PCSI 1 (O.Granier) Lycée Clemenceau Etude des machines...

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Etude des machines

thermiques

Olivier GRANIER

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I – Le moteur à explosion à 4 temps(Cycle de Beau de Rochas, 1862)

Simulation java

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Cycle réel Cycle théoriqueSimulation java

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Cycle théorique de Beau de Rochas (1862), réalisé par Otto (1876) :

Hypothèses simplificatrices :

� Durant le cycle, les propriétés du fluide changent. On n’en tient pas compte et on considère le gaz comme un GP.

� C’est toujours le même gaz qui subit le cycle.

� Les transformations sont réversibles :

• BC : compression adiabatique

• CD : isochore (étincelle de la bougie)

• DE : détente adiabatique

• EB : refroidissement isochore

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Rendement du cycle :Le cycle est moteur (W < 0) : le fluide reçoit de la chaleur lors de la transformation CD et donne de la chaleur au milieu extérieur lors de la transformation EB.

Remarque : W désigne ici la somme des travaux reçus par le gaz lors du cycle (c’est-à-dire lors des 4 transformations).

Le rendement ρρρρ du cycle (du moteur) est défini par :

Soit, ici :

fournieecalorifiquénergie

extérieurlparreçutravail '=ρ

CDCD Q

W

Q

W−=

−=

)(ρ

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Calcul du rendement ρρρρ :

D’après le 1er principe, , soit :

L’expression du rendement devient :

Or (transformations isochores) :

D’où :

CD

EB

CD

EBCD

Q

Q

Q

QQ+=

+= 1ρ

0=++=∆ EBCD QQWU EBCD QQW −−=

)(

)(

,

,

EBmolVEBEB

CDmolVCDCD

TTnCUQ

TTnCUQ

−=∆=

−=∆=

CD

EB

TT

TT

−

−+= 1ρ

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Pour les deux isentropiques (adiabatiques réversibles), on peut écrire :

En notant que VA= VC et VD= VA, il vient :

11 −− = γγCCBB VTVT

11 −− = γγEEDD VTVT

BA

BC T

V

VT

1−

=

γ

EA

BD T

V

VT

1−

=

γ

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On en déduit l’expression du rendement :

On note le taux de compression :

BA

BE

A

B

EB

TV

VT

V

V

TT11

1−−

−

−+=

γγρ

1

1

−

−=

γ

ρB

A

V

V

A

B

V

V=α

11

1

−

−=

γ

αρ

Pour αααα compris entre 8 et 10 et avec γγγγ = 7 / 5 : 56,0≈ρ

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II – La machine thermique de Carnot

Source chaude

Source froide

Source de travail

Exemple d’une

centrale nucléaire

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1 – Principe général d’une machine thermique :Un fluide subit des cycles de transformations au cours desquels il échange du travail et de la chaleur avec l’extérieur.

Si le fluide fournit « effectivement » du travail à l’extérieur, la machine est un moteur.

Si le fluide reçoit du travail et prend de la chaleur à la source froide, la machine thermique est un réfrigérateur (ou un climatiseur).

Si le fluide reçoit du travail et fournit de la chaleur à la source chaude, la machine thermique est une pompe à chaleur.

Si le fluide échange de la chaleur avec deux sources de chaleur, la machine est ditherme.

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2 – Le cycle du moteur réversible de Carnot (cycle moteur ditherme) :Le schéma de principe est le suivant :

Source chaude T2 > T1

Source froide T1 < T2

W < 0

Q2 > 0

Q1 < 0

Fluide

Le fluide reçoit de la chaleur de la source chaude, fournit du travail au milieu extérieur et rejette une partie de l’énergie calorifique reçue à la source froide (impossibilité du moteur monotherme).

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Tracé du cycle de Carnot réversible (cas du moteur) :

Le cycle est constitué de deux adiabatiques réversibles (pas d’échanges de chaleurs) et de deux isothermes (au contact des deux sources de chaleur).

Simulation java

P

V

BA

D

C

Adiabatiqueréversible

Isotherme à T2

Isotherme à T1

Adiabatiqueréversible

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3 – Rendement du moteur de Carnot réversible :Le rendement est défini par :

Où W représente le travail total reçu par le fluide lors du cycle. D’après le 1er principe :

D’où :

2

'

Q

W

fournieecalorifiquénergie

extérieurlparreçutravail−==ρ

2121 0 QQWsoitQQW −−==++

2

1

2

21 1Q

Q

Q

QQ+=

+=ρ

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Un bilan entropique pour le fluide lors d’un cycle s’écrit :

créationéchangecycle SSS +=∆

)'(0 cycleundlongleScycle =∆

2

2

1

1

T

Q

T

QSéchange +=

)(0 réversibletiontransformaScréation =

)(02

2

1

1 ClausiusdeégalitéT

Q

T

Q=+D’où :

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On en déduit que :

Et :

2

1

2

1 11T

T

Q

Q−=+=ρ

2

1

2

1

T

T

Q

Q−=

2

11T

T−=ρ

Ce rendement est toujours inférieur à 1 ; par exemple, avec :

On remarque que ce rendement ne dépend pas de la nature du fluide qui subit le cycle (GP, gaz réel, eau, …), mais uniquement des températures des sources chaude et froide.

!%8,26268,0;100;0 21 ==°=°= ρCTCT

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4 – Moteur de Carnot irréversible :Le cycle de Carnot est désormais irréversible (par exemple, les transferts de chaleur ne se font plus de manière réversible au contact des deux sources de chaleur).

Source chaude T2 > T1

Source froide T1 < T2

W < 0

Q2 > 0

Q1 < 0

FluideOn va montrer que le rendement de ce cycle irréversible est inférieur à celui du cycle réversible, fonctionnant entre les deux mêmes sources.

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Un bilan entropique pour le fluide lors d’un cycle s’écrit :

créationéchangecycle SSS +=∆

)'(0 cycleundlongleScycle =∆

2

2

1

1

T

Q

T

QSéchange +=

)(0 leirréversibtiontransformaScréation >

)(02

2

1

1 ClausiusdeinégalitéT

Q

T

Q<+D’où :

02

2

1

1 <−=+= créationéchange ST

Q

T

QS

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Le rendement est toujours défini par :

Mais l’inégalité de Clausius donne :

D’où :

2

1

2

1Q

Q

Q

W+=−=ρ

)0( 2

1

1

2

1

2

2

1

1 >−<−< QavecT

T

Q

Qsoit

T

Q

T

Q

2

1

2

1 11T

T

Q

Q−<+=ρ

Rendement irréversible

Rendement réversible

Théorème de Carnot

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5 – Machines frigorifiques de Carnot :Le cycle de Carnot est désormais parcouru dans l’autre sens (sens contraire des aiguilles d’une montre) :

Source chaude T2 > T1

Source froide T1 < T2

W > 0

Q2 < 0

Q1 > 0

Fluide

Si on s’intéresse à la source chaude, cette machine frigorifique est une pompe àchaleur.

Si on s’intéresse à la source froide, cette machine frigorifique est un réfrigérateur (ou un climatiseur).

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Efficacité d’une machine thermique : (cas réversible)

Réfrigérateur Pompe à chaleur

Énergie fournie : W > 0

But : Q1 « grande »

Efficacité :

1er principe :

D’où :

W

Q

fournieénergie

récupéréeénergiee 1==

021 =++ QQW

21

1

QQ

Qe

+−=

Énergie fournie : W > 0

But : - Q2 « grande »

Efficacité :

1er principe :

D’où :

W

Q

fournieénergie

récupéréeénergiee 2−==

021 =++ QQW

21

2

QQ

Qe

+=

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Efficacité d’une machine thermique : (cas réversible)

Réfrigérateur Pompe à chaleur

Égalité de Clausius (toujours valable) :

D’où :

12 /1

1

TTe

−−=

1

1

22

2

2

1

1 ;0 QT

TQ

T

Q

T

Q−==+

12

1

TT

Te

−=

Égalité de Clausius (toujours valable) :

D’où :

12

12

/1

/

TT

TTe

−

−=

1

1

22

2

2

1

1 ;0 QT

TQ

T

Q

T

Q−==+

12

2

TT

Te

−=

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Applications numériques :

Pour un réfrigérateur :

Pour une pompe à chaleur :

Ce résultat montre qu’un kWh dépensé pour faire fonctionner la pompe àchaleur fournit autant de chaleur que la dissipation par effet Joule de 22,5 kWh de travail électrique dans un radiateur électrique !

Dans le cas d’un fonctionnement irréversible :

5,6:260;300 21 === eKTKT

5,22:280;293 21 === eKTKT

12

2

12

1 ;TT

Te

TT

Te chaleuràpompeeurréfrigérat

−<

−<

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III – Études de machines en écoulement

Moteur à réaction

Pompe à chaleur avec changement d’état

Réfrigérateur à fréon

(vidéo)

Réfrigérateur à fréon

(animation cabri)

Turbine à gaz

(animation cabri)

Centrale géothermique

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