Mathématiques et signal - IOGS - Catalogue des Cours

Mathématiques et signal

François Goudail (“signaux certains”)

Equipe pédagogique :

Travaux dirigés + TPJulien DespresVincent Lienhard

Clemence Briosne-Fréjaville

Luis Trigo

Matthieu Boffety (“variables aléatoires”)

Qu’est-ce qu’un signal ?C’est un grandeur physique qui varie dans le temps ou dans l’espace.

I. Introduction : qu’est-ce qu’un signal

Cette variation transporte une information

Intensité de la lumière réfléchie par la scène

Distribution de température

Electrocardiogramme

• Variation dans le temps

• Variation dans l’espace :

Grandeur physique ?

Qu’est-ce que le traitement du signal ?

Extraire l’information transportée par le signal

Exemple : Le radar Signal émis(modulé par une « porteuse »)

Signal reçu (atténuation en 1/d4)

Estimation de la distance :

t0

Traitement du signal

te

d= c (te-t0) / 2

d


Articulation avec les autres cours

• En physique : la notion de bruit est essentielle.

• Signaux certains

Variables aléatoires : Matthieu Boffety

Ex : radar

(ou déterministes) ?

Le signal reçu par un radar est imprédictible : il ne peut pas être représenté par une fonction déterministe. On doit utiliser le concept de variable / fonction aléatoire.

Signaux représentés par une fonction « déterministe » du type )(tft

CR→→


2° semestre : Traitement du signalComment extraire l’information d’un signal ?

Nouveaux concepts pour représenter et analyser les signaux

• Notions d’analyse fonctionnelle• Nouvelle définition de l’intégration, espaces fonctionnels

• Espaces de Hilbert : représentation des signaux à énergie finie

• Transformée de Fourier !

• Opérations sur les signaux : convolution, corrélation

Objectifs du cours de signaux certains

• Dans de nombreux cas, la notion de fonction n’est pas adaptée pour représenter un signal (ou, plus généralement, une grandeur physique)

Ex : signaux discontinus, échantillonnés, à énergie infinie.

Théorie des distributions

• Signaux échantillonnés (à temps / espace discret)


Calendrier du cours

• Le domaine couvert par le cours de signaux certains est immense !

Quelques remarques

• Certaines notions (analyse fonctionnelle, …) seront à peine abordées. L’objectif est de vous montrer qu’elles existent, et donner des pistes pour ceux qui voudront, ou devront aller plus loin.

Les mathématiques ne sont pas seulement un outil. C’est le langage de la physique.

Ce langage, vous l’avez déjà beaucoup étudié. Il vous reste simplement à compléter votre vocabulaire !

• D’autres sont des concepts indispensables à l’ingénieur : transformée de Fourier, convolution, distributions, …


Plan du cours

I. Introduction : qu’est ce qu’un signal ?

II. Espaces de Hilbert et représentation des signaux

III. La transformée de Fourier des fonctions

IV. Convolution et corrélation

V. Distributions

VI. Signaux échantillonnés

VII. Transformée de Fourier discrète, éléments d’analyse spectrale



II.1. Intégration


II.3. Espaces fonctionnels

II.2. Propriétés de l’intégrale de Lebesgue

II.4. Espaces de Hilbert et bases de fonctions

II.1 IntégrationII.1.1 Introduction : Qu’est-ce qu’une intégrale ?

C’est une application qui à une fonction associe un nombre. On appelle cela une fonctionnelle.

• Intégrale de Riemann :

[ ]0xx

xxbxxa

ni1i

1iiin1

→−

∈<<<<

+∞→+

+,, ξ

( ) ( )( )∑∫=

++∞→−=

n

1ii1iin

b

a

xxfdxxf ξlim

• Autre approche de l’intégration : Au lieu de découper l’axe des x en tranches, on découpe l’axe des y.

avec

Il faut que la fonction f(x) soit suffisamment régulière (nombre fini de discontinuités)

( ) ( )∫ ∑=

+∞→=

n

iiin

Edxxf1

lim µϕ

xi xi+1ξi

ϕi

ϕi+1

ϕ1...

Ei

Il faut définir la « mesure » de l’ensemble Ei des valeurs de x

correspondant à ϕi < f(x) < ϕi+1


II.1 IntégrationII.1.2 Mesure

Il faut définir la « mesure » d’une partie d’un ensemble.

II.1.2.a Tribu :

Soit Ω un ensemble et F une famille de parties de Ω. F est une tribu si :

a) F est non vide

c) Quel que soit ,ensemble dénombrable d’éléments de F,

b) Si P est un élément de F, son complémentaire aussi

NiiP ∈FP

1ii ∈

+∞

=

II.1.2.b Tribu de Borel:

Considérons l’ensemble des intervalles de R du type ] [ Raa ∈∞− ,,

La tribu de Borel est la tribu engendrée par cet ensemble, c’est-à-dire, la plus petite tribu contenant cet ensemble

La tribu de Borel contient tous les intervalles ouverts et fermés, ainsi que tous les éléments de R. Tout sous-ensemble de R d’usage courant appartient donc à cette tribu.


b) La mesure d’une réunion dénombrable de parties disjointes est la somme des mesures de chacune des parties .

II.1 IntégrationII.1.2.c Mesure :

Soit Ω un ensemble muni d’une tribu B. On appelle mesure µ sur la tribu B toute application faisant correspondre à chaque élément P de B un scalaire, réel ou complexe, noté µ(P), telle que

( )∑+∞

=

+∞

=

=

1ii

1ii PP µµ

Exemple : Mesure de Lebesgue sur R

Considérons la tribu borélienne. On définit la mesure de Lebesgue de l’intervalle ]a,b[ par : ] [( ) abba −=,µ

- Tout élément isolé est de mesure nulle.

On remarque que :

a) La mesure de l’ensemble vide est nulle : ( ) 0=∅µ

,,,,,, jiPPP ji21ii ≠∅=∩∀ ∞=

- Cette mesure est invariante par translation. On montre que c’est la seule.

- Tout ensemble dénombrable d’éléments de R est de mesure nulle. Rx ∈


II.1 IntégrationII.1.3 L’intégrale de Lebesgue

La notion de mesure va nous permettre de donner une nouvelle définition de l’intégrale d’une fonction.

II.1.3.a Fonction mesurable :Soit Ω un ensemble muni d’une tribu B, et Ω‘ un autre ensemble muni d’une tribu B’.

est dite mesurable si l’image réciproque de toute partie P’ de B’ est une partie P de B.

( ) BPfPBP 1 ∈=∈∀ − ',''L’application f(x) :

)('xfx →

→ ΩΩ

Image réciproque de P’

'PNB : toutes les fonctions qu’on rencontre en physique sont mesurables.


( )'Pf 1−

II.1 IntégrationII.1.3.b Intégrale :

• Fonction étagée : fonction prenant un nombre fini de valeurs distinctes positives.

( )∑=

=n

1iEi xCxf

iϕ)(

Nous allons définir l’intégrale d’une fonction mesurable, en commençant par les fonctions pour lesquelles c’est facile. On en déduira l’intégrale d’une fonction quelconque par passage à la limite.

( ) ∈

=sinon0

Exsi1xC i

Eiavec

Fonction caractéristique de Ei

L’intégrale d’une fonction étagée est définie par:

( )∑∫=

=n

1iii Edf µϕµ


iϕ

iE

II.1 IntégrationII.1.3.b Intégrale :

• Fonction étagée : fonction prenant un nombre fini de valeurs distinctes positives.

( )∑=

=n

1iEi xCxf

iϕ)(

Nous allons définir l’intégrale d’une fonction mesurable, en commençant par les fonctions pour lesquelles c’est facile. On en déduira l’intégrale d’une fonction quelconque par passage à la limite.

( ) ∈

=sinon0

Exsi1xC i

Eiavec

Fonction caractéristique de Ei

L’intégrale d’une fonction étagée est définie par:

( )∑∫=

=n

1iii Edf µϕµ

• Fonction mesurable réelle positive :On peut montrer que toute fonction de ce type est la limite d’une suite croissante de fonctions étagées. On définit son intégrale par :

∫∫ = µΦµ ddf sup Borne supérieure des intégrales de l’ensemble des fonctions étagées Φ telles que f0 ≤≤Φ

Φ (x)

f (x)


II.1 Intégration• Fonction réelle quelconque

On la décompose en partie réelle et imaginaire :

−+ −= fff 0fet0f ≥≥ −+avec

Son intégrale est définie par : ∫∫∫ −+ −= µµµ dfdfdf

• Fonction à valeurs complexes :

ir fiff += ∫∫∫ +=⇒ µµµ dfidfdf ir

• Fonction sommable : on dit qu’une fonction f(x) est sommable (ou intégrable) si

(a) f(x) est mesurable (b) est fini. ∫ µdf

• NB 1 : Cette définition de l’intégrale est relative à une mesure. Si la mesure utilisée est celle de Lebesgue, on parle d’intégrale de Lebesgue.

• NB 2 : Cette définition permet de définir l’intégration sur des espaces « amorphes »

On la décompose en partie positive et négative :


II.1 Intégration• On a défini un nouveau type d’intégrale. Problème : elle est définie par une limite. Comment la calculer ?

Pas de panique !

• Relations entre l’intégrale de Riemann et celle de Lebesgue1. Toute fonction f(x) bornée, nulle en dehors d’un intervalle [a,b], est intégrable au sens de Lebesgue. Si, de plus, son intégrale de Riemann existe, les deux intégrales sont égales.

2. Toute fonction f(x) non négative, intégrable au sens de Riemann, est intégrable au sens de Lebesgue et les deux intégrales sont égales.

3. Un fonction intégrable au sens de Lebesgue peut ne pas l’être au sens de Riemann.

L’intégrale de Lebesgue est une généralisation de l’intégrale de Riemann

• Exemples.

Pour qu’une fonction soit sommable (au sens de Lebesgue), il faut que l’intégrale de son module existe : pas d’intégrales « semi-convergentes ».


II.2 Propriétés de l’intégrale de Lebesgue

• Propriété 1 : linéaritéSoient f et g deux fonctions sommables et λ un scalaire, réel ou complexe.

L’ensemble des fonctions sommables forme un espace vectoriel, appelé L1.

Alors les fonctions f+g et λf sont sommables, et on a :

( ) ∫∫∫ +=+ µµµ dgdfdgf ∫∫ = µλµλ dfdfet

L’intégrale de Lebesgue est une fonctionnelle (ou forme) linéaire sur L1

• Propriété 2 : Soit f une fonction mesurable non négative. Pour que , il faut et il suffit que f(x) soit nulle presque partout.

0dxf =∫Sauf sur un ensemble de mesure nulle.

Corollaire : Si f et g sont presque partout égales, et si f est sommable, alors g est sommable et ∫∫ = dxgdxf

On définit la relation d’équivalence : partoutpresquegfgf =⇔ℜ

L’ensemble des classes d’équivalence définies par cette relation forme l’espace vectoriel L1.


(b) est différentiable pour presque tout x

• Propriété 3 : Pour qu’une fonction f soit sommable, il faut et il suffit que |f| le soit. On a : ∫∫ ≤ dxfdxf

• Propriété 4 : Théorème de la convergence dominéeSoit fn une suite de fonctions convergeant simplement, presque partout vers f. S’il existe une fonction g sommable telle que )()(, xgxfn n ≤∀

Alors f est sommable et on a : ∫∫ =+∞→

dxfdxfnnlim

• Propriété 5 : Dérivation sous le signe somme.(a) est sommable

),( yxfy →

Soit la fonction

Si :∫= dxyxfyF ),()(

(c) Il existe une fonction sommable g(x) telle que

),(, yxfxIy →∈∀

)(),(, xgyxyfIy ≤

∂∂

∈∀

Cette formule permet d’intervertir la limite et l’intégrale.

Alors F(y) est différentiable sur l’intervalle I et on a : ∫ ∂∂

= dxyxyfyF ),()('


II.2 Propriétés de l’intégrale de Lebesgue

Un espace fonctionnel est un ensemble Ω de fonctions. On le supposera muni d’une structure d’espace vectoriel (e.v.).

• Norme : Application possédant les propriétés suivantes:ff

R→→ +Ω

(a) 0f0f =⇔= (b) ffC λλλ =∈∀ ,

(c) gfgfgf +≤+∈∀ ,, Ω Inégalité triangulaire

• Ex. : Peut-on définir une norme sur L1 ? ∫= dxff

-> Cette application ne vérifie pas la propriété (a) sur L1

-> En revanche, elle la vérifie si on considère les classes d’équivalences de fonctions égales presque partout ! Cet ensemble sera appelé L1. -> L1 est un espace vectoriel normé.

On montre également que L1 est un e.v. complet (toute suite de Cauchy converge). C’est un espace de Banach


II.3 Espaces fonctionnels

Qu’est ce qui manque à un espace normé, et que possèdent les espaces euclidiens classiques ? Un produit scalaire !

II.4.1 Produit scalaire

Intérêt ? Notion d’orthogonalité : projection, de base orthogonale, …

Ex. : espace euclidien (Cn) : ( ) ∑=

=n

1iii vuvu *, Φ


II.4 Espaces de Hilbert

⇒∈ nCvu ,

NB 1 : On utilisera la notation suivante : yxyx =),(Φ-> notation utilisée en mécanique quantique.

NB 2 : xxx

R→→ +ΩL’application définit une norme:

NB 4 : Un espace vectoriel complet muni d’un produit scalaire est appeléespace de Hilbert

xxx 2 =

NB 3 : Deux éléments x et y de Ω sont orthogonaux si : 0yx =

Comment définir un produit scalaire sur un espace de fonctions ?

II.4.2 Espace des fonctions de carré sommable

Def. : On appelle L2(I) l’espace des classes d’équivalence de fonctions presque partout égales dont le module carré est sommable sur l’intervalle I de R.

Espace des fonctions de carré sommable, ou fonctions d’énergie finie.

∫Idxxf 2)( existe



Definition : Comme L1, L2 est un espace vectoriel normé complet. On peut le munir du produit scalaire suivant :

L’espace des fonctions de carré sommable est un espace de Hilbert. Il possède donc des propriétés « géométriques » analogues à celles des espaces euclidiens.

( ) ,, ILgf 2∈∀ ∫=I

dxxgxfgf )()(*

II.4.3 Propriétés d’un espace de Hilbert

II.4.3.a Inégalité de Cauchy-Schwarz :

(a) ,, Hyx ∈∀ 222yxyx ≤

(b) Cette inégalité devient une égalité si et seulement si : xyC λλ =∈∃ ,

Cette relation est très utilisée en traitement du signal.


I.4 Espaces de Hilbert

• Définition : Un espace de Hilbert H est dit séparable si tout élément de H peut s’écrire comme une somme pondérée dénombrable (éventuellement infinie) de vecteurs de base.

• Propriété : L2 (I) est un espace de Hilbert séparable.

II.4.3.b Bases d’un espace de Hilbert :

Espace euclidien : base orthonormale

∑=

=n

1iiiex

λ xeii .:aOn =λ

ijjin1ii eee δ==

.,,...,

,nCx∈∀

• NB : La suite de fonctions : i

n

1iin efef ∑

=

=

converge en moyenne quadratique vers f : 0ffnn +∞→→−

C’est dans ce sens qu’on pourra écrire : i

1ii efef ∑

+∞

=

= Le produit scalaire est appelé coordonnée de f dans la base

feii =λ Niie ∈



• Théorème de Parseval :

∑+∞

=

=1i

2i

2 fef La norme (énergie) d’une fonction est la somme des carrés de ses coordonnées dans une base orthonormale.

Plus généralement : i1i

ii1i

i geefgfHgf µλ∑∑+∞

=

+∞

=

==∈∀ *,,

II.4.4 Séries de Fourier

Soit f(t) une fonction périodique. Appartient-elle à L2 ? Si on se restreint à une période, elle peut appartenir à L2 (]-T/2,T/2[).

• Le système est une base orthonormale de L2(]-T/2,T/2[).

=

Tnti

Tten π2exp1)(



La série de Fourier d’une fonction périodique est l’ensemble des coordonnées d’une période de la fonction dans la base de Fourier.

= ∑

+∞

∞− Tntic

Ttf n π2exp1)( ∫

−

−==

2/

2/

2exp)(1 T

Tnn dt

Tntitf

Tfec πavec

• Th. de Parseval : ∑∫+∞

∞−−

== 2n

2T

2T

2 ctfE/

/

)(

• Cas d’une fonction réelle : Si f(t) est réelle, on peut montrer que

+

+= ∑∑

+∞

=

+∞

= Tnt2b

Tnt2aatf

1nn

1nn0 ππ sincos)(

dtTnt2tf

T2b

dtTnt2tf

T2a

dttfT1a

2T

2Tn

2T

2Tn

2T

2T0

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

/

/

/

/

/

/

sin)(

cos)(

)(

π

πavec

Série de Fourier : signal rectangulaire

temps

f13f1/3

b1 b3

n

1/2


Somme des harmoniques 1 et 3

temps5f1/5

b1 b3

n

1/2

b5


Somme des harmoniques 1, 3 et 5

temps

7f1/7

b1 b3

n

1/2

b5 b7


Somme des harmoniques 1, 3 , 5 et 7

temps

Etc.b1 b3

n

1/2

b5 b7


Somme des harmoniques 1 à 21

temps

Problème pour approximer les zones où le signal varie brutalement (discontinuités).


0.18

1Phénomène de Gibbs

Série de Fourier : signal triangulaire

temps

f1

a1 a3

n

1/2

3f1/9


Somme des harmoniques 1 et 3

temps5f1/25

a1 a3

n

1/2

a5


II.4.5 Autres bases de L2

• Polynômes de Legendre : base de L2 (]-1,1[)

( )[ ]n2nnn 1x

dxd

n221nte −

+=

!/)(



( ) ...,1322

5)(,23)(,

21)( 2

210 −=== xtextete

en(t) : polynôme d’ordre n

II.4.5 Autres bases de L2

• Polynômes de Legendre : base de L2 (]-1,1[)

Polynôme d’Hermite• Fonctions d’Hermite : base de L2 (R)

[ ]2ttHte 2nn /exp)()( −= où ( ) [ ] [ ] 2

n2

n

n

n tdtdt

n2

1tH −−

= expexp!

)(π



Polynômes d’Hermite Fonctions d’Hermite

( )[ ]n2nnn 1x

dxd

n221nte −

+=

!/)(

Modes d’un laserFonctions d’Hermite 1D

Fonction d’Hermite 2D

2

22

wyx

nm

nmmn

ew

2yHw

2xH

yexeyxE)(

)()(),(+

−

=

=

Modes transversaux d’un laser (profil du faisceau)


=> base de L2 (R2)

2mn yxE ),(


III.1. Définition et inversion

III.3. TF de fonctions classiques

III.2. Propriétés de la TF

III.4. TF des fonctions à deux dimensions


III.1 Définition et inversionIII.1.1 DéfinitionQuand elle existe, la transformée de Fourier (TF) d’une fonction f(x) est définie par :


[ ]∫+∞

∞−

−= dxxi2xff πνν exp)()(~

La TF est une transformation fonctionnelle: elle associe à une fonction f(x) une autre fonction.

)()(~)(~)( xfFfoufxfF

=→ νν

• Toute fonction f(x) sommable (i.e., appartenant à L1) possède une transformée de Fourier. • Cette TF est :

• Propriétés :

- Bornée- Continue - Tend vers 0 lorsque

On notera cette transformation de la manière suivante :

En revanche, elle n’est pas forcément sommable !∞→ν

Si les fonctions sont toutes deux sommables, on peut définir la transformée de Fourier inverse :

III.1 Définition et inversionIII. La transformée de Fourier des fonctions

III.1.2 Inversion

[ ]∫+∞

∞−

= νπνν dxi2fxf exp)(~)(

)(~et)( νfxf

La condition de validité de cette relation est très restrictive. Elle suppose en particulier que soient continues ! )(~et)( νfxf

NB : Il est intéressant de noter que lorsque la formule d’inversion est valide :

)( xf −[ ][ ]=)(xfFF


• Fonction rectangle (ou fonction « porte ») : −∈

=sinon

]/,/[si)(

2121x01

xΠ

( )νπν

πνΠ sincsin)(~ ==v

• est elle sommable ? )(~ vΠ Non ( Π(x) n’est pas continue)

Premier zéro:ν =1

III.1 Définition et inversion : Exemple

Attention ! est à valeurs complexes, même si f(x) est à valeurs réelles.

III.1 Définition et inversionIII. La transformée de Fourier des fonctions

• Signification « physique » de la formule d’inversion:

Décomposition spectrale de la fonction f(x) sous la forme d’une somme continue de sinusoïdes complexes (appelées composantes spectrales).

[ ]∫+∞

∞−

= νπνν dxi2fxf exp)(~)(

)()(~)(~ vieff ϕνν =

Amplitude des sinusoïdes

)(~ νf

( )[ ]∫+∞

∞−

+= ννϕπνν dx2ifxf )(exp)(~)(

:)(~ νf

:)(νϕ Déphasage entre les sinusoïdes

• Si est réelle :

III.2 Propriétés de la TF

• Propriété 1 : Linéarité.


[ ] )(~)(~)()( νµνλµλ gfxgxfF +=+

Puisque l’intégration est une opération linéaire, la TF l’est aussi.

[ ] )(~)( ** ν−= fxfF

• Propriété 2 : Parité On a : [ ] )(~)( ν−=− fxfF

Exemples: )(xf )(~ νf

La TF conserve la parité

• Propriété 3 : Conjugaison On a :

possède la symétrie hermitienne-> partie réelle paire et partie imaginaire impaire

• Si est réelle et paire : )(xf )(~ νf est réelle


• Propriété 4 : Translation

[ ] )(~)( νπν feaxfF ai2−=−

[ ] )(~)( 0xi2 fxfeF 0 νννπ −=

Translater f(x) revient à « moduler » sa TF.

Moduler f(x) revient à translater sa TF.

• Propriété 5 : Modulation


( )[ ]

=

af

aaxfF ν~1

• Propriété 6 : Dilatation / rétrécissement

Dilater f(x) revient à « rétrécir » sa TF. et vice-versa.


• Propriété 7 : TF de la dérivée

[ ] )(~)(' vfvi2xfF π=


Si f(x) est sommable, continue et dérivable, et si f’(x) est sommable,

Si f(x) admet des dérivées sommables jusqu’à l’ordre p : [ ] ( ) )(~2)()( vfvixfF pp π=

Majoration : dxexfvfv vxipp ππ 2)( )()(~2 −∫= dxxf p∫≤ )()(

A l’infini, se comporte comme un infiniment petit d’ordre au moins. )(~ vf pv −

Plus est dérivable, plus décroît rapidement. )(~ vf)(xf

Application : gff =+α'' ( ) ( ) ( )ννανπ gf4 22 ~~=+−⇒

La TF transforme les équations différentielles linéaires en équations algébriques.


• Propriété 8 : Dérivée de la TF

( ) ( ) [ ])('~~xfxi2Fvf

dvfd π

ν−==


Si la fonction x f(x) est sommable,

Plus généralement, si est sommable, alors est p fois dérivable:

Plus décroît rapidement, plus est dérivable)(~ vf)(xf

Application : Calcul des moments -

)(xfx p )(~ vf

( ) ( ) dxxfxvf ppp ∫≤⇒ )(2~ )( π[ ]( )

( )vfi

xfxF pp

p )(~21)(π−

=

∫= dxxfxm pp )( ( )

( )0~21 )( p

p fiπ−

=

• p=0 : ( )∫ = 0fdxxf ~)( « valeur moyenne » de f(x) (« composante continue »)

• p=1 : ( )∫ −= 0'~2/1)( fidxxfx π Centre de gravité, moyenne d’une V.A.

• p=2 : ( )∫ −= 0f41dxxfx 22 ''~/)( π Moment d’inertie, variance d’une V.A.

III. La transformée de Fourier des fonctionsIII.2 Propriétés de la TF

Si f(x) et g(x) appartiennent à L2, alors :

Dans L2, la TF conserve le produit scalaire !

ννν dgfdxxgxf )(~)(~)()( ** ∫∫ =

• Propriété 9 : Formule de Parseval

• Elle conserve donc aussi la norme : νν dfdxxf22

∫∫ = )(~)(

La TF est une isométrie dans L2

C’est l’équivalent d’une « rotation » dans un espace fonctionnel.

Energie

• est appelé densité spectrale d’énergie2

f )(~ ν

Toute fonction de L2 possède une TF, cette transformation est inversible.


• Fonction exponentielle :

III.3 TF de fonctions classiques

[ ]axxHxf /exp)()( −= +∞∈

=sinon

[,[si)(

0x01

xH

Distribution de Heavisideνπ ai21avf

+=)(~

0a >

f(x) à valeurs réelles, mais sa TF est à valeurs complexes

( ) ( )2

2

2 a21a2i

a21a

νπνπ

νπ +−

+=

et de symétrie hermitienne

paire impaire


• Fonction exponentielle :


[ ]axxHxf /exp)()( −= +∞∈

=sinon

[,[si)(

0x01

xH

Distribution de Heavisideνπ aiavf

21)(~

+=

0a >

• Fonction exponentielle symétrique (Laplacienne):

( ) ( )2

2

2 212

21 νπνπ

νπ aai

aa

+−

+=

paire impaire

[ ]axxf −= exp)(

( )2a21a2vf

νπ+=)(~

f(x) paire à valeurs réelles => sa TF est à valeurs réelles

f(x) à valeurs réelles, mais sa TF est à valeurs complexes et de symétrie hermitienne

• En physique : « Lorentzienne » • En probabilités : « loi de Cauchy »


• Gaussienne :


[ ] [ ]22 fxxf νπνπ −=→−= exp)(~exp)(

( )

−= 2

2

2x

21xf

σσπexp

On montre que :La TF d’une gaussienne est une gaussienne.

( ) [ ]2222f νσπν −=⇒ exp~

• Fonction lorentzienne :( ) 22

21

211)(

xxf

+=

γγ

π

[ ]νγπ−= exp)(~ vf γ : largeur à mi-hauteur = FWHM (Full Width at Half Maximum)

III. La transformée de Fourier des fonctionsIII.3 TF de fonctions classiques

-> n’existent pas au sens des fonctions ! (fonctions non sommables)

• TF de cos (2πνt) et sin (2πνt) ?

-> existent au sens des distributions.

-> La liste des TF des fonctions usuelles sera complétée par celle des distributions usuelles dans la seconde partie du cours.

• Conclusion : Dans la pratique, pour calculer une TF:

- de manière analytique : on utilise des tables de TF usuelles

- de manière numérique : signaux limités, discrets et à valeurs discrètes => TF discrète (voir fin du cours)


Application de la TF 1D : relation d’incertitude2g )(~ ν

• En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans L2, on montre facilement que :

• On définit :

• On définit le signal normalisé:

Etalement temporel

( ) dttgtt2

∫=

2tg )(

( ) ∫= dttftftg 2)()(

=⇒ ∫ dttg 2)(

( ) νννν dg2

∫= ~

( ) ( ) dttgtt222

t ∫ −=σ ( ) ( ) ννννσν dg222 ∫ −= ~

Etalement spectral

Fréquence moyenne

πσσ ν 4

1≥t

et

et

1Temps moyen

t νtσ νσ


Application de la TF 1D : relation d’incertitude

tσ νσ

• Quelles sont les fonctions pour lesquelles l’égalité est atteinte ?

• Donc :

Quels que soient t0 et σ !=> Les gaussiennes: ( ) ( )

−−= 2

20

2tt

21tf

σσπexp

Un signal bien localisé en temps est étendu spectralement

Un signal bien localisé en fréquence est étendu temporellement

πσσ ν 4

1≥t

2g )(~ ν2tg )(


• On peut définir la TF d’une fonction à deux dimensions :

III.4 TF de fonctions à deux dimensions

( )[ ]∫∫ +−= dydxyxi2yxff νµπνµ exp),(),(~ ( )[ ] νµνµπνµ ddyxi2fyxf ∫∫ += exp),(~),(

Sous réserve d’existence

=> Notion très importante en traitement d’images !

• Plus généralement, on peut définir la TF d’une fonction à ndimensions :

[ ]∫ −=nR

xdxi2xff .exp)()(~ νπν [ ]∫=nR

dxi2fxf ννπν .exp)(~)(

sont des vecteurs à n dimensions. ν etx

III.4.1 Définition


III.4.2 Fonctions séparables :


)()(),( ywxuyxf =

La TF d’une fonction séparable est une fonction séparable.

)(~)(~),(~ νµνµ wuf =⇒

Exemple :

−×−∈

=sinon

]21,21[]21,21[),(si01

),(yx

yxfFonction « porte » en 2D :

( ) ( )yxyxf ΠΠ=),( ( ) ( )νµνµ sincsinc),(~=⇒ f

=

by

axyxf ΠΠ),( ( ) ( )νµνµ baabf sincsinc),(~

=⇒

• Exemples:a=b a->2a


=

by

axyxf ΠΠ),(

( )( )ν

µνµ

baabf

sincsinc),(~

=

• Exemples:a=b a=2b

=

by

axyxf ΠΠ),(


( )( )ν

µνµ

baabf

sincsinc),(~

=


III.4.2 Fonctions radiales :


)(xf

La TF d’une fonction radiale est une fonction radiale.

est une fonction radiale si : ( ) ( )rFxFxf ==)(

2Rx ∈

Alors, on montre que : ( ) ( )ρGvGvf ==)(~

Si ( ) ( ) ( )∫+∞

=0

0 22 drrJrFrG ρππρ ( ) ∫ −=π

θ θπ2

0

iu0 deuJ2 cos

Exemple : Fonction « disque »

( ) ( ) ( )ρπρππρππρ

22222~ 1

1

00

JdrrJrD == ∫

Fonction de Bessel de 1° espèce et d’ordre 0

Fonction de Bessel de 1°espèce et d’ordre 1

ρ =1.22

Fonctions de Bessel de 1° espèceIII. La transformée de Fourier des fonctions

( )νD~

( )rD


Transformée de Fourier de la fonction « disque »

( )νf~

( )rf


Effet de la rotation d’une fonction

• L’image f(x,y) dans l’espace direct est une somme de sinusoïdes complexes, où chaque « fréquence spatiale » (µ,ν) est pondérée par la transformée de Fourier .

∫∫ += νµυµ νµπ ddefyxf yxi2 )(),(~),(

µ=0.1, ν=0

),(~ υµf

µ=0, ν=0.1 µ=0.1, ν=0.1

TF inverse

y

x

µ=0.02, ν=0.02


Application : TF d’une image

Image f(x,y)

),(),(~),(~ υµϕυµυµ ieff =

),(~ υµf ),( υµϕ

Amplitude des sinusoïdes

Phase des sinusoïdes



),(~ υµif

),( υµϕi

),( yxfi

[ ]),(),(~ υµϕυµ 2i1

1 efTF −Image 1 Image 2



[ ]),(),(~ υµϕυµ 1i2

1 efTF −

• La phase de la TF contient l’informationsur les positions relatives des objets dans l’image.

[ ]),(),(~ υµϕυµ 2i1

1 efTF −

[ ]),(),(~ υµϕυµ 1i2

1 efTF −• Le module de la TF correspond à la l’amplitude de chaque composante spectrale



),(~ υµf

),( υµϕ

),( yxf

Image 1



[ ]),(1 υµϕieTF −

Plan du coursIV. Convolution et corrélation





V. Distributions



IV.1 ConvolutionIV.1.1 Filtres linéaires

En physique, un système est une « boîte noire » qui transforme un signal d’entrée e(t) en un signal de sortie s(t).

( )teSystème

S ( )ts

• Un système est linéaire si :

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]teSteSteteS 2121 µλµλ +=+

• Un système est continu si :

[ ] ( )[ ]teSteSte nnnnn +∞→+∞→=∀ lim)(lim,)(suitela


( )[ ]teS=

• Un système est invariant par translation si :

( ) ( ) ( )0

S

0

Sttsttetste −→−⇒→)(

On appelle filtre linéaire un système linéaire, continu, inv. par translation.

IV.1 Convolution

• Si S est un filtre linéaire, il existe une fonction h(t) telle que :

( ) ( ) ( )dtteths −= ∫ ττ

Un filtre linéaire est défini par la fonction h(t) , qui est appelée réponse impulsionnelle (ou percussionnelle) du filtre

• D’une manière générale, le produit de convolution entre deux fonctions f(t) et g(t) est défini par:

[ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ* Attention ! Le résultat est une fonction de τ.


f(t)f(t)

-> Convolution : Intégrale de recouvrement entre la fonction f(t) et la fonction g(t) « retournée » et translatée de τ.

g(t) g(-t) [ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ*

τ2τ1 τ3

IV.1.2 Propriétés de la convolution

• La convolution est distributivepar rapport à l’addition :

• La convolution est commutative :


[ ] 2121 gfgfggf *** +=+

fggf ** =

• Comment ça marche ?

IV.1 Convolution

[ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ*

IV.1.3 Convolution et TF

• Le produit de convolution de deux fonctions est une fonction. Quelle est sa TF ?

• On montre facilement que :


[ ]( ) ( ) ( )νν gftgfF ~~* →

La TF transforme un produit de convolution en produit de fonctions !

IV.1 Convolution

• Soit un filtre linéaire dont l’action sur le signal d’entrée est :

Supposons que le signal d’entrée soit une fonction rectangle de largeur T :


Réponse impulsionnelle et réponse en fréquence d’un filtre linéaire

Donc lorsque ,

IV.1 Convolution

( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )dttethdttethehs −=−== ∫∫ ττττ *

( ) ( )TtT1te /Π= ( ) ( )∫

+

−

=⇒2T

2T

dtthT1s

/

/

τ

τ

τ ( ) ( )ττ hs →0T →

h(t) représente donc la réponse du filtre à une « impulsion »

( ) ( ) ( )ννν ehs ~~~ =• Dans l’espace de Fourier, on a :

est appelée réponse en fréquence du filtre. ( )νh~

Un filtre linéaire est donc défini, de manière équivalente, par sa réponse impulsionnelle ou par sa réponse en fréquence.

IV. Convolution et corrélationIV.1 Convolution

Exemple 1 :

Filtre g(t)

[f*g](t)f(t)

[ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ*

• Pour les filtres agissant sur des signaux temporel, « l’effet ne peut pas précéder la cause. »


Filtre causal

IV.1 Convolution

( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−−=−== dttethdttethehs ττττ *

s(τ) ne peut dépendre que de e(t) pour t < τ

• Pour cela, quelle est la condition que doit vérifier h(t) ?

( ) 0,0 <= tth Filtre causal

• NB : si la variable est spatiale (traitement d’image, électromagnétisme, …), le filtre n’a aucun raison d’être causal.

IV.2 CorrélationIV.2.1 Définition et propriétés

• Soit deux fonctions f(t) et g(t) appartenant à L2(C). On définit leur coefficient de corrélation par :


ggff

gffg =ρ

=> Mesure la « ressemblance » entre deux signaux 1fg ≤ρ

• Notons une version de g(t) translatée de -τ.( ) ( )ττ += tgtg

On définit la fonction d’intercorrélation: ( ) ( ) dttgtfgf ττ += ∫ *

( ) [ ]( )ττ gfC fg ⊗=

=> Mesure la « ressemblance » entre deux signaux à une translation près.

• NB1: l’opération de corrélation est aussi notée:

• NB2: La corrélation n’est pas commutative: ( ) ( )ττ −= *fggf CC


• On peut aussi définir la fonction d’autocorrélation:

( ) [ ]( ) ( ) ( ) dttftfffC ff τττ +=⊗= ∫ *

• NB: On peut montrer que :

• ( ) ( )ττ ffff C0C ≥∀ ,

( ) ( )ττ −= *ffff CC•

C’est la corrélation de f(t) avec elle-même.

)(tf )(τffC

IV.2 Corrélation

IV.2.2 Corrélation et TF

IV. Convolution et corrélationIV.2 Corrélation

• En utilisant la relation de Parseval, il est facile de montrer :

[ ]( ) ( ) ( )νν gftgfF ~~*→⊗

La TF transforme un produit de corrélation en produit de fonctions

• Cas particulier : Fonction d’autocorrélation

( ) [ ]( ) ( ) 2~ νftfftCF

ff →⊗=

La TF de la fonction d’autocorrélation est la densité spectrale d’énergie.


a. Reconnaissance d’un signal :

Problème : reconnaître le signal f(t)

Parmi les signaux gi(t):On utilise la fonction d’intercorrélation normalisée:

( ) [ ]( )2

i2

ii

gf

gf ττρ ⊗=

IV.2.3 Exemples d’application


Problème : reconnaître le signal f(t)

( ) [ ]( )2

i2

ii

gf

gf ττρ *=

Si on avait utilisé la convolution normaliséeParmi les signaux gi(t):

a. Reconnaissance d’un signal :




b. Mesure de retard :

• r(t) : gaussienne

• Intercorrélation:

0t

estimation de t0 = position du maximum de [ ]( )tsr ⊗




• Impulsion incidente (« chirp »)

• Signal bruité




• Impulsion incidente (« chirp »)

0t

• Intercorrélation:estimation de t0 = position du maximum [ ]( )tsr ⊗

• Soit f(x,y) et g(x,y) des fonctions à deux variables :


Exemple 3 : convolution d’images :

IV.1 Convolution

[ ]( ) ( ) ( ) dxdyyxgyxfgf −−= ∫ ητητ ,,,*

[ ] ( ) ( )νµνµ ,~,~* gfgfTF =

Un système d’imagerie optique est un filtre linéaire.

Tache d’Airyh(x,y)

Image d’un point : Image d’une scène :

• « Image idéale » :

• Image mesurée par le système optique :

[ ]( )yxfhyxg ,*),( =

),( yxf

Image “floue”

*g(x,y)f(x,y) h(x,y)

Tache d’Airy

IV. Convolution et corrélationIV.1 Convolution

[ ]( )yxfhyxg ,*),( =

f(x,y)

h(x,y)

Noyau gaussienLargeur ~ 2 pixels


[ ]( )yxfh ,*

h(x,y)


h(x,y)

[ ]( )yxfh ,*

On double la largeur du noyau de convolution

Plan du cours





V. Distributions



V. Distributions

Bibliographie

N. Boccara, Intégration, Ellipses et Distributions, Ellipses

F. Roddier, Distributions et transformation de Fourier, McGraw Hill

« L’inventeur » de la théorie des distributions, grand classique !

Simples, nombreux exemples physiques

R. Petit, L’outil mathématique pour la physique, Dunod

Niveau mathématique plus élevé, démonstrations

L. Schwartz , Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann

Document téléchargeable sur Libres Savoirs : L. Schwartz« Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et

applications mathématiques et physiques » - 1945

V. Distributions

« Trouver une théorie qui rendait toutes les fonctions indéfiniment dérivables et permettait la dérivation terme à terme des séries convergentes, c’était exactement le genre de recherche qui me convenait : théorie cohérente, mais restant près des réalités et des applications. »

V. Distributions

Laurent Schwartz

V.2 DéfinitionV.2.1 Espace vectoriel D:

• L’ensemble D n’est pas vide !

<

−

≥=

11

1exp

10)(

2 xsix

xsixξ

• Pour Ω, on choisit l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support borné.

RxCx ∈∈ ,)(ϕ

+1 -1

)(xξ

• Définition : une fonctionnelle T est une application d’un ensemble de fonctions Ω sur R ou C. ( ) ϕϕ

Ω

,Tx

CT

→

Cet ensemble forme un espace vectoriel appelé D.

V. Distributions

V.2 Définition

• Notion de convergence dans D:

On dit qu’une suite de fonctions converge dans Dvers la fonction ϕ lorsque k tend vers l’infini si

V.2.1 Espace vectoriel D:

- Les supports des ϕk(x) sont contenus dans un même ensemble borné indépendant de k

On peut montrer que dans ces conditions, ϕ(x) appartient à D.

),...,,(, +∞=∈ 21kDkϕ

• Ex: Soit ϕ(x) une fonction de D.

( ) →

=

kx

k1xk ϕϕ

( ) ( ) →= xk1xk ϕϕ 0

0 mais pas dans D, car le support s’étend indéfiniment.

dans D

- Les dérivées de chaque ordre des ϕk(x) convergent uniformément vers les dérivées correspondantes de ϕ (x)

V. Distributions

V.2 Définition

• Définition : On appelle distribution toute fonctionnelle linéaire et continue sur l’espace D

V.2.2 Les distributions

• Linéarité: ( ) 22112211 ,,, ϕλϕλϕλϕλ TTT +=+

• Continuité: Si ϕk converge dans D vers ϕ (au sens défini plus haut), la suite converge au sens usuel vers .

kT ϕ,ϕ,T

• Propriété : Les distributions forment un espace vectoriel D’, appelé dual topologique de D.

• NB : Soit Ω un espace fonctionnel topologiqueSon dual Ω* est l’ensemble des fonctionnelles linéaires définies sur Ω.Son dual topologique Ω’ est l’ensemble des fonctionnelles linéaires continues sur Ω.

Th. : Soient Ω1 et Ω2 deux espaces fonctionnels et Ω’1 et Ω’2 leurs duals. Alors:

⇒⊂ 21 ΩΩ1Ω2Ω

'1Ω'2Ω

'' 12 ΩΩ ⊂

V. Distributions

V.2 Définition

• On appelle fonction localement sommable une fonction sommable sur tout intervalle borné.

Une distribution associée à une fonction localement sommable est appelée distribution régulière

V.2.3 distributions régulières

• On peut associer à toute fonction localement sommable une distribution:

∫= dxxxfTf )()(, ϕϕ )(),(, xxfouf ϕϕOn note aussi parfois (improprement)

Tf : Distribution associée à f

• En utilisant les propriétés de l’intégrale de Lebesgue, on montre que:

Deux fonctions localement sommables f et g définissent la même distribution si est seulement si elles sont presque partout égales.

Les distributions sont donc une extension des classes de fonctions localement sommables presque partout égales.

V. Distributions

∑+∞

−∞=

=n

n)(, ϕϕ

V.2 Définition

Les distributions qui ne sont pas associées à des fonctions localement sommables sont appelées distributions singulières.

V.2.4 distributions singulières

• Ex.1 : la distribution de Dirac: )(, 0ϕϕδ =

-> on vérifie facilement que c’est une fonctionnelle linéaire et continue.

• Ex.2 : distribution de Dirac au point a: )(, aa ϕϕδ =

• Ex.3 : Peigne de Dirac : ∑+∞

−∞=

=n

nδ

• Autres exemples : ,)(, )( aT kϕϕ =

x1vp Etc …

?)(, aT 2ϕϕ = Ce n’est pas une fonctionnelle linéaire !

V. Distributions

V.2 Définition

• Représentation « graphique » de la distribution de Dirac

V.2.4 distributions singulières

a0

δ+1

0

δb+b aδ

• C’est une représentation symbolique (mais très utile !)

=

=sinon

0xsi)(

01

xf

• NB : en physique, la distribution de Dirac est la représentation mathématique adéquate d’une distribution ponctuelle de charge, de masse, …

Si on vient « mesurer » la charge placée en a avec une fonction test ϕ, on obtient

aqδ)(xϕ

)(, aqq a ϕϕδ =

• Attention ! Ne pas confondre δ avec la fonction:

Question : quelle est la distribution régulière associée à f ?

0 +1 +2 +3-1-2-3

… …

V. Distributions

• NB: Convergence au sens des distributions convergence de la suite

V.2.5 Convergence des distributions

• Définition : Soit Tk (k=1,2,…) une suite de distributions. On dit que Tkconverge vers T si:

ϕ,kT

ϕϕϕ ,,lim, TTD kk=∈∀

+∞→

• Corollaire :. Séries de distributions

• Ex: Convergence vers la distribution de Dirac

Soit f(x) telle que 1dxxf =∫+∞

∞−

)(

Alors la suite de distributions régulières )(kxfk converge vers δ

L’expression TT1k

k =∑+∞

=

signifie: ϕϕϕϕ ,,lim,lim, TTTDn

1kkn

n

1kkn

==∈∀ ∑∑=

+∞→=

+∞→

V.2 DéfinitionV. Distributions

V.3 PropriétésObjectif : définir des opérations sur les distributions généralisant les

opérations sur les fonctions.

V. Distributions

Mais n’a aucun sens !est défini dès que f(x) est continue en 0.

V.3.1 Produit

Ex : x

1xf =)( est localement sommable mais pasx1xf 2 =)(

• Les difficultés commencent ! En effet, si f(x) et g(x) sont deux fonctions localement sommables, leur produit n’est pas forcément localement sommable.

2δ

• On ne peut définir le produit que dans des cas particuliers. Par exemple:

Si T est une distribution quelconque et f(x) une fonction indéfiniment dérivable, alors : ϕϕϕ fTTTD f ,,, =∈∀

En effet, on vérifie dans ce cas que fϕ appartient à D.• NB: Pour certaines distributions, on peut définir le produit sur des classes defonctions plus grandes. Par exemple: =ϕδ ,fT )()( 00f ϕ

V.3 Propriétés

IV.3.2 Dérivation• Soit f(x) une fonction localement sommable, continue et dont la dérivée est continue. Sa dérivée f’(x) définit une distribution régulière.

∫ =dxxxf )()(' ϕ

Par analogie, on définira la dérivée d’une distribution T quelconque par:

[ ] dxxxfxxf )(')()()( ϕϕ ∫−+∞∞− ',ϕfT−=

',,' ϕϕ TT −=

− ϕ’ appartient à D- La fonctionnelle ainsi définie est linéaire, on peut montrer qu’elle est continue

• Dérivées d’ordre supérieur: ( ) )()( ,, kkk T1T ϕϕ −=

Objectif : définir des opérations sur les distributions généralisant les opérations sur les fonctions.

• Convergence de la dérivée d’une suite: ''alorsSi TTTT kk →→

0

=ϕ,'fT

V. Distributions

V.3 PropriétésV.3.2 Dérivation

• Ex. 1 : Distribution de Dirac =ϕδ ,' ( )0'ϕ−

• Ex. 2 : Fonction d’Heaviside :

( )

<=>

=0xpour00xpoura0xpour1

xH

=−= ',ϕH δ='H

Pas dérivable au sens des fonctions

On peut montrer que toute distribution admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes par une distribution constante.

Toute distribution est indéfiniment dérivable !

=ϕδ ,'' ( )0''ϕ

• Ex. 3 : Soit C la distribution constante: 0C ='

( )xH

=ϕ,'H [ ] )()( 0x 0 ϕϕ =− ∞+∫+∞

=−0

dxx)('ϕ

V. Distributions

• La fonction f(x), considérée comme une distribution régulière , admet aussi une dérivée au sens des distributions, notée


• Ex. 4 : f(x) est une fonction dérivable pour x < a et x > a mais présentant une discontinuité de première espèce en a.

'fT

Soit f(a+) la limite à droite et f(a-) la limite à gauche. On définit le « saut » en a : ( ) ( )−+ −= afafaf )(σ

• La fonction f(x) admet presque partout une dérivée au sens des fonction (sauf en a). Cette dérivée définit une distribution régulière notée

afff aTT δσ )(' ' +=

fT'fT

Quelle est la relation entre ces deux distributions ?

a

)(afσ( )xf

V. Distributions


a

)(afσ( )xf

• On utilise aussi souvent la notation : af aff δσ )('' +=

• Généralisation aux discontinuités des dérivées d’ordre supérieur:

)(')()( )(...)()( )()(1m

afafafmm aaaff 2m1m

−++++= −− δσδσδσ

• Ex. : - Fonction de Heaviside- Dérivées 1ere et 2nde de f(x)=|x| ?

afff aTT δσ )(' ' +=

Dérivée au sens des distributions

Dérivée « sans précaution »

• Généralisation aux fonctions ayant plusieurs discontinuités: ∑

=

+=n

iaif i

aff1

)(' δσ

V. Distributions

V.3 Propriétés

• Soit f(x) une fonction localement sommable. Quelle est la distribution régulière associée à fa(x)=f(x-a) ?

V.3.3 Translation

∫ += duauuf )()( ϕ∫ −= dxxaxfTaf )()(, ϕϕ ( )axTf += ϕ,

• Pour une distribution T quelconque, on définira la distribution translatée Ta par:

( ) ( )axTxTa += ϕϕ ,,

( ) ( ) ( ) ( )axxTxaxT +=− ϕϕ ,,• Dans la pratique, on notera:

Il faut bien comprendre le sens de cette expression !

( )axT − ne désigne pas une fonction, mais la version translatée de la distribution T. C’est simplement une notation pratique.

V. Distributions

V.3 Propriétés

• Soit f(x) une fonction localement sommable. Quelle est la distribution régulière associée à f(-x) ?

V.3.4 Parité

=− )(),( xxf ϕ

• Pour une distribution T quelconque, on pose: )(),()(),( xxTxxT −=− ϕϕ

• Cela permet de définir les distributions paires : )()( xTxT −=

)()( xTxT −−=

• Ex : ?δ ?aδ

?11T −−= δδ

• Ex : Dist. de Dirac: ( ) =− axδ

• Définition: une distribution périodique de période a est définie par:

( ) ( )xTkaxTk =+∀ ,

aδ

les distributions impaires :

)(),()()( xxfduuuf −=−∫ ϕϕ∫ =− dxxxf )()( ϕ

V. Distributions

V.3 Propriétés

• Soit f(x) une fonction localement sommable.

V.3.5 Changement d’échelle

∫

du

auuf

a1 ϕ)(

• Pour une distribution T quelconque, on définira donc :

( )

=

axxT

axaxT ϕϕ ),(1)(,

• Ex : =)(axδ )(xa1 δ

Quelle est la distribution régulière associée à f(ax) ?

∫ =dxxaxf )()( ϕ

=

axT

a1

f ϕ,

V. Distributions

V.4 Transformée de FourierV.5.1 Introduction:

• Soit f(x) sommable. Quelle est la distribution régulière associée à sa TF ?

( ) ( ) ννϕνϕ dfTf ∫=~,~ [ ] ( ) ννϕπν ddxxi2xf∫ ∫ −= exp)(

( ) [ ]∫∫ −= dxdxi2xf νπννϕ exp)(

• Mais il y a un problème ! On peut montrer que si

ϕ~,fT=

!~, DD ∉∈ ϕϕ

Donc n’est pas forcément défini.ϕ~,T

• Solution : on va définir la TF des distributions appartenant à un sous ensemble S’ de l’ensemble D’, qui sera l’ensemble des fonctionnelles linéaires continues sur un ensemble de fonctions test S, plus large que D.

• Distribution quelconque : ?~,,~ ϕϕ TT =

V. Distributions

- existe, car est sommable

Une fonction ϕ(x) est dite tempérée si elle vérifie les propriétés suivantes :

a) Sa dérivée d’ordre m, existe quel que soit l’entier m

=> Fonctions indéfiniment dérivables à « décroissance rapide ».

• On montre facilement que est sommable.

( )xm)(ϕb) Quels que soient les entiers positifs ou nuls m et p, est

bornée.

( )xxpm mp )(, ϕ∀

• Si appartient à S,

S est un espace stable par la TF

( )xx mp )(ϕ

( )xϕ ( )νϕ~

V.4 Transformée de FourierV.5.2 Espace des fonctions tempérées (S):

( )xϕ- Elle est indéfiniment dérivable, car décroît rapidement ( )xϕ- Elle décroît rapidement, car est indéfiniment dérivable( )xϕ

• On en déduit donc que appartient à S( )νϕ~

V. Distributions

• NB : On montre que D est un sous-ensemble dense de S.

V.4 Transformée de FourierV.5.3 Distributions tempérées

• Définition : On appelle distribution tempérée toute fonctionnelle linéaire continue sur S• NB : L’ensemble des distributions tempérées S’ est un sous-ensemble de D’

• Exemples :

- Toute fonction localement sommable à croissance lente, c-a-dmxAxfmA ≤∃ )(, définit une distribution régulière tempérée

- Toute distribution à support borné est tempérée : c’est le cas de δ.

La plupart des distributions utilisées en physique sont tempérées. Cependant, ce n’est pas le cas de: ( )...exp,)exp()(,)exp( 2xxxHx

V. Distributions

V.4 Transformée de FourierV.5.4 TF des distributions tempérées

• Définition : La TF d’une distribution tempéréeest définie par:

• Inversion : On définit la TF inverse par :

• Propriété : la TF est une application linéaire et continue de S’ sur lui-même.

: Pour toute distribution tempérée, la TF est inversible

[ ] [ ]ϕϕ 11 ,, −− = FTTF

[ ] [ ]ϕϕ FTTF ,, =

[ ] [ ]TFTFTT Sk

Sk →→ '' impliqueContinuité :

• Propriété : [ ][ ] ϕ,TFF 1−

[ ][ ] TTFF 1 =−

• Ex.2 : [ ]=δTF 1

• Ex.1 : La TF d’une distribution régulière associée à une fonction sommable est égale à sa TF au sens des fonctions.

[ ][ ] ϕϕ ,, TFFT 1 == −[ ] [ ]ϕ1FTF −= ,

[ ]=1TF δ

V. Distributions

)(~)( ν−→− TxTTF

V.4 Transformée de FourierV.5.5 Règles de calcul

La plupart des règles de calcul de la TF au sens des fonctions s’appliquent aussi à la TF au sens des distributions.

2.Translation

1. Parité

3.Modulation

4.Chgt d’échelle

5. Dérivation

[ ]0

TF

0 xi2TxxT πνν −→− exp)(~)(

)(~)(Si νTxTTF→

[ ] )(~)(exp 0

TF

0 TxTxi2 ννπν −→

→

aT

a1axT

TF ν~)(

( ) ( )νπν Ti2xT mTF

m ~)()( →

( ) ( )νπ )(~)( mTF

m TxTxi2 →−

V. Distributions

V.4 Transformée de FourierV.5.6 TF usuelles :

TFax →− )(δ [ ]νπ ai2−exp

)( 0ννδ −[ ]TF

0 xi2 →νπexp

[ ]TF

0 x2 →νπcos [ ])()( 0021 ννδννδ ++−

[ ]TF

0 x2 →νπsin [ ])()( 00i21 ννδννδ +−−

νπi2 ( )mTF

m i2 νπδ →)(

NB : On définit de la même manière la TF d’une distribution à n dimensions. Elle possède également la plupart des propriétés de la TF des fonctions.

TF→

TF→

dx ( )νdd( )ν

TF→'δ

( )x

V. Distributions

TF→( )xd

( )νd1

d1

V.5 Distributions à plusieurs dimensions

• Distributions régulières : ft. localement sommables:

C’est l’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support borné.

V.4.1 Espace vectoriel D en dimension n:

• Exemple d’élément de D:

≤

−

≥

=1

11exp

10

)(2 xsi

x

xsi

x

ξ

nRxCx ∈∈ ,)(ϕ

Toutes les dérivées du type : existent.),...,(...

)(...

n1kkk

kkkk xxxD

n21

n21

ϕϕ∂∂∂

∂=

+++

( ) ( ) ( ) ( )dxxxfxxfnR∫ ∫=

ϕϕ ...,

• Distributions singulières : par exemple dans R3

- Distribution de Dirac ponctuelle : ( )0

ϕϕδ =,

- Distribution de Dirac superficielle : sdSS ∫∫= ϕϕδ ,

- Distribution de Dirac linéique : ∫=ll ldϕϕδ ,

Densité surfacique de charge (sur une surface S)

Charge ponctuelle

Densité linéique de charges (sur une courbe )

V. Distributions

V.5 Distributions à plusieurs dimensions

• Fonction séparable :

V.4.2 Produit direct de deux distributions:

Si f(x) et g(y) sont sommables, h(x,y) l’est aussi.

)()(),( ygxfyxh =

h(x,y) définit donc une distribution régulière :

),(),(,)(),(),(,)(),(,),( yxxfygyxygxfyxyxh ϕϕϕ ==

• Par analogie, le produit direct (ou produit tensoriel) de deux distributions T et S est défini par :

),(),(,)(),(),(,)(),(,)()(, yxxTySyxySxTyxySxTD ϕϕϕϕ ==∈∀

• NB1: Ce résultat se généralise à une dimension quelconque• NB2: Nous avons vu que le produit de deux distributions sur la même variable

T(x) et S(x) n’est pas toujours défini. En revanche, le produit direct de T(x) et S(y) est toujours défini.

Signifie : T agit sur la variable x

Signifie : S agit sur la variable y

V. Distributions

V.5 Distributions à plusieurs dimensionsV.4.3 Produit direct de deux distributions:

=)().( y1xδ )(xδ

)().( yx δδ

• Distributions régulières : Le produit direct des distributions associées à deux fonctions sommables est la distribution définie par le produit des fonctions.

( ) ( ) =yHxH

• Distribution de Dirac:

by

ax ΠΠ

≥≥

sinonetsi

00y0x1

( )yxy1x ,),().( ϕδ ( )yxxy1 ,),(),( ϕδ= ( )y0y1 ,),( ϕ= ( )∫= dyy0,ϕ

=> Distribution linéique selon la droite x=0

•

•

( )yxyx ,),().( ϕδδ ( )00,ϕ= ( )yxyx ,)().( δδδ =

V. Distributions

V.5 Distributions à plusieurs dimensionsV.4.3 Produit direct de deux distributions:

• Peigne de Dirac:

)(x =)(. y1 )(x

Représentationgraphique

),( yx)(x =)(y

« Brosse de Dirac », « Planche à clou »

V. Distributions

V.6 ConvolutionV.6.1 Introduction

• Soient f(x) et g(x) deux fonctions dont le produit de convolution existe :

[ ]( ) ( ) ( ) dttgtfgf −= ∫ ττ*

• Si elle est localement sommable, elle définit une distribution régulière:

C’est une fonction

ϕ,* gf [ ]( ) ( ) ττϕτ dgf∫= * ( ) ( ) ( )∫∫ −= ττϕτ ddttgtf

→−== tytx τ, ( ) ( ) ( )∫∫ += dxdyyxygxfgf ϕϕ,*

C’est une écriture « fonctionnelle » de la convolution. Elle met en valeur le rôle symétrique joué par f et g.

( ) ( ) ( )yxygxf += ϕ,

• Généralisation à deux distributions quelconques

( ) ( ) ( )yxySxTST += ϕϕ ,.,* Mais il y a un problème !

V. Distributions

• On dit qu’une distribution T est nulle sur un ouvert Ω de R si pour toute fonction ϕ de D ayant son support dans Ω, 0T =ϕ,

• Donc deux distributions T1 et T2 sont égales sur un ouvert Ω de R si pour toute fonction ϕ de D ayant son support dans Ω, 0TT 21 =− ϕ,

Considérons tous les ouverts sur lesquels une distribution T est nulle. La réunion de ces ouverts forme un ouvert, sur lequel on peut établir que T est nulle. Le complémentaire de cet ouvert, qui est un fermé, est appelé support de la distribution T.

• Ex.1 : Quel est le support de δ ?0=ϕδ , si le support de ϕ ne contient pas 0. Le support de δ est donc le point x=0.

• Ex.2 : Quel est le support de la distribution régulière associée à une fonction f(x) continue ?

C’est son support au sens des fonctions

Support d’une distributionV. Distributions

V.6 ConvolutionV.6.1 Introduction

( ) ( ) ( )yxySxTST += ϕϕ ,.,*

Si ϕ(x) est une fonction à support borné sur R, ϕ(x+y) n’est pas une fonction à support borné sur R2

y

x

• Le produit de convolution n’a de sens que si l’intersection de E avec le support AxB est bornée.

• Soit A le support de la distribution T et B celui de la distribution S

• Le support de la distribution T(x)S(y) est AxB

• Exemples de conditions suffisantes pour que le produit de convolution existe :

- Au moins une des distributions a un support borné- Les deux distributions sont à support borné à gauche (ou à droite)

Ce sont des conditions suffisantes mais non nécessaires

Support de ϕ(x+y)

E

B

A

AxB

V. Distributions

V.6 ConvolutionV.6.2 Exemples

ϕδ ,*T

La distribution de Dirac est l’élément neutre de la convolution

ϕδ ,*' T

⇒ TT =*δ

⇒ ''* TT =δ La dérivation est une convolution !

ϕδ ,*)( Tax −

⇒ )()(*)( axTxTax −=−δ La translation est une convolution !

( ) ( ) ( )tethts *=

( ) ( ) ( ) ( )thtthts == δ*( ) ( ),Si tte δ=

La R.I. d’un filtre linéaire est sa réponse à une distribution de Dirac.

( )te Filtre linéaire

( ) ( ) ( )yxyTx += ϕδ , ( ) ( ) ϕϕ ,, TyyT ==

TT mm *)()( δ=

V. Distributions

V.6 ConvolutionV.6.3 Propriétés

1. Le produit de convolution est commutatif : évident

2. Support : On démontre que le support de T*S est inclus dans l’ensemble A+B des points d’abscisse x+y tels que et Ax ∈ By ∈

Ex : si S et T sont à support positif, S*T aussi. si S et T sont à support borné, S*T aussi

3. Associativité : le produit de convolution est associatif si tous les produits pris deux à deux ont un sens.

Ex : Pour que R*S*T existe, il faut que R*S, S*T et R*T existent.

Les distributions à support borné à gauche (resp. à droite) forment un espace vectoriel D’+ (resp. D’-) dans lequel la convolution est toujours définie et est associative.

Ce résultat est important pour la résolution des équations différentielles

V. Distributions

En effet, le produit des deux distributions n’est pas forcément défini.

V.6 ConvolutionV.6.3 Convolution et TF

STSTTF ~.~* → Cependant, cette relation n’est pas toujours vraie

• Par exemple, ce produit existe si T ou S est à support borné.

ST ~.~

• On peut retenir la règle générale suivante :

Si existent, ils sont transformées de Fourier l’un de l’autreSTST ~.~et*

• Sous les mêmes conditions, on a : STSTTF ~*~. →

• Filtre linéaire :

• Intérêt de la TF : transformer la convolution en produit simple

( ) ( ) ( )tethts *= → ( ) ( ) ( )ννν ehs ~.~~ =

Réponse en fréquence

V. Distributions

Plan du cours





V. Distributions




f(t)

fe(t)

VI.1 Echantillonnage du signalVI. Signaux échantillonnés

• Position du problème :

• On « échantillonne » les valeurs d’un signal continu en prenant ses valeurs à intervalle régulier τ (« pas d’échantillonnage »)

fe(t)

Quelle est la représentation mathématique de cette opération ?

)()( tftfe = ( )tτ

• Question : perd-on de l’information en échantillonnant ?

En d’autres termes : peut-on reconstruire le signal continu f(t) à partir du signal échantillonné fe(t) ?

f(t) ?

fe(t)

• NB : cette opération est essentielle en traitement du signal. En effet, elle est nécessaire dès qu’on veut acquérir et traiter un signal avec un ordinateur

τ


• Quelle est la TF du signal échantillonné ?

)()( tftfe = ( )tτ *)(~)(~ ντ

ν f1fe = ( )ντ

1

f(t)

fe(t) τ

• Def. : On dira que le signal f(t) est à spectre borné s’il existe une fréquence νM telle que:

(~f1

Mtq0f νννν >∀=)(~

(~ νf

τ1Mν+Mν−

Le spectre du signal échantillonné est périodique de période 1/τ

TF

TF


• Supposons que le spectre de f(t) est à support borné. Alors, on peut remonter à f(t) à partir de fe(t) !

• En effet, si la condition est remplie, on a :

)()(~)(~ νΠντν τ1eff =

M21 ντ >Mν+Mν−

τ τ1∏

• Théorème d’échantillonnage (Shannon / Nyquist) : L’échantillonnage d’un signal continu f(t) à spectre à support borné se fait sans perte d’information (i.e., on peut retrouver f(t) à partir de fe(t)) si :

Mντ

21

< ou de manière équivalente Me νν 2>

(~f1


• Si le spectre n’est plus à support borné, ou si la condition de Shannon n’est pas vérifiée :

)(~ νef

τ1Mν+Mν−

τ τ1∏Les différentes « répliques » se recouvrent.

Recouvrement de spectre, ou aliasing.


• Si le spectre n’est plus à support borné, ou si la condition de Shannon n’est pas vérifiée :

Recouvrement de spectre, ou aliasing.

On ne peut pas retrouver f(t) à partir de fe(t)

Mν+Mν−

• Cela signifie que dans la pratique, il faut choisir un pas d’échantillonnage τ suffisamment petit, ou une fréquence d’échantillonnage νe=1/τsuffisamment grande, pour éviter le recouvrement de spectre.

Les différentes « répliques » se recouvrent.

512x512 pixels

256x256 pixelsSous-échantillonnage d’un facteur 2 :

Aliasing

Comment résoudre ce problème ?

512x512

256x256Sous échant. / 2


• Cas des signaux à spectre non borné:Dans ce cas, il faut filtrer le signal passe-bas avant d’échantillonner

On utilise un filtre g(t) dont la réponse en fréquence est à support borné

On mesure donc: Mtq0g νννν >∀=)(~( ) [ ]( )tgfty *= avec

Puis on échantillonne le signal à une fréquence Me 2νν >

• Attention ! Le filtrage doit se faire avant l’échantillonnage, car le recouvrement de spectre est un phénomène irréversible.

Le filtre anti-repliement est donc un filtre analogique.

g(t) est appelé filtre anti-repliement

256x256

Sous échant. / 2 Filtre AR 3x3 + 512x512

256x256

Sous échant. / 2 Filtre AR 3x3 + 512x512


• Interpolation de Shannon : Si la condition de Shannon est respectée, à quoi correspond la relation suivante dans l’espace direct ?

)()(~)(~ νΠντν τ1eff =

=τttftf e sinc*)()(

)()( tftfe = ( )tτ

• Ecrivons cette relation d’une autre manière :

( ) ( )τδτ ntnfn

−= ∑+∞

−∞=

−

= ∑+∞

−∞= ττntftf

nn sinc)(

( )τδ ntfn

n −= ∑+∞

−∞=

C’est une opération de filtrage linéaire (convolution) par un filtre de réponse impulsionnelle ( ) ( )τtsincth =

( )τnffn =

• On obtient :

avec


−

= ∑+∞

−∞= ττntftf

nn sinc)(

( )τnffn =


−

= ∑+∞

−∞= ττntftf

nn sinc)(

1t 2t

(tf( 2tf


−

= ∑+∞

−∞= ττntftf

nn sinc)(

1t 2t

Obtenir un signal continu à partir d’un signal échantillonné = interpolation

(tf( 2tf


• Il existe d’autres manière d’interpoler un signal : p.e., interpolation linéaire

Mais seule l’interpolation de Shannon est exacte

• Inconvénients de l’interpolation de Shannon :• Filtre à support infini (sinus cardinal)

• Un signal borné dans le temps est forcément à spectre non borné !Mais la condition de Shannon donne un bon ordre de grandeur.

Plan du cours





V. Distributions




VII.1 Echantillonnage de la TFVII. Transformée de Fourier discrète

• Soit un signal continu à support fini égal à et sa TF( )tf

Echantillonnage de la TF périodisation de f(t)

( ) ( )νν ff p~~

= ( )νδν

( )νf~[ ]T0,

A quel pas δν peut-on échantillonner sans perdre d’information ?( )νf~

( ) ( )*tf1tf p δν= ( )t1 δν

Théorème : On peut échantillonner sans perte d’information la TF d’un signal de durée finie T si: T

1<δν

)(~ νf

δν

T

δν1

• On considère maintenant un signal échantillonné de durée finie

C’est le cas de tous les signaux qu’on peut traiter avec un ordinateur, mais aussi avec un analyseur de spectre numérique, etc. …

( ) ( )∑−

=

−=1N

0nn ntftf τδ• On peut le représenter de la manière suivante :

• Ce signal est constitué d’une suite d’échantillons prélevés avec un pas égal à τ.

[ ]1N0nfn −∈ ,,

Il est de durée:

• Sa TF s’écrit donc : C’est une fonction continue de période 1/τ.( ) [ ]∑

−

=

−=1N

0nn ni2ff τνπν exp~


T=Nτ

τ

)(tf

τN τ1

)(~ νf

TF à temps discret

• Comme f(t) est de durée finie, on peut échantillonner la TF.

Le pas le plus grand qu’on puisse utiliser est: τ

δνN1

=

( )

==

τδν

Nkfkffk

~~~

• Comme la TF est périodique, on peut n’échantillonner qu’une période

On obtient alors N1=

τδνéchantillons, qui valent :

kf~

[ ]1N0k −∈ ,


τ

)(tf

τN τ1

)(~ νf

∑−

=

−=

1N

0nn N

nki2f πexp

τδν N1=

• Souvent, par convention, on prend τ=1

• On définit alors la Transformée de Fourier Discrète (TFD)

N1

=⇒ δν

• Attention !

∑−

=

−=

1

02exp~ N

nnk N

nkiff π [ ]1N0k −∈ ,

∑−

=

=

1

02exp~1 N

nkn N

nkifN

f π [ ]1N0n −∈ ,

N1

=δνL’intervalle de fréquence séparant deux échantillons de la TFD est :

• On définit de même la TFD inverse:

VII.2 Transformée de Fourier discrèteVII. Transformée de Fourier discrète

1

)(~ νf

N1

kf~

L’intervalle de temps séparant deux échantillons du signal est : 1t ==τδ

1

)(tf

N

• La TFD possède des propriétés similaires à la TF. Par exemple, « relation de Parseval » :

∑−

=

−=

1N

0nnk N

nki2ff πexp~ Combien faut-il d’opérations (multiplications / additions) pour calculer la TFD ?

~ N2 opérations• Pour 1 fréquence -> N opérations• On doit faire le calcul pour N fréquences

• Il existe des algorithmes qui nécessitent seulement ~ Nlog2N opérationsFast Fourier Transform (FFT) (Cooley & Tukey 1965)

5121024

256x256

262 Kops1000 Kops

4000 Mops

4 Kops10 Kops

1 Mops

TFD FFTNops : opération par secondeKops : 1000 x opsMops : 106 x ops La FFT est

très efficace !

VII.2 Transformée de Fourier discrèteVII. Transformée de Fourier discrète

∑−

=

1

0

2N

nnf ∑

−

=

=1

0

2~1 N

nkfN

• Transformée de Fourier rapide :

• Méthodologie de mesure de la TF dans la pratique

VII.3 Analyse spectraleVII. Transformée de Fourier discrète

• Soit f(t) un signal analogique

• On applique un filtre anti-repliement g(t) pour limiter le support du spectre à [-νM,+νM]

• On échantillonne le signal obtenu

• On calcule la TFD de cet ensemble de N échantillons :

∑−

=

−=

1N

0nnk N

nki2ff πexp~

C’est ce qui se passe dans un analyseur de spectre numérique, une carte d’acquisition, etc.

• Influence de la durée finie d’analyse sur le spectre


• Soit un signal analogique f(t), qu’on suppose d’étendue infinie.

• On considère sa restriction à l’intervalle

• NB: ce résultat est cohérent avec les relations d’incertitude :

Réduire la durée d’observation d’un signal revient à convoluer son spectre par un sinus cardinal de largeur ~2/T

=> réduction de la résolution spectrale.

T1~δν

−

2T

2T ,

( ) ( ) ( )ttsts TR ∏= ( ) ( ) ( )TcsTsR ννν sin*~~ =

• Echantillonnage de la TF• Signal de durée T => échantillonnage de la TF avec un pas • Echantillonner la TF revient à calculer la série de Fourier du signal sR(t)périodisé. Ce signal peut contenir de fortes discontinuités sur les bords du support => apparition de hautes fréquence.

T1=δν

• Exemple de la sinusoïde complexe:


• La TFD est la TF échantillonnée avec un pas . On obtient :

( ) [ ]ti2Ats 0πν−= exp ( ) ( ) [ ]TTAs 0R νννδν sinc*~ −=

( )[ ]0TTA νν −= sinc

T1=δν

[ ]TkTAs 0kR ν−= sinc~,

kRs ,~

0ν

( )νRs~

1






T1=δν


Sauf si :

0νL’échantillonnage se fait sur les zéros du sinus cardinal !

0ν

on n’a donc plus une raie !

1

entiernT 00 =ν

kRs ,~






T1=δν


Sauf si : entiernT 00 =ν

0νL’échantillonnage se fait sur les zéros du sinus cardinal !

0ν

kRs ,~

on n’a donc plus une raie !

1


0ν0ν

quelconqueT0ν

Discontinuité dans le signal périodisé

apparition de raies parasites

entierT0ν

Le signal périodisé est une sinusoïde. Donc pas de discontinuité

La TFD est égale à la TF de la sinusoïde : une seul raie.Ce phénomène est appelé

phénomène de Gibbs

0TnT =⇒

N=128 T0=16

TFDν0 N = 8

N=128 T0=17

TFDν0 N = 7.53


• Pour limiter la durée du signal, nous avons utilisé un fonction porte.

• Atténuation du phénomène de Gibbs : fenêtre de pondération

• Mais on peut aussi utiliser une autre « fenêtre ». Dans le cas général:

( ) ( ) ( )ttsts TR ∏=

( ) ( ) ( )tFtsts TR = ( ) 2Ttsi0tFT >= ( ) ( ) ( )νν TR Fsts ~*~~ =

Principe : on choisit une fenêtre sans discontinuités.

• Exemple : fenêtre de Hamming : ( ) Tt2460540tFT πcos.. +=

Atténuation des « rebonds » => moins de pics parasites dans la TFD

Mais lobe central plus large : perte de résolution spectrale.

Voir TD

N=128 T0=17

TFDν0 N = 7.53

Fenêtre de Hamming: ( ) TttFT π2cos46.054.0 +=

N=128 T0=17

TFDν0 N = 7.53

TFD

Fenêtre de Hamming ( ) TttFT π2cos46.054.0 +=

ν0 N = 7.53


• Criètre de choix d’une fenêtre :

A

∆ν

ν0

Récapitulatif !

Documents

Mathématiques et signal - IOGS - Catalogue des Cours