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Méthodes de régression. LA REGRESSION LINEAIRE. Utilisée pour expliquer, décrire ou prédire une variable quantitative y en fonction d’une ou plusieurs variables x 1 ,….., x p. Par exemple y peut-être le prix du pain en fonction de la teneur en eau x y x i - PowerPoint PPT Presentation
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B. Palagos Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
B. PalagosUMR ITAPCemagref
bernard.palagos@cemagref.fr
Méthodes de régression
2 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Utilisée pour expliquer, décrire ou prédire une variable quantitative y en fonction d’une ou plusieurs variables x1 ,….., xp.
Par exempley peut-être le prix du pain en fonction de la teneur en eau x
y xi
réponse prédicteur(s)variable à expliquer variable(s) explicative(s)sortie entrée(s)variable dépendante variable(s) indépendante(s)variable exogène variable(s) endogène (s)
p = 1 régression linéaire simplep > 1 régression linéaire multiple (MLR)
LA REGRESSION LINEAIRE
3 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
MESURE DE LA RELATION ENTRE 2 VARIABLES CONTINUES
2500 3000 3500 4000
6080
100
120
140
EAU
PR
IPRIX du pain en fonction de la teneur en EAU
Corrélation : -0.76
PRI EAU
63.00 3635.00
77.00 3190.00
86.00 3530.00
89.00 3350.00
91.00 3070.00
92.00 3130.00
92.00 3635.00
95.00 3490.00
95.00 3460.00
106.00 3380.00
74.00 3500.00
76.00 4030.00
85.00 3365.00
57.00 3515.00
95.00 3960.00
132.00 2925.00
152.00 2720.00
153.00 2340.00
4 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
: Coefficient de corrélation (Pearson) entre deux variables aléatoires X et Y (populations)
2 échantillons x et y de moyennes et
r estimateur de
r est toujours compris entre -1 et + 1.
si r proche de + 1 ou - 1 , x et y sont bien corrélées; le nuage de points est presque aligné le long d'une droite (croissante si r > 0, décroissante si r < 0).
r = 0 Pas de lien linéaire entre x et y
COEFFICIENT DE CORRELATION
x y
n
ii
n
ii
n
iii
yyxx
yyxxyxr
1
2
1
2
1
)()(
))((),(
5 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Si taille échantillon n est faible il faut être prudent
sur la significativité du coefficient calculé. Il existe
des tables statistiques (et logiciels) qui donnent la
limite de significativité de r .
COEFFICIENT DE CORRELATION
6 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
ddl = n-2
n=3 r > 0.99n= 7 r > 0.75
7 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
r = -1 r = -.6 r = 0
r = .6 r = 1
COEFFICIENT DE CORRELATION
1),(1 yxr
8 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
COEFFICIENT DE CORRELATION
r = 0.5 r = - 0.9
r = 0.8r = 0.0
Toujours faire un graphique
9 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
2500 3000 3500 4000
6080
100
120
140
EAU
PR
I
FAIRE PASSER UNE DROITE
On modélise la relation linéaire entre y et x par y = a+b x (équation d’une droite)
10 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
2500 3000 3500 4000
60
80
10
01
40
EAU
PR
I minimumˆ
2
1
n
iii yyOn cherche la droite (a et b ) telle
que
iy
MOINDRES CARRES
iy
iy - iy
ix
iy),(scoordonnéedepoints ii yx
ii bxay ˆ
bxay ˆ
MCO
11 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
RESULTAT DES MOINDRES CARRES
2500 3000 3500 4000
6080
100
120
140
EAU
PR
I
2500 3000 3500 4000
6080
100
140
EAU
PR
IPRI = 258 – 0.05 EAU
Équation de la droite
MCO
12 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
xbya
xx
xxyyb n
ii
n
iii
1
2
1
)(
)(
bxay ˆ
xy iii xy
Moindre carrés : a et b tels que minimum
2
11
2 )(
n
iii
n
ii bxay
ESTIMATIONS – Cas p=1
coefficients de régression
b (pente) et a (ordonnée à l’origine)
13 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
2 3 4 5 6 7 8
45
67
8
x
y
ix
iy
iy
y
yyi
ii yy ˆ
yyi ˆ
n
ii yySST
1
2)(
n
iii yySSE
1
2)ˆ(
n
ii yySSR
1
2)ˆ(SSESSRSST
CAS DE LA REGRESSION SIMPLE p=1
14 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
R2 = SSR/SST coefficient de détermination ou pourcentage de variance expliquée par la régression
10 2 R
Quand p=1 R² = r² r : coefficient de corrélation linéaire
Pour le pain: r=-0.76 donc R²= (-0.76)²
COEFFICIENT DE DETERMINATION - R²
n
ii
n
ii
yy
yy
R
1
2
1
2
2
)(
)ˆ(
Propriétés Permet de juger de la qualité de la régression
Idéal R² = 1
Mauvaise régression: R² = 0
15 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
=
Étalonnage d’un appareil de mesure
variété référence infrarougeAmi 8.6 9.1Apollo 11.1 12.4Arminda 11.6 12.5Artaban 10.9 10.1Avital 10 10.6Baroudeur 11.6 11.5Beauchamp 10.4 10.8CWRS 11.6 11.3Camp-Remy 12.9 11.6Carolus 9 8.2Castan 13.1 12.9Centauro 10.3 10.4Courtot 13.1 13.3Duck 11.6 11.3Manital 14 13.7Recital1 11.5 11.1Recital2 10.5 9.8Rossini 9.7 9.1Scipion 11 11.6Sidéral 11.6 11.5Sleipjner 12 13.2Soissons1 10.6 10.1Soissons2 10 10.3Tango 11.5 11.5Thésée 10.1 9.2Win 11.8 11.5
Taux de protéine de 26 variétés de blé
- analyse chimiques très précises, très longues (mesure de référence) ( x )
- Spectrométrie proche infra-rouge (SPIR) plus rapide mais mesure indirecte à mettre en relation avec méthode de référence (y)
- régression y= a+bx+E
Données / droite de régressionR²=0.785
8.2
9.2
10.2
11.2
12.2
13.2
14.2
8.6 9.6 10.6 11.6 12.6 13.6 14.6
référence
infr
aro
ug
e
y = 0.157+0.981x
16 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Response: infrarouge Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Reference 1 38.731 38.731 87.954 1.696e-09 ***Residuals 24 10.569 0.440 ---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.1566 1.1741 0.133 0.895 reference 0.9808 0.1046 9.378 1.70e-09 ***---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 0.6636 on 24 degrees of freedomMultiple R-Squared: 0.7856, Adjusted R-squared: 0.7767 F-statistic: 87.95 on 1 and 24 DF, p-value: 1.696e-09
Étalonnage d’un appareil de mesure
p-value
Calculs avec logiciel R
17 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
2
)ˆ(
ˆ 1
2
2
n
yyn
iii
Variance de l’erreur
Variance de j
n
ii xx
j
1
2
22
)(
ˆˆ
T Loi de Student à n-2 degrés de liberté :
valeur t ayant la probabilité d'être dépassée en valeur absolue.
P ( - t T t ) = 1 - . Ou : P ( T - t ) = /2 = P ( T t )
0ˆ
ˆHderejettsi
j
j
TEST DE NULLITE D’ UN COEFFICIENT
Les tests supposent hypothèse normalité des erreurs (vérification a posteriori)
0:0 jHTest Coefficient pas significatif
18 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
8 9 10 11 12 13
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
infrarouge
resi
du
als
(ca
liblm
)
-2 -1 0 1 2
-1.0
0.0
1.0
Normal Q-Q Plot
Theoretical Quantiles
Sam
ple
Qua
ntile
s
COMMENT VERIFIER LES HYPOTHESES SUR L’ERREUR
On regarde les résidus après régression iii yye ˆ
Pour vérifier l’homoscedastictéPour vérifier la normalité
19 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
JUGEMENT REGRESSION - R²
5 régressions
a: régression sans pb
b: modèle pas bon- résidus <0 puis >0 puis <0modèle quadratique
c: a priori une observation atypique
d: points alignés mais s’écartent différemment (variance erreurs pas constante)
e: droite n’existe que par la dernière observation
20 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Explication de la consommation de « fuel »
On veut modéliser la consommation d ’un agent énergétique en fonction de facteurs explicatifs :
• La température moyenne sur un mois est une explication de la consommation
• L ’épaisseur de l ’isolation en est un autre
REGRESSION LINEAIRE MULTIPLE (MLR)
Gallons/Month Avrg. Temp (oF) Insulation (Inches)
275.30 40.00 3.00363.80 27.00 3.00164.30 40.00 10.0040.80 73.00 6.0094.30 64.00 6.00230.90 34.00 6.00366.70 9.00 6.00300.60 8.00 10.00237.80 23.00 10.00121.40 63.00 3.0031.40 65.00 10.00203.50 41.00 6.00441.10 21.00 3.00323.00 38.00 3.0052.50 58.00 10.00
21 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
REGRESSION LINEAIRE MULTIPLE (MLR)
Un modèle de régression linéaire
Observation i de la consommation mensuelle
Terme constant
Influence de la température
Influence de l ’isolation
Erreur aléatoire
iiii xxy 2211
22 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
n observations yi p variables xj continues n > p
Pour chaque observation : iippii xxy .....11
terme d’erreur non observéCoefficients inconnus
REGRESSION LINEAIRE MULTIPLE (MLR)
Modèle fuel : n=15 p=2
23 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Source de variation (source)
Somme des carrés (sum of square)
Ddl (df) Carrés moyens (mean square)
Régression p
Erreurs (résiduals)
n-p-1
Totale n-1
n
iii yySSE
1
2)ˆ(
n
ii yySSR
1
2)ˆ(
n
ii yySST
1
2)(21
2
1
)(
1 y
n
ii
Sn
yy
n
SST
1
)ˆ(
11
2
pn
yy
pn
SSECME
n
iii
p
yy
p
SSRCMM
n
ii
1
2)ˆ(
Décomposition de la variance et tests
24 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
R2 coefficient de détermination ou pourcentage de variance expliquée par la régression
10 2 R
Quand p=1 R² = r² r : coefficient de corrélation linéaire
1
)1( 22
pn
pRnRaj
COEFFICIENT DE DETERMINATION - R²
n
ii
n
ii
yy
yy
R
1
2
1
2
2
)(
)ˆ(
Propriétés
• Si p augmente R²
Permet de juger de la qualité de la régression
Idéal R² = 1
Mauvaise régression: R² = 0
>
il existe R² ajusté
25 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
TEST DE L’EXISTENCE DU MODELE
)1,(1/
/
pnpF
pnSSE
pSSR
n
iii yySSE
1
2)ˆ(
n
ii yySSR
1
2)ˆ(
F Loi de Fisher à (p,n-p-1 )degrés de liberté :
valeur f ayant la probabilité 0.05 d'être dépassée.
01/
/Hderejetf
pnSSE
pSSRSi
0........: 210 pHTest
yyacceptéeHSi :0
26 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
EXEMPLE de MLR
reg1=lm(rdt ~ eng + pluie) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 28.095238 2.491482 11.277 0.000352 ***eng 0.038095 0.005832 6.532 0.002838 ** pluie 0.833333 0.154303 5.401 0.005690 ** ---Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 Residual standard error: 2.315 on 4 degrees of freedomMultiple R-Squared: 0.9814, Adjusted R-squared: 0.972 F-statistic: 105.3 on 2 and 4 DF, p-value: 0.0003472
rendement maïs dose engrais niveau précipitationy x1 x240 100 1050 200 2050 300 1070 400 3065 500 2065 600 2080 700 30
p-value
27 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
quantité de :V1 : tricalcium aluminateV2 : tricalcium silicateV3 : tetracalcium alumino ferriteV4 : dicalcium silicateCAL: calories par gramme de ciment
V1 V2 V3 V4 CAL7 26 6 60 78.51 29 15 52 74.3
11 56 8 20 104.311 31 8 47 87.67 52 6 33 95.6
11 55 9 22 109.23 71 17 6 102.71 31 22 44 72.52 54 18 22 93.1
21 47 4 26 115.91 40 23 34 83.8
11 66 9 12 113.310 68 8 12 109.4
REGRESSION MLR cas multicolinéarité
Exemple de traitement
X y
28 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
V1 V2 V3 V4 CAL
020
40
60
80
100
120
V1 V2 V3 V4 CAL
V1 1 0.23 -0.82 -0.24 0.73
V2 1 -0.13 -0.97 0.82
V3 1 0.03 -0.53
V4 1 -0.82
V5 1
V1 V2 V3 V4 CAL
min 1 26 4 6 72.5
Q1 2 31 8 20 83.8
Q2 7 52 9 26 95.6
moy 7.5 48.2 11.8 30 95.4
Q3 11 56 17 44 109.2
max 21 71 23 60 115.9
s 5.9 15.6 6.4 16.7 15.1
Matrice de corrélation
REGRESSION MLR
29 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 63.4888 70.0031 0.907 0.3909 V1 1.5494 0.7440 2.082 0.0709V2 0.4960 0.7231 0.686 0 0.5121 V3 0.1004 0.7540 0.133 0.8974 V4 -0.1572 0.7084 -0.222 0.8299 Residual standard error: 2.444 on 8 degrees of freedomMultiple R-Squared: 0.9824, Adjusted R-squared: 0.9736 F-statistic: 111.7 on 4 and 8 DF, p-value: 4.721e-07
REGRESSION MLR
Résultats de la régression MLR
Au risque de 5% aucun coefficient n’est significatif que faire????
Xy
30 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
ACP sur le tableau X comprenant les variables V1 V2 V3 V4Valeur propres[1] 2.235 1.576 0.186 0.001Proportion of Variance 0.558 0.394 0.0466 0.0004Cumulative Proportion 0.558926 0.9529425 0.99959406 1.0000000000 Loadings (vecteurs propres):
C1 C2 C3 C4v1 -0.476 0.509 0.676 0.241v2 -0.564 -0.414 -0.314 0.642v3 0.394 -0.605 0.638 0.268v4 0.548 0.451 -0.195 0.677
C1= - 0.476 v1 – 0.564 v2 + 0.394 v3 + 0.548 v4C2= 0.509 v1 – 0.414 v2 - 0.605 v3 + 0.451 v4C3= 0.676 v1 – 0.314 v2 + 0.638 v3 - 0.195 v4C4= 0.241 v1 + 0.642 v2 + 0.268 v3 + 0.677 v4
REGRESSION SUR COMPOSANTES PRINCIPALES
On fait une ACP normée sur le tableau X donc sans la variable CAL
Combinaisons linéaires
U =
31 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
C1 C2 C3 C4
1 -1.4672378 -1.9030358 -0.53000037 0.038529908
2 -2.1358287 -0.2383536 -0.29018640 -0.029832930
3 1.1298705 -0.1838772 -0.01071259 -0.093700786
4 -0.6598954 -1.5767743 0.17920354 -0.033116396
5 0.3587645 -0.4835379 -0.74012232 0.019187145
6 0.9666396 -0.1699440 0.08570243 -0.012167032
7 0.9307051 2.1348166 -0.17298595 0.008295395
8 -2.2321379 0.6916707 0.45971967 0.022605633
9 -0.3515156 1.4322451 -0.03156437 -0.044987631
10 1.6625430 -1.8280967 0.85119311 0.019836723
11 -1.6401799 1.2951128 0.49417844 0.031388975
12 1.6925940 0.3922488 -0.01980997 0.037185301
13 1.7456786 0.4375254 -0.27461537 0.036775709
V1 V2 V3 V4 CAL7 26 6 60 78.51 29 15 52 74.3
11 56 8 20 104.311 31 8 47 87.67 52 6 33 95.6
11 55 9 22 109.23 71 17 6 102.71 31 22 44 72.52 54 18 22 93.1
21 47 4 26 115.91 40 23 34 83.8
11 66 9 12 113.310 68 8 12 109.4
SCORESX y C
REGRESSION SUR COMPOSANTES PRINCIPALES
ACP sur XMLR
32 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 95.4000 0.6430 148.373 < e-10 ***
C1 9.8791 0.4476 22.072 3.8e-09 ***
C2 0.1327 0.5331 0.249 0.8091
C3 4.6539 1.5492 3.004 0.0149 *
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 2.318 on 9 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9822, Adjusted R-squared: 0.9763
F-statistic: 165.4 on 3 and 9 DF, p-value: 3.45e-08
REGRESSION SUR COMPOSANTES PRINCIPALES
CAL = 95.4 + 9.88 C1 + 0.13 C2 +4.65 C3
On repasse aux variables initiales:
CAL = 95.4 + 7.78 V1 + 4.16 V2 + -0.85 V3 – 6.38 V4
33 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
REGRESSION PLS
Méthode plus récente
Partial Least Square
Proche de la régression sur composantes principales
RCP : facteurs calculés qu’à partir des variables initiales (et donc sans référence à la variable à expliquer y).
PLS : La variable à expliquer et les variables explicatives sont prises en comptes simultanément.
34 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
REGRESSION PLS et PCR
RCP et PLS : On remplace l’espace initial par un espace de faible dimension engendré par un petit nombre de composantes (ou facteurs) ou variables latentes qui sont construites l’une après l’autre de façon itérative. Ces facteurs seront les nouvelles variables explicatives d’un modèle de régression linéaire.
Les facteurs sont orthogonaux (non corrélés), et sont des combinaisons linéaires des variables explicatives initiales.
RCP : facteurs calculés qu’à partir des variables initiales (et donc sans référence à la variable à expliquer y).
PLS : La variable à expliquer et les variables explicatives sont prises en comptes simultanément.
35 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
• Notion de covariance :
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 Cov>0Cov<0
Cov0
yyxx ii
REGRESSION PLS
36 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
• Notion de covariance (bis) :– Cov(x,y) = (x) (y) r(x,y)
x
y
xTycov(x,y)
||y|| (y)
||x|| (x)
cos(x,y) = r(x,y)
Dans Rn
REGRESSION PLS
37 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
• Comment ça marche :– Cherche les combinaisons linéaires u de X, telles
que :
Cov(Xu,y) maximale
– Une régression est ensuite calculée entre les variables latentes de X et y
REGRESSION PLS
38 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
v633 v649 v666 v683 v700 v716 v733 ytep1 0.70 0.94 1.48 1.40 0.31 0.06 0.06 87.372 1.93 2.47 3.49 3.14 0.90 0.24 0.12 87.163 1.27 1.66 2.45 2.21 0.54 0.13 0.08 87.574 1.07 1.22 1.71 1.51 0.36 0.10 0.10 87.165 0.49 0.64 1.00 0.90 0.15 0.01 0.04 85.996 0.59 0.83 1.30 1.15 0.19 0.01 0.04 86.417 0.43 0.46 0.69 0.65 0.14 0.04 0.07 80.758 0.53 0.48 0.67 0.64 0.14 0.03 0.06 78.749 1.25 1.30 1.67 1.62 0.65 0.33 0.25 79.2610 3.18 3.81 4.66 4.18 1.60 0.60 0.30 85.5611 1.36 1.51 2.04 1.94 0.66 0.30 0.23 82.3512 2.20 2.68 3.54 3.25 1.15 0.45 0.27 83.0813 0.46 0.60 1.09 1.10 0.23 0.04 0.06 81.1314 1.96 2.39 3.41 3.20 0.95 0.24 0.11 79.9715 0.56 0.77 1.33 1.31 0.29 0.05 0.06 82.44
X : absorbances aux longueurs d'onde (nm) 633 649 666 683 700 716 733, mesurées sur des pommesytep (dernière colonne) : teneur en eau des pommes
On cherche à prédire ytep en fonction de X
39 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 77.726 5.987 12.982 3.74e-06 ***v633 -32.425 12.013 -2.699 0.0307 * v649 78.507 35.796 2.193 0.0644 . v666 -53.496 45.350 -1.180 0.2767 v683 45.365 38.510 1.178 0.2773 v700 -103.69 55.062 -1.883 0.1017 v716 50.320 127.846 0.394 0.7056 v733 22.613 114.740 0.197 0.8494 ---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.509 on 7 degrees of freedomMultiple R-Squared: 0.8906, Adjusted R-squared: 0.7813 F-statistic: 8.143 on 7 and 7 DF, p-value: 0.006459
40 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments
v633 v649 v666 v683 v700 v716 v733 v633 1.00 0.99 0.98 0.97 0.99 0.93 0.79v649 0.99 1.00 0.99 0.99 0.98 0.90 0.74V666 0.98 0.99 1.00 1.00 0.97 0.86 0.68v683 0.97 0.99 1.00 1.00 0.97 0.86 0.69v700 0.99 0.98 0.97 0.97 1.00 0.96 0.83v716 0.93 0.90 0.86 0.86 0.96 1.00 0.96v733 0.79 0.74 0.68 0.69 0.83 0.96 1.00
Matrice de corrélation des prédicteurs
Corrélations très élevées !!
41 Année 2008 -2009 M2 Sciences des Procédés - Sciences des Aliments Master2 Biotech B.P 79
01.80
T35
Rejet
p Value ( = 0.01). Pas de rejet H0
p Value
= 0.01
La valeur 1.80 est dans la region d’acceptation
2.4377
p Value ( = 0.01). Rejet H0
p-Value
Probabilité d’être supérieur à la statistique calculée (ou valeur absolue) que l’on compare au risque choisi
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