N. BOUDAOUD Plans dexpériences 1 Les plans Factoriels Fractionnaires 2 k-p

1N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Les plans Factoriels Fractionnaires

2k-p

2N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Approche fractionnaire

• Dans un plan factoriel complet, le nombre d’essais augmente de façon exponentielle avec le nombre de facteurs– 4 facteurs : 24=16 essais– 5 facteurs : 25=32 essais– 7 facteurs : 27=128 essais

2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4

Nombre de facteurs

Nom

bre

d’e

ssai

sLes plans fractionnaires sont

des plans optimaux orthogonaux qui se focalisentsur les effets les plus intéressant

3N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Relation nombre d’essais et nombre de ddl

• Règle – le nombre minimal d’essais à réalisé est

égal au nombre de ddl du modèle étudié (nombre de coefficients du modèle)

• Exemple : 3 facteurs à 2 niveaux A,B,C et 2 interactions AB, AC– ddlA+ddlB+ddlC+ddlAB+ddlAC+1=6

ddl de la moyenne

4N. BOUDAOUD Plans d’expériences

• Objectif : Réduction du nombre d’essais– Focalisation sur les effets les plus intéressants

• Hypothèse :– Interactions d’ordre supérieur à 2 sont souvent

négligeables : ABC, ABCD, ABCDE…

• Ex: 5 facteurs A,B,C,D,E 32 essais– Les informations utiles :

• A,B,C,D,E : 5• Interaction d’ordre 1 : 10

– Une table avec 16 essais (25-1) suffirait…

Plans Fractionnaires à 2 niveaux

Lorsque le nombre de facteurs augmente , le rapport du nombre d’informations utiles au nombre total d’essais diminue de façon alarmante ! Réduction de la taille des plans

5N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation

• Faire le bilan sur – le nombre de facteurs (+ nombre de modalités) – Le nombre d’interactions– Le nombre de degrés de liberté (ddl) au total : donne le

nombre d’essais minimal nécessaire.• ddl(total)=somme des ddl des facteurs• ddl(Facteur)=Nombre de modalité du facteur moins 1

• Choisir la table en adéquation avec le nombre d’essais minimum

• Affecter les facteurs aux colonnes – Le choix de colonnes se fait selon des contraintes de coût sur

la fréquence de variation des niveaux des facteurs d’un essai à l’autre.

6N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation

• Tables orthogonales et tables des interactions associée

1x2 1x4 2x4

A B C

L8(23)3 facteursA,B,C+ 3 interactionsSans confusion

1 2 3 4 5 6 7

7N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation

• Tables orthogonales et tables des interactions associée

1x24x7

1x42x7

2x41x7

A B C D

L8(23)4 facteursA,B,C, D+ interactionsSans confusion

1 2 3 4 5 6 7

N. BOUDAOUD Plans d’expériences

• Plan complet : 24=16 essais• Liste des facteurs et interactions :

– A,B,C,D : 4– AB,AC,AD,BC,BD,CD : 6 interactions ordre 1– ABC,ABD,ACD,BCD : 4 interactions ordre 2– ABCD : 1 interaction ordre 3– Total de 15 facteurs : nécessite 16 essais

15 colonnes

Plan 24-1 : Etude de 4 facteurs

Réduire le nombre d’essaisRéaliser le plan fractionnaire 24-1 ( 8 essais) ?

9N. BOUDAOUD Plans d’expériences

L16L8(23)Table à 16 essais (4 facteurs ABCD)

Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne ???

10N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Le plan 24-1

Chaque facteur (A,B,C) et les interactions occupent une colonne. Pour tester le facteur D et les interactions avec (A,B,C,AB,AC,BC,AC,ABC)avec seulement 8 essais : il faut donc les affecter à des colonnes déjà occupées

ABC interaction probablement négligeable D est affecté à la colonne ABC Conséquences :Niveaux de D et ABC suivent les mêmes changements de signes

A quelle colonne affecterle facteur D ?

11N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Affectation des Facteurs et interactions : Alias

• D et ABC sont donc aliasés : D=ABC• Les autres colonnes A, B, C, AB,.. vont être aliasés avec les interactions de D

Essai A B C D Y

1 Y1

2 Y2

3 Y3

4 Y4

5 Y5

6 Y6

7 Y7

8 Y8

Comment déterminertous les aliases ?

12N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Détermination des aliases

Propriétés • Commutativité : AB=BA• Associativité : A(BC)=(AB)C=ABC• Elément Neutre I (colonne de (+)): I.A=A.I=A• A.A=I quel que soit A

• L’égalité D=ABC peut s’écrire I=D.D=DABC=ABCD• I=ABCD appelé GENERATEUR D’ALIAS• Détermination de tous les alias :

– I.A=ABCD.A=BCD A=BCD– I.B=ABCD.B=ACD B=ACD

Conséquences

13N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Liste des alias

Comment calculer les effets des facteurs et interactions à partir des colonnes aliasées ?

On parle de Contrastes

14N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Calcul des contrastes

• Colonne 1 : A et BCD– Contraste : h1=A+BCD=1/8(-y1+y2-y3+y4-..+y8)

• Colonne 2 : B et ACD– Contraste : h1=B+ACD=1/8(-y1-y2+y3+y4-..+y8)

• Etc..

Exemple : Etude de l’influence sur Y = allongement à la rupture d’un élastomère (en %) des facteurs :

A : nature de l’élastomère

B : taux d’additif ( autour de la valeur préconisée)

C : Système de vulcanisation

D : taux de kaolin

15N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Exemple ( suite)

• Plan fractionnaire 24-1

• Alias D=ABC• Générateur d’alias

– I=ABCD

Essai A B C D Y

1 275

2 325

3 210

4 220

5 290

6 370

7 260

8 270

Niveau (-1)

Niveau (+1)

Contrastesh1 =A+BCDh2 =B+ACDh3C+ABDh4 =D+ABCh5 =AB+CDh6 BC+ADh7 AC+BD

16N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Interprétation

• Hypothèses– Conditions de l’étude : les

contrastes dont la valeur absolue est inférieur à 8 sont supposés négligeables

– Compte tenu de la nature des facteurs les interactions d’ordre 2 sont probablement négligeables

Interprétation physique : une interaction élastomère-additif (AB) est plus plausible qu’une interaction entre système de vulcanisation et kaolin (CD) (charge inerte)

• Conséquences :– h1=+18.75 A– h2=37.50 B– h3= +18.75 C– h4=-3.75D 0– h5=AB+CD=-13.75 ? Quel est

l’interaction la plus prépondérante ?

– H6 et h7 négligeables : interactions négligeables ou de signes opposés

Effet A et de C sont du même ordre de grandeurEffet de B important, D insignifiant. On peut donc penser que dans h5 l’interaction AB et plus significative que CD AB=-13.75

Conclusion

17N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Conclusion

• Un excès d’additif diminue l’allongement à la rupture, surtout avec l’élastomère 2. L’élastomère 2 et préférable au 1.

• Système de vulcanisation 2 est meilleur• Kaolin sans influence

BilanNous avons pu conclure de façon satisfaisante avec 8=24-1 essais pour 4 facteurs.Nous avons effectué la moitié d’un plan complet 24

• Facteurs significatifs : A (Elastomère), B (taux additif) C (Syst. Vulc), AB–EA=+18.75

–EB=37.50–EC=+18.75–EAB=-13.75

18N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Remarques

• L’utilisation des plans fractionnaires est conseillée lorsque l’on a une connaissance minimum a priori sur les interactions.

• A l’issue de l’exploitation d’un plan fractionnaire, si l’information obtenue est jugée insuffisante, le plan peut être complété par une autre fraction du plan complet à condition qu’elle soit choisie de façon judicieuse.

19N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Plan 25-2 (groupe d’alias)

• Cas d’un plan fractionnaire à 5 facteurs ABCDE– plan complet 32 essais

20N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Plan 25 plan completA B C AB AC BC ABC D AD BD CD ABD BCD ACD ABCD E AE BE CE ABE ACE BCE ABCE DE ADE BDE CDE ABDE BCDE ACDE ABCDE

1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -12 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 13 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 14 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -15 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 16 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -17 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -18 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 19 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1

10 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -111 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -112 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 113 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -114 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 115 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 116 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -117 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 118 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -119 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -120 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 121 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -122 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 123 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 124 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -125 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -126 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 127 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 128 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -129 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 130 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -131 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -132 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

21N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Plan 25-2 (groupe d’alias)

A B AB C AC BC ABC

Affectation des facteurs D et E• Choix des colonnes• Détermination du groupe

de générateurs d’alias - indépendants

- dépendants• Détermination des alias

Réduction du nombre d’essais de 32 à 8 essais

22N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Générateurs d’Alias

Essais

1

2

3

4

5

6

7 8

E AC BD

ABCDE

AB CD

ADE BCE

BC AD

ABE CDE

I ACE BDE

ABCD

A CE

BCD ABDE

B DE

ACD ABCE

C AE

ABD BCDE

D BE

ABC ACDE

D=ABC et E= AC.Il y a donc 3 générateurs d'alias : I=ABCD, I=ACE et I=BDE

23N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Généralisation Plan fractionnaire 2k-p

• Choix d’un plan fractionnaire – pour un plan complet avec k facteurs à deux niveaux : 2k

expériences– on réduit ce plan en prenant 2k-p expériences avec – k-p3 si k=4,5,6 et k-p=4 si k=7,..15.– On a donc recours au plan 23 ou 24.

• Alias et générateurs d’aliases – Dans un plan 2k-p on dispose de p aliases indépendants dont on

déduit des aliases dépendants par multiplication 2 à 2, 3 à 3 de tous les aliases indépendants, ce qui représente finalement 2p-1 générateurs d’alias.

• Exemples :– 4 facteurs : – p=1, 1 alias D=ABC,

• 1 générateur d’aliases I=ABCD– 5 facteurs : p=2, 2 aliases D=ABC E=AB,

• 3 générateurs d’aliases I=ABCD, I=ABE, I=CDE– 6 facteurs : p=3, 3 aliases et 7 générateurs d’aliases .

24N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Essais par blocs

25N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Réalisation d’essais par Blocs

• Quand ? Si l’on souhaite réaliser des essais décalés dans le temps – Ex : pour des raisons de temps on

ne peut réaliser tous les essais sur un même équipement

• Utiliser 2 machines par exemple• Tester l’effet de 4 facteurs

A,B,C,D

– Solution : partager la table. Comment ?

• On peut prendre les essais 1-4 sur le 1er équipement

• puis 5 à 8 sur le second équipement

Table L8

Effet de l’équipementConfondu avec l’effet de A

Equipement 1

Equipement 2

26N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Réalisation d’essais par Blocs

• On ne pourra pas distinguer l’effet de A de celui de l’équipement

• Idée pour éviter la confusion avec A :– Rechercher 2 blocs tel que l’effet

de l’équipement ne soit pas confondu avec un facteur principal

– Création d’un facteur fictif : X (équipement)

• Choix d’une colonne d’affectation– Par exemple : ABC, AC, BC

• Découpage des blocs : – Bloc 1: 1,3,6,8– Bloc 2 : 2,4,5,7

27N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Exemple• Un plan factoriel 8

essai a été réalisé pour minimiser le fluage (% d’allongement après 24 heures) d’une pièce.

• Facteurs listés sont :• A : la température • B : la quantité de

gomme• C : la quantité d’additif

Essai

Température

Gommes

Additif

Réponse(%)

1

2

3

4

5

6

7

8

Mélangeur 1Mélangeur 2

Comment répartir les essais surLes 2 mélangeurs ?

28N. BOUDAOUD Plans d’expériences

ExempleEssai

Température

Gommes

Additif

Réponse(%)

1

2

3

4

5

6

7

8

Mélangeur 1

Mélangeur 2Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 :- essais : 1 4 6 7- essais : 2 3 5 8

Cela permet de ne pasConfondre l’effet « changement de mélangeur » Avec un facteur du plan Le facteur Type de mélangeur est affecté à la colonne 7De la table L8(23)

29N. BOUDAOUD Plans d’expériences

ExempleEssai

Température

Gommes

Additif

Melangeur (C7)

Réponse(%)

1

2

3

4

5

6

7

8

Mélangeur 1

Mélangeur 2Comment estimer l’effet bloc ?

Au travail !

30N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Solution

-6

-4

-2

0

2

4

6

T°

Gomme

Additif

Melangeur

T° 3.6125 -3.6125

Gomme -0.8875 0.8875

Additif 4.7625 -4.7625

Melangeur -1.5375 1.5375

effet Moy- effet Moy+

31N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Solution

F0.95(1,3)=10.01

Alors le mélangeur a-t-il introduit un effet bloc ?

Facteur SCE ddl V FA 208.80 1 208.80 43.44

B 12.60 1 12.60 2.62

C 362.90 1 362.90 75.51

Melangeur 37.82 1 37.82 7.87

R 14.42 3 4.81

Total 636.55 7

32N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Plans screening• Les plans screening (Plaket-Burman) sont

utilisés pour tester les facteurs principaux

• Qui ? Ne concerne que les plans à 2 niveaux • Quand ? Lorsque le nombre de facteurs est

élevé• Cela permet de filtrer ou de débroussailler des cas

complexes

• Comment générer ces plans ?– Algorithme de permutation circulaire

33N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Plans screening

• On donne la séquence de signes de la première ligne

• On réalise une permutation circulaire à partir de la droite

• On complète la dernière ligne par -1

Essayons !

34N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Plans screening

• Les premières lignes en fonction du nombre de facteurs principaux à analyser

– k inférieur ou égal à 3 (N=4):

– k inférieur ou égal à 7 (N=8):

– k inférieur ou égal à 11(N=12) : – k inférieur ou égal à 15 (N=16) :

– k inférieur ou égal à 19 (N=20):

35N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Exemple : tenue de soudage de supports

• Un plan d’expérience de type SCREENING a permis de tester l’influence de 4 facteurs de réglage sur la tenue de soudage de 2 supports :

• Les réponses sont :– Y1 : taux de microdéfauts souhaité < 20%– Y2 : Dureté après soudure souhaité >70 HB

• Les facteurs sont :– A : type de décapage -1 (mécanique) +1 (non

mécanique)– B : jeu de supports -1 (0.1 mm) +1 (0.5 mm)– C : nature de soudure -1 (C10) +1 (C20)– D : montée en température -1 ( 5 min) +1 ( 10 min)

Générer le plan d’expérience « screening »!

36N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Exemple

• 4 facteurs, – k inférieur ou égal à 7 : 8 essais

Construire la table

37N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Exemple A B C D Y1 Y2

1 60 752 78 903 97 824 38 405 69 806 35 327 75 708 58 32

38N. BOUDAOUD Plans d’expériences

Analyse du plan

• Estimation des effets moyens• Analyse de Variance• Écriture du modèle et validation