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Parcours de graphesAlgorithmique – L3

Francois Laroussinie

2 novembre 2010

Parcours de graphes

Procedure Parcours(G )//G = (S ,A)begin

pour chaque x ∈ S faire Couleur[x ] := blancChoisir s ∈ S

Couleur[s] := grisrepeter

Choisir x tq Couleur[x ] = grispour chaque (x , y) ∈ A faire

si Couleur[y ] = blanc alors Couleur[y ] := gris

Couleur[x ] := noirjusqu’a ∀x .Couleur[x ] 6= gris ;

Parcours

Idees :• On choisit un sommet s dont tous les successeurs n’ont pasencore ete decouverts.• On explore les transitions issues de s et on cherche dessuccesseurs de s pas encore decouverts.

Parcours

Idees :• On choisit un sommet s dont tous les successeurs n’ont pasencore ete decouverts.• On explore les transitions issues de s et on cherche dessuccesseurs de s pas encore decouverts.

Trois etats pour les sommets :

• non decouvert,

• decouvert mais certains successeurs restent non decouverts, ou

• decouvert ainsi que ses successeurs.

→ trois couleurs (blanc/gris/noir).

1 Definitions

2 Parcours en largeur

3 Parcours en profondeur

4 Extension lineaire

1 Definitions

Parcours en largeur

on considere un graphe non oriente.

Arborescence de parcours

Pour chaque sommet, on va garder en memoire par quelle arete il aete decouvert, c.-a-d. depuis quel sommet. . .

Π : S → S ∪ {nil}Π(u) = v ssi u a ete decouvert depuis v .

On construit donc un arbre GΠ = (S ,AΠ) de racine s.

def= {(Π(v), v) | Π(v) 6= nil}

Propriete du parcours en largeur

L’algorithme va parcourir les sommets accessibles depuis s encommencant par ceux situes a la distance 1, puis ceux situes a ladistance 2, etc.

Propriete du parcours en largeur

L’algorithme va parcourir les sommets accessibles depuis s encommencant par ceux situes a la distance 1, puis ceux situes a ladistance 2, etc.

De plus, l’algorithme va

1 calculer la distance minimale de chaque sommet a l’origine s,et

2 les chemins dans GΠ seront des plus courts chemins de G .

Parcours en largeur de G = (S ,A) non-oriente

Procedure PL(G ,s)pour chaque x ∈ S\{s} faire

Couleur[x ] := blanc ; Π[x ] := nil ; Dist[x ] := ∞ ;

Couleur[s] := gris; Π(s) := nil; Dist[s] := 0 ;F := File videAjouter(F , s)tant que F 6= ∅ faire

x := ExtraireTete(F );pour chaque (x , y) ∈ A faire

si Couleur[y ] = blanc alorsCouleur[y ] := gris ;Dist[y ] := Dist[x ] + 1 ;Π[y ] := x ;Ajouter(F , y) ;

Couleur[x ] := noir

Parcours en largeur

Le sens du coloriage blanc/gris/noir est :

• blanc : les sommets pas encore decouverts(et a l’initialisation, sauf s).

• gris : les sommets deja decouverts et dont les successeursimmediats n’ont pas encore ete tous decouverts ;

• noir : les sommets decouverts dont tous les successeursimmediats ont aussi ete decouverts.

Terminaison et complexite

Tout ajout de u dans F ...

• est conditionne par ≪ Couleur[u] = blanc ≫, et

• est suivi par un coloriage en gris de u.

• Un sommet n’est colorie en blanc qu’a l’initialisation.

⇒ u ne peut etre ajoute (et extrait) qu’au plus une fois.⇒ l’algorithme termine !

⇒ u ne peut etre ajoute (et extrait) qu’au plus une fois.⇒ l’algorithme termine !Et sa liste d’adjacence n’est parcourue qu’au plus une fois.

⇒ u ne peut etre ajoute (et extrait) qu’au plus une fois.⇒ l’algorithme termine !Et sa liste d’adjacence n’est parcourue qu’au plus une fois.⇒ Complexite totale :

• de la boucle principale : O(|A|) ;

• de l’initialisation : O(|S |).

⇒ Complexite en O(|S |+ |A|) ou O(|G |)

Correction du parcours en largeur

Theoreme Soient G = (S ,A) un graphe non-oriente et s ∈ S unsommet. L’algorithme PL(G , s) :

1 decouvre tous les sommets atteignables depuis s etuniquement eux ;

2 termine avec Dist[v ] = δ(s, v) pour tout v ∈ S ;

3 construit la table Π de telle sorte que pour tout sommet u 6= s

atteignable depuis s, il existe un plus court chemin de s a u

dans G dont la derniere transition est (Π(u), u).

NB : δ(s, v)def= longueur d’un plus court chemin entre s et v

Proprietes – distances

Definition G = (S ,A), u, v ∈ S

δ(u, v)def=

min{p | u →p v} si u →∗ v

∞ sinon

Propriete 13 Soient u, v ∈ S tels que (u, v) ∈ A, alors on a :

δ(s, v) ≤ δ(s, u) + 1

Proprietes – parcours en largeur

Propriete 14 A tout moment de l’algorithme, on a pour toutsommet u : Dist[u] ≥ δ(s, u).

Propriete 15 Lors de l’execution de PL sur G = (S ,A) depuis s,a chaque etape de l’algorithme, si le contenu de F est de laforme [v1, v2, . . . , vk ] ou v1 designe l’element le plus ancien et vk leplus recent, alors on a :

• Dist[vi ] ≤ Dist[vi+1] pour i = 1, . . . , k − 1

• Dist[vk ] ≤ Dist[v1] + 1

1 Definitions

Idee generale

On considere des graphes orientes.

Ici on choisit le sommet gris decouvert le plus recemment.Au lieu d’une file, on utilise une pile.

Idee generale

Ici on choisit le sommet gris decouvert le plus recemment.Au lieu d’une file, on utilise une pile.On deroule donc un chemin (gris) le plus loin possible.

Idee generale

Ici on choisit le sommet gris decouvert le plus recemment.Au lieu d’une file, on utilise une pile.On deroule donc un chemin (gris) le plus loin possible.

Les trois couleurs signifient :

• blanc : sommet non encore decouvert ;

• gris : sommet decouvert mais dont certains descendantsn’ont pas encore ete decouverts ;

• noir : sommet decouvert ainsi que tous ses descendants.

Algorithme - 1

Comme pour le parcours en largeur, on construit GΠ. . . mais ici cesera une foret.

Algorithme - 1

On va associer a tout sommet u ∈ S :

• une date de coloriage en gris d[u] ; et

• une date de coloriage en noir f[u]

une date = un entier entre 1 et 2 · |S |

Algorithme - 1

On va associer a tout sommet u ∈ S :

• une date de coloriage en gris d[u] ; et

• une date de coloriage en noir f[u]

une date = un entier entre 1 et 2 · |S |

d[u] < f[u]

Et. . .

• avant la date d[u], u est en blanc ;

• entre d[u] et f[u], u est en gris ;

• apres la date f[u], u est en noir.

Parcours en profondeur (init)

Procedure PP(G )//G = (S ,A)begin

pour chaque x ∈ S faireCouleur[x ] := blanc ;Π[x ] := nil ;

temps := 0 ;pour chaque x ∈ S faire

si Couleur[x ] = blanc alorsPP-Visiter(G , x) ;

Parcours en profondeur

Procedure PP-Visiter(G , s)Couleur[s] := gris;temps++;d[s] := temps;pour chaque (s, u) ∈ A faire

si Couleur[u] = blanc alorsΠ[u] := s ;PP-Visiter(G , u) ;

Couleur[s] := noir ;temps++;f[s] := temps ;

Exemple

Complexite

L’initialisation demande un temps en O(|S |).

La procedure PP-Visiter est appelee exactement une fois surchaque sommet.

La complexite des boucles ≪ Pour chaque (s, u) . . . ≫ de tous lesappels PP-Visiter est donc en O(|A|).

On a donc un algorithme lineaire, i.e. en O(|S |+ |A|).

Classification des arcs. . .

Tout arc (v ,w) de A est soit un arc de GΠ, soit. . .

• un arc de GΠ (i.e.Π[w ] = v) ;

• un arc ≪ retour ≫ : v est un descendant de w dans GΠ (*) ;

• un arcs ≪ avant ≫ : w est un descendant de v dans GΠ (maisΠ[w ] 6= v) (*) ;

• un arc ≪ transverse ≫ (tous les autres cas !).

(*) lors de l’examen de (v ,w) dans PP-Visiter.

Proprietes du Parc. en Profondeur - 1

Propriete 16 Pour tout sommet u et v , on a :

• soit les intervalles [d[u]; f[u]] et [d[v ]; f[v ]] sont disjoints ;

• soit [d[u]; f[u]] est contenu dans [d[v ]; f[v ]] ;

• soit [d[v ]; f[v ]] est contenu dans [d[u]; f[u]].

Supposons d[u] < d[v ].

• d[v ] < f[u] :

• d[v ] < f[u] :• En d[v ], u est gris : PP-Visiter(G , u) n’est pas fini.

• d[v ] < f[u] :• En d[v ], u est gris : PP-Visiter(G , u) n’est pas fini.• on va appeler PP-Visiter(G , v ′) pour tout (v , v ′) ∈ A t.q.

Couleur[v ′] = blanc.

Couleur[v ′] = blanc.• puis colorier v en noir . . . et affecter f[v ],

Couleur[v ′] = blanc.• puis colorier v en noir . . . et affecter f[v ],• finir les PP-Visiter(G , u′) des autres descendants de u,

Couleur[v ′] = blanc.• puis colorier v en noir . . . et affecter f[v ],• finir les PP-Visiter(G , u′) des autres descendants de u,• et enfin affecter f[u] !

• d[v ] > f[u] : alors d[u] < f[u] < d[v ] < f[v ]. . .

Propriete 17 Pour tout sommet u, v , on a : u →∗

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

• (1) ⇒ (2) u0=u →GΠu1 →GΠ

u2 . . . →GΠuk=v

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

• (1) ⇒ (2) u0=u →GΠu1 →GΠ

u2 . . . →GΠuk=v

• ui est decouvert depuis ui−1 : d[ui−1] < d[ui ] < f[ui−1].

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

• (1) ⇒ (2) u0=u →GΠu1 →GΠ

u2 . . . →GΠuk=v

• ui est decouvert depuis ui−1 : d[ui−1] < d[ui ] < f[ui−1].• par la Prop. 16 : d[ui−1] < d[ui ] < f[ui ] < f[ui−1], . . .

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

• (1) ⇒ (2) u0=u →GΠu1 →GΠ

u2 . . . →GΠuk=v

• (2) ⇒ (1) soient u et v tq d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u] etu 6→∗

GΠv . On choisit v de maniere a minimiser d[v ].

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

• (1) ⇒ (2) u0=u →GΠu1 →GΠ

u2 . . . →GΠuk=v

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

• (1) ⇒ (2) u0=u →GΠu1 →GΠ

u2 . . . →GΠuk=v

Considerons w = Π(v) (il existe car d[u] < d[v ] < f[u] !)

• d[u] < d[w ] ?

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

• (1) ⇒ (2) u0=u →GΠu1 →GΠ

u2 . . . →GΠuk=v

• d[u] < d[w ] ? Alors d[u] < d[w ] < f[u] (car d[w ] < d[v ])Prop. 16 ⇒ d[u] < d[w ] < f[w ] < f[u] et donc u →∗

GΠw car v

a ete ≪ bien ≫ choisi. . . Donc u →∗

GΠv , contradiction !

• d[w ] < d[u] ?

GΠv ⇔

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u].

• (1) ⇒ (2) u0=u →GΠu1 →GΠ

u2 . . . →GΠuk=v

• d[u] < d[w ] ? Alors d[u] < d[w ] < f[u] (car d[w ] < d[v ])Prop. 16 ⇒ d[u] < d[w ] < f[w ] < f[u] et donc u →∗

GΠw car v

a ete ≪ bien ≫ choisi. . . Donc u →∗

GΠv , contradiction !

• d[w ] < d[u] ? u est decouvert par un PP-Visiter(G ,w ′). . .avant l’appel PP-Visiter(G , v) qui decouvrira v .Donc en d[v ], PP-Visiter(G , u) est termine etd[u] < f[u] < d[v ] < f[v ], contradiction !

Proprietes des arcs

Un arc (v ,w) qui n’est pas dans GΠ est un. . .

• arc “retour” ssi v est un descendant de w dans GΠ ;

• arc “avant” ssi w est un descendant de v dans GΠ ;

• un arc “transverse” dans les autres cas. . .

Proprietes des arcs

Propriete 18 Un arc (v ,w) est un. . .

1 arc “retour” ssi d[w ] < d[v ] < f[v ] < f[w ] ; et

2 arc “avant” ssi d[v ] < d[w ] < f[w ] < f[v ] ∧ Π[w ] 6= v ;

3 arc “transverse” ssi d[w ] < f[w ] < d[v ] < f[v ].

Proprietes des arcs

• (1) et (2) : Propriete 17. . .

Proprietes des arcs

• (1) et (2) : Propriete 17. . .

• (3) on a soit d[v ] < f[v ] < d[w ] < f[w ] oud[w ] < f[w ] < d[v ] < f[v ].Mais comme (v ,w) n’est pas dans GΠ, w ne peut etre blancen d[v ].Donc d[w ] < f[w ] < d[v ] < f[v ].

Proprietes du Parcours en Profondeur

Propriete 19 A tout moment de l’algorithme de parcours enprofondeur, les sommets gris forment un chemin relie par des arcsde GΠ.

A tout moment de l’algo, on peut trier les sommets gris u1, . . . , ukpar d[−] croissante.

d[u1] < d[u2] < . . . < d[uk ]

d[u1] < d[u2] < . . . < d[uk ]< f[uk ] < . . . < f[u2] < f[u1]

(Prop. 16)

d[u1] < d[u2] < . . . < d[uk ]< f[uk ] < . . . < f[u2] < f[u1]

(Prop. 16)Donc : u1 →

GΠu2 →

GΠ. . . →∗

GΠuk (Prop. 17)

d[u1] < d[u2] < . . . < d[uk ]< f[uk ] < . . . < f[u2] < f[u1]

(Prop. 16)Donc : u1 →

GΠu2 →

GΠ. . . →∗

GΠuk (Prop. 17)

Chaque etape de ce chemin est elementaire car il n’y a . . .

1 ni sommet blanc (il faut que Π[−] soit def.),

2 ni sommet noir (ils n’ont pas de sommets gris commedescendants dans GΠ).

Vision globale du graphe

(prochain etat a etre decouvert)

Exercice : Comment en est-on arrive la ?

q01−

3− 10

4− 9

5− 86− 7 13− 16 14− 15

q09−

1− 8

2− 7

3− 6 4− 5 13− 16 14− 15

q011−

13− 14

5− 6

1− 42− 3 7− 10 8− 9

Enoncer la correction de PP-Visiter(G , s) ?

Idee generale : Tous les etats accessibles depuis s et non encoredecouverts depuis le debut de la procedure, seront decouverts, etseront donc des descendants de s dans GΠ. . .

Theoreme du chemin blanc

v est un descendant de u dans GΠ si et seulement si a la dated[u], le sommet v etait atteignable depuis u par un chemincompose uniquement de sommets blancs.

Preuve de la correction du PP

u →∗

GΠv ssi en d[u], il y a un chemin blanc de u a v .

u →∗

(1) ⇒ (2) tout sommet w le long du chemin u →∗

GΠv verifie

d[u] < d[w ] (Prop. 17) : donc chaque w est blanc en d[u].

u →∗

GΠv verifie

(2) ⇒ (1) soit v atteignable par un chemin blanc ρ depuis u end[u] tq u 6→∗

GΠv . On prend le premier v de ce type le long de ρ.

u →∗

GΠv verifie

Pour tout predecesseur w de v sur ρ, on a : u →∗

GΠw .

u →∗

GΠv verifie

GΠw .

Donc d[u] < d[w ] < f[w ] < f[u] (Prop. 17)

u →∗

GΠv verifie

GΠw .

Donc d[u] < d[w ] < f[w ] < f[u] (Prop. 17)Considerons le premier (sur ρ) de ces w tq ∃(w , v) ∈ A.Comme w 6→∗

GΠv , v doit etre gris avant f[w ] : d[v ] < f[w ].

D’apres la Prop. 16, on a 2 cas :

d[w ] < d[v ] < f[v ] < f[w ] ou d[v ] < f[v ] < d[w ] < f[w ]

D’ou [d[v ]; f[v ]] ⊂ [d[u]; f[u]] et par la Prop. 17, on a u →∗

GΠv .

Contradiction !

Exemple

1 Definitions

Extension lineaire (tri topologique)

Soit G = (S ,A) un graphe oriente acyclique (DAG).

Definition Une extension lineaire de G est un ordre total ≤ surles sommets compatible avec A, c’est-a-dire tel que pour tout uet v , on a : (u, v) ∈ A ⇒ u ≤ v .

Extension lineaire (tri topologique)

Soit G = (S ,A) un graphe oriente acyclique (DAG).

Definition Une extension lineaire de G est un ordre total ≤ surles sommets compatible avec A, c’est-a-dire tel que pour tout uet v , on a : (u, v) ∈ A ⇒ u ≤ v .

NB : G acyclique ⇒ la relation →∗ induit un ordre partiel.

Q ? comment en deduire un ordre total ?

Applications

L’ordonnancement de taches. . .n taches a planifier en respectant des contraintes du genre ≪ Ti

doitetre traitee avant Tj ≫. . .

Applications

L’ordonnancement de taches. . .n taches a planifier en respectant des contraintes du genre ≪ Ti

doitetre traitee avant Tj ≫. . .

Peinture Plafond

Peinture Murs

Electricite

Plomberie

Parquet

Preparation des Murs

Pose Meubles

Et la ?

4122 4112 4223 4111 4212

4213 4121

4211 4123

1122 1112 1223 1111

12121213 1121

1211 1123

Algorithme de recherche d’extension lineaire

1 Appeler PP(G). . .

2 et empiler chaque sommet lorsqu’il est colorie en noir

La pile contient tous les sommets dans l’ordre croissant.

(Le sommet de la pile est le sommet min. pour ≤ : il n’a pas depredecesseur dans G .)

Algorithme de recherche d’extension lineaire

2 et empiler chaque sommet lorsqu’il est colorie en noir

La pile contient tous les sommets dans l’ordre croissant.

(Le sommet de la pile est le sommet min. pour ≤ : il n’a pas depredecesseur dans G .)

2 Trier les sommets par date f[.] decroissantes.

L’ordre ≤A calcule est donc : u ≤A v ssi f[u] > f[v ]

(les deux definitions Pile/f[ ] sont equivalentes !)

Algo. de recherche d’extension lineaire

Procedure Tri-Topo(G )pour chaque x ∈ S faire Couleur[x ] := blanc ;P := PileVide( ) ;pour chaque x ∈ S faire

si Couleur[x ] = blanc alors PP-Visiter2(G , x) ;

Avec :

Procedure PP-Visiter2(G , s)Couleur[s] := gris;pour chaque (s, u) ∈ A faire

si Couleur[u] = blanc alors PP-Visiter2(G , u) ;

Couleur[s] := noir;P .Empiler(s) ;

Correction de l’algorithme

Theoreme

Soit G un graphe oriente acyclique. L’ordre ≤A calcule parl’algorithme est une extension lineairede G .

Theoreme

D’abord, on montre :

Propriete 19

G est acyclique ssi l’algo. PP ne trouve aucun arc retour.

Theoreme

Propriete 19

(1) ⇒ (2) Si (u, v) est un arc retour, alors il y a un chemin grisreliant v a u, l’arc (u, v) ferme le cyle !

Theoreme

Propriete 19

(1) ⇒ (2) Si (u, v) est un arc retour, alors il y a un chemin grisreliant v a u, l’arc (u, v) ferme le cyle !

(2) ⇒ (1) Soit ρ un cycle. Soit v le premier sommet de ρ

decouvert par PP. Le theoreme du Chemin blanc garantit v →∗

et donc (u, v) sera vu comme un arc retour.

Theoreme

Etant donnes u, v ∈ S tels que (u, v) ∈ A.

Obj : il faut montrer u ≤A v , et donc f[u] > f[v ].

Theoreme

Etant donnes u, v ∈ S tels que (u, v) ∈ A.

Obj : il faut montrer u ≤A v , et donc f[u] > f[v ].Lorsque l’arete (u, v) est etudiee dans PP-Visiter2, alors v nepeut pas etre gris car (u, v) serait un arc retour et G aurait uncycle. Donc :

• soit v est blanc et sera visite depuis u : et alors on auraf[u] > f[v ] ;

• soit v est noir et alors f[v ] < f[u].

Le resultat recherche est donc vrai !

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