opérations sur les fonctions.
V. Distributions
Mais n’a aucun sens !est défini dès que f(x) est continue en 0.
V.3.1 Produit
Ex : x
1xf =)( est localement sommable mais pasx1xf 2 =)(
• Les difficultés commencent ! En effet, si f(x) et g(x) sont deux fonctions localement sommables, leur produit n’est pas forcément localement sommable.
2δ
• On ne peut définir le produit que dans des cas particuliers. Par exemple:
Si T est une distribution quelconque et f(x) une fonction indéfiniment dérivable, alors : ϕϕϕ fTTTD f ,,, =∈∀
En effet, on vérifie dans ce cas que fϕ appartient à D.• NB: Pour certaines distributions, on peut définir le produit sur des classes defonctions plus grandes. Par exemple: =ϕδ ,fT )()( 00f ϕ
V.3 Propriétés
IV.3.2 Dérivation• Soit f(x) une fonction localement sommable, continue et dont la dérivée est continue. Sa dérivée f’(x) définit une distribution régulière.
∫ =dxxxf )()(' ϕ
Par analogie, on définira la dérivée d’une distribution T quelconque par:
[ ] dxxxfxxf )(')()()( ϕϕ ∫−+∞∞− ',ϕfT−=
',,' ϕϕ TT −=
− ϕ’ appartient à D- La fonctionnelle ainsi définie est linéaire, on peut montrer qu’elle est continue
• Dérivées d’ordre supérieur: ( ) )()( ,, kkk T1T ϕϕ −=
Objectif : définir des opérations sur les distributions généralisant les opérations sur les fonctions.
• Convergence de la dérivée d’une suite: ''alorsSi TTTT kk →→
0
=ϕ,'fT
V. Distributions
V.3 PropriétésV.3.2 Dérivation
• Ex. 1 : Distribution de Dirac =ϕδ ,' ( )0'ϕ−
• Ex. 2 : Fonction d’Heaviside :
( )
<=>
=0xpour00xpoura0xpour1
xH
=−= ',ϕH δ='H
Pas dérivable au sens des fonctions
On peut montrer que toute distribution admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes par une distribution constante.
Toute distribution est indéfiniment dérivable !
=ϕδ ,'' ( )0''ϕ
• Ex. 3 : Soit C la distribution constante: 0C ='
( )xH
=ϕ,'H [ ] )()( 0x 0 ϕϕ =− ∞+∫+∞
=−0
dxx)('ϕ
V. Distributions
• La fonction f(x), considérée comme une distribution régulière , admet aussi une dérivée au sens des distributions, notée
V.3 PropriétésV.3.2 Dérivation
• Ex. 4 : f(x) est une fonction dérivable pour x < a et x > a mais présentant une discontinuité de première espèce en a.
'fT
Soit f(a+) la limite à droite et f(a-) la limite à gauche. On définit le « saut » en a : ( ) ( )−+ −= afafaf )(σ
• La fonction f(x) admet presque partout une dérivée au sens des fonction (sauf en a). Cette dérivée définit une distribution régulière notée
afff aTT δσ )(' ' +=
fT'fT
Quelle est la relation entre ces deux distributions ?
a
)(afσ( )xf
V. Distributions
V.3 PropriétésV.3.2 Dérivation
a
)(afσ( )xf
• On utilise aussi souvent la notation : af aff δσ )('' +=
• Généralisation aux discontinuités des dérivées d’ordre supérieur:
)(')()( )(...)()( )()(1m
afafafmm aaaff 2m1m
−++++= −− δσδσδσ
• Ex. : - Fonction de Heaviside- Dérivées 1ere et 2nde de f(x)=|x| ?
afff aTT δσ )(' ' +=
Dérivée au sens des distributions
Dérivée « sans précaution »
• Généralisation aux fonctions ayant plusieurs discontinuités: ∑
=
+=n
iaif i
aff1
)(' δσ
V. Distributions
V.3 Propriétés
• Soit f(x) une fonction localement sommable. Quelle est la distribution régulière associée à fa(x)=f(x-a) ?
V.3.3 Translation
∫ += duauuf )()( ϕ∫ −= dxxaxfTaf )()(, ϕϕ ( )axTf += ϕ,
• Pour une distribution T quelconque, on définira la distribution translatée Ta par:
( ) ( )axTxTa += ϕϕ ,,
( ) ( ) ( ) ( )axxTxaxT +=− ϕϕ ,,• Dans la pratique, on notera:
Il faut bien comprendre le sens de cette expression !
( )axT − ne désigne pas une fonction, mais la version translatée de la distribution T. C’est simplement une notation pratique.
V. Distributions
V.3 Propriétés
• Soit f(x) une fonction localement sommable. Quelle est la distribution régulière associée à f(-x) ?
V.3.4 Parité
=− )(),( xxf ϕ
• Pour une distribution T quelconque, on pose: )(),()(),( xxTxxT −=− ϕϕ
• Cela permet de définir les distributions paires : )()( xTxT −=
)()( xTxT −−=
• Ex : ?δ ?aδ
?11T −−= δδ
• Ex : Dist. de Dirac: ( ) =− axδ
• Définition: une distribution périodique de période a est définie par:
( ) ( )xTkaxTk =+∀ ,
aδ
les distributions impaires :
)(),()()( xxfduuuf −=−∫ ϕϕ∫ =− dxxxf )()( ϕ
V. Distributions
V.3 Propriétés
• Soit f(x) une fonction localement sommable.
V.3.5 Changement d’échelle
∫
du
auuf
a1 ϕ)(
• Pour une distribution T quelconque, on définira donc :
( )
=
axxT
axaxT ϕϕ ),(1)(,
• Ex : =)(axδ )(xa1 δ
Quelle est la distribution régulière associée à f(ax) ?
∫ =dxxaxf )()( ϕ
=
axT
a1
f ϕ,
V. Distributions
V.4 Transformée de FourierV.5.1 Introduction:
• Soit f(x) sommable. Quelle est la distribution régulière associée à sa TF ?
( ) ( ) ννϕνϕ dfTf ∫=~,~ [ ] ( ) ννϕπν ddxxi2xf∫ ∫ −= exp)(
( ) [ ]∫∫ −= dxdxi2xf νπννϕ exp)(
• Mais il y a un problème ! On peut montrer que si
ϕ~,fT=
!~, DD ∉∈ ϕϕ
Donc n’est pas forcément défini.ϕ~,T
• Solution : on va définir la TF des distributions appartenant à un sous ensemble S’ de l’ensemble D’, qui sera l’ensemble des fonctionnelles linéaires continues sur un ensemble de fonctions test S, plus large que D.
• Distribution quelconque : ?~,,~ ϕϕ TT =
V. Distributions
- existe, car est sommable
Une fonction ϕ(x) est dite tempérée si elle vérifie les propriétés suivantes :
a) Sa dérivée d’ordre m, existe quel que soit l’entier m
=> Fonctions indéfiniment dérivables à « décroissance rapide ».
• On montre facilement que est sommable.
( )xm)(ϕb) Quels que soient les entiers positifs ou nuls m et p, est
bornée.
( )xxpm mp )(, ϕ∀
• Si appartient à S,
S est un espace stable par la TF
( )xx mp )(ϕ
( )xϕ ( )νϕ~
V.4 Transformée de FourierV.5.2 Espace des fonctions tempérées (S):
( )xϕ- Elle est indéfiniment dérivable, car décroît rapidement ( )xϕ- Elle décroît rapidement, car est indéfiniment dérivable( )xϕ
• On en déduit donc que appartient à S( )νϕ~
V. Distributions
• NB : On montre que D est un sous-ensemble dense de S.
V.4 Transformée de FourierV.5.3 Distributions tempérées
• Définition : On appelle distribution tempérée toute fonctionnelle linéaire continue sur S• NB : L’ensemble des distributions tempérées S’ est un sous-ensemble de D’
• Exemples :
- Toute fonction localement sommable à croissance lente, c-a-dmxAxfmA ≤∃ )(, définit une distribution régulière tempérée
- Toute distribution à support borné est tempérée : c’est le cas de δ.
La plupart des distributions utilisées en physique sont tempérées. Cependant, ce n’est pas le cas de: ( )...exp,)exp()(,)exp( 2xxxHx
V. Distributions
V.4 Transformée de FourierV.5.4 TF des distributions tempérées
• Définition : La TF d’une distribution tempéréeest définie par:
• Inversion : On définit la TF inverse par :
• Propriété : la TF est une application linéaire et continue de S’ sur lui-même.
: Pour toute distribution tempérée, la TF est inversible
[ ] [ ]ϕϕ 11 ,, −− = FTTF
[ ] [ ]ϕϕ FTTF ,, =
[ ] [ ]TFTFTT Sk
Sk →→ '' impliqueContinuité :
• Propriété : [ ][ ] ϕ,TFF 1−
[ ][ ] TTFF 1 =−
• Ex.2 : [ ]=δTF 1
• Ex.1 : La TF d’une distribution régulière associée à une fonction sommable est égale à sa TF au sens des fonctions.
[ ][ ] ϕϕ ,, TFFT 1 == −[ ] [ ]ϕ1FTF −= ,
[ ]=1TF δ
V. Distributions
)(~)( ν−→− TxTTF
V.4 Transformée de FourierV.5.5 Règles de calcul
La plupart des règles de calcul de la TF au sens des fonctions s’appliquent aussi à la TF au sens des distributions.
2.Translation
1. Parité
3.Modulation
4.Chgt d’échelle
5. Dérivation
[ ]0
TF
0 xi2TxxT πνν −→− exp)(~)(
)(~)(Si νTxTTF→
[ ] )(~)(exp 0
TF
0 TxTxi2 ννπν −→
→
aT
a1axT
TF ν~)(
( ) ( )νπν Ti2xT mTF
m ~)()( →
( ) ( )νπ )(~)( mTF
m TxTxi2 →−
V. Distributions
V.4 Transformée de FourierV.5.6 TF usuelles :
TFax →− )(δ [ ]νπ ai2−exp
)( 0ννδ −[ ]TF
0 xi2 →νπexp
[ ]TF
0 x2 →νπcos [ ])()( 0021 ννδννδ ++−
[ ]TF
0 x2 →νπsin [ ])()( 00i21 ννδννδ +−−
νπi2 ( )mTF
m i2 νπδ →)(
NB : On définit de la même manière la TF d’une distribution à n dimensions. Elle possède également la plupart des propriétés de la TF des fonctions.
TF→
TF→
dx ( )νdd( )ν
TF→'δ
( )x
V. Distributions
TF→( )xd
( )νd1
d1
V.5 Distributions à plusieurs dimensions
• Distributions régulières : ft. localement sommables:
C’est l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support borné.
V.4.1 Espace vectoriel D en dimension n:
• Exemple d’élément de D:
≤
−
≥
=1
11exp
10
)(2 xsi
x
xsi
x
ξ
nRxCx ∈∈ ,)(ϕ
Toutes les dérivées du type : existent.),...,(...
)(...
n1kkk
kkkk xxxD
n21
n21
ϕϕ∂∂∂
∂=
+++
( ) ( ) ( ) ( )dxxxfxxfnR∫ ∫=
ϕϕ ...,
• Distributions singulières : par exemple dans R3
- Distribution de Dirac ponctuelle : ( )0
ϕϕδ =,
- Distribution de Dirac superficielle : sdSS ∫∫= ϕϕδ ,
- Distribution de Dirac linéique : ∫=ll ldϕϕδ ,
Densité surfacique de charge (sur une surface S)
Charge ponctuelle
Densité linéique de charges (sur une courbe )
V. Distributions
V.5 Distributions à plusieurs dimensions
• Fonction séparable :
V.4.2 Produit direct de deux distributions:
Si f(x) et g(y) sont sommables, h(x,y) l’est aussi.
)()(),( ygxfyxh =
h(x,y) définit donc une distribution régulière :
),(),(,)(),(),(,)(),(,),( yxxfygyxygxfyxyxh ϕϕϕ ==
• Par analogie, le produit direct (ou produit tensoriel) de deux distributions T et S est défini par :
),(),(,)(),(),(,)(),(,)()(, yxxTySyxySxTyxySxTD ϕϕϕϕ ==∈∀
• NB1: Ce résultat se généralise à une dimension quelconque• NB2: Nous avons vu que le produit de deux distributions sur la même variable
T(x) et S(x) n’est pas toujours défini. En revanche, le produit direct de T(x) et S(y) est toujours défini.
Signifie : T agit sur la variable x
Signifie : S agit sur la variable y
V. Distributions
V.5 Distributions à plusieurs dimensionsV.4.3 Produit direct de deux distributions:
=)().( y1xδ )(xδ
)().( yx δδ
• Distributions régulières : Le produit direct des distributions associées à deux fonctions sommables est la distribution définie par le produit des fonctions.
( ) ( ) =yHxH
• Distribution de Dirac:
by
ax ΠΠ
≥≥
sinonetsi
00y0x1
( )yxy1x ,),().( ϕδ ( )yxxy1 ,),(),( ϕδ= ( )y0y1 ,),( ϕ= ( )∫= dyy0,ϕ
=> Distribution linéique selon la droite x=0
•
•
( )yxyx ,),().( ϕδδ ( )00,ϕ= ( )yxyx ,)().( δδδ =
V. Distributions
V.5 Distributions à plusieurs dimensionsV.4.3 Produit direct de deux distributions:
• Peigne de Dirac:
)(x =)(. y1 )(x
Représentationgraphique
),( yx)(x =)(y
« Brosse de Dirac », « Planche à clou »
V. Distributions
V.6 ConvolutionV.6.1 Introduction
• Soient f(x) et g(x) deux fonctions dont le produit de convolution existe :
[ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ*
• Si elle est localement sommable, elle définit une distribution régulière:
C’est une fonction
ϕ,* gf [ ]( ) ( ) ττϕτ dgf∫= * ( ) ( ) ( )∫∫ −= ττϕτ ddttgtf
→−== tytx τ, ( ) ( ) ( )∫∫ += dxdyyxygxfgf ϕϕ,*
C’est une écriture « fonctionnelle » de la convolution. Elle met en valeur le rôle symétrique joué par f et g.
( ) ( ) ( )yxygxf += ϕ,
• Généralisation à deux distributions quelconques
( ) ( ) ( )yxySxTST += ϕϕ ,.,* Mais il y a un problème !
V. Distributions
• On dit qu’une distribution T est nulle sur un ouvert Ω de R si pour toute fonction ϕ de D ayant son support dans Ω, 0T =ϕ,
• Donc deux distributions T1 et T2 sont égales sur un ouvert Ω de R si pour toute fonction ϕ de D ayant son support dans Ω, 0TT 21 =− ϕ,
Considérons tous les ouverts sur lesquels une distribution T est nulle. La réunion de ces ouverts forme un ouvert, sur lequel on peut établir que T est nulle. Le complémentaire de cet ouvert, qui est un fermé, est appelé support de la distribution T.
• Ex.1 : Quel est le support de δ ?0=ϕδ , si le support de ϕ ne contient pas 0. Le support de δ est donc le point x=0.
• Ex.2 : Quel est le support de la distribution régulière associée à une fonction f(x) continue ?
C’est son support au sens des fonctions
Support d’une distributionV. Distributions
V.6 ConvolutionV.6.1 Introduction
( ) ( ) ( )yxySxTST += ϕϕ ,.,*
Si ϕ(x) est une fonction à support borné sur R, ϕ(x+y) n’est pas une fonction à support borné sur R2
y
x
• Le produit de convolution n’a de sens que si l’intersection de E avec le support AxB est bornée.
• Soit A le support de la distribution T et B celui de la distribution S
• Le support de la distribution T(x)S(y) est AxB
• Exemples de conditions suffisantes pour que le produit de convolution existe :
- Au moins une des distributions a un support borné- Les deux distributions sont à support borné à gauche (ou à droite)
Ce sont des conditions suffisantes mais non nécessaires
Support de ϕ(x+y)
E
B
A
AxB
V. Distributions
V.6 ConvolutionV.6.2 Exemples
ϕδ ,*T
La distribution de Dirac est l’élément neutre de la convolution
ϕδ ,*' T
⇒ TT =*δ
⇒ ''* TT =δ La dérivation est une convolution !
ϕδ ,*)( Tax −
⇒ )()(*)( axTxTax −=−δ La translation est une convolution !
( ) ( ) ( )tethts *=
( ) ( ) ( ) ( )thtthts == δ*( ) ( ),Si tte δ=
La R.I. d’un filtre linéaire est sa réponse à une distribution de Dirac.
( )te Filtre linéaire
( ) ( ) ( )yxyTx += ϕδ , ( ) ( ) ϕϕ ,, TyyT ==
TT mm *)()( δ=
V. Distributions
V.6 ConvolutionV.6.3 Propriétés
1. Le produit de convolution est commutatif : évident
2. Support : On démontre que le support de T*S est inclus dans l’ensemble A+B des points d’abscisse x+y tels que et Ax ∈ By ∈
Ex : si S et T sont à support positif, S*T aussi. si S et T sont à support borné, S*T aussi
3. Associativité : le produit de convolution est associatif si tous les produits pris deux à deux ont un sens.
Ex : Pour que R*S*T existe, il faut que R*S, S*T et R*T existent.
Les distributions à support borné à gauche (resp. à droite) forment un espace vectoriel D’+ (resp. D’-) dans lequel la convolution est toujours définie et est associative.
Ce résultat est important pour la résolution des équations différentielles
V. Distributions
En effet, le produit des deux distributions n’est pas forcément défini.
V.6 ConvolutionV.6.3 Convolution et TF
STSTTF ~.~* → Cependant, cette relation n’est pas toujours vraie
• Par exemple, ce produit existe si T ou S est à support borné.
ST ~.~
• On peut retenir la règle générale suivante :
Si existent, ils sont transformées de Fourier l’un de l’autreSTST ~.~et*
• Sous les mêmes conditions, on a : STSTTF ~*~. →
• Filtre linéaire :
• Intérêt de la TF : transformer la convolution en produit simple
( ) ( ) ( )tethts *= → ( ) ( ) ( )ννν ehs ~.~~ =
Réponse en fréquence
V. Distributions
Plan du cours
I. Introduction : qu’est ce qu’un signal ?
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
III. La transformée de Fourier des fonctions
IV. Convolution et corrélation
V. Distributions
VI. Signaux échantillonnés
VII. Transformée de Fourier discrète, éléments d’analyse spectrale
VI. Signaux échantillonnés
f(t)
fe(t)
VI.1 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
• Position du problème :
• On « échantillonne » les valeurs d’un signal continu en prenant ses valeurs à intervalle régulier τ (« pas d’échantillonnage »)
fe(t)
Quelle est la représentation mathématique de cette opération ?
)()( tftfe = ( )tτ
• Question : perd-on de l’information en échantillonnant ?
En d’autres termes : peut-on reconstruire le signal continu f(t) à partir du signal échantillonné fe(t) ?
f(t) ?
fe(t)
• NB : cette opération est essentielle en traitement du signal. En effet, elle est nécessaire dès qu’on veut acquérir et traiter un signal avec un ordinateur
τ
VI.1 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
• Quelle est la TF du signal échantillonné ?
)()( tftfe = ( )tτ *)(~)(~ ντ
ν f1fe = ( )ντ
1
f(t)
fe(t) τ
• Def. : On dira que le signal f(t) est à spectre borné s’il existe une fréquence νM telle que:
(~f1
Mtq0f νννν >∀=)(~
(~ νf
τ1Mν+Mν−
Le spectre du signal échantillonné est périodique de période 1/τ
TF
TF
VI.1 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
• Supposons que le spectre de f(t) est à support borné. Alors, on peut remonter à f(t) à partir de fe(t) !
• En effet, si la condition est remplie, on a :
)()(~)(~ νΠντν τ1eff =
M21 ντ >Mν+Mν−
τ τ1∏
• Théorème d’échantillonnage (Shannon / Nyquist) : L’échantillonnage d’un signal continu f(t) à spectre à support borné se fait sans perte d’information (i.e., on peut retrouver f(t) à partir de fe(t)) si :
Mντ
21
< ou de manière équivalente Me νν 2>
(~f1
VI.1 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
• Si le spectre n’est plus à support borné, ou si la condition de Shannon n’est pas vérifiée :
)(~ νef
τ1Mν+Mν−
τ τ1∏Les différentes « répliques » se recouvrent.
Recouvrement de spectre, ou aliasing.
VI.1 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
• Si le spectre n’est plus à support borné, ou si la condition de Shannon n’est pas vérifiée :
Recouvrement de spectre, ou aliasing.
On ne peut pas retrouver f(t) à partir de fe(t)
Mν+Mν−
• Cela signifie que dans la pratique, il faut choisir un pas d’échantillonnage τ suffisamment petit, ou une fréquence d’échantillonnage νe=1/τsuffisamment grande, pour éviter le recouvrement de spectre.
Les différentes « répliques » se recouvrent.
512x512 pixels
256x256 pixelsSous-échantillonnage d’un facteur 2 :
Aliasing
Comment résoudre ce problème ?
512x512
256x256Sous échant. / 2
VI.2 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
• Cas des signaux à spectre non borné:Dans ce cas, il faut filtrer le signal passe-bas avant d’échantillonner
On utilise un filtre g(t) dont la réponse en fréquence est à support borné
On mesure donc: Mtq0g νννν >∀=)(~( ) [ ]( )tgfty *= avec
Puis on échantillonne le signal à une fréquence Me 2νν >
• Attention ! Le filtrage doit se faire avant l’échantillonnage, car le recouvrement de spectre est un phénomène irréversible.
Le filtre anti-repliement est donc un filtre analogique.
g(t) est appelé filtre anti-repliement
256x256
Sous échant. / 2 Filtre AR 3x3 + 512x512
256x256
Sous échant. / 2 Filtre AR 3x3 + 512x512
VI.2 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
• Interpolation de Shannon : Si la condition de Shannon est respectée, à quoi correspond la relation suivante dans l’espace direct ?
)()(~)(~ νΠντν τ1eff =
=τttftf e sinc*)()(
)()( tftfe = ( )tτ
• Ecrivons cette relation d’une autre manière :
( ) ( )τδτ ntnfn
−= ∑+∞
−∞=
−
= ∑+∞
−∞= ττntftf
nn sinc)(
( )τδ ntfn
n −= ∑+∞
−∞=
C’est une opération de filtrage linéaire (convolution) par un filtre de réponse impulsionnelle ( ) ( )τtsincth =
( )τnffn =
• On obtient :
avec
VI.2 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
−
= ∑+∞
−∞= ττntftf
nn sinc)(
( )τnffn =
VI.2 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
−
= ∑+∞
−∞= ττntftf
nn sinc)(
1t 2t
(tf( 2tf
VI.2 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
−
= ∑+∞
−∞= ττntftf
nn sinc)(
1t 2t
Obtenir un signal continu à partir d’un signal échantillonné = interpolation
(tf( 2tf
VI.2 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés
• Il existe d’autres manière d’interpoler un signal : p.e., interpolation linéaire
Mais seule l’interpolation de Shannon est exacte
• Inconvénients de l’interpolation de Shannon :• Filtre à support infini (sinus cardinal)
• Un signal borné dans le temps est forcément à spectre non borné !Mais la condition de Shannon donne un bon ordre de grandeur.
Plan du cours
I. Introduction : qu’est ce qu’un signal ?
II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux
III. La transformée de Fourier des fonctions
IV. Convolution et corrélation
V. Distributions
VI. Signaux échantillonnés
VII. Transformée de Fourier discrète, éléments d’analyse spectrale
VI. Signaux échantillonnés
VII.1 Echantillonnage de la TFVII. Transformée de Fourier discrète
• Soit un signal continu à support fini égal à et sa TF( )tf
Echantillonnage de la TF périodisation de f(t)
( ) ( )νν ff p~~
= ( )νδν
( )νf~[ ]T0,
A quel pas δν peut-on échantillonner sans perdre d’information ?( )νf~
( ) ( )*tf1tf p δν= ( )t1 δν
Théorème : On peut échantillonner sans perte d’information la TF d’un signal de durée finie T si: T
1<δν
)(~ νf
δν
T
δν1
• On considère maintenant un signal échantillonné de durée finie
C’est le cas de tous les signaux qu’on peut traiter avec un ordinateur, mais aussi avec un analyseur de spectre numérique, etc. …
( ) ( )∑−
=
−=1N
0nn ntftf τδ• On peut le représenter de la manière suivante :
• Ce signal est constitué d’une suite d’échantillons prélevés avec un pas égal à τ.
[ ]1N0nfn −∈ ,,
Il est de durée:
• Sa TF s’écrit donc : C’est une fonction continue de période 1/τ.( ) [ ]∑
−
=
−=1N
0nn ni2ff τνπν exp~
VII.1 Echantillonnage de la TFVII. Transformée de Fourier discrète
T=Nτ
τ
)(tf
τN τ1
)(~ νf
TF à temps discret
• Comme f(t) est de durée finie, on peut échantillonner la TF.
Le pas le plus grand qu’on puisse utiliser est: τ
δνN1
=
( )
==
τδν
Nkfkffk
~~~
• Comme la TF est périodique, on peut n’échantillonner qu’une période
On obtient alors N1=
τδνéchantillons, qui valent :
kf~
[ ]1N0k −∈ ,
VII.1 Echantillonnage de la TFVII. Transformée de Fourier discrète
τ
)(tf
τN τ1
)(~ νf
∑−
=
−=
1N
0nn N
nki2f πexp
τδν N1=
• Souvent, par convention, on prend τ=1
• On définit alors la Transformée de Fourier Discrète (TFD)
N1
=⇒ δν
• Attention !
∑−
=
−=
1
02exp~ N
nnk N
nkiff π [ ]1N0k −∈ ,
∑−
=
=
1
02exp~1 N
nkn N
nkifN
f π [ ]1N0n −∈ ,
N1
=δνL’intervalle de fréquence séparant deux échantillons de la TFD est :
• On définit de même la TFD inverse:
VII.2 Transformée de Fourier discrèteVII. Transformée de Fourier discrète
1
)(~ νf
N1
kf~
L’intervalle de temps séparant deux échantillons du signal est : 1t ==τδ
1
)(tf
N
• La TFD possède des propriétés similaires à la TF. Par exemple, « relation de Parseval » :
∑−
=
−=
1N
0nnk N
nki2ff πexp~ Combien faut-il d’opérations (multiplications / additions) pour calculer la TFD ?
~ N2 opérations• Pour 1 fréquence -> N opérations• On doit faire le calcul pour N fréquences
• Il existe des algorithmes qui nécessitent seulement ~ Nlog2N opérationsFast Fourier Transform (FFT) (Cooley & Tukey 1965)
5121024
256x256
262 Kops1000 Kops
4000 Mops
4 Kops10 Kops
1 Mops
TFD FFTNops : opération par secondeKops : 1000 x opsMops : 106 x ops La FFT est
très efficace !
VII.2 Transformée de Fourier discrèteVII. Transformée de Fourier discrète
∑−
=
1
0
2N
nnf ∑
−
=
=1
0
2~1 N
nkfN
• Transformée de Fourier rapide :
• Méthodologie de mesure de la TF dans la pratique
VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète
• Soit f(t) un signal analogique
• On applique un filtre anti-repliement g(t) pour limiter le support du spectre à [-νM,+νM]
• On échantillonne le signal obtenu
• On calcule la TFD de cet ensemble de N échantillons :
∑−
=
−=
1N
0nnk N
nki2ff πexp~
C’est ce qui se passe dans un analyseur de spectre numérique, une carte d’acquisition, etc.
• Influence de la durée finie d’analyse sur le spectre
VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète
• Soit un signal analogique f(t), qu’on suppose d’étendue infinie.
• On considère sa restriction à l’intervalle
• NB: ce résultat est cohérent avec les relations d’incertitude :
Réduire la durée d’observation d’un signal revient à convoluer son spectre par un sinus cardinal de largeur ~2/T
=> réduction de la résolution spectrale.
T1~δν
−
2T
2T ,
( ) ( ) ( )ttsts TR ∏= ( ) ( ) ( )TcsTsR ννν sin*~~ =
• Echantillonnage de la TF• Signal de durée T => échantillonnage de la TF avec un pas • Echantillonner la TF revient à calculer la série de Fourier du signal sR(t)périodisé. Ce signal peut contenir de fortes discontinuités sur les bords du support => apparition de hautes fréquence.
T1=δν
• Exemple de la sinusoïde complexe:
VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète
• La TFD est la TF échantillonnée avec un pas . On obtient :
( ) [ ]ti2Ats 0πν−= exp ( ) ( ) [ ]TTAs 0R νννδν sinc*~ −=
( )[ ]0TTA νν −= sinc
T1=δν
[ ]TkTAs 0kR ν−= sinc~,
kRs ,~
0ν
( )νRs~
1
• Exemple de la sinusoïde complexe:
VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète
• La TFD est la TF échantillonnée avec un pas . On obtient :
( ) [ ]ti2Ats 0πν−= exp ( ) ( ) [ ]TTAs 0R νννδν sinc*~ −=
( )[ ]0TTA νν −= sinc
T1=δν
[ ]TkTAs 0kR ν−= sinc~,
Sauf si :
0νL’échantillonnage se fait sur les zéros du sinus cardinal !
0ν
on n’a donc plus une raie !
1
entiernT 00 =ν
kRs ,~
• Exemple de la sinusoïde complexe:
VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète
• La TFD est la TF échantillonnée avec un pas . On obtient :
( ) [ ]ti2Ats 0πν−= exp ( ) ( ) [ ]TTAs 0R νννδν sinc*~ −=
( )[ ]0TTA νν −= sinc
T1=δν
[ ]TkTAs 0kR ν−= sinc~,
Sauf si : entiernT 00 =ν
0νL’échantillonnage se fait sur les zéros du sinus cardinal !
0ν
kRs ,~
on n’a donc plus une raie !
1
VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète
0ν0ν
quelconqueT0ν
Discontinuité dans le signal périodisé
apparition de raies parasites
entierT0ν
Le signal périodisé est une sinusoïde. Donc pas de discontinuité
La TFD est égale à la TF de la sinusoïde : une seul raie.Ce phénomène est appelé
phénomène de Gibbs
0TnT =⇒
N=128 T0=16
TFDν0 N = 8
N=128 T0=17
TFDν0 N = 7.53
VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète
• Pour limiter la durée du signal, nous avons utilisé un fonction porte.
• Atténuation du phénomène de Gibbs : fenêtre de pondération
• Mais on peut aussi utiliser une autre « fenêtre ». Dans le cas général:
( ) ( ) ( )ttsts TR ∏=
( ) ( ) ( )tFtsts TR = ( ) 2Ttsi0tFT >= ( ) ( ) ( )νν TR Fsts ~*~~ =
Principe : on choisit une fenêtre sans discontinuités.
• Exemple : fenêtre de Hamming : ( ) Tt2460540tFT πcos.. +=
Atténuation des « rebonds » => moins de pics parasites dans la TFD
Mais lobe central plus large : perte de résolution spectrale.
Voir TD
N=128 T0=17
TFDν0 N = 7.53
Fenêtre de Hamming: ( ) TttFT π2cos46.054.0 +=
N=128 T0=17
TFDν0 N = 7.53
TFD
Fenêtre de Hamming ( ) TttFT π2cos46.054.0 +=
ν0 N = 7.53
VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète
• Criètre de choix d’une fenêtre :
A
∆ν
ν0
Récapitulatif !
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