Régimes transitoires dans les circuits (RC), (RL) et (RLC)olivier.granier.free.fr/PC-Montesquieu445072/cariboost_files/chap-2-RC-RL-RLC.pdf · L,r i ri uL dt di uL = L + La puissance

Olivier GRANIER

Électricité - Électronique

Régimes transitoires dans les circuits

(RC), (RL) et (RLC)

Olivier GRANIER


1ère partie

Charge et décharge d’un condensateur

Etude du circuit (R,C)

Olivier GRANIER


� Description d’un condensateur :

Un condensateur est assimilable à deux plaques disposées face à face. En règle générale, on pourra dire qu'un condensateur est constitué de deux conducteurs séparés par un isolant (appelé également diélectrique) ; cet isolant peut être l'air, du verre, du plastique … (tableau ci-dessous).

(relative)

Olivier GRANIER


L’intérieur d’un condensateur :

Ce modèle est représentatif de la structure de la plupart des condensateurs. Il est constitué d’armatures métallisées.

On augmente sa capacité en branchant en parallèle des plaques très rapprochées mais qui ne se touchent pas.

Dans ce condensateur, c’est l’air qui joue le rôle de diélectrique.

Utilisation des condensateurs :

Ils sont utilisés dans pratiquement tous les montages électroniques. Par exemple, on utilise des condensateurs variables dans les circuits d’accord de postes de radio.

Olivier GRANIER


Soumis à une tension U, un condensateur possède la propriété de se charger et de conserver une charge électrique q, proportionnelle à U :

q = CU

C’est un réservoir d’énergie.

Cette énergie est restituée lors de la décharge du condensateur.

Ces phénomènes de charge et de décharge ne sont pas instantanés ; ce sont des phénomènes transitoires.

On peut comparer le condensateur à un réservoir qui se remplit et se vide, ou à un poumon qui se gonfle et se dégonfle...

Olivier GRANIER


� Condensateur plan :

Deux plaques métalliques planes (de surface S) en regard sont distantes de e. Un diélectrique remplit l’espace entre les deux plaques.

Diélectrique (ε =εε =εε =εε =ε0εεεεr)e

Surface en regard : S

ddp U

+ + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - -

+ q

- q

La charge q acquise par l’armature supérieure est :

q = CU

C est la capacité du condensateur plan (exprimée en Farad, F, ou mieux, en µµµµF ou nF) :

e

SC r

εε0=

εεεε0 : permittivité du vide

εεεεr : permittivité relative du diélectrique

Olivier GRANIER


� Tension, puissance et énergie :

Avec les notations de la figure ci-contre : q C

i

uC

qdt

dqi

C

quC &=== ;

La puissance reçue par le condensateur (de manière algébrique) est :

====

2

2

1.. C

CCCCC Cu

dt

d

dt

duCu

dt

dquiup

L’énergie EC emmagasinée par le condensateur s’en déduit :

C

qCuEsoit

dt

dEp CC

CC

22

2

1

2

1===

La charge portée par les armatures est une fonction continue du temps.

Olivier GRANIER


� Charge d’un condensateur par un échelon de tension :

A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :

q Ci

uCe(t) R uR

dt

duRCRiu

dt

dqi

C

qu CRC ==== ;;

Edt

duRCusoitEuu CCRC =+=+

)(111

RCEudt

duu

RCdt

duC

CC

C ==+=+ τττ

Si le condensateur est déchargé à t < 0 : ττ //

;)1(t

CRt

C EeuEueEu−− =−=−=

ττττ est la constante de temps du circuit (RC) : elle donne l’ordre de grandeur de la durée de charge du condensateur.

Olivier GRANIER


Olivier GRANIER


La charge est continue à t = 0 ; l’intensité est discontinue (passe de 0 à E/R de t = 0- à t = 0+)

Olivier GRANIER


Aspect énergétique :

Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation de l’énergie, on va montrer que :

CRG EEE +=

Energie fournie par le générateur

Energie dissipée par effet Joule dans R

Energie emmagasinée par

C

CRGC

tR

tG

EEEoùdCEE

CER

Edte

R

EdttRiE

CER

Edte

R

EdttEiE

+==

====

====

∫∫

∫∫∞

−∞

∞−

∞

'2

1

2

1

2)(

)(

2

22

0

/22

0

2

22

0

/2

0

τ

τ

τ

τ

Olivier GRANIER


� Décharge du condensateur :

)(/τt

C Eeu−=

)(/τt

CR Eeuu−−=−= Continuité de la charge

Discontinuité du courant

Olivier GRANIER


� Condensateur soumis à une tension créneau :

Tension créneau E/-E :

Tension créneau E/0 :

Olivier GRANIER


� Associations de condensateurs :

En série :

En parallèle :

21 CCCuuu +=

qC

qCC

qC

qC

uéq

C

11111

2121

=

+=+=

21

111

CCCéq+=

q C1i

uc1

q C2

uc2uc

i

uc

q1 C1i1

q2 C2i2

2

2

1

1

11q

Cq

CuC ==

i

( )dt

duCC

dt

duC

dt

duCiiii CCC 212121 ; +=+=+=

21 CCCéq +=

Olivier GRANIER


2ème partie

Bobine d’auto-induction

Etude du circuit (R,L)

Olivier GRANIER


� Bobine d’auto-induction :

Le rôle d’une bobine d’auto-induction est de s’opposer à toute modification du courant dans un circuit (loi de Lenz). En particulier, l’intensité du courant dans une bobine est nécessairement continue.

Br

i

i

Tout bobinage parcouru par un courant crée un champ magnétique proportionnel à l’intensité i.

Lorsque l’intensité i dépend du temps, il apparaît aux bornes de la bobine une fém d’auto-induction (phénomène d’induction).

En convention récepteur, cette fém s’écrit (en supposant la bobine idéale, c’est-à-dire sans résistance) :

dt

diLe =

Olivier GRANIER


� Tension, puissance et énergie :

Avec les notations de la figure ci-contre :

L,ri

uLridt

diLuL +=

La puissance reçue par la bobine (de manière algébrique) est (bobine idéale ici, soit r = 0) :

====

2

2

1. Li

dt

di

dt

diLiup LL

L’énergie EL emmagasinée par la bobine s’en déduit :

2

2

1LiEsoit

dt

dEp L

LL ==

L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue du temps.

Olivier GRANIER


� Réponse à un échelon de tension : (bobine idéale)

A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :

Li

uL

e(t) R uR

dt

du

R

L

dt

diLuRiu RLR === ;

Eudt

du

R

LsoitEuu R

RRL =+=+

)(1

R

LEu

dt

duu

L

R

dt

duR

RR

R ==+=+ ττ

Si l’intensité du courant est nulle à t < 0 :

ττ //;)1(

tRL

tR EeuEueEu

−− =−=−=

ττττ est la constante de temps du circuit (RL) : elle donne l’ordre de grandeur de la durée d’établissement du régime permanent (i=E/R). La bobine se comporte ensuite comme un simple fil.

Olivier GRANIER


L’intensité (et la tension uR) est continue à t = 0 ; la tension uL est discontinue (passe de 0 à E de t = 0- à t = 0+)

uR,uL,E

En bleu : la tension uLEn vert : la tension uR

En rouge (horizontal) : la tension E

RL

CR

uu

qi

uu

⇔

⇔

⇔

Circuit (RL)

Circuit (RC)

Olivier GRANIER



Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation de l’énergie, on va montrer que :

G R LE E E= +



Energie emmagasinée par L

+=+=+=+= 222

2

1Li

dt

dRi

dt

diLiRiEidonc

dt

diLRiuuE RL

)(2

1 2

0

2

0 R

EIavecLIdtRidtEi permperm =+= ∫∫

∞∞

En effet :

Olivier GRANIER


� Associations d’inductances :

En série :

En parallèle :

21 LLLuuu +=

( )dt

diL

dt

diLL

dt

diL

dt

diLu éqL =+=+= 2121

21 LLLéq +=

L1i

uL1

L2

uL2

uL

i

uL

L1i1

L2i2

dt

diL

dt

diLuL

22

11 ==

i

LLL uLL

uL

uLdt

diiii

+=+=+=

2121

21

1111;

21

111

LLLavec

dt

diLu

éq

éqL +==

Olivier GRANIER


3ème partie

Etude du circuit (R,L,C)

Olivier GRANIER


� Equation différentielle du circuit (RLC) :

qC

i

uC

e(t) R uR

L

uL

)(1

teqC

Ridt

diLuuu CRL =++=++

dt

duCidonc

C

quqi CC === ;&

)(2

2

teudt

duRC

dt

udLC C

CC =++

)(11

2

2

teLC

uLCdt

du

L

R

dt

udC

CC =++

L

Ret

LCavecteu

dt

du

dt

udC

CC ===++ 020

20

2002

2

21

)(2 σωωωωσω

Olivier GRANIER


� Les différents régimes : (voir cours sur les oscillateurs en mécanique)

On recherche des solutions de l’équation homogène de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :

02200

2 =++ ωσω rr

Dont le discriminant est : )1(4 220 −=∆ σω

),(:10

),(:10

),(:10

0

21

21

ωσ

σ

σ

−===∆

∈>>∆

∈−

Olivier GRANIER


� Réponse du circuit (RLC) à un échelon de tension :

[ ] EBtAeu

EBeAeeu

EtBtAeu

tC

tttC

tC

++==

+

+=>

+

−+−=<

−

−−−

−

0

20

200

0

:1

:1

)1sin()1cos(:1

)1()1(

20

20

ω

σωσωσω

σω

σ

σ

σωσωσ

La solution de l’équation différentielle précédente est alors :

Pour t>0 : Eudt

du

dt

udC

CC 20

2002

2

2 ωωσω =++

,5

0σω≈tAu bout de le régime permanent est atteint (uC = E)

Olivier GRANIER


C

LRc 2=

Simulation Java (JJ.Rousseau) :

Résistance critique

(σσσσ=1)

Olivier GRANIER



L’état final est : i=0 et uC=E (le condensateur est chargé). Montrons que le bilan final énergétique s’écrit :

CRG EEE +=



Energie emmagasinée par C

En effet :

+

+=++= 2

22

2

1

2

1;

1Li

dt

dCu

dt

dRiEi

dt

diLq

CRiE C

CRG EEEsoitCEdtRiEidt +=++= ∫∫∞∞

02

1 2

0

2

0

Olivier GRANIER


On peut calculer l’énergie fournie par le générateur :

On en déduit que l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R vaut :

[ ] 20

000. CEuCEdt

dt

duCEdtqEEidt C

C ==

==

∞∞∞∞

∫∫∫ &

222

2

1

2

1CECECEEEE CGR =−=−=

Par conséquent :

GCR ECEEE2

1

2

1 2 ===

La moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule. On retrouve le même résultat que dans le cas du circuit (RC) : ce n’est pas surprenant puisque l’inductance n’a aucune influence sur les états initial et final du circuit.

Olivier GRANIER


� Réponse à une tension créneau :

Animation Java :

Olivier GRANIER


� Analogies électromécaniques :

Oscillateurs mécaniques Oscillateurs électriques

0

0

2

2

2

2

1

2

1

1

ωσ

ω

h

m

k

kxE

xmE

hm

m

k

xv

x

P

C

=

=

=

=

=

&

&

0

0

2

2

2

1

2

1

2

1

ωσ

ω

L

R

LC

C

qE

LiE

R

L

C

qi

q

P

C

=

=

=

=

= &

Documents

Régimes transitoires dans les circuits (RC), (RL) et (RLC)olivier.granier.free.fr/PC-Montesquieu445072/cariboost_files/chap-2-RC-RL-RLC.pdf · L,r i ri uL dt di uL = L + La puissance