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Notions de fonctionNotions de fonction
Initiation
Ci-contre, une courbe dans un repère orthonormé.
L ’axe des abscisses (l ’axe des « x ») est l ’axe horizontal.
L ’axe des ordonnées (l ’axe des « y ») est l ’axe vertical.
A
B
C
D
Lorsque l ’on donne les coordonnées d ’un point, on donne d ’abord l’abscisse puis l’ordonnée.
Le point A est de coordonnées: ( 2 ; 1 )
Le point B est de coordonnées: ( 1,5 ; -0,5 )
Le point C est de coordonnées: ( 0 ; 0,5 )
Le point D est de coordonnées: ( -1 ; -0,7 )
Notations et vocabulaireNotations et vocabulaire
Cherche les coordonnées des Cherche les coordonnées des points A, B, C et D.points A, B, C et D.
On dit que:
Soit f la fonction définie sur l ’intervalle [-1;3]
ce qui veut dire que l ’on trace la fonction pour les « x »de -1 à 3
et que pour chaque valeur « x » de cet intervalle, il existe un unique f(x) correspondant.
x
f(x)
x est l’ antécédent de f(x) f(x) a pour antécédent x
Notations et vocabulaireNotations et vocabulaire
Images et antécédentsImages et antécédents
x a pour image f(x)
f(x) est l ’image de x
ou encore:
On dit que :
ou encore:
Le maximum est la plus grande ordonnée d ’un point de la courbe
On cherche le point de la courbe le plus « haut »
On lit l ’ordonnée de ce point : c ’est le maximum
On dit que 1 est le maximum de f
On peut préciser: il est atteint pour x = -1
Notations et vocabulaireNotations et vocabulaire
Le minimum est la plus petite ordonnée d ’un point de la courbe
On cherche le point de la courbe le plus « bas »
On lit l ’ordonnée de ce point : c ’est le minimum
On dit que -1 est le minimum de f
On peut préciser: il est atteint pour x = 0
Notations et vocabulaireNotations et vocabulaire
Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1.
Ce qui signifie que l ’on va calculer des images pour les valeurs de « x » comprises entre -1,2 et 2,2.
Et voilà la formule que l ’on va utiliser pour les calculs.
Calculer une imageCalculer une image
Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1.
Calculer l ’ image de 0.
Ce qui signifie calculer f(0).
f(x) = x2 - 1
f(0) = 02 - 1 = 0 - 1 = - 1
f(0) = -1
Calcul de f(0):
Réponse: l ’image de 0 est -1.ou
Calculer une imageCalculer une image
Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1.
Calculer l ’ image de 1,3.
f(x) = x2 - 1
f(1,3) = 1,32 - 1 = 1,69 - 1= 0,69
f(1,3) = 0,69
Calcul de f(1,3) :
Réponse: l ’image de 1,3 est 0,69.ou
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Calculer une imageCalculer une image
Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1.
Calculer l ’ image de -1,1.
f(x) = x2 - 1
f(-1,1) = (-1,1)2 - 1 = 1,21 - 1 = 0,21
f(-1,1) = 0,21
Calcul de f(-1,1) :
Réponse: l ’image de -1,1 est 0,21.ou
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Attention:Attention: il est indispensable de mettre des parenthèses autour de -1,1.
Calculer une imageCalculer une image
Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x) = x2 + 2x - 6
Calculer l ’ image de 4 par la fonction g.
g(x) = x2 + 2x - 5
g(4) = 42 + 2x4 - 6= 16 + 8 - 6 = 18
g(4) = 18
Calcul de g(4) :
Réponse: l ’image de 4 est 18.ou
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
g(4)
Calculer une imageCalculer une image
Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x) = x2 + 2x - 6
Calculer l ’ image de -5 par la fonction g.
g(x) = x2 + 2x - 5
g(-5) = (-5)2 + 2x(-5) - 6= 25 - 10 - 6 = 9
g(-5) = 9
Calcul de g(-5) :
Réponse: l ’image de -5 est 9.ou
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
g(-5)
Calculer une imageCalculer une image
Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1.
Nous avons calculé précédemment les images de -1,1 ; 0 et 1,3 .
On peut présenter ces résultats dans un tableau de valeurs
x
f(x)
-1,1 0 1,3
f(1,3) = 0,69
f(0) = -1
f(-1,1) = 0,21
0,21 -1 0,69
Remplir un tableau de valeursRemplir un tableau de valeurs
Parfois, on écrit « y » à la place de « f(x)
Déterminer graphiquement l ’image de 0,5 par la fonction f.
On place 0,5 sur l ’axe des abscisses
On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 0,5
0,5
-0,8
Ici, on trouve -0,8
Réponse:
L’ image de 0,5 par f est -0,8
Déterminer graphiquement une imageDéterminer graphiquement une image
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer graphiquement l ’image de 3 par la fonction f.
On place 3 sur l ’axe des abscisses
On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 3
3
0,6
Ici, on trouve 0,6
Réponse:L’ image de 3 par f est 0,6
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer graphiquement une imageDéterminer graphiquement une image
Déterminer graphiquement l ’image de 2,5 par la fonction f.
On place 2,5 sur l ’axe des abscisses
On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 2,5
2,5
0,5
Ici, on trouve 0,5
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Réponse:
Déterminer graphiquement une imageDéterminer graphiquement une image
L’ image de 2,5 par f est 0,5
Déterminer graphiquement l ’image de 0 par la fonction f.
On place 0 sur l ’axe des abscisses
On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 0
0
-1
Réponse:
Ici, on trouve -1
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer graphiquement une imageDéterminer graphiquement une image
l’ image de 0 par f est -1
Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1 par la fonction f. D ’abord un peu de syntaxe ...
Il se peut que 0,5 ait un UNIQUE antécédent
Il se peut que 0,5 ait PLUSIEURS antécédents
Il se peut que 0,5 n ’ait AUCUN antécédent
Déterminer graphiquement un antécédentDéterminer graphiquement un antécédent
On place 1 sur l ’axe des ordonnées puis ...On recherche l ’abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 1Ici, on trouve -1
Réponse:
Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1 par la fonction f.
Déterminer graphiquement un antécédentDéterminer graphiquement un antécédent
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
L’ antécédent de 1 par f est -1
On place 0,5 sur l ’axe des ordonnées
On recherche la ou les abscisses du ou des points de la courbe qui ont pour ordonnée 0,5
2,5
0,5
Ici, on trouve -0,9 et 2,5
Réponse:
Déterminer graphiquement un antécédentDéterminer graphiquement un antécédent
Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 0,5 par la fonction f.
Les antécédents de 0,5 par f sont -0,9 et 2,5
-0,9
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
On place -0,5 sur l ’axe des ordonnéesOn recherche la ou les abscisses du ou des points de la courbe qui ont pour ordonnée -0,5
0,8
-0,5
Ici, on trouve -0,5 et 0,8
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Réponse:
Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de -0,5 par la fonction f.
-0,5
Déterminer graphiquement un antécédentDéterminer graphiquement un antécédent
Les antécédents de 0,5 par f sont -0,5 et 0,8
On place 1,5 sur l ’axe des ordonnées
On recherche l ’abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 1,5
1,5
Il n ’y a aucun point de la courbe qui convienne !!!
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Réponse:
Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1,5 par la fonction f.
Déterminer graphiquement un antécédentDéterminer graphiquement un antécédent
1,5 n ’a pas d ’antécédent par la fonction f
Déterminer graphiquement le maximum de la fonction f.
On cherche le point de la courbe le plus « haut »
On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le maximum
3 est le maximum de f
On peut préciser: il est atteint pour x = 1
3
Réponse:
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer graphiquement un maximumDéterminer graphiquement un maximum
Déterminer graphiquement le maximum de la fonction f.
On cherche le point de la courbe le plus « haut »
On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le maximum
1 est le maximum de f
On peut préciser: il est atteint pour x = 2
2
Réponse:
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer graphiquement un maximumDéterminer graphiquement un maximum
Déterminer graphiquement le maximum de la fonction g.
On cherche le point de la courbe le plus « haut »
On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le maximum
3 est le maximum de g
On peut préciser: il est atteint pour x =1
3
Réponse:
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer graphiquement un maximumDéterminer graphiquement un maximum
Déterminer graphiquement le minimum de la fonction f.
On cherche le point de la courbe le plus « bas »
On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le minimum
-1 est le minimum de f
On peut préciser: il est atteint pour x = -1
-1
Réponse:
-1Essayez de trouver la Essayez de trouver la
réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer graphiquement un minimumDéterminer graphiquement un minimum
Déterminer graphiquement le minimum de la fonction f.
On cherche le point de la courbe le plus « bas »
On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le minimum
-1,2 est le minimum de f
On peut préciser: il est atteint pour x = 0
Réponse:
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer graphiquement un minimumDéterminer graphiquement un minimum
Déterminer graphiquement le minimum de la fonction g.
On cherche le point de la courbe le plus « bas »
On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le minimum
-1 est le minimum de g
On peut préciser: il est atteint pour x =1
-1
Réponse:
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
-1
Déterminer graphiquement un minimumDéterminer graphiquement un minimum
Déterminer quand la fonction f est décroissante.
On regarde quand la courbe « descend » puis ...
On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes
-1,2
l ’intervalle [-1,2 ; 1]
Réponse:
La fonction f est décroissante sur l ’ intervalle [ -1,2 ;1 ]
1
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer quand la fonction f est croissante.
On regarde quand la courbe « monte » puis ...
On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes
3,2
l ’intervalle [ 1 ; 3,2 ]
Réponse:
La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [1 ; 3,2 ]
1
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer les variations de la fonction f.
3,2
Réponse:
La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [1 ; 3,2 ]
-1,2
La fonction f est décroissante sur l ’ intervalle [ -1,2 ;1 ]
et
1
C ’est déterminersur quels intervalles la
fonction f est décroissante, sur quels intervalles la
fonction f est croissante, sur quels intervalles la
fonction f est constante.
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
Déterminer les variations de la fonction f.
3,2-1,2 1
On peut réunir ces informations dans un
tableau de variation.
x
f(x)
-1,2 1 3,2
3,8
3,8
-1
3,8
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
-1
Déterminer le sens de variation de la fonction f tracée ci-contre.
3 5 119 130
La fonction f est décroissante sur les intervalles [ 3 ;5 ] et [ 11 ; 13 ]
la fonction f est constante sur l ’ intervalle [ 9 ;11 ]et
et
La fonction f est croissante sur les intervalles [ 0 ;3 ] et [ 5 ; 9 ]Réponse:
C ’est déterminersur quels intervalles la
fonction f est décroissante, sur quels intervalles la
fonction f est croissante, sur quels intervalles la
fonction f est constante.
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Donner le tableau de variations de la fonction f tracée ci-contre.
3 5 119 130
0 3 5 9 11 13x
9
21
3
f(x)
Ici on indique les valeurs des abscisses où les variations changent
là on indique par des flèches les variations de la fonction
Enfin les valeurs des ordonnées atteintes par la courbe
0
2
1
9 9
3
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer quand la fonction f est décroissante.
On regarde quand la courbe « descend »
On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes
-3
-1
3
l ’intervalle [-3;-1] l ’intervalle [1;3]
Réponse:
La fonction f est décroissante sur les intervalles [ -3 ;-1 ] et [ 1 ; 3 ]
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
Déterminer quand la fonction f est croissante.
On regarde quand la courbe « monte »
On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes
-1
l ’intervalle [-1;1]
Réponse:
La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [ -1 ;1 ]
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
Déterminer le sens de variation de f.
Réponse:
La fonction f est décroissante sur les intervalles [ -3 ;-1 ] et [ 1 ; 3 ]
la fonction f est croissante sur l ’ intervalle [ -1 ;1 ]et
-3 -1 3Essayez de trouver la Essayez de trouver la
réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
Donner le tableau de variation de f.
Réponse:
-3 -1 3
Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer
Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation
-3 -1 1 3x
f(x)
1
-1
3
1
Soit la fonction f (x) = x2 + 1
Tracé de la fonction
Pour tracer une fonction il faut placer des points dans un repère.
Un point est désigné par 2 coordonnées :
- une abscisse (horizontale ) représentée par la lettre x
- une ordonnée (verticale ) représentée par f(x) ou y
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
Ici on choisit des valeurs de x
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
xIci on choisit des valeurs de x
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x
f(x)
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
Ici on calcule les valeurs de f (x)
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x
f(x)
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
On choisit des valeurs de x faciles
-2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x)
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
On calcule les valeurs de la deuxième ligne
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x)
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
On remplace le x par –2 dans la formule
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x)
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
f (-2) = (-2)2 + 1
= 5
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x)
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
f (-2) = (-2)2 + 1
= 5
5
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
On remplace x par –1 dans la formule
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
f(-1) = (-1)2 + 1
= 2
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
f(-1) = (-1)2 + 1
= 2
2
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
f(-0,5) = (-0,5)2 + 1
= 1,25
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
f(-0,5) = (-0,5)2 + 1
= 1,25
1,25
Comment déterminer les coordonnées des points ?
On complète un tableau de valeurs
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 1 5
f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2
Comment tracer la courbe ?
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
On trace un repère
On indique l’échelle
x
f(x)
0 0,5
1
1-0,5On place les points
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
On place ce point de coordonnées -2 et 5
0,5 1-0,5
f(x)
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
0,5 1-0,5-2
f(x)
On place ce point de coordonnées -2 et 5
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
0,5 1-0,5-2
5 f(x)
On place ce point de coordonnées -2 et 5
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
0,5 1-0,5
f(x)
On place ce point de coordonnées -1 et 2
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
0,5 1-0,5
f(x)
-1
On place ce point de coordonnées -1 et 2
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
0,5 1-0,5
f(x)
-1
2
On place ce point de coordonnées -1 et 2
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
0,5 1-0,5
f(x)
On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
0,5 1-0,5
f(x)
On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1
0,5 1-0,5
f(x)
1,25
On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1On fait cela pour tous les points
0,5 1
f(x)
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1On fait cela pour tous les points
0,5 1
f(x)
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1On fait cela pour tous les points
0,5 1
f(x)
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1On fait cela pour tous les points
0,5 1
f(x)
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5
f (x) = x2 + 1
x0
1On relie les points à la main
0,5 1
f(x)
Résolution d’équations de type
f(x) = m
Placer le nombre m sur l’axe des ordonnées
Placer le nombre m sur l’axe des ordonnées
Tracer la droite d’équation y = m
Tracer la droite d’équation y = m
Chercher les points d’intersection de la droite avec la représentation graphique de la fonction f
Chercher les points d’intersection de la droite avec la représentation graphique de la fonction f
Les solutions de l’équation sont les abscisses de ces points
Les solutions de l’équation sont les abscisses de ces points
f(x) = m, a donc graphiquement trois solutions
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