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Modél i s at ion des act ions mécaniques

1. Introduction.1.1 Définition d’une action mécanique.Une action mécanique ne se voit pas (comme la température et contrairement à la vitesse ou la masse), onne voit que ses effets qui peuvent être :

• Des déplacements de corps,

• La modification des mouvements des corps,

• Des déformations, voir la rupture des corps.

L’objectif de l’ingénieur est de prévoir, modifier, contrôler, corriger, bref,… maîtriser les mouvements,déformations, ruptures. Ce sont les effets. Pour cela il doit s’intéresser aux causes et aux relations entrescelles-ci et les effets. Les causes, ce sont les actions mécaniques. Les relations ce sont les principes.

Ces principes sont issus de l’observation.

Un principe ne se démontre pas, il s’observe et se vérifie :

• Le Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.) donne des relations entre les différentes actionsmécaniques pour des systèmes immobiles.

• Le Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D.) donne les relations entre les mouvements avec lesefforts.

• Les lois de comportement des matériaux donnent les relations entre les efforts et les déformations.

Ces principes, se formalisent, bien sûr, de façon mathématique. Il faut donc donner à l’action mécaniqueun modèle mathématique qui pourra la représenter avec efficacité (petit exemple : la grandeur physiquevitesse est modélisée par l’outil vecteur).

Mais avant de songer à modéliser l’action mécanique, apprenons donc à mieux la connaître pour, ensuite,mieux la piéger.

Modèle desactions

mécanique

Modèle du comportement(statique, déplacements,

déformations)

Modélisation (hypothèses etc)

Actionsmécaniqueinconnues

Actionsmécanique

connues

Géométrie du mécanisme

Modélisation (hypothèses etc)

Principe

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2. Deux approches différentes.• L’action mécanique est une grandeur physique appliquée par quelque chose sur autre chose

(conséquence sur les notations).

Il existe deux approches pour caractériser l’action mécanique :

• L’approche fine : l’action mécanique est définie par un champ de forces élémentaires (le plus souvent)appliquées sur le solide. La zone d’application de ce champ de forces apparaît.

• L’approche globale : l’action mécanique est la composition de trois actions mécaniques élémentaires :pousser, tordre, serrer. En aucun cas la zone d’application n’apparaît.

3. Mise en place d’un modèle d’action mécanique.3.1 Comparaison quali tative entre les deux approches.

Φ Propriétés de l’approche fine :

• Elle est plus près de la réalité.

• Elle représente bien ce qu’il se passe sur et aux alentours de la zone d’application ( déformationslocales).

• Mais elle est extrêmement difficile à mettre en œuvre d’un point de vue calcul.

Φ Propriétés de l’approche globale :

• Il est absolument impossible de faire apparaître ce qu’il se passe près de la zone d’application(puisqu’elle n’apparaît pas). En approche globale on ne parle ni de surface ni de point d’application.

• Mais, elle est aussi performante que l’approche fine pour décrire ce qui se passe loin de la zoned’application.

• Les calculs sont simples.

Φ Conclusion de la comparaison :

• L’approche fine ne s’impose que pour étudier les déformations des solides.

• L’approche fine ne sera donc pas utilisées pour les solides indéformable. Elle ne servira, au cas échantà déterminer l’approche globale ( cf § suivants).

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3.2 Approche fine.Les actions mécaniques peuvent être classées en trois grandes familles :

• Les actions mécaniques de contact : la zone d’application est une surface de contact.

Soit ∂Σ la surface de contact : ∀ M ∈ ∂Σ \ ∂→f (M)

• Les actions mécaniques d’un fluide : la zone d’application est une surface de contact, mais lecomportement est différent. La mécanique des fluides fait l’objet d’études particulières.

∀ M ∈ ∂Σ \ ∂→f (M)

• Les actions mécaniques à distance : la zone d’application est un volume.Exemples : l’action de la pesanteur, les actions électrostatiques (électricité statique), magnétiques(moteurs électriques) et la télékinésies (pas au programme).

Soit Σ le volume d’application de l’action mécanique, ∀ M ∈ Σ \ ∂→f (M)

3.3 Approche globale.Donnons un modèle mathématique aux 2 actions mécaniques élémentaires « pousser », « tordre » :

• Il faut 1 vecteur pour modéliser « pousser » :→R 1→2 pour l’action mécanique de 1 sur 2

• Il faut 1 autre pour modéliser « tordre » :→MA,1→2

• « serrer » ne peut pas se modéliser d’un point de vue global.

En partant du principe que deux actions mécaniques différentes qui ont les mêmes effets sont modéliséespar le même modèle global on observe que le champs des moments est un champs de torseur.(tout comme le champs des vitesses d’un solide indéformable est un champs de torseur).

Modèle : l’action mécanique de 1 sur 2 est modélisée par un t orseur

1 → 2 =

A

→

R 1→2

→MA,1→2

=

B

→

R 1→2

→MB,1→2

tels que→MB,1→2 =

→MA,1→2 +

→BA ^

→R 1→2

→R 1→2 est appelée la résultante du torseur des actions mécaniques de 1 sur 2. Unité N

→MA,1→2 est appelé le moment en A du même torseur. Unité N.m

Ils sont tous les deux les éléments de réduction du torseur.

A et B sont les points de réduction du torseur 1 → 2(en aucun cas, il est possible de parler de point de contact : jamais).

Si →MA,1→2 =

→0 , le torseur 1 → 2 est appelé

torseur glisseur.Si

→R 1→2 =

→0 , le torseur 1 → 2 est appelé

torseur couple.

Remarques très utiles :

Si le torseur est un torseur couple, il s’écrit de la même manière en tous points de l’espace.

Si le torseur n’est pas un torseur couple, il existe toujours un point pour lequel le torseur est un glisseur.

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4. Détermination du torseur des actions mécaniques.4.1 A partir de l’approche fine.Si cette dernière est connue, on peut déterminer le torseur des actions mécaniques par une intégration :

on perds alors les informations de zone de contact.

Action mécanique surfacique de 1 sur 2 : zone de contact ∂Σ

1 → 2 =

A

→

R 1→2

→MA,1→2

avec

Attention, la surface n’est pas nécessairement une surface plane.

Action mécanique volumique de 1 sur 2 : zone d’application Σ

1 → 2 =

A

→

R 1→2

→MA,1→2

avec

4.2 A partir d’une description de l’action mécanique.Exemple : si on veut modéliser l’action mécanique de la main sur un levier de manœuvre, il n’est pasutile (et possible) de rechercher la pression de contact en chaque point de la main, car elle n’est pas biendéfinie ainsi que la zone de contact.

Par contre, on a une approche globale très précise à partir du geste : on sait dans quelle direction on« pousse » dans quel sens et pourquoi par avec quelle intensité : ce qui nous fait un vecteur : la résultante.

C’est ce qui s’appelle modéliser : partir de la réalité pour créer un modèle mathématique.

Si certaines informations ne sont pas définies (direction, valeur algébrique), on fait apparaître desinconnues.

4.3 Détermination de l’approche fine à partir du global.Si on connaît le torseur des a.m. et que l’on recherche le champs de forces élémentaires, il manque desinformations sur la répartition.

Il faut vérifier les deux intégrales (→R 1→2 = ⌡⌠

M ∈ Σ∂→f (M) = ⌡⌠

M ∈ ∂

→p (M).ds &

→MA,1→2 = ⌡⌠

M ∈ Σ

→AM ^

→p (M).ds ), mais cela ne

suffit pas pour déterminer →p (M).

Il faut en plus faire des hypothèses sur la répartition de la pression (à partir d’observation et de bon sens).

Exemple :

→R 1→2 = ⌡⌠M ∈ ∂Σ

∂→f (M) = ⌡⌠M ∈ ∂Σ

→p (M).ds avec →p en N/mm²

→MA,1→2 = ⌡

⌠M ∈ ∂Σ

→AM ^

→p (M).ds

→R 1→2 = ⌡⌠M ∈ Σ

∂→f (M) = ⌡⌠M ∈ Σ

→p (M).dv

→MA,1→2 = ⌡

⌠M ∈ Σ

→AM ^

→p (M).dv

→R 1→2

→MC,1→2 =

→0

C1

2

Hypothèse de répartition uniforme Hypothèse de répartition variable

Pmax = FS Pmax >

FS

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5. Action mécanique de la pesanteur.5.1 Introduction.La pesanteur est le fruit de deux phénomènes :

1. La gravitation universelle : Elle dépend du rayon de la terre. Elle estquasiment constante, car le rayon de la terre est constant (Rayon :6300 km).

2. La « force centrifuge » due à la vitesse de rotation de la terre. Cettedernière varie beaucoup en fonction de la position sur la terre. Elle estmaximale sur l’équateur car c’est le point de plus éloigné de l’axe de laterre (a = r.ω2)

A cause d’elle la pesanteur n’est pas exactement orientée verticalement.

Remarque : l’influence des autres astres est négligeable lorsque l’on fait de lamécanique sur terre.

5.2 Action de la pesanteur sur un solide de masse m (kg).Approche fine : chaque particule (M) du solide subit une force volumique de direction

verticale, dirigée vers le bas et de norme ρ.g (kg/m3) : →p (M) = ρ.→g

→g est l’accélération de la pesanteur. Elle est pratiquement constante sur terre. Nous,nous la considérerons verticale et de norme à g = 9.81 m/s² (N/kg).

Approche globale :

On montre qu’il existe un point pour lequel le torseur est un glisseur

Ce point est le centre de gravité du solide G (voir § suivant).

pes → solide =

G

m.→g

→0

avec →g un vecteur vertical descendant de norme g.

Remarque : la pesanteur n’est pas appliquée au point G. Si on creuse le solide pourenlever G (un tore), le solide tombe quand même.

5.3 Centre de gravité.Définition : c’est le point tel q ue l’action mécanique de la pesanteur est modélisée par

un glisseur : G est centre de gravité de la pièce 2 ssi ⌡⌠

P∈2 →GP.dm =

→0

On montre qu’avec O appartenant à ce solide que :→OG =

1m.⌡

⌠P∈2

→OP.dm

Relation que l’on peut discrétiser :→OG =

1

∑mi . ∑mi.

→OGi

A connaître : centre de gravité de : la sphère, parallélépipède, cylindre, solidecomposée de différents volumes élémentaires (relation discrétisée)

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6. Action mécanique de l’air sur une surface plane.C’est de la mécanique des fluide :

Approche fine : la pression d’un fluide sur un solide est un vecteur normal à la surface de contact, dirigé

vers la matière et de norme la pression du fluide en ce point : →p (M) = -p(M).→n (M)

La pression p(M) dépend de l’altitude du point M. Si le fluide est de l’air, la taille des systèmestechniques que nous utilisons est telle que la variation de pression est négligeable.

Si de plus la surface est plane, la normale à la surface est constante.

Alors →p (M) = -p.→n

Approche globale : on montre qu’au centre de surface C, le torseur de l’air sur le solide est un glisseur :

air → solide =

C

-p.S.→n

→0

7. Action mécanique d’un ressort.

Soit un point M appartenant à la droite (AB). Soit →v un vecteur unitaire de direction (AB) et dirigé de Avers B.

res → 1 =

M

+k.x.→v

→0

et res → 2 =

M

-k.x.→v

→0

k est la raideur du ressort : elle est intrinsèque au ressort, elledépend de la matière du ressort du diamètre du fil, du diamètre desspires et du nombre de spires.

Si le ressort est sollicité en compression, x < 0

l0

l0 : longueur à vide.

l : longueur chargé.x : allongement x = l - l0l

Support 2Support 1

A B

avec p (N/mm² = Mpa) la pression de l’air, S (mm²) la section

de la surface, et →→n la normale à cette surface.

C est défini tel que ∀ P ∈ ∂Σ ⌡⌠

P∈∂Σ →GP.dS =

→0

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8. Actions mécaniques dans les liaisons.• Introduction :La modélisation cinématique consiste à décrire le comportement cinématique des liaisons. Il s’agitd’écrire un torseur cinématique compatible avec les mobilités de la liaison : on introduit alors desparamètres plus ou moins nombreux (Ic ≤ 6) qui sont inconnus ou non.Ensuite l’écriture de la fermeture géométrique (ou cinématique) permettra d’écrire des relations entreces différents paramètres.

La modélisation statique consiste à décrire les capacités de transmission d’effort de chaque liaison. Ils’agit d’écrire un torseur des actions mécaniques compatibles avec les propriétés de la liaison : onintroduit alors des paramètres plus ou moins nombreux (Ns ≤ 6) qui sont inconnus ou non.Ensuite l’écriture du principe fondamental de la statique (ou de la dynamique) permettra d’écrire desrelations entre ces différents paramètres.

• Hypothèses :Toutes les hypothèses faites pour modéliser un assemblages par une liaison doivent être vérifiées.De plus les frottements dans les liaisons sont négligés (liaisons parfaites)

• Principe pour construire les torseurs.

1. les actions mécaniques sont des actions de contact, c’est à dire que les efforts ne peuvent être transmisque par l’intermédiaire d’un obstacle (la zone de contact).

2. Les liaisons permettent des mouvements relatifs entre les deux pièces. S’il y a mouvement dans unedirection, il n’y a pas d’obstacle, donc il n’y a pas d’effort transmissible dans cette direction.

3. Si le solide 1 ne peut pas translater par rapport au solide 2 dans une direction, alors il peut le« pousser » dans cette direction : la résultante est liée à la translation.

4. Si le solide 1 ne peut pas tourner par rapport au solide 2 autour d’un axe, alors il peut « tordre » autourde cet axe : Le moment est lié à la rotation.

• Exemple de la liaison pivot glissant d’axe (A, →x )

V2/1 =

A

ω.→x

v.→xalors 2 → 1 =

A

→

R 2→1

→MA,2→1

si on introduit une base de projection (→x ,→y ,→z )

V2/1 =

A

ω v

0 00 0

(→x ,

→y ,

→z )

et 2 → 1 =

A

0 0

Y2→1 MA,2→1

ZA,2→1 NA,2→1(→x ,

→y ,

→z )

• Conclusion : les torseurs des actions mécanique et cinématique sont complémentaires.

Ce qui se traduit par : Ns + Ic = 6

Et par →Ω 2/1.

→MM,1→2 + →v M,2/1.

→R 1→2 = 0 ⇔ 1 → 2*V2/1 = 0

si les frottements sont négligés

AA →x

Avec→R 2→1.

→x = →0

Et→MA,2→1.

→x = →0

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9. Adhérence - Frottement.9.1 Sensibilisation pour une liaison ponctuelle.

Dans le cas d’une liaison ponctuelle entre 1 et 2 de centre A et de normale →n .

Etudions l’action mécanique de 1 sur 2 lorsque le solide se déplace ou tend à se déplacer vers →u .

Donc →v A,2/1 = v.→u

L’action mécanique de 1 sur 2 est un glisseur : 1 → 2 =

A

→

R 1→2

→0

avec :

S’il n’y a pas de frottement :→R 1→2 = F.→n

S’il y a frottement :→R 1→2= F.→n - γ.F.→u

Avec γ, un coefficient sans unité.

Courbe expérimentale donnant la valeur de f en fonction de la vitesse de glissement v.

C’est une courbe un peu complexe à exploiter.

A

1

2

γ

v

Composante normale Composante tangentielle

→R 1→2

→n

→v A,2/1

→u

F

-γ.F

→R 1→2

→n

→u

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9.2 Modèle de coulombs (pour une ponctuelle).

• Zone d’adhérence : v = 0

γ est compris entre 0 et f0

La composante tangentielle est comprise entre 0 et f0.F

f0 est appelé facteur d’adhérence.

• Zone de frottement : v ≠ 0

γ est égal à f

La composante tangentielle est égale à f.F

f est appelé facteur de frottement.

Remarque : f est légèrement inférieur à f0. En pratique, ils sont confondus.

Valeurs de f : Palier à roulement (facteur équivalent) : 0.0015 à 0.005

Paliers lisses (graissage onctueux) : 0.01 à 0.1

Paliers lisses (film discontinu) : 0.01 à 0.04

Paliers lisses (Régime hydrodynamique) : 0.001 à 0.08

• Interprétation graphique:Introduisons l’angle ϕ, angle de frottement tel que tanϕ = f.

Dans l’espace dans le plan

Il y a frottement ou adhérence à la limite du glissement :→R 1→2 est sur le cône de frottement.

Il y a adhérence :→R 1→2 est dans le cône de frottement.

→R 1→2 n'est jamais hors du cône de frottement.

γ

vA,2/1

f0f

Zone de frottement

Zoned’adhérence

ϕϕ

→R 1→2

→R 1→2

Remarque :

f est parfois noté µ

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9.3 Pour un appui plan en translation.

• Il existe un point A tel que

1 → 2=

A

→

R 1→2

→0

Avec →R 1→2= F.→n - f.F.→u

• On montre que si la répartition de pression p est uniforme,le point A est le centre de la surface et F = p.S

9.4 Pour un appui plan en rotation.

1 → 2 =

A

→

R 1→2

→MA,1→2

On montre que si la répartition de pression pest uniforme sur un anneau :

→R 1→2 = F.→n

→MA,1→2 = -

23.f.

R3 - r3

R2 - r2.F .→n

9.5 Autres liaisons.Si le mouvement éventuel est une translation, le frottement impliquera une composante de résultanteparallèle à la translation latente qui s’opposera à cette translation..

Si le mouvement éventuel est une rotation, le frottement impliquera une composante de moment.

9.6 Arc-boutement.L’arc-boutement est un blocage dû au frottement. La géométrie du mécanisme est telle que l’effort deblocage est proportionnel à l’effort moteur : il y a blocage quel que soit l’effort moteur,… jusqu’àdestruction des matériaux.

Exemples : tiroir, cale sous la roue d’une voiture, cale sous la porte, serre-joint, roue libre, etc…

A

→n

→v 2/1→u

→R 1→2

A

→R 1→2

→MA,1→2

Sens de rotation éventuel