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- 2. H PRPA TOUT EN UN 1ANNE RE Le cours : connaissances et
mthodes De nombreux exercices corrigs Des extraits de concours TOUT
LE PROGRAMME EN UN SEUL VOLUME ! MATHSPCSI-PTSI
- 3. Crdits photographiques Couverture : Getty Images/AKIRA INOUE
Toutes les photographies de cet ouvrage proviennent de la
photothque HACHETTE LIVRE. Composition, mise en page et schmas :
Publilog Maquette intrieure : Vronique Lefbvre Maquette de
couverture : Guylaine MOI HACHETTE LIVRE 2008, 43 quai de Grenelle
75905 Paris Cedex 15 Tous droits de traduction, de reproduction et
dadaptation rservs pour tous pays. Le Code de la proprit
intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L.122-4 et
L.122-5, dune part, que les copies ou reproductions strictement
rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation
collective , et, dautre part, que les analyses et les courtes
citations dans un but dexemple et dillustration, toute
reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le
consentement de lauteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite . Cette reprsentation ou reproduction, par quelque procd
que ce soit, sans autorisation de lditeur ou du Centre franais de
lexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins,
75006 Paris), constituerait donc une contrefaon sanctionne par les
articles 425 et suivants du Code pnal. I.S.B.N.
978-2-0118-1332-9
- 4. Avant-propos En proposant ici runi en un seul ouvrage le
programme de la premire anne PCSI et PTSI des Classes Prparatoires
aux Grandes Ecoles, nous avons voulu privilgier la simplicit et la
concision. Nous avons cherch pour chaque nouvelle notion
lintroduction la plus simple et les dmonstrations les plus
comprhensibles pour le dbutant. Ce livre ne se sub- stitue pas au
cours oral dun professeur, mais nous esprons quil constituera pour
ltudiant un outil de travail et de rfrence. Quelques repres
typographiques doivent aider le lecteur : tous les mots nouveaux,
dfinis au fil du texte, sont reprs par un fond color et sont
rpertoris dans lindex. les rsultats essentiels et les noncs des
thormes sont encadrs ; les dmonstrations sont clairement identifies
par un filet. les parties qui ne sont pas au programme des tudiants
de PTSI nayant pas choisi loption PSI sont signales par une toile.
des applications proposent, au fur et mesure, des situations o sont
mises en uvre les notions tudies. une fiche-mthode rsume, en fin de
chapitre, les principaux savoir-faire indispensables pour les
exercices. chaque chapitre comporte un exercice rsolu qui propose
une solution rdige et commente dun exercice classique. les
exercices de chaque chapitre sont accompagns la fin du livre
dindications et rponses qui peuvent aller, suivant la difficult,
dune simple rponse numrique une solution dtaille en passant par le
coup de pouce souvent ncessaire. Ces lments de rponse nont
videmment dintrt que pour le lecteur qui a effectivement travaill
sur lexercice et qui veut vrifier ses rsultats. Ils doivent tre lus
de faon active, le crayon la main, et ne sont jamais dfinitifs :
cest au lecteur de conclure et, sil le dsire, de rdiger compltement
sa solution. nous avons choisi des exercices poss aux oraux des
concours lorsque ceux-ci ne portent que sur le programme de Premire
Anne, ce qui est tout de mme assez frquent. Les programmes
prconisant lintroduction du calcul formel, nous avons choisi de
prsenter tout au long de louvrage lutilisation dune calculatrice,
en reprant toutes les fonctions relatives aux notions tudies et en
les compltant ventuel- lement par de petits programmes. Nous
remercions tous ceux qui ont bien voulu nous faire bnficier de
leurs remarques et de leurs conseils. Les auteurs
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 3
- 5. Sommaire Avant-propos 3 Partie I : Programme de dbut danne 1
Nombres complexes 7 2 Fonctions usuelles 30 3 quations
diffrentielles linaires 52 4 Gomtrie lmentaire du plan 73 5 Courbes
paramtres 92 6 Coniques 108 7 Gomtrie lmentaire de lespace 125
Partie II : Nombres et structures algbriques usuelles 8 Vocabulaire
relatif aux ensembles, aux applications et aux relations 146 9
Nombres entiers naturels Combinatoire 164 10 Structures algbriques
usuelles 182 11 Espaces vectoriels 198 12 Polynmes 216 4
- 6. Sommaire Partie III : Nombres rels, suites et fonctions 13
Nombres rels 230 14 Suites relles et complexes 242 15 Fonctions
dune variable relle 263 Partie IV : Calcul diffrentiel et intgral
16 Drivation des fonctions dune variable relle 286 17 Intgration
sur un segment 308 18 Intgrales et primitives dune fonction
continue 327 19 Formules de Taylor. Dveloppements limits 342 20
Approximations 363 Partie V : Algbre linaire 21 Dimension des
espaces vectoriels 379 22 Matrices 396 23 Rang dune matrice et
systmes linaires 418 24 Dterminants dordre 2 ou 3 432 Partie VI :
Espaces vectoriels euclidiens et gomtrie euclidienne 25 Produit
scalaire, espaces vectoriels euclidiens 448 26 Automorphismes
orthogonaux 462 27 Transformations du plan et de lespace 476 Partie
VII : Espace R2 et gomtrie diffrentielle 28 Fonctions de deux
variables relles 490 29 Calcul intgral et champs de vecteurs 508 30
tude mtrique des courbes planes 522 Solutions 535 Index 595
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- 7. 1 Nombres complexes OBJECTIFSOBJECTIFS Rviser et enrichir
les notions vues en Terminale. Prparer le cours dalgbre en donnant
des premiers exemples de structures. Prparer le cours danalyse, o
les fonctions pourront tre aussi bien valeurs complexes que relles.
Utiliser les nombres complexes pour la trigonomtrie. INTRODUCTION
Ns de la rsolution gnrale de lquation du troisime degr par Bombelli
(1572) voir Exercice rsolu les nombres complexes sont long- temps
considrs comme de commodes intermdiaires de calcul nayant pas
dexistence propre. Cest Ha- milton en 1837 qui donne pour la
premire fois une construction satisfaisante des nombres complexes
partir des couples de nombres rels. Lintrt majeur du corps des
complexes rside dans le thorme de dAlembert que nous voquerons dans
le chapitre Polynmes (chapitre 12) : tout polynme non constant
coefficients complexes possde des ra- cines ! Par ailleurs, les
nombres complexes constituent un outil commode en gomtrie plane et
en trigono- mtrie. 7
- 8. COURS 1 Nombres complexes 1 Corps des complexes 1.1
Dfinition des nombres complexes On appelle ensemble des nombres
complexes et on note C lensemble R2 que lon munit des lois de
composition interne : addition : (x, y) C (x , y ) C (x, y) + (x ,
y ) = (x + x , y + y ) multiplication : (x, y) C (x , y ) C (x,
y)(x , y ) = (xx yy , xy + x y) On peut identifier le complexe (x,
0) au rel x, ce qui revient considrer R comme une partie de C ;
nous constatons que ces deux lois prolongent C laddition et la
multiplication dfinies sur R : (x, x ) R2 (x, 0) + (x , 0) = (x + x
, 0) (x, 0)(x , 0) = (xx , 0) Le complexe (0, 1) est tel que (0,
1)2 = (1, 0), nous le notons i. Lcriture du complexe z = (x, y)
devient alors : z = x + iy, (x, y) R2 o i2 = 1 ATTENTION La partie
imaginaire dun complexe est un rel. Par dfinition, (x, y) est
lunique couple de rels tel que z = x + iy : x est appel partie
relle de z, y est appel partie imaginaire de z. Notations x = Re
(z) y = Im (z). La TI-92/Voyage 200 sait bien sr calculer avec les
nombres complexes. Un complexe z est rel si et seulement si sa
partie imaginaire est nulle. Un complexe z est dit imaginaire si sa
partie relle est nulle. Lensemble des imaginaires est not iR. 1.2
Structure de corps de C La loi + dfinie sur C possde les proprits
suivantes : elle est associative : (z, z , z ) C3 (z + z ) + z = z
+ (z + z ) 0 est lment neutre de C pour + : z C z + 0 = 0 + z = z
tout lment de C possde un symtrique pour + : z C z C z + z = z + z
= 0 : si z = x + iy, z = x + i(y) = z Ces proprits confrent (C, +)
une structure de groupe, de plus laddition est commutative sur C.
On dit alors que (C, +) est un groupe ablien. 8
- 9. Nombres complexes COURS1 La loi dfinie sur C possde les
proprits suivantes : elle est associative : (z, z , z ) C3 (zz )z =
z(z z ) 1 est lment neutre de C pour : z C z1 = 1z = z tout lment
non nul de C possde un symtrique pour : z C z C zz = z z = 1 : si z
= x + iy, z = x iy x2 + y2 = 1 z (C , ) est donc un groupe ablien,
puisque est commutative sur C. Enfin, est distributive par rapport
+ : (z, z , z ) C3 (z + z )z = zz + z z Ces proprits confrent (C,
+, ) une structure de corps commutatif. Ces notions seront tudies
de faon plus approfondie dans le chapitre 10 Structures algbriques
usuelles. 1.3 Conjugu dun nombre complexe Le conjugu de z est not
conj(z). On appelle conjugu du nombre complexe z = x + iy o (x, y)
R2 , le complexe : z = x iy Cette application est involutive : z C
(z) = z, elle est donc bijective. De plus : (z, z ) C2 z + z = z +
z , z z = z z On en dduit : (z, z ) C2 z z = z z et (z, z ) CC z z
= z z z C n Z nz = nz ; zn = zn Le conjugu permet dexprimer
facilement la partie relle et la partie imaginaire dun complexe, et
donc de caractriser les rels et les imaginaires : z C Re (z) = z +
z 2 ; Im (z) = z z 2i z C z R z = z ; z iR z = z
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- 10. COURS 1 Nombres complexes 1.4 Interprtation gomtrique xx y
y uO y x M z( ) Doc. 1 Image dun nombre complexe. On appelle plan
complexe un plan P rapport un repre orthonorm (O, u, v). On peut
reprsenter le nombre complexe z = x + iy par le point M de coor-
donnes (x, y) (Doc. 1). Le point M est appel image de z, et
rciproquement z est appel affixe de M. Si M et M sont deux points
daffixes z et z , on appelle aussi affixe du vecteur MM le complexe
z z. Les axes (O, u) et (O, v) sont appels respectivement axe des
rels et axe des imaginaires. x y O y y x M(z) M(z) Doc. 2 Image du
conjugu. Limage de z est symtrique de limage de z par rapport laxe
des rels, en accord avec le caractre involutif de la conjugaison
(Doc. 2). 2 Module dun nombre complexe 2.1 Module dun nombre
complexe Soit z = x + iy C, o (x, y) R2 : zz = (x + iy)(x iy) = x2
+ y2 : zz R+ On appelle module de z le rel positif : |z| = zz. Le
module de z est not abs(z). Si z est rel, son module est aussi sa
valeur absolue, cest pour- quoi on emploie la mme notation. Mais
attention ! pour un rel x : |x|2 = x2 , tandis que pour un complexe
quelconque z, |z|2 = zz. Thorme 1 Pour tous complexes z et z : |zz
| = |z| |z | Dmonstration (z, z ) C2 |zz |2 = (zz )(zz ) = (zz)(z z
) = |z|2 |z |2 On en dduit : (z, z ) CC z z = |z| |z | z C n Z |zn
| = |z|n 2.2 Ingalit triangulaire Thorme 2 Pour tous complexes z et
z : |z + z | |z| + |z | Lgalit est vrifie si et seulement si z = 0
ou z z R+. 10
- 11. Nombres complexes COURS1 Dmonstration Les deux membres de
lingalit dmontrer tant des rels positifs, comparons leurs carrs. |z
+ z |2 = (z + z )(z + z ) = z z + z z + z z + z z = |z|2 + 2Re (z z
) + |z |2 (|z| + |z |)2 = |z|2 + 2|z||z | + |z |2 = |z|2 + 2|z z |
+ |z |2 Or Re (z z ) |z z |. Do lingalit demande. Lgalit est vrifie
si et seulement si Re (z z ) = |z z |, cest--dire z z R+. Cette
condition est satisfaite si z = 0, ou (en divisant par z z ) si z z
R+. x y O M(z) z Doc. 3 Module dun nombre complexe. Dans le plan
complexe, le module de z reprsente la distance de lorigine au point
M daffixe z (Doc. 3). Le rel |z z | reprsente la distance entre les
points M et M daffixes z et z . x z z z y O z z z z z z Doc. 4
Inegalit triangulaire. Comme dans le cas rel, on dduit de lingalit
triangulaire que : (z, z ) C2 |z| |z | |z z | |z| + |z | et : (z, z
, z ) C3 |z z | |z z | + |z z | (Cette dernire ingalit reprsente
lingalit triangulaire dans le plan complexe (Doc. 4).) La notion de
distance nous permet de dfinir dans le plan complexe : le disque
ferm de centre a et de rayon R : {M P, |z a| R} o R R+ ; le disque
ouvert de centre a et de rayon R : {M P, |z a| < R} o R R + ; le
cercle de centre a et de rayon R : {M P, |z a| = R} o R R + . Pour
sentraner : ex. 2 7 3 Reprsentation des nombres complexes de module
1 3.1 Groupe U des nombres complexes de module 1 Lensemble U des
nombres complexes de module 1, muni du produit dfini sur C est un
groupe, on dit que cest un sous-groupe de (C , ) (voir chapitre 10)
: (z, z ) U2 |zz | = |z|.|z | = 1, la loi multiplicative est bien
une loi de composition interne sur U. Elle est associative sur C,
donc en particulier sur U. Elle possde un lment neutre : le rel 1,
qui appartient U. Enfin, tout lment z de U est non nul, donc possde
un inverse dans C : z = 1 z tel que |z | = 1 |z| = 1, ce qui prouve
que z U. x z 11 i i y Doc. 5 Cercle trigonomtrique. |z| = 1 OM = 1
: lensemble des points M du plan daffixe z U est le cercle de
centre O de rayon 1, appel cercle trigonomtrique (Doc. 5).
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- 12. COURS 1 Nombres complexes 3.2 Dfinition de ei Thorme 3 Un
complexe z est lment de U si et seulement sil peut scrire : z = cos
+ i sin , R Attention, cette criture nest pas unique. Dmonstration
Pour tout rel , | cos +i sin | = cos2 + sin2 = 1 : cos +i sin U.
Rciproquement, soit z = x + iy un lment de U. Comme x2 + y2 = 1, il
existe R tel que x = cos et y = sin , on peut donc crire z = cos +
i sin . Attention, nest pas unique : cos + i sin = cos + i sin
quivaut cos = cos et sin = sin , cest--dire 2Z. x ei 11 i i y Doc.
6 Reprsentation dun nombre complexe de module 1 Dsignons par la
fonction de R dans C dfinie par () = cos + i sin . Les fonctions
cos et sin sont drivables, ce qui entrane que lest aussi et : R ()
= (cos + i sin ) = sin + i cos = i(cos + i sin ) soit : R () = i()
Par analogie avec les fonctions relles dune variable relle t et ,
on note, pour tout R, () = ei , soit (Doc. 6) : cos + i sin = ei
Ainsi : |u| = 1 R u = ei 3.3 Formules dEuler Pour tout R, cos et
sin sont respectivement la partie relle et la partie imaginaire de
ei , do : R cos = ei + ei 2 et sin = ei ei 2i 3.4 Proprit de
lapplication ei RAPPEL : FORMULES DADDITION cos(a + b)=cos a cos b
sin a sin b cos(a b)=cos a cos b + sin a sin b sin(a + b)=sin a cos
b + cos a sin b sin(a b)=sin a cos b cos a sin b Thorme 4 (, ) R2
ei ei = ei(+ ) 12
- 13. Nombres complexes COURS1 Dmonstration (, ) R2 ei ei = (cos
+ i sin )(cos + i sin ) = cos cos sin sin + i(cos sin + sin cos ) =
cos( + ) + i sin( + ) = ei(+ ) De mme : (, ) R2 ei ei = ei( ) Par
rcurrence : n N (ei )n = ein et (ei )n = ein , do : n Z (ei )n =
ein cest--dire : (cos + i sin )n = cos n + i sin n ATTENTION La
formule de Moivre na de sens que si n est entier. Pour 2Z, lgalit
(e2i )/2 = ei est un non- sens : elle conduirait ei = 1. Cest la
formule de Moivre. 3.5 Exponentielle complexe Plus gnralement, on
peut tendre C la fonction exponentielle : on appelle exponentielle
complexe lapplication dfinie sur C valeurs dans C qui z = x + iy,
avec (x, y) R2 , associe : ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y) On
remarque que le module de ez est ex : z C |ez | = eRe (z) . Thorme
5 (z, z ) C2 ez+z = ez ez Dmonstration Si z = x + iy et z = x + iy
: ez+z = ex+x ei(y+y ) = ex ex eiy eiy = ez ez On montre de mme que
: (z, z ) C2 ezz = ez ez et : z C n Z (ez )n = enz Attention : Tout
complexe non nul peut scrire ez , mais un tel z nest pas unique :
il nexiste pas dapplication rciproque de z ez dfinie sur C : ez =
ei z = ln + i + 2ik k Z
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- 14. COURS 1 Nombres complexes 4 Applications la trigonomtrie
4.1 Linarisation et factorisation dexpressions trigonomtriques Un
polynme trigonomtrique est une combinaison linaire dexpressions de
la forme cosm x sinn x, o (m, n) N2 . Les formules dEuler
permettent de le transformer en un polynme des variables eix et eix
. Aprs dveloppement, en regroupant les termes conjugus, on obtient
une combinaison linaire de cos px et sin qx. Exemple : Linariser
cos x sin2 x. cos x sin2 x = eix + eix 2 eix eix 2i 2 = 1 8 (eix +
eix )(e2ix 2 + e2ix ) = 1 8 (e3ix eix eix + e3ix ) = 1 4 (cos 3x
cos x) 4.2 Transformations de produits en sommes et vice versa Des
formules daddition on peut dduire les formules suivantes : cos a
cos b = 1 2 (cos(a + b) + cos(a b)) sin a sin b = 1 2 (cos(a + b)
cos(a b)) sin a cos b = 1 2 (sin(a + b) + sin(a b)) En posant a + b
= p, a b = q, on obtient les formules inverses : cos p + cos q = 2
cos p + q 2 cos p q 2 cos p cos q = 2 sin p + q 2 sin p q 2 sin p +
sin q = 2 sin p + q 2 cos p q 2 sin p sin q = 2 cos p + q 2 sin p q
2 4.3 Calcul de cos nx et sin nx en fonction de cos x et sin x
Daprs la formule de Moivre, nous avons, pour tout n N : cos nx + i
sin nx = (cos x + i sin x)n En dveloppant le premier membre de
cette galit par la formule du binme, et en sparant partie relle et
partie imaginaire, on obtient cos nx et sin nx. 14
- 15. Nombres complexes COURS1 Exemple : Calcul de cos 5x et sin
5x. e5ix = (cos x + i sin x)5 = cos5 x + 5i cos4 x sin x 10 cos3 x
sin2 x 10i cos2 x sin3 x + 5 cos x sin4 x + i sin5 x Do : cos 5x =
cos5 x 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x sin 5x = 5 cos4 x sin x 10
cos2 x sin3 x + sin5 x Remarque : Pour tout n N, cos nx est un
polynme en cos x. Si n est impair, sin nx est un polynme en sin x,
si n est pair, sin nx est le produit de cos x par un polynme en sin
x. Exemple : cos 5x = cos5 x 10 cos3 x(1 cos2 x) + 5 cos x(1 cos2
x)2 sin 5x = 5(1 sin2 x)4 sin x 10(1 sin2 x) sin3 x + sin5 x cos 2x
= 2 cos2 x 1 sin 2x = 2 sin x cos x 4.4 Calcul de n k=0 cos(a + kb)
et de n k=0 sin(a + kb) Ce sont la partie relle et la partie
imaginaire de la somme complexe : S = n k=0 ei(a+kb) On reconnat la
somme de (n + 1) termes dune suite gomtrique de premier terme eia
et de raison eib . Si b 2Z , eib = 1 et S = (n + 1)eia ; si b / 2Z
, S = eia 1 ei(n+1)b 1 eib . Dans ce cas, mettons ei( n+1 2 )b en
facteur au numrateur et ei b 2 en facteur au dnominateur : S = eia
ei( n+1 2 )b (ei( n+1 2 )b ei( n+1 2 )b ) ei b 2 (ei b 2 ei b 2 ) =
ei(a+ nb 2 ) sin (n+1)b 2 sin b 2 Do : n k=0 cos(a + kb) = cos a +
nb 2 sin (n+1)b 2 sin b 2 et : n k=0 sin(a + kb) = sin a + nb 2 sin
(n+1)b 2 sin b 2 Pour sentraner : ex. 8
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- 16. COURS 1 Nombres complexes 5 Forme trigonomtrique dun nombre
complexe non nul 5.1 Forme trigonomtrique dun nombre complexe non
nul Soit z C ; le complexe z |z| appartient U. Il existe donc R tel
que z |z| = ei , cest--dire : z = |z|ei Cette criture est appele
forme trigonomtrique de z ; le rel est un argument de z not arg(z).
Lensemble des arguments de z est { + 2k, k Z}. 5.2 Proprits des
arguments u x y O M(z) arg z Doc. 7 Argument dun nombre complexe.
Dans le plan complexe orient, un argument de z est une mesure de
langle orient (u, OM), o M est limage de z (Doc. 7). On dduit de (,
) R2 ei ei = ei(+ ) : (z, z ) C2 arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2]
(z, z ) CC arg( z z ) = arg(z) arg(z ) [2] z C n Z arg(zn ) = n
arg(z) [2] APPLICATION 1 Distances et angles dans le plan complexe
1) Soit z un complexe tel que |1 + z| < 1 2 . Montrer que |1 +
z2 | > 1. 2) Soit z un complexe de module 1 tel que |1 + z| <
1 . Montrer que |1 + z2 | > 1 . 3) Soit z1 et z2 deux complexes
de mme module suprieur 1. Montrer que |z1 + z2| 1 ou |z2 1 + z2 2|
1 . 1) Soit I le point daffixe 1, M et M les points daffixes
respectives z et z2 . M appartient au disque ouvert de centre I de
rayon 1 2 . Soit K et K les points de contact des tangentes issues
de O au cercle de centre I de rayon 1 2 (Doc. 8). Le triangle (OIK
) est un demi-triangle quilatral, donc IOK = 6 . x y 3 6 I O K' K
Doc. 8 On en dduit que arg z 5 6 , 7 6 [2 ] , do arg z2 5 3 , 7 3
[2]. Le point M appartient donc un secteur angulaire inclus dans le
demi-plan x > 0. La distance IM reste donc strictement sup-
rieure 1 : |1 + z2 | > 1. 2) Ici, les points M et M
appartiennent au cercle de centre O de rayon 1. 16
- 17. Nombres complexes COURS1 x y OI A B Doc. 9 M appartient au
petit arc de cercle AB inclus dans le disque ouvert de centre I de
rayon 1 (Doc. 9). On en dduit arg z 2 3 , 4 3 [2], do arg z2 4 3 ,
8 3 [2]. Le point M appartient au grand arc de cercle AB. La
distance IM reste donc strictement suprieure 1 : |1 + z2 | > 1.
3) On pose u = z1 z2 , on a donc |u| = 1. En appli- quant u le
rsultat de la question 2), on sait que : |1 + u| 1 ou |1 + u2 | 1
cest--dire : 1 + z1 z2 1 ou 1 + z2 1 z2 2 1 do : |z2 + z1| |z2| 1
ou |z2 2 + z2 1| |z2 2| 1 5.3 Rduction de a cos x + b sin x o (a,
b, x) R3 Posons : z = a + ib. z eix = (a ib)(cos x + i sin x) = a
cos x + b sin x + i(a sin x b cos x) donc : a cos x + b sin x = Re
(z eix ) crivons z sous forme trigonomtrique : z = r ei zeix =
rei(x) do : a cos x + b sin x = r cos(x ) o rei = a + ib Exemple :
Rsolvons lquation : cos x + 3 sin x = 2. Ici : z = 1 + i 3 = 2 ei 3
. Donc : cos x + 3 sin x = 2 cos(x 3 ). Lquation devient : cos(x 3
) = 2 2 = cos 4 . Do : x 3 = 4 + 2k ou x 3 = 4 + 2k avec k Z S = {
12 + 2k, 7 12 + 2k, k Z} Pour sentraner : ex. 9 et 10
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- 18. COURS 1 Nombres complexes 6 Racines n-imes dun nombre
complexe 6.1 Racines n - imes de lunit Soit n N . Rsolvons lquation
zn = 1. Cherchons une solution sous la forme trigonomtrique z =
|z|ei . zn = 1 |z|n ein = 1 |z|n = 1 n = 2k |z| = 1 = 2k n (k Z)
Lensemble des solutions est donc : Un = e 2i k n , k Z Notons que
(Un, ) est un sous-groupe de (U, ) (voir chapitre 10). On obtient
tous ses lments en donnant k , n valeurs conscutives (par exemple,
k [[0, n 1]]). x y 4i 5e 2i 5e 6i 5e 8i 5e 10 Doc. 10 Racines 5-ime
de lunit. Dans le plan complexe, les images des lments de Un
forment un polygone rgulier n cts (si n 3) (Doc. 10). La somme des
lments de Un est nulle (somme des termes dune suite gom- trique) :
n1 k=0 e 2i k n = 1 e 2in n 1 e 2i n = 0 Exemple : Racines cubiques
de lunit. Posons j = e 2i 3 . U3 = {1, j, j2 } et 1 + j + j2 = 0.
6.2 Racines n -imes dun nombre complexe quelconque Soit Z un nombre
complexe quelconque et n N . Rsolvons lquation zn = Z. Si Z = 0, il
y a une solution unique : z = 0. Si Z = 0, cherchons les solutions
sous la forme trigonomtrique z = |z|ei . Posons Z = |z| ei zn = Z
|z|n ein = |Z|ei |z|n = |Z| n = + 2k |z| = n |Z| = n + 2k n (k Z)
zn = Z z = n |Z| e i n e 2i k n (k Z) 18
- 19. Nombres complexes COURS1 Tout nombre complexe non nul a
donc n racines n-imes distinctes, qui se dduisent de lune dentre
elles en la multipliant par un lment quelconque du groupe Un. Leur
somme est nulle. x i 1 0 y z1 z3 z2 Doc. 11 Racines cubiques de 8i.
Exemple : z3 = 8i |z| = 2 = 6 + 2k 3 z1 = 2e i 6 = 3 + i , z2 = 2e
5i 6 = 3 + i et z3 = 2e 3i 2 = 2i (Doc. 11). 6.3 Cas des racines
carres Tout nombre complexe non nul Z possde donc deux racines
carres opposes. Leur calcul effectif laide de la mthode prcdente
nest possible que si lon peut crire facilement Z sous la forme
trigonomtrique, ce qui est rare. La mthode suivante a lavantage
dtre plus systmatique. Posons Z = X + i Y , avec (X, Y ) R2 , et
cherchons z = x + i y, avec (x, y) R2 tel que z2 = Z. z2 = Z x2 y2
+ 2ixy = X + i Y x2 y2 = X (1) 2xy = Y (2) De plus : |z|2 = |Z| x2
+ y2 = X2 + Y 2 (3) Les relations (1) et (3) donnent x et y au
signe prs. La relation (2) permet dapparier les signes de x et de
y. Attention : la fonction racine carre de la calculatrice ne donne
quune solution. On peut utiliser cSolve pour ob- tenir les deux
racines. Exemple : Calculons les racines carres de Z = 3 4i : x2 +
y2 = 5 x2 y2 = 3 2xy = 4 x = 2 y = 1 xy < 0 x = 2 et y = 1 ou x
= 2 et y = 1 Les racines carres cherches sont donc : z1 = 2 i et z2
= 2 + i 6.4 quation du second degr Considrons lquation az2 + bz + c
= 0, o (a, b, c) C3 et a = 0. On peut crire le trinme sous la forme
canonique : az2 + bz + c = a z + b 2a 2 b2 4a + c Lquation quivaut
donc : z + b 2a 2 = b2 4ac 4a2 Posons = b2 4ac. Si = 0, lquation a
une seule solution : z = b 2a . Si = 0, le nombre complexe a deux
racines carres et ; lquation a deux solutions : z1 = b + 2a ; z2 =
b 2a HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit
19
- 20. COURS 1 Nombres complexes Les formules sont les mmes que
celles qui donnent les solutions dune quation du second degr
coefficients rels ; mais le calcul des racines carres du
discriminant constitue une tape supplmentaire. Exemple : Rsolvons
lquation 2z2 (1 + 5i)z 2(1 i) = 0. = (1 + 5i)2 + 16(1 i) = 8 6i
Cherchons = x + iy tel que 2 = (x + iy)2 = 8 6i x2 + y2 = 10 x2 y2
= 8 2xy = 6 x = 1 y = 3 xy < 0 Do = 1 3i ou = 1 + 3i. Les
solutions de lquation sont donc : z1 = 1 + 5i + (1 3i) 4 = 1 + i 2
z2 = 1 + 5i (1 3i) 4 = 2i Comme dans le cas rel, on peut exprimer
la somme et le produit des racines du polynme az2 +bz+c en fonction
des coefficients : z1 + z2 = b a ; z1z2 = c a Rciproquement, deux
nombres complexes dont la somme est S et le produit P sont les
racines, distinctes ou non, du polynme z2 Sz + P. Pour sentraner :
ex. 11 18 7 Nombres complexes et gomtrie plane 7.1 Configuration de
trois points Soit A, B et M trois points du plan complexe,
distincts deux deux, daffixes respectives a, b et z. Considrons le
complexe Z = z a z b : |Z| = |z a| |z b| = AM BM arg(Z) = arg(z a)
arg(z b) = ( BM, AM) [2] Ainsi, le nombre z a z b caractrise la
position de M par rapport A et B. Par exemple : ABM est un triangle
quilatral z a z b = ei 3 ; ABM est un triangle isocle rectangle en
M z a z b = i ; Pour sentraner : ex. 19 23 20
- 21. Nombres complexes COURS1 7.2 Transformations du plan
complexe Soit z z = f (z) une application de C dans C ; nous
pouvons lui associer une application f du plan complexe P qui au
point M daffixe z fait cor- respondre M daffixe z . Nous allons
interprter gomtriquement f , dans quelques cas particuliers : z z
Lapplication f est la symtrie orthogonale s par rapport laxe rel.
Rappe- lons que cette application est involutive. z az, a C Si a =
1, f = IdP, sinon lorigine est le seul point invariant par f .
Notons a = ei , alors si z = 0, z = |z|ei z = |z|ei(+) , cest--dire
: OM = OM et ( OM, OM ) = [2] Lapplication f est donc la compose
commutative de la rotation de centre O et dangle et de lhomothtie
de centre O et de rapport ; cest une similitude directe. f est
bijective ; sa rciproque est la compose commutative de la rotation
de centre O et dangle et de lhomothtie de centre O et de rapport 1
. z az + b, (a, b) C C Cherchons tout dabord si cette application
possde des points fixes : z = az + b z(1 a) = b si a = 1, f ne
possde pas dinvariant, lapplication f associe z z + b est la
translation de vecteur V , daffixe b, dont la rciproque est la
translation de vecteur V ; si a = 1, f possde un unique invariant,
z0 = b 1 a , alors z = az + b z z0 = a(z z0) Soit daffixe z0 ; nous
sommes ramens lexemple prcdent : f est la compose commutative de la
rotation de centre et dangle et de lhomothtie de centre et de
rapport . Sa rciproque est la compose commutative de la rotation de
centre et dangle et de lhomothtie de centre et de rapport 1 . Dans
tous les cas, f est une similitude directe. Rciproquement, toute
simili- tude directe, translation ou compose rotation-homothtie,
est associe une application de C dans C de la forme z az + b. z 1 z
f est dfinie sur C , valeurs dans C , il est immdiat que cette
application est involutive. Notons z = |z|ei ; alors : z = 1 |z| ei
, cest--dire : OM = 1 OM et 1 OM OM = s 1 OM OM o s est la symtrie
par rapport laxe des rels.
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 21
- 22. COURS 1 Nombres complexes APPLICATION 2 tude de linversion
Soit I lapplication de C dans C dfinie par I(z) = 1 z . On note
encore I lapplication correspon- dante du plan complexe, appele
inversion. 1) Vrifier que linversion est une involution du plan P
priv de O dans lui-mme. 2) Dterminer limage par I : dune droite
passant par O, prive de O ; dune droite ne passant pas par O ; dun
cercle passant par O, priv de O ; dun cercle ne passant pas par O.
3) Soit M = I(M) et N = I(N), montrer que : M N = MN OM.ON 4) Soit
A, B, C, D quatre points cocycliques distincts. En considrant une
inversion de ple A, montrer que lune des galits suivantes est
vrifie : BC.AD + CD.AB = BD.AC ou BC.AD + BD.AC = CD.AB ou CD.AB +
BD.AC = BC.AD tudier la rciproque. 1) Pour tout M = O, I(M) = M tel
que : O, M et M sont sur la mme demi-droite issue de O et OM.OM =
1. Ce qui prouve immdiatement que limage par I de M est M :
linversion est une involution du plan P priv de O dans lui-mme. 2)
Image par I : Dune droite D passant par O, prive de O Daprs la
remarque prcdente, limage de D est D , incluse dans D, si D tait
strictement in- cluse dans D, on aurait I(D ) strictement incluse
dans D, ce qui est absurde puisque I I(D) = D. Dune droite ne
passant pas par O Soit D une telle droite, considrons H projection
orthogonale de O sur D et H image de H par I. Soit alors M un point
de D et M son image (Doc. 12). Nous avons : 1 = OH.OH = OM.OM OM OH
= OH OM et par alignement des points O, H, H dune part, O, M, M
dautre part, (OH, OM) = (OM , OH ), les triangles OHM et OM H sont
donc semblables, ce qui prouve que langle OM H est droit : limage
de D est incluse dans le cercle C de diamtre [OH ], priv de
lorigine. O H H0 M0 M Doc. 12 Rciproquement, soit N un point de ce
cercle autre que O, la droite (ON) coupe D en N .
Lesdeuxtrianglesrectangles ONH et OHN ont en commun langle O , ils
sont donc semblables, ce qui prouve que : ON OH = OH ON 1 = OH.OH =
ON.ON N = I(N) N = I(N ). Limage de D{O} est donc C{O}. Dun cercle
passant par O, priv de O Daprs ltude prcdente limage de C{O}, o C
est un cercle passant par O, dont un dia- mtre est OH , est la
droite perpendiculaire en H = I(H ) ce diamtre. Dun cercle ne
passant pas par O Soit un tel cercle C, dquation cartsienne : (E)
x2 + y2 2ax 2by + c = 0 c = 0 Soit M un point de ce cercle et M =
I(M) , donc M = I(M ), nous avons donc : (x, y) = x x 2 + y 2 , y x
2 + y 2 22
- 23. Nombres complexes M C si et seulement si ses composantes x,
y vrifient (E), cest--dire si et seulement si : x 2 + y 2 2ax (x 2
+ y 2 ) 2ay (x 2 + y 2 ) + c(x 2 + y 2 )2 = 0 Soit, en simplifiant
par c(x 2 + y 2 ), qui nest pas nul : x 2 + y 2 2 a c x 2 b c y + 1
c = 0 M dcrit donc un cercle C , ne passant pas par O. Remarquons
que le centre du cercle image C nest pas en gnral limage du centre
du cercle C. 3) Soit M = I(M) et N = I(N), montrons que : M N = MN
OM.ON Pour ce calcul, choisissons un repre orthonormal (O, i, j)
tel que OM = ai, a > 0, do OM = 1 a i. N = (x, y), do : N = x x2
+ y2 , y x2 + y2 Alors : (M N )2 = x x2 + y2 1 a 2 + y x2 + y2 2 =
1 a2(x2 + y2)2 (a2 x2 2ax(x2 + y2 ) +(x2 + y2 )2 + a2 y2 ) = a2 2ax
+ x2 + y2 a2(x2 + y2) = (x a)2 + y2 a2(x2 + y2) = MN2 OM2.ON2 4)
Soit A, B, C, D quatre points cocycliques distincts. Supposons que
C est entre les points B et D ; et notons B , C et D les images par
I, inversion de ple A, de ces points : B , C et D sont aligns et C
est entre B et D (Doc. 13), nous avons donc : B D = B C + C D , ce
qui se traduit laide de la question 3) par : BD AB.AD = BC AC.AB +
CD AC.AD A B C B0 D0 D O C0 I A( )0 Doc. 13 Soit, en rduisant au
mme dnominateur : BC.AD + CD.AB = BD.AC Les deux autres galits
proposes correspondent aux autres dispositions relatives des points
B, C et D. Rciproquement, si lune des trois galits est vrifie, les
points B , C et D sont aligns. Considrons alors leurs images B, C
et D, directes ou rciproques par une inversion de ple A. si A nest
pas un point de la droite (B , C ), limage de cette droite est un
cercle passant par A, ce qui signifie que A, B, C et D sont co-
cycliques ; Si A (B , C ), cette droite est invariante par I, A, B,
C et D sont aligns. Quatre points du plan sont donc aligns ou co-
cycliques si et seulement sils vrifient lune des trois conditions
proposes, cest le thorme de Ptolme.
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 23
- 24. Nombres complexes
............................................................................................................MTHODE
Pour montrer quun nombre complexe est rel, on peut : montrer que sa
partie imaginaire est nulle ; montrer quil est gal son conjugu ;
montrer quil est nul ou que son argument est 0 modulo . Pour
montrer quun nombre complexe est imaginaire pur, on peut : montrer
que sa partie relle est nulle ; montrer quil est gal loppos de son
conjugu ; montrer quil est nul ou que son argument est 2 modulo .
Pour calculer une puissance dun nombre complexe : le mettre sous la
forme trigonomtrique. Pour calculer une somme de cosinus,
respectivement une somme de sinus : reconnatre la partie relle,
respectivement la partie imaginaire, de la somme des termes dune
suite gomtrique complexe. Pour crire 1 + ei et 1 ei ( R) sous la
forme r ei , avec (r, ) R2 , on peut factoriser par ei 2 : 1 + ei =
ei 2 ei 2 + ei 2 = 2 cos 2 ei 2 1 ei = ei 2 ei 2 ei 2 = 2 sin 2 ei
( 2 2 )
...................................................................................................................................................................................................
Exercice rsolu QUATION DU TROISIME DEGR, MTHODE DE TARTAGLIA On
considre lquation dans C : (1) z3 + pz + q = 0, o (p, q) R2 1 Si z
est solution de (1), on cherche deux complexes u et v tels que u +
v = z et uv = p 3 . Montrer que u3 et v3 sont les solutions dune
quation du second degr (2). 2 En dduire la rsolution de lquation
(1) dans C. 3 Discuter selon les valeurs de p et q le nombre de
solutions relles de lquation (1). 4 Exemples : Rsoudre dans C et
dans R les quations : z3 12z 65 = 0, z3 12z 16 = 0 et z3 6z + 4 = 0
24
- 25. Nombres complexes Conseils Solution 1) Soit u et v deux
complexes tels que uv = p 3 . Le complexe u + v est solution de (1)
si et seulement si : (u + v)3 + p(u + v) + q = 0 cest--dire u3 + v3
+ (u + v)(3uv + p) + q = 0, do : u3 + v3 = q et u3 v3 = p3 27 Deux
nombres complexes de somme S et de produit P sont les racines du
po- lynme X2 SX + P. u3 et v3 sont donc les solutions de lquation
du second degr : (2) X2 + qX p3 27 = 0 dont le discriminant est rel
: = 1 27 (4p3 + 27q2 ) Si u est une racine cubique de U, les deux
autres racines cubiques de U sont u e 2i 3 et u e 2i 3 . 2) Si >
0, lquation (2) a deux solutions relles distinctes (U, V ). u3 = U
v3 = V uv = p 3 u { 3 U, 3 U j, 3 U j} v { 3 V , 3 V j, 3 V j} uv R
Apparier les solutions en u et v de sorte que uv soit rel. Do : (u,
v) {( 3 U, 3 V ), ( 3 U j, 3 V j), ( 3 U j, 3 V j)} Lquation (1) a
donc une solution relle z0 = 3 U + 3 V et deux solutions complexes
conjugues : z1 = 3 U j + 3 V j et z1 = 3 U j + 3 V j Si = 0,
lquation (2) a une racine double relle U = q 2 u3 = U v3 = V uv = p
3 u 3 U, 3 U j, 3 U j v 3 U, 3 U j, 3 U j uv R Do : (u, v) {( 3 U,
3 U), ( 3 U j, 3 U j), ( 3 U j, 3 U j)} Lquation (2) a donc deux
solutions relles : z0 = 2 3 U et z1 = 3 U Les racines cubiques de U
sont u0, u0 j et u0 j. Si < 0, lquation (2) a deux solutions
complexes conjugues (U, U ). Soit u0, u0 j et u0 j les trois
racines cubiques de U. (u, v) {(u0, u0 ), (u0 j, u0 j), (u0 j, u0
j)} Lquation (1) a trois solutions relles : z0 = 2Re(u0), z1 =
2Re(u0 j) et z2 = 2Re(u0 j).
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 25
- 26. Nombres complexes 3) En rsum, lquation (1) a une solution
relle simple, deux solutions relles dont une double (voire triple)
ou trois solutions relles distinctes suivant que 4p3 + 27q2 est
strictement positif, nul ou strictement ngatif. On peut retrouver
ces rsultats par ltude des variations de la fonction f : x x3 + px
+ q. Lquation f (x) = 0 a au moins une solution relle, car f est
continue et lim x f (x) = , lim x+ f (x) = +. f est drivable sur R
et f (x) = 3x2 + p. Si p 0, f est strictement croissante sur R , il
y a une seule solution relle (simple ou triple). Si p < 0, les
variations de f sont les suivantes : x p 3 p 3 + + f avec = q 4p3
27 et = q + 4p3 27 do = 4p3 + 27q2 27 . Appliquer le thorme : Toute
fonction continue strictement monotone sur un intervalle I est une
bijection de I dans f (I) successivement aux intervalles : , p 3 ,
p 3 , p 3 et p 3 , + . Il y a trois solutions relles si et
seulement si < 0, cest--dire 4p3 + 27q2 < 0 ; Il y a deux
solutions relles dont une double si et seulement si > 0,
cest--dire 4p3 + 27q2 = 0 ; Il y a une solution relle simple si et
seulement si > 0, cest--dire 4p3 + 27q2 > 0. 4) Exemples : z3
12z 65 = 0 u3 v3 = 64 , u3 + v3 = 65 ; do u3 = 1, v3 = 64 u {1, j,
j} v {4, 4 j, 4 j} uv R Lquation a une solution relle et deux
solutions complexes conjugues : S = 5, 5 3 3 i 2 , 5 + 3 3 i 2 z3
12z 16 = 0 u3 v3 = 64 , u3 + v3 = 16 ; do u3 = v3 = 8 (u, v) {2,
2j, 2j}2 uv R Lquation a deux solutions relles : S = {4, 2}. z 3 6z
+ 4 = 0 u3 v3 = 8, u3 + v3 = 4 do u3 = 2 + 2i = 2 2 ei 3 4 , v3 =
u3 u 2 ei 4 , 2 ei 11 12 , 2 ei 19 12 v 2 ei 4 , 2 ei 11 12 , 2 ei
19 12 uv R Lquation a trois solutions relles : S = {2, 1 3, 1 + 3}.
26
- 27. Nombres complexes Complment : Pour rsoudre une quation du
troisime degr quel- conque z3 + az2 + bz + c = 0, on peut toujours
se ramener la forme Z3 + pZ + q = 0 en posant Z = z + a 3 afin
dliminer les termes en z2 . Exemple : Rsoudre lquation : z3 + 12z2
+ 42z + 44 = 0. Cette quation quivaut (z + 4)3 6(z + 4) + 4 = 0. On
est ramen au troisime exemple ci-dessus. Do S = {2, 5 3, 5 + 3}.
Note historique Nicolo Tartaglia (1500-1557) dcouvrit, vers 1540,
une merveilleuse mthode de rsolution algbrique dquations du
troisime degr. Lors dun dfi lopposant Antonio Maria Fior, qui
laccusait de lavoir plagi, Tartaglia rsolut trente quations
proposes par Fior, alors que ce dernier ne put en rsoudre une seule
de Tartaglia. Invit par Jrme Cardan qui lui proposait de financer
ses recherches, Tartaglia commit limprudence de lui confier son
secret. Cardan sempressa de le publier sous son nom et il sensuivit
une querelle de plusieurs annes jusqu ce que des menaces de mort
fassent renoncer Tartaglia dfendre ses droits... La mthode de
Tartaglia laissait cependant quelques zones dombre : on se ramenait
une quation du second degr qui, lorsquelle possdait deux racines
relles, fournissait une unique racine relle de lquation du troisime
degr. Mais lorsque lquation du second degr navait pas de racine
relle, la mthode semblait impuissante fournir les racines relles
videntes de lquation du troisime degr ; pour comble de malchance,
cest justement dans ce cas quil y en avait le plus grand nombre...
(au maximum trois, les racines ngatives tant lpoque cartes).
Quelques annes plus tard, Raffaele Bombelli nhsita pas, non
seulement considrer des nombres ngatifs, mais aussi leur attribuer
une racine carre... Il complta ainsi la mthode de Tartaglia,
trouvant systmatiquement toutes les solutions relles de lquation du
troisime degr aprs limination des racines carres de ngatifs. Les
nombres complexes taient ns... 27
- 28. Exercices 1 Vrai ou faux ? a. Deux complexes dont la somme
et le produit sont rels, sont des rels. b. Pour tout complexe z,
|z|2 = z2 . c. Pour tous complexes a et b, a + ib = 0 a = b = 0 d.
Deux complexes de mme module dont les arguments diffrent de 2 sont
gaux. e. z C ez = 1 z = i f. Lapplication z ez est bijective. g.
Lensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe
multiplicatif. h. Tout nombre complexe non nul possde n racines n-
imes distinctes. i. Pour tout entier n 2, la somme des racines
n-imes dun nombre complexe est nulle. j. Une quation du second degr
dans C a toujours des solutions. Forme algbrique module 2 Soit z et
z deux complexes de module 1 et a un rel. On note : Z = z + z + azz
+ 1 et Z = z + z + zz + a 1) Montrer que Z = zz Z et que |Z| = |Z
|. 2) On suppose que 1 + zz = 0. Montrer que le nombre u = z + z 1
+ zz est rel. 3 Dmontrer que : n N n k=1 kik1 = i nin (n + 1)in+1 2
En dduire les sommes relles : S1 = 1 3 + 5 7 + + (1)p (2p + 1) et
S2 = 2 4 + 6 8 + + (1)p+1 2p 4 Dterminer z pour que z, z 1 et 1 z
aient le mme module. 5 Soit u et v deux complexes. Montrer que :
|u| + |v| |u + v| + |u v| |u + v|2 + |u v|2 = 2(|u|2 + |v|2 )
(formule du paralllogramme) 6 Un entier n est somme de deux carrs
sil existe (a, b) N2 tel que n = a2 + b2 . Montrer quun produit
fini de tels entiers est encore somme de deux carrs. 7 Pour a et b
complexes tels que ab = 1, soit z = a b 1 ab . Montrer que : |z| =
1 |a| = 1 ou |b| = 1 Caractriser de mme |z| < 1. Applications la
trigonomtrie forme trigonomtrique 8 Calculer les sommes : S1 = n
k=0 cos kx ; S2 = n k=0 sin kx ; S3 = n k=0 cos2 kx ; S4 = n k=0
sin2 kx ; S5 = n k=0 cos kx cosk x ; S6 = n k=0 sin kx cosk x ; S7
= n k=0 n k cos kx ; S8 = n k=0 n k sin kx. 9 Calculer le nombre
complexe 1 + i 3 1 i 20 10 1) Dterminer le module et un argument de
z = 1 + cos + i sin en discutant suivant la valeur du rel . 2) Soit
z = 1 i 1 + cos + i sin o ], [. Calculer en fonction de le module
et un argument de z . 28
- 29. Nombres complexes EXERCICES 1 quations 11 Rsoudre de deux
faons lquation (z + 1)5 = (z 1)5 . Comparer les rsultats. 12
Factoriser dans C puis dans R les polynmes suivants : z3 1 ; z3 + 1
; z4 + z2 + 1 ; z4 z2 + 1 ; z6 1 ; z6 + 1. 13 Soit u = e 2i 5 .
Calculer 1 + u + u2 + u3 + u4 . En dduire la valeur de cos 2 5 .
Application : trouver une construction la rgle et au com- pas dun
pentagone rgulier. 14 On pose u = e 2i 7 , S = u + u2 + u4 et T =
u3 + u5 + u6 . 1) Montrer que S et T sont conjugus et que la partie
imaginaire de S est positive. 2) Calculer S + T et ST. En dduire S
et T. 15 Rsoudre les quations suivantes dans C : 1) z2 2iz 1 + 2i =
0 2) iz2 + iz + 1 + i = 0 3) z2 2+1 cos z + 22 = 0 4) z2 4 sin z +
13 sin2 9 = 0 ]0, [ 5) 2z2 (1 cos 2) 2z sin 2 + 1 = 0 ]0, [ 6) z2
2ei z + 2i sin ei = 0 (on crira les racines sous la forme
trigonomtrique) 7) z3 (2 + i)z2 + 2(1 + i)z 2i = 0 (racine vidente)
8) 4iz3 +2(1+3i)z2 (5+4i)z+3(17i) = 0 (chercher une racine relle)
9) z3 (5 3i)z2 + (6 11i)z + 2 + 16i = 0 (chercher une racine
imaginaire) 16 Rsoudre lquation z3 = 4 2(1 + i). 17 Dterminer sous
forme trigonomtrique les racines cu- biques du nombre complexe a =
16(1i). Pour tout rel on pose z = 1+i +2 2ei . Dterminer lensemble
(C) des points M daffixes z quand dcrit [0, 2[. Montrer que les
solutions de lquation (z (1 + i))3 = a sont des affixes de points
de (C). 18 Rsoudre dans C lquation : (z2 + 1)n (z i)2n = 0 (n N )
Applications des complexes la gomtrie 19 tout point M daffixe z =
1, on associe le point M daffixe z = z 1 1 z . tablir que |z | = 1
; z 1 z 1 est rel ; z + 1 z 1 est imagi- naire pur. En dduire une
construction gomtrique du point M connaissant le point M. 20
Dterminer lensemble des points M daffixe z tels que les points I
daffixe i et M daffixe iz soient aligns avec M. Dterminer lensemble
des points M . 21 Dterminer lensemble des points M daffixe z tels
que : Re z 1 z i = 0 22 Soit A, B, C trois points distincts du plan
com- plexe daffixes a, b, c. Montrer que les trois propositions
suivantes sont quivalentes : 1) ABC est un triangle quilatral. 2) j
ou j est solution de lquation az2 + bz + c = 0. 3) a2 + b2 + c2 =
ab + bc + ca. 23 Soit ABCD un carr dans le plan complexe. Montrer
que si A et B ont des coordonnes entires, il en est de mme de C et
D. Peut-on trouver un triangle quilatral dont les trois som- mets
ont des coordonnes entires ?
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 29
- 30. 2 Fonctions usuelles OBJECTIFSOBJECTIFS Rviser les
fonctions dj connues : exponentielles, loga- rithmes, puissances,
fonctions circulaires. Dcouvrir de nouvelles fonc- tions :
fonctions hyperboliques et hyperboliques rciproques, fonc- tions
circulaires rciproques. Prparer le cours danalyse en dis- posant de
nombreux exemples. INTRODUCTION Aprs un rappel concernant les
fonctions loga- rithmes, exponentielles et circulaires, le cata-
logue des fonctions usuelles senrichit ici de plusieurs spcimens
dont les tudiants disposent dj sur leur calculatrice : quelles sont
ces mystrieuses touches : sin1 , cosh, tanh1 ? Ces fonctions seront
uti- lises couramment en analyse, notamment dans les calculs de
primitives. 30
- 31. Fonctions usuelles COURS2 1 Fonctions logarithmes et
exponentielles 1.1 Fonction logarithme nprien Nous verrons dans le
chapitre 18 que toute fonction continue sur un intervalle possde
des primitives sur cet intervalle. Les primitives dune mme fonction
sur un intervalle sont gales une constante prs. On peut spcifier
une primitive particulire en prcisant sa valeur en un point de
lintervalle. On appelle logarithme nprien la primitive de la
fonction x 1 x sur R + , qui sannule en 1. Cette fonction est note
x ln x. Par dfinition, la fonction ln est drivable sur R + et sa
drive 1 x est strictement positive : ln est strictement croissante
sur R + . Pour tout rel y strictement positif, la fonction x ln(xy)
est une primitive de 1 x sur R + , donc ln(xy) = ln x + C. Pour x =
1, on obtient C = ln y. IMPORTANT Cette proprit sera dmontre au 3.4
du chapitre 15. Do : (x, y) R + 2 ln(xy) = ln x + ln y On en dduit
: x R + ln 1 x = ln x (x, y) (R + )2 ln x y = ln x ln y n Z x R +
ln xn = n ln x ln tant strictement croissante, elle admet une
limite finie ou infinie en +. y x 0 1 ln x 1 Doc. 1 Logarithme
rprien. Comme ln 2n = n ln 2, lim n+ ln 2n = +. La limite de ln en
+ ne peut donc tre que +. lim x+ ln x = + En changeant x en 1 x ,
on en dduit : lim x0 ln x = La fonction ln ayant une drive
dcroissante (on dit quelle est concave), sa courbe reprsentative
est en dessous de sa tangente en tout point, en particulier au
point 1 (Doc.1) : x R + ln x x 1
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- 32. COURS 2 Fonctions usuelles APPLICATION 1 Dterminer
lensemble des couples (n, p) N2 tels que : n = p et np = pn
Remarquons que np = pn ln n n = ln p p , ce qui nous conduit tudier
la fonction f : x ln x x . Cette fonction est drivable sur R + , de
drive 1 ln x x2 , elle est donc croissante sur ]0, e], dcrois-
sante sur [e, +[. Nous cherchons n et p entiers tels que : f (n) =
f (p) ; lun de ces deux entiers appartient n- cessairement ]0, e].
Or f (1) = 0, valeur atteinte en ce seul point, f (2) = ln 2 2 = ln
4 4 = f (4). Les couples (2, 4) et (4, 2) sont donc les seules
solutions (Doc. 2). y x0 21 4e 1 e Doc. 2 1.2 Fonction
exponentielle de base e Vous avez vu en Terminale que toute
fonction f strictement monotone et conti- nue sur un intervalle I
de R ralise une bijection de I sur lintervalle J = f (I); la
bijection rciproque f 1 est alors strictement monotone et continue
de J dans I. La fonction logarithme nprien est continue et
strictement croissante sur lin- tervalle ]0, +[. Elle est donc
bijective. Sa bijection rciproque est continue et strictement
croissante de R dans ]0, +[; elle est appele exponentielle et note
exp . Pour tous rels x et y, on a : ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x))
+ ln(exp(y)) = x + y = ln(exp(x + y)) Do, puisque la fonction
logarithme nprien est bijective : (x, y) R2 exp(x + y) = exp(x)
exp(y) On en dduit : x R exp(x) = 1 exp(x) (x, y) R2 exp(x y) =
exp(x) exp(y) n Z x R exp(nx) = exp(x) n On remarque que : n Z
exp(n) = exp(n1) = exp(1) n 32
- 33. Fonctions usuelles COURS2 En notant e le rel exp(1), on a
donc : n Z exp(n) = en . On convient dcrire pour tout x R : exp(x)
= ex (pour x Z, cest une proprit ; pour x Z, cest une dfinition).
La fonction exp est appele exponentielle de base e. Avec cette
nouvelle notation, on a donc : x R ex = 1 ex (x, y) R2 exy = ex ey
n Z x R enx = ex n Nous dmontrerons dans le chapitre 16 : Drivation
des fonctions dune variable relle que, si f est une bijection,
drivable, et si sa drive ne sannule pas sur I , alors f 1 est
drivable sur J = f (I) de drive : (f 1 ) = 1 f f 1 y x x + 1 0 1 xe
Doc. 3 La fonction exponentielle. La drive du logarithme nprien ne
sannulant pas, la fonction exponentielle est drivable sur R et : x
R (exp) (x) = 1 1/ex = ex La fonction exponentielle de base e est
gale sa drive. Les limites de lexponentielle se dduisent de celles
du logarithme nprien (Doc. 3) : lim x+ ex = + lim x ex = 0 1.3
Fonctions exponentielles de base quelconque Soit a R + . On appelle
exponentielle de base a la fonction note expa dfinie sur R par : x
R expa(x) = ex ln a On vrifie que : (x, y) R2 expa(x + y) = expa(x)
expa(y) En effet : expa(x + y) = e(x+y) ln a = ex ln a ey ln a =
expa(x) expa(y) En particulier : n Z expa(n) = expa(1) n = an On
convient dcrire pour tout x R : expa(x) = ax .
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 33
- 34. COURS 2 Fonctions usuelles ATTENTION Seul un rel
strictement posi- tif peut tre lev un expo- sant rel quelconque. 2
2 signifie exp2( 2), cest--dire exp( 2 ln 2); mais (2) 2 na aucun
sens. Avec cette nouvelle notation, on a donc : x R ax = ex ln a x
R ln ax = x ln a (x, y) R2 ax+y = ax ay x R ax = 1 ax (x, y) R2 axy
= ax ay De plus : (x, y) R2 ax y = ey ln ax = ey(x ln a) = exy ln a
= axy (x, y) R2 ax y = axy On a aussi : (a, b) (R + )2 x R (ab)x =
ex ln(ab) = ex(ln a+ln b) = ex ln a ex ln b = ax bx (a, b) (R + )2
x R (ab)x = ax bx y x 2x 2x 1x 10x 10 x ex ex 0 1 Doc. 4 Les
fonctions exponentielles. Ces relations gnralisent pour les
exposants rels les proprits connues pour les seuls exposants
entiers. Drive Pour tout a R + , la fonction expa (Doc. 4) est
drivable sur R et : x R (expa) (x) = ax ln a Si a = 1, la fonction
exp1 est constante : x R 1x = 1. Si a > 1, la fonction expa est
strictement croissante. Si a < 1, la fonction expa est
strictement dcroissante. Remarque : Pour driver x u(x)v(x) , il
faut revenir la dfinition : u(x)v(x) = ev(x) ln u(x) . Par exemple
x xx = ex ln x a pour drive x (ln x+1)xx . 1.4 Fonctions
logarithmes de base quelconque Si a R + {1}, la fonction expa est
continue et strictement monotone sur R : cest donc une bijection de
R dans R + . La bijection rciproque est appele logarithme de base a
et note loga . On a donc : a R + {1} y = loga x x R + x = ay y R y
x a = 2 a = e a = 10 a = 1/10 a = 1/e a = 1/2 1 0 Doc. 5 Les
fonctions logarithmes. Comme cette galit quivaut encore ln x = y ln
a, on en dduit y = ln x ln a , cest--dire : a R + {1} x R + loga x
= ln x ln a Toutes les fonctions logarithmes sont proportionnelles
(Doc. 5). 34
- 35. Fonctions usuelles COURS2 Drive Pour tout a R + {1}, la
fonction loga est drivable sur R + et : x R + (loga) (x) = 1 ln a 1
x Pour sentraner : ex. 2 et 3 1.5 Fonctions puissances La dfinition
des fonctions exponentielles permet dlever un rel strictement
positif la puissance dun exposant rel quelconque. Pour tout R, on
peut donc dfinir la fonction : R + f R x x par : x R + x = e ln x
Cette fonction f est drivable sur R + et : x R + f (x) = 1 x e ln x
= x1 Cette proprit gnralise pour les exposants rels celle qui tait
connue pour les seuls exposants rationnels. Si = 0, la fonction f
est constante sur R + : x R + x0 = 1 . Si > 0, la fonction f est
strictement croissante sur R + . Si < 0, la fonction f est
strictement dcroissante sur R + . Pour = 0, on a les tableaux de
variation suivants : Si > 0 x 0 + Si < 0 x 0 + + + f(x) f(x)
0 0 Doc. 6 Les fonctions puissances. Notons que si 0, on peut
prolonger f par continuit en 0 en posant : f(0) = 0 si > 0 , et
f0(0) = 1. Si > 1, lim x0 f (x) = 0, donc f est drivable en 0 et
f (0) = 0 . Si = 1, f1(x) = x ; f1 est drivable en 0 et f (0) = 1 .
Si < 1, lim x0 f (x) = +, donc f nest pas drivable en 0 (Doc.
6). 1.6 Croissances compares 1) On a prouv que pour tout x R + : ln
x x 1; a fortiori, ln x < x. Pour tout > 0, ln x < x , do
ln x < x . Pour tout > 0 et x 1, on a : 0 ln x x < x .
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- 36. COURS 2 Fonctions usuelles En choisissant < et en
appliquant le thorme dencadrement (chapitre 15, 4.3), on en dduit :
> 0 lim x+ ln x x = 0 On dit que ln x est ngligeable devant x au
voisinage de + (voir chapitre 15, 5.2). Plus gnralement, pour tout
> 0 et > 0, on a : (ln x) x = ln x x , do : > 0 > 0 lim
x+ (ln x) x = 0 (ln x) est ngligeable devant x au voisinage de +.
En posant x = 1 X , on en dduit : > 0 > 0 lim x0 x | ln x| =
0 | ln x| est ngligeable devant 1 x au voisinage de 0. 2) Pour tout
> 0 et > 0, ex x = ex ln x = ex( ln x x ) . Comme ln x x tend
vers 0 quand x tend vers +, > 0 > 0 lim x+ ex x = + x est
ngligeable devant ex au voisinage de +. En posant x = X, on obtient
de mme : > 0 > 0 lim x |x| ex = 0 ex est ngligeable devant 1
|x| au voisinage de +. 2 Fonctions hyperboliques Toute fonction
dfinie sur R est, de faon unique, la somme dune fonction impaire et
dune fonction paire : x R f (x) = f (x) f (x) 2 + f (x) + f (x) 2
36
- 37. Fonctions usuelles COURS2 2.1 Fonctions sinus et cosinus
hyperboliques Sur la TI-92/Voyage 200 ces deux fonctions sont notes
sinh et cosh (menu MATH/Hyperbolic). On appelle sinus hyperbolique
et cosinus hyperbolique la par- tie impaire et la partie paire de
la fonction exponentielle de base e : x R sh x = ex ex 2 et ch x =
ex + ex 2 Ces deux fonctions (Doc. 7) sont drivables sur R et : x R
(sh ) (x) = ch x et (ch ) (x) = sh x Il en rsulte les tableaux de
variation suivants : x 0 + x 0 + sh x + 1 + ch x 0 + + + + sh x 0
ch x 1 y x ch sh O 2 ex Doc. 7 Cosinus et sinus hyperboliques.
Remarque : lim x+ (ch x ex 2 ) = 0 et lim x+ (sh x ex 2 ) = 0. Les
courbes dquations y = ch x, y = sh x et y = ex 2 sont asymptotes en
+, leurs positions relatives tant donnes par les ingalits : x R sh
x < ex 2 < ch x 2.2 Trigonomtrie hyperbolique On vrifie
facilement que pour tout x R : ch x + sh x = ex et ch x sh x = ex
Do : x R ch 2 x sh 2 x = 1 Y X M 1 chx shx Doc. 8 Paramtrage dune
demi-hyperbole. En posant : X = ch x et Y = sh x, on a X2 Y 2 = 1
et X 1. Dans un plan rapport un repre orthonormal, le point de
coordonnes (X, Y ) dcrit donc une demi-hyperbole quilatre (Doc. 8)
(voir chapitre 6 : Coniques) : les fonctions hyperboliques servent
paramtrer la demi-hyperbole dquations X2 Y 2 = 1 , X 1.
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- 38. COURS 2 Fonctions usuelles APPLICATION 2 Formules daddition
en trigonomtrie hyperbolique Calculer ch (a+b), ch (ab), sh (a+b),
sh (ab), ch 2a, sh 2a. ch (a + b) = 1 2 (ea+b + eab ) = 1 4 [(ea +
ea )(eb + eb ) +(ea ea )(eb eb )] Do : ch (a + b) = ch a ch b + sh
a sh b En changeant b en b, on obtient : ch (a b) = ch a ch b sh a
sh b On en dduit : ch 2a = ch 2 a + sh 2 a = 2 ch 2 a 1 = 2 sh 2 a
+ 1 sh (a + b) = 1 2 (ea+b eab ) = 1 4 [(ea ea )(eb + eb ) +(ea +
ea )(eb eb )] Do : sh (a + b) = sh a ch b + ch a sh b sh (a b) = sh
a ch b ch a sh b et : sh 2a = 2 sh a ch a Remarque : La plupart des
formules de trigonomtrie stendent aux fonctions hyper- boliques,
moyennant certains changements de signe. 2.3 Fonction tangente
hyperbolique Sur la TI-92/Voyage 200, cette fonction est note tanh
(menu MATH/Hyperbolic). La fonction tangente hyperbolique est
dfinie sur R par : th x = sh x ch x = ex ex ex + ex = e2x 1 e2x + 1
Cette fonction est impaire. Elle est drivable sur R et : x R th (x)
= ch 2 x sh 2 x ch 2x x R th (x) = 1 th 2 x = 1 ch 2xy x 1 0 1 th
Doc. 9 Tangente hyperbolique. La fonction th est strictement
croissante sur R (Doc. 9). Au voisinage de +, th x ex ex , donc lim
x+ th x = 1. Comme la fonction th est impaire, lim x th x = 1. Pour
sentraner : ex. 4 et 6 38
- 39. Fonctions usuelles COURS2 3 Fonctions hyperboliques
rciproques 3.1 Fonction argument sinus hyperbolique Sur la
TI-92/Voyage 200, la fonction Argsh est note sinh 1 (menu
MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre avec la fonction x 1 sh x . La
fonction sinus hyperbolique est continue et strictement crois-
sante sur R ; ses limites en sont . Cest donc une bijection de R
dans R. La bijection rciproque est appele argu- ment sinus
hyperbolique et note x Argsh x. Par dfinition : Pour tout x R,
Argsh x est lunique lment de R qui a pour sinus hyperbolique x : y
= Argsh x x R x = sh y y R Daprs le thorme utilis, la fonction
argument sinus hyperbolique est galement continue et strictement
croissante sur R. Drive sh Arg sh y xO Doc. 10 Argument sinus
hyperbolique. La fonction sh tant drivable sur R et sa drive ne
sannulant pas, la fonction Argsh est drivable sur R (Doc. 10) et :
x R (Argsh) (x) = 1 ch (Argsh x) or ch 2 (Argsh x) = 1 + sh 2
(Argsh x) = 1 + x2 et ch (Argsh x) > 0, donc ch (Argsh x) = x2 +
1 . Do : (Argsh) (x) = 1 x2 + 1 3.2 Fonction argument cosinus
hyperbolique Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Argch est note
cosh 1 (menu MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre avec la fonction x
1 ch x . La restriction R+ de la fonction cosinus hyperbolique est
continue et strictement croissante sur R+; sa limite en + est +.
Cest donc une bijection de R+ dans [1, +[. La bijection rciproque
de [1, +[ dans R+ est appele argument cosinus hyperbolique et note
x Argch x. Par dfinition : Pour tout x [1, +[ , Argch x est lunique
lment de R+ qui a pour cosinus hyperbolique x y = Argch x x [1, +[
x = ch y y R+ Daprs le thorme utilis, la fonction argument cosinus
hyperbolique est gale- ment continue et strictement croissante sur
[1, +[. HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit
39
- 40. COURS 2 Fonctions usuelles Drive ch Arg ch y x 1 10 Doc. 11
Argument cosinus hyperbolique. La fonction ch tant drivable et sa
drive ne sannulant pas sur R + , la fonction Argch est drivable sur
]1, +[ (Doc. 11) et : x > 1 (Argch) (x) = 1 sh (Argch x) or sh 2
(Argch x) = ch 2 (Argch x) 1 = x2 1 et sh (Argch x) > 0 donc sh
(Argch x) = x2 1 Do (Argch) (x) = 1 x2 1 3.3 Fonction argument
tangente hyperbolique Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Argth
est note tanh 1 (menu MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre avec la
fonction x 1 th x . La fonction tangente hyperbolique est continue
et strictement croissante sur R ; ses limites en sont 1. Cest donc
une bijection de R dans ]1, 1[ . La bijection rciproque de ]1, 1[
dans R est appele argument tangente hyperbolique et note x Argth x.
Par dfinition : Pour tout x ]1, 1[ , Argth x est lunique lment de R
qui a pour tangente hyperbolique x : y = Argth x x ]1, 1[ x = th y
y R Daprs le thorme utilis, la fonction argument tangente
hyperbolique est gale- ment continue et strictement croissante sur
]1, 1[ . Drive y xx' y' th Arg th 1 1 1 1 0 Doc. 12 Argument
tangente hyperbolique. La fonction th tant drivable sur R et sa
drive ne sannulant pas, la fonction Argth est drivable sur ]1, 1[
(Doc.12) et : x ]1, 1[ (Argth) (x) = 1 1 th 2(Argth x) Or th (Argth
x) = x, do : (Argth) (x) = 1 1 x2 40
- 41. Fonctions usuelles COURS2 APPLICATION 3 Expression des
fonctions hyperboliques rciproques laide du logarithme nprien Les
fonctions hyperboliques rciproques peuvent sexpri- mer laide de la
fonction logarithme nprien ; vrifions- le pour chacune delles. 1)
Montrer, de deux faons diffrentes, que : x R, Argsh x = ln(x + x2 +
1) 2) Montrer, de deux faons diffrentes, que : x [1, +[, Argch x =
ln(x + x2 1) 3) Montrer, de deux faons diffrentes, que : x R, Argth
x = 1 2 ln 1 + x 1 x 1) Rsolvons lquation en y : x = sh y, soit x =
ey ey 2 . Posons Y = ey . Lquation devient : 2x = Y 1 Y soit Y 2
2xY 1 = 0 Cette quation du second degr en Y possde deux racines
relles de signes contraires : Y = x + x2 + 1 et Y = x x2 + 1. Comme
Y = ey , on conserve uniquement la so- lution positive : Y = x + x2
+ 1 do y = ln(x + x2 + 1). x R Argsh x = ln(x + x2 + 1) Autre
mthode : Les deux fonctions x Argsh x et x ln(x+ x2 + 1) sont
drivables sur R. Or, ln(x + x2 + 1) = 1 + 2x 2 x2+1 x + x2 + 1 = 1
x2 + 1 o lon reconnat la drive de la fonction Argsh . De plus, ces
deux fonctions prennent la mme va- leur nulle pour x = 0, elles
sont donc gales. 2) Rsolvons lquation en y : x = ch y, soit x = ey
+ ey 2 . Posons Y = ey . Lquation de- vient : 2x = Y + 1 Y soit Y 2
2xY + 1 = 0 Cette quation du second degr en Y possde deux racines
relles positives : Y = x + x2 1 et Y = x x2 1. Comme on veut que y
0, on conserve unique- ment la solution suprieure 1 : Y = x+ x2 1,
do y = ln(x+ x2 1). x [1, +[ Argch x = ln(x + x2 1) Autre mthode :
Les deux fonctions x Argch x et x ln(x + x2 1) sont drivables sur
]1, +[. Or, ln(x + x2 1) = 1 + 2x 2 x21 x + x2 1 = 1 x2 1 o lon
reconnat la drive de la fonction Argch . De plus, ces deux
fonctions prennent la mme va- leur nulle pour x = 1, elles sont
donc gales. 3) Rsolvons lquation en y : x = th y soit x = e2y 1 e2y
+ 1 Posons Y = e2y . Lquation devient : Y 1 = x(Y + 1) soit Y (1 x)
= 1 + x HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit
41
- 42. COURS 2 Fonctions usuelles do Y = 1 + x 1 x Lquation a une
solution relle unique : y = 1 2 ln 1 + x 1 x car 1 + x 1 x > 0 x
] 1, 1[ Argth x = 1 2 ln 1 + x 1 x Autre mthode : Les deux
fonctions x Argth x et x 1 2 ln 1 + x 1 x sont drivables sur ] 1,
1[. Or, 1 2 ln 1 + x 1 x = 1 2 2 (1 x)2 1 x 1 + x = 1 1 x2 o lon
reconnat la drive de la fonction Argth . De plus, ces deux
fonctions prennent la mme va- leur nulle pour x = 0, elles sont
donc gales. Pour sentraner : ex. 5 4 Fonctions circulaires 4.1
Paramtrage dun cercle y xO sin x M cos x x i j Doc. 13 Paramtrage
dun cercle. Le plan orient est rapport un repre orthonorm direct
(O, i, j). Soit C le cercle de centre O de rayon 1. Pour tout rel
x, le point M de C tel que langle orient (i, OM) ait pour mesure x,
a pour coordonnes (cos x, sin x) (Doc. 13). On dfinit ainsi deux
fonctions de R dans R 2 -priodiques, sinus et cosinus,
respectivement impaire et paire. Leur quotient est la fonction
tangente dfinie sur R{ 2 + k, k Z} par tan x = sin x cos x . Cette
fonction est impaire et -priodique. Retrouvons les proprits
diffrentielles (limites, drives) de ces fonctions clas- siques
partir de ce simple point de vue gomtrique. 4.2 Fonctions sinus et
cosinus Soit x ]0, 2 [, M le point de coordonnes (cos x, sin x), A
le point de coordonnes (1, 0). Continuity A xO M Doc. 14
Comparaison daires. Comparons les aires du triangle OAM et du
secteur angulaire OAM (Doc. 14) : x ]0, 2 [ 1 2 sin x 1 2 x, soit :
sin x x Cette ingalit est encore vraie pour x = 0, et comme la
fonction sinus est impaire, on peut crire : x ] 2 , 2 [ | sin x|
|x| 42
- 43. Fonctions usuelles COURS2 On en dduit lim x0 sin x = 0 =
sin 0, donc la fonction sinus est continue en 0. Onsaitque x [ 2 ,
2 ] cos x = 1 sin2 x, donc lim x0 cos x = 1 = cos 0 : la fonction
cosinus est continue en 0. En un point quelconque x0, on a : h R
sin(x0 + h) = sin x0 cos h + cos x0 sin h, donc lim h0 sin(x0 + h)
= sin x0 h R cos(x0 + h) = cos x0 cos h sin x0 sin h, donc lim h0
cos(x0 + h) = cos x0 En dfinitive, les fonctions sinus et cosinus
sont continues sur R. Drivabilit Soit T le point dintersection de
la droite (OM) et de la tangente en A C. y T A xO M Doc. 15
Comparaison daires. Comparons les aires du triangle OAM, du secteur
angulaire OAM et du triangle OAT (Doc. 15) : x ]0, 2 [ 1 2 sin x x
2 1 2 tan x Do lon dduit en divisant les trois membres par 1 2 sin
x (qui est strictement positif) : 1 x sin x 1 cos x , ou en passant
aux inverses : x ]0, 2 [ cos x sin x x 1 On en dduit que lim x0+
sin x x = 1. Comme cette fonction est paire, il en est de mme de la
limite gauche. Do : lim x0 sin x x = 1 Cette limite exprime la
drivabilit de la fonction sinus en 0, sa drive valant 1 en ce
point. Comme : 1 cos x = 2 sin2 x 2 , on en dduit : lim x0 1 cos x
x2 = 1 2 En un point x0 quelconque : sin(x0 + h) = sin x0 cos h +
cos x0 sin h do : sin(x0 + h) sin x0 h = sin x0 cos h 1 h + cos x0
sin h h et par consquent : lim h0 sin(x0 + h) sin x0 h = cos x0 De
mme : cos(x0 + h) = cos x0 cos h sin x0 sin h
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- 44. COURS 2 Fonctions usuelles do : cos(x0 + h) cos x0 h = cos
x0 cos h 1 h sin x0 sin h h et par consquent : lim h0 cos(x0 + h)
cos x0 h = sin x0 y' x' x 2 2 y sin cos O Doc. 16 Fonctions sinus
et cosinus. Les fonctions sinus et cosinus sont donc drivables sur
R et (Doc. 16) : x R sin (x) = cos x cos (x) = sin x Or sin (x) =
sin x + 2 et cos (x) = cos x + 2 . On en dduit facilement par
rcurrence que les fonctions sinus et cosinus sont indfiniment
drivables sur R et : n N sin(n) (x) = sin x + n 2 cos(n) (x) = cos
x + n 2 4.3 Fonction tangente O x 2 2 y Doc. 17 Fonction tangente.
La fonction tangente (Doc. 17), note tan, est dfinie sur R{ 2 + k ,
k Z} par tan x = sin x cos x ; elle est impaire et -priodique. Elle
est drivable sur cet ensemble et : tan (x) = 1 + tan2 x = 1 cos2 x
5 Fonctions circulaires rciproques Les fonctions que nous venons
dtudier ne sont videmment pas bijectives sur tout leur ensemble de
dfinition, mais certaines restrictions convenablement choisies
peuvent ltre. Les bijections rciproques correspondantes dfinissent
de nouvelles fonctions qui sont trs importantes, notamment en
calcul intgral. 5.1 Fonction Arc sinus X Y x O 2 0 2 1 1 Arc sin x
Doc. 18 Arc sinus. Soit f la restriction de la fonction sinus 2 , 2
, f est continue et stric- tement croissante sur cet intervalle.
Cest donc une bijection de 2 , 2 dans [1, 1] . La bijection
rciproque de [1, 1] dans 2 , 2 est appele Arc sinus et note x
Arcsin x (Doc. 18). Par dfinition : Pour tout x [1, 1] , Arcsin x
est lunique lment de 2 , 2 qui a pour sinus x : y = Arcsin x x [1,
1] x = sin y y 2 , 2 44
- 45. Fonctions usuelles COURS2 Sur la TI-92/Voyage 200, la
fonction Arcsin est note sin 1 . Ne pas confondre avec la fonction
x 1 sin x . Daprs le thorme utilis, la fonction Arc sinus est
galement continue et strictement croissante sur [1, 1] . Drive
Comme la fonction f est drivable et que sa drive ne sannule pas sur
2 , 2 , la fonction Arc sinus est drivable sur ]1, 1[ et : x ]1, 1[
(Arcsin) (x) = 1 f (f (x)) = 1 cos(Arcsin x) Or cos2 (Arcsin x) = 1
sin2 (Arcsin x) = 1 x2 et comme Arcsin x ] 2 , 2 [, cos(Arcsin x)
> 0. Do cos(Arcsin x) = 1 x2. En dfinitive : x ]1, 1[ (Arcsin)
(x) = 1 1 x2 y x y xO 2 2 1 1 Arc sin sin Doc. 19 Fonctions Arc
sinus. La fonction Arcsin est continue sur [1, 1], drivable sur ]1,
1[ et lim x1 (Arcsin) (x) = +. Par consquent, Arcsin nest pas
drivable en 1, ni de mme en 1. Sa courbe reprsentative (Doc.19)
prsente aux points dabscisse 1 et 1 des demi-tangentes verticales.
Remarque : La fonction Arcsin est impaire. 5.2 Fonction Arc cosinus
Y O 2 0 Arc cos x 11 Xx Doc. 20 Arc cosinus. Soit f la restriction
de la fonction cosinus [0, ], f est continue et strictement
dcroissante sur cet intervalle. Cest donc une bijection de [0, ]
dans [1, 1] . La bijection rciproque de [1, 1] dans [0, ] est
appele Arc cosinus et note x Arccos x (Doc. 20). Par dfinition :
Pour tout x [1, 1] , Arccos x est lunique lment de [0, ] qui a pour
cosinus x : y = Arccos x x [1, 1] x = cos y y [0, ] Daprs le thorme
utilis, la fonction Arc cosinus est galement continue et
strictement dcroissante sur [1, 1]. Drive Comme la fonction f est
drivable et que sa drive ne sannule pas sur ]0, [, la fonction Arc
cosinus est drivable sur ]1, 1[ et : x ]1, 1[ (Arccos) (x) = 1 f (f
(x)) = 1 sin(Arccos x)
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 45
- 46. COURS 2 Fonctions usuelles Sur la TI-92/Voyage 200, la
fonction Arccos est note cos 1 . Ne pas confondre avec la fonction
x 1 cos x . Or sin2 (Arccos x) = 1 cos2 (Arccos x) = 1 x2 et comme
Arccos x ]0, [, sin(Arccos x) > 0. Do sin(Arccos x) = 1 x2. En
dfinitive : x ]1, 1[ (Arccos) (x) = 1 1 x2 La fonction Arccos est
continue sur [1, 1], drivable sur ]1, 1[ et lim x1 (Arccos) (x) = .
Par consquent, Arccos nest pas drivable en 1, ni de mme en 1. Sa
courbe reprsen- tative prsente aux points dabscisse 1 et 1 des
demi-tangentes verticales (Doc. 21). x y Arc cos 1 0 11 1 cos Doc.
21 Fonction Arc cosinus. Remarque : La fonction x Arcsin x + Arccos
x est drivable sur ]1, 1[ et sa drive est nulle : cette fonction
est donc constante sur cet intervalle. La valeur de cette constante
est 2 (valeur en 0). Comme on a aussi : Arcsin 1 + Arccos 1 = 2 et
Arcsin (1) + Arccos (1) = 2 , on peut conclure : x [1, 1] Arcsin x
+ Arccos x = 2 5.3 Fonction Arc tangente X xY 2 0 2 Arc tan x Doc.
22 Arc tangente. Soit f la restriction de la fonction tangente 2 ,
2 , f est continue et strictement croissante sur cet intervalle ;
ses limites aux bornes sont . Cest donc une bijection de 2 , 2 dans
R. La bijection rciproque de R dans 2 , 2 est appele Arc tangente
et note x Arctan x (Doc. 22). Par dfinition : Sur la TI-92/Voyage
200, la fonction Arctan est note tan 1 . Ne pas confondre avec la
fonction x 1 tan x . Pour tout x R , Arctan x est lunique lment de
2 , 2 qui a pour tangente x : y = Arctan x x R x = tan y y 2 , 2
Daprs le thorme utilis, la fonction Arc tangente est gale- ment
continue et strictement croissante sur R. Drive Comme la fonction f
est drivable et que sa drive ne sannule pas sur 2 , 2 , la fonction
Arc tangente est drivable sur R et (Doc. 23) : x R (Arctan ) (x) =
1 f (f (x)) = 1 1 + tan2(Arctan x) 46
- 47. Fonctions usuelles O y x 2 tan Arc tan 2 2 2 Doc. 23
Fonction Arc tangente. Or tan(Arctan x) = x, do : x R (Arctan ) (x)
= 1 1 + x2 Remarque : La fonction Arctan est impaire. Pour
sentraner : ex. 7 13
............................................................................................................MTHODE
Retenir les quivalences : y = Argsh x x R x = sh y y R y = Argch x
x [1, +[ x = ch y y R+ y = Argth x x ]1, 1[ x = th y y R Ainsi que
: y = Arcsin x x [1, 1] x = sin y y [ 2 , 2 ] y = Arccos x x [1, 1]
x = cos y y [0, ] y = Arctan x x R x = tan y y 2 , 2 Argsh est
continue et drivable sur R : x R (Argsh) (x) = 1 1 + x2 Argch est
continue sur [1, +[ et drivable sur ]1, +[ : x ]1, +[ (Argch) (x) =
1 x2 1 Argth est continue et drivable sur ]1, 1[ : x ]1, 1[ (Argth)
(x) = 1 1 x2
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 47
- 48. Fonctions usuelles Arcsin est continue sur [1, 1] et
drivable sur ]1, 1[ : x ]1, 1[ (Arcsin) (x) = 1 1 x2 Arccos est
continue sur [1, 1] et drivable sur ]1, 1[ : x ]1, 1[ (Arccos) (x)
= 1 1 x2 Arctan est continue et drivable sur R : x R (Arctan) (x) =
1 1 + x2 Pour tout > 0 et > 0 : (ln x) est ngligeable devant
x au voisinage de + | ln x| est ngligeable devant 1 x au voisinage
de 0 x est ngligeable devant ex au voisinage de + ex est ngligeable
devant 1 |x| au voisinage de Comparaison des fonctions circulaires
et des fonctions hyperboliques. Pour tout x R : Fonctions
circulaires Fonctions hyperboliques sin x = eix eix 2i cos x = eix
+ eix 2 sh x = ex ex 2 ch x = ex + ex 2 cos x + i sin x = eix cos x
i sin x = eix ch x + sh x = ex ch x sh x = ex cos2 x + sin2 x = 1
ch 2 x sh 2 x = 1 (sin) (x) = cos x (cos) (x) = sin x (sh ) (x) =
ch x (ch ) (x) = sh x
...................................................................................................................................................................................................
48
- 49. Fonctions usuelles Exercice rsolu DAPRS ENSTIM (COLES DES
MINES DALBI, ALS, DOUAI, NANTES) 1 Soit g lapplication de R dans R
dfinie par : g(t) = Arctan t t + t3 3 a) Vrifier que g est impaire,
drivable sur R, et calculer g (t), pour t R. b) Montrer que : t R,
0 g (t) t2 . c) En dduire : t R+, t t3 3 Arctan t t. 2 Soit f
lapplication de R dans R dfinie par : f (0) = 1 et t = 0, f (t) =
Arctan t t a) Montrer que f est continue sur R et paire. b) Montrer
que f est drivable en 0 et donner f (0). c) Justifier que f est
drivable sur R et calculer f (t), pour t R . 3 laide dune
intgration par parties, montrer que : t R , t 0 u2 (1 + u2)2 du = 1
2 t2 f (t) En dduire le sens de variation de f . 4 Tracer la courbe
reprsentative de f dans un repre orthonorm. Conseils Solution 1) a)
g est dfinie sur R, et pour tout t R, g(t) = Arctan (t) + t t3 3 =
g(t) g est impaire ; elle est drivable sur R comme somme de
fonctions drivables et pour t R, g (t) = 1 1 + t2 1 + t2 = t4 1 +
t2 . b) On en dduit immdiatement : t R, 0 g (t) t2 . Intgrer
lingalit prcdente. c) Pour t R+, on obtient alors, en intgrant sur
[0, t], 0 g(t) t3 3 , cest--dire : t t3 3 Arctan t t (). 2) a) f
est dfinie et continue sur R comme quotient de fonctions continues,
elle est paire comme quotient de fonctions impaires. Calculer lim
t0+ f (t). Daprs (), nous pouvons crire pour t > 0 : 1 t2 3 f
(t) 1 (), ce qui prouve, par le thorme dencadrement, que lim t0+ f
(t) = 1, f est continue droite en 0, par parit, elle est continue
gauche en 0. f est donc continue sur R.
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 49
- 50. Fonctions usuelles Se souvenir de la dfinition de la driva-
bilit dune fonction en un point. b) Pour t = 0, f (t) f (0) t =
Arctan t t t2 . Utilisons encore (), pour t > 0 : t3 3 Arctan t
t 0 do t 3 Arctan t t t2 0 ce qui prouve, par le thorme
dencadrement, que lim t0+ Arctan t t t2 = 0 et, par parit lim t0
Arctan t t t2 = 0 : f est drivable en 0 et f (0) = 0. c) Dautre
part, f est drivable sur R comme quotient de fonctions drivables
et, pour t R , f (t) = 1 t(1 + t2) Arctan t t2 . 3) Calculons, pour
t R , t 0 u2 (1 + u2)2 du laide dune intgration par parties : 1 2 t
0 u 2u (1 + u2)2 du = 1 2 u 1 (1 + u2) t 0 + 1 2 t 0 1 (1 + u2) du
= t 2(1 + t2) + 1 2 Arctan t = 1 2 t2 f (t) Quel est le signe de t
0 u2 (1 + u2)2 d u ? f (t) est donc du signe oppos celui de t : f
est dcroissante sur R+, croissante sur R. Prciser les limites de f
en . 4) De plus lim t+ Arctan t = 2 , do : lim t+ f (t) = 0. Nous
pouvons alors donner lallure du graphe de f : y xx 1 101 Doc. 24
50
- 51. Exercices 1 Vrai ou faux ? a) Pour tout rel x = 2 + k :
Arctan (tan x) = x b) Pour tout rel x : tan(Arctan x) = x c) Pour
tout rel x [1, 1] : Arccos x + Arcsin x = 2 d) La fonction Arcsin
est continue et drivable sur [1, 1]. e) La fonction Arctan est
continue et drivable sur R. f) ln x est ngligeable devant 1 x au
voisinage de 0. g) ch x sh x tend vers 0 quand x tend vers +. h) La
fonction cosinus hyperbolique est bijective. i) x R{1, 1} 1 2 ln 1
+ x 1 x = 1 1 x2 Exponentielles et logarithmes 2 Rsoudre les
quations suivantes : a) x x = x x b) 2x3 = 3x2 c) loga x = logx a
d) log3 x log2 x = 1 e) 2x +2x+1 + +2x+n = 3x +3x+1 + +3x+n o n N 3
Dmontrer que log10 2 nest pas rationnel. Fonctions hyperboliques 4
Calculer n k=0 ch (a + kb) et n k=0 sh (a + kb) . 5 Simplifier les
expressions suivantes : ch (ln(x + x2 1)) sh (ln(x + x2 1)) ch
(ln(x + x2 + 1)) sh (ln(x + x2 + 1)) 6 tudier la drivabilit des
fonctions suivantes et cal- culer leurs drives : a) f (x) = th x 1
3 th 3 x b) f (x) = Arcsin (th x) c) f (x) = Arctan (sh x) d) f (x)
= Arctan (th x) Fonctions circulaires rciproques 7 tudier les
variations des fonctions suivantes et tracer leur courbe
reprsentative : a) f (x) = Arcsin 2 x 1 + x b) f (x) = th x 1 x + 1
c) f (x) = (x 1)2 Arctan x d) f (x) = 1 x2eArcsin x 8 Reprsenter
graphiquement les fonctions f et g d- finies par : f (x) =
cos(Arccos x) et g(x) = Arccos (cos x) 9 Calculer Arctan x +Arctan
y en discutant suivant les signes des rels 1 xy et x + y. 10
Simplifier les expressions : cos(Arctan x) ; sin(Arctan x) ; tan(2
Arctan x) ; cos(4 Arctan x) ; tan(Arcsin x) ; tan(Arccos x) ;
Arcsin 2x 1 + x2 . 11 Dmontrer la formule de Machin : 4 = 4 Arctan
1 5 Arctan 1 239 12 tudier la drivabilit des fonctions suivantes et
cal- culer leurs drives : a) f (x) = Arcsin 1 + x 1 x b) f (x) = 1
Arcsin x 1 + Arcsin x c) f (x) = Arctan 1 1 + x2 d) f (x) = Arctan
1 sin x 1 + sin x 13 1) Soit p N. Calculer Arctan (p + 1) Arctan
(p) 2) tudier la convergence et la limite de la suite (Sn) dfinie
par : Sn = n p=0 Arctan 1 p2 + p + 1 Exercice pos aux oraux des
concours 14 (Petites Mines 2005) Simplifier lexpression : f (x) =
cos(Arccos x Arcsin x)sin(Arccos x Arcsin x)
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 51
- 52. 3 quations diffrentielles linaires OBJECTIFSOBJECTIFS
tudier les quations diffren- tielles linaires du premier ordre.
Donner un exemple de rso- lution approche : la mthode dEuler.
tudier les quations diffren- tielles linaires du second ordre
coefficients constants et second membre du type polynme-
exponentiel. INTRODUCTION De trs nombreuses applications des
mathma- tiques conduisent la recherche dune fonction assujettie une
certaine relation avec ses drives successives. Cest ce quon appelle
une quation dif- frentielle. Limmense progrs scientifique des XVII
e et XVIII e sicles, en particulier en astronomie, re- pose sur la
capacit de prvoir le comportement fu- tur dun systme grce la
rsolution dquations diffrentielles. De trs nombreux noms de mathma-
ticiens sont attachs la thorie des quations dif- frentielles :
Euler, dAlembert, Lagrange, Riccati, Clairaut, Bernoulli, Legendre,
Cauchy... Malheu- reusement, il nexiste pas de mthode systmatique
pour rsoudre exactement toutes les quations dif- frentielles. Nous
devrons nous contenter dtudier quelques types trs simples, comme
les quations li- naires. Par ailleurs il existe une branche des ma-
thmatiques en plein essor, lanalyse numrique, qui dveloppe, lusage
des physiciens et des ingnieurs, des algorithmes trs performants de
rsolution appro- che dquations diffrentielles. 52
- 53. quations diffrentielles linaires COURS3 1 quations linaires
du premier ordre 1.1 Lexemple des fonctions exponentielles Nous
avons vu que pour tout a C, la fonction f de R dans C dfinie par f
(t) = eat est drivable, et vrifie pour tout t R : f (t) = aeat = a
f (t). On dit que f est solution de lquation diffrentielle y ay =
0. Rciproquement, soit y une solution quelconque de cette quation ;
posons pour t R : y(t) = z(t)eat . En drivant, on obtient : y (t) =
z (t)eat + a z(t)eat , do y (t) a y(t) = z (t)eat . La fonction y
vrifie lquation diffrentielle si et seulement si : z (t) = 0,
cest--dire z(t) = Cte . Lensemble des solutions de lquation
diffrentielle y ay = 0 est donc len- semble des fonctions y de la
forme : y(t) = C eat . Une solution est caractrise par la constante
C, cest--dire y(0). La fonction exponentielle t eat est lunique
solution de lquation diff- rentielle y ay = 0 qui vrifie y(0) = 1.
1.2 quation linaire du premier ordre sans second membre ATTENTION
On rsistera la tentation dcrire y y = , car cela conduirait ne
chercher que des solutions y qui ne sannulent pas. Inspirons-nous
de ce qui prcde pour rsoudre lquation diffrentielle : y + a(t) y =
0 (1) o a est une fonction continue valeurs relles ou complexes de
la variable relle t. Comme a est continue sur R, elle admet une
primitive A. La fonction f dfinie par f (t) = eA(t) est drivable,
et vrifie pour tout t R : f (t) = A (t)eA(t) = a(t) f (t). f est
donc solution de lquation (1). Rciproquement, soit y une solution
quelconque de cette quation ; posons pour t R : y(t) = z(t)eA(t) .
En drivant, on obtient : y (t) = z (t)eA(t) A (t) z(t)eA(t) , do y
(t) + a(t) y(t) = z (t)eA(t) . La fonction y vrifie lquation
diffrentielle si et seulement si : z (t) = 0, cest-- dire z(t) =
Cte . Lensemble des solutions de lquation diffrentielle y + a(t)y =
0 est len- semble des fonctions y de la forme : y(t) = C eA(t) , o
A est une primitive de a. Remarque : Une quation de la forme a(t)y
+ b(t)y = 0 pourra tre rsolue de cette faon sur un intervalle o la
fonction a ne sannule pas. Nous verrons plus loin comment recoller
, lorsque cest possible, deux solutions de part et dautre dun point
o a(t) = 0. 1.3 quation linaire du premier ordre avec second membre
Considrons maintenant lquation diffrentielle : y + a(t) y = b(t)
(1) HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 53
- 54. COURS 3 quations diffrentielles linaires o a et b sont deux
fonctions continues valeurs relles ou complexes de la variable
relle t. Soit y1 et y2 deux solutions de lquation (1). On peut
crire : y1 + a(t) y1 = b(t) y2 + a(t) y2 = b(t) En retranchant
membre membre, on obtient : y1 y2 + a(t)(y1 y2) = 0 La fonction y1
y2 vrifie lquation sans second membre : y + a(t)y = 0 (2) que nous
avons dj appris rsoudre au paragraphe prcdent. Rciproquement, si y0
est une solution quelconque de (2) et y1 une solution de (1), on
peut crire : y1 + a(t) y1 = b(t) y0 + a(t) y0 = 0 En ajoutant
membre membre, on obtient : y1 + y0 + a(t)(y1 + y0) = b(t)
cest--dire que la fonction y1 + y0 vrifie lquation (1). On obtient
donc toutes les solutions de lquation (1) en ajoutant y1 une
solution quelconque de lquation (2). On peut noncer : Thorme 1 La
solution gnrale de lquation diffrentielle linaire du premier ordre
: y + a(t) y = b(t) (1) est la somme dune solution particulire de
(1) et de la solution gnrale de lquation sans second membre associe
: y + a(t) y = 0 (2) Remarque : La structure des solutions fait
penser celle dune droite D : lensemble des points de D est obtenu
partir dun point particulier A en ajoutant un vecteur quelconque de
la droite vectorielle D. Il reste dterminer une solution
particulire de lquation. On pourra souvent reconnatre une solution
vidente. Exemple : Rsoudre lquation diffrentielle : y ty = 2t (1).
Lquation sans second membre associe scrit : y ty = 0 ; sa solution
gnrale est y = Ce t2 2 . Une solution vidente de lquation (1) est :
y = 2. La solution gnrale est donc : y = 2 + Ce t2 2 54
- 55. quations diffrentielles linaires COURS3 On peut aussi
utiliser le principe de superposition : si y1 est une solution de
lquation y a(t)y = b1(t) et y2 une solution de lquation y a(t)y =
b1(t), alors y1 + y2 est solution de lquation y a(t)y = b1(t) +
b2(t). Exemple : Rsoudre lquation diffrentielle : y ty = t3 (1).
Remarquons que t3 = 2t (2t t3 ). Lquation y ty = 2t a pour solution
vidente : y1 = 2. Lquation y ty = 2t t3 a pour solution vidente :
y2 = t2 . Lquation (1) a donc pour solution particulire : y = y1 y2
= 2 t2 . La solution gnrale est donc : y = 2 t2 + Ce t2 2 Pour
sentraner : ex. 2 1.4 Mthode de la variation de la constante
Lorsquil nest pas possible de trouver une solution vidente, mme par
le prin- cipe de superposition, on peut chercher une solution
particulire de lquation y + a(t)y = b(t) sous la forme : y =
C(t)eA(t) , cest--dire en remplaant dans lexpression de la solution
gnrale de lquation sans second membre la constante C par une
fonction C(t), que lon supposera drivable. On a donc : y (t) = C
(t)eA(t) C(t)a(t)eA(t) . En reportant dans lquation diffrentielle,
il reste : C (t)eA(t) = b(t), do : C (t) = b(t)eA(t) On peut donc
trouver la fonction C par une recherche de primitives. Exemple :
Rsoudre lquation diffrentielle : y ty = te t2 2 (1) La solution
gnrale de lquation sans second membre est : y = Ce t2 2 ; cherchons
une solution de lquation (1) sous la forme : y = C(t)e t2 2 . En
reportant dans lquation diffrentielle, il reste : C (t) = t, do :
C(t) = t2 2 . Remarque : Il est inutile dcrire une constante
dintgration, puisquon cherche seule- ment une solution particulire
; cette constante apparatra lorsquon ajoutera la solution gnrale de
lquation sans second membre. La solution gnrale de lquation (1) est
donc : y = t2 2 e t2 2 + Ce t2 2
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 55
- 56. COURS 3 quations diffrentielles linaires 1.5 Condition
initiale y O y0 t0 t Doc. 1 Solution dtermine par une condition
initiale La solution dune quation diffrentielle linaire du premier
ordre dpend dune constante. y(t) = y1(t) + CeA(t) Pour dterminer
cette constante, il suffit de connatre une condition initiale,
cest--dire la valeur de la fonction en un point donn : y(t0) = y0
(Doc. 1). On doit avoir : y0 = y1(t0) + CeA(t0) , do : C = (y0
y1(t0))eA(t0) . Do le rsultat : Thorme 2 Soit lquation
diffrentielle y +a(t)y = b(t). Une condition initiale de la forme
y(t0) = y0 dtermine une solution et une seule. Remarque : Si
lquation est de la forme : a(t)y + b(t)y = c(t), la condition
initiale doit tre choisie telle que a(t0) = 0 ; lexistence et
lunicit de la solution sont garanties dans tout intervalle
contenant t0 sur lequel la fonction a ne sannule pas, mais pas
ncessairement sur une runion de tels intervalles. Exemple : tudier
lensemble des solutions de lquation diff- rentielle y cos t + 2y
sin t = 1 + sin2 t, vrifiant la condition initiale y(0) = 0.
Considrons lintervalle I = 2 , 2 , sur lequel la fonction cos t ne
sannule pas. Sur I, lquation devient : y + 2y tan t = 1 + sin2 t
cos t Lquation sans second membre y + 2y tan t = 0, admet pour
solution gnrale : y = C cos2 t. Une solution vidente de lquation
complte est : y = sin t. Do la solution gnrale sur I : y = sin t +
C cos2 t La condition initiale y(0) = 0 dtermine une solution
unique sur I : y = sin t Cependant, en 2 et en 2 , cette fonction
se prolonge en une fonction continue et drivable, de drive nulle.
Ainsi, toute fonction de la forme : y = sin t + Ck cos2 t o Ck =
Cte sur 2 + k, 2 + k et C0 = 0 est solution sur tout R et vrifie la
condition initiale. Lunicit de la solution se perd aux points
singuliers t = 2 (Doc. 2). Pour sentraner : ex. 3 et 4 56
- 57. quations diffrentielles linaires COURS3 2 3/2 /2 /2 3/2 2
Doc. 2. 2 Rsolution approche 2.1 Expression des solutions sous
forme intgrale La mthode de rsolution dune quation diffrentielle
linaire du premier ordre fait appel deux reprises une recherche de
primitives : dans la rsolution de lquation sans second membre y +
a(t)y = 0, o lon cherche A(t) = a(t) dt; dans la dtermination dune
solution particulire par la mthode de variation de la constante, o
lon cherche C(t) = b(t)eA(t) dt. Il arrive souvent quon ne puisse
exprimer explicitement ces primitives, et que les solutions fassent
intervenir des intgrales quon ne sait pas calculer. Exemple :
Considrons lquation : y et2 y = 1 et la condition initiale y(0) =
0. La solution gnrale de lquation sans second membre est : y = C
exp t 0 eu2 du Par la mthode de variation de la constante,
cherchons une solution particulire de la forme : y = C(t) exp t 0
eu2 du On obtient : C (t) = exp t 0 eu2 du do : C(t) = exp t 0 eu2
du dt et enfin : y(t) = exp t 0 eu2 du exp t 0 eu2 du dt La
condition initiale dtermine une solution unique : y(t) = exp t 0
eu2 du t 0 exp v 0 eu2 du dv Il est clair que de telles solutions
sont peu exploitables. Cest pourquoi il est intressant de disposer
de mthodes de rsolution approche, qui faute de donner la solution
exacte en donneront une approximation aussi prcise que lon veut.
Pour sentraner : ex. 5
HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 57